高考理数　空间几何体的三视图、表面积和体积

高考理数　空间几何体的三视图、表面积和体积

§8.1 　空间几何体的三视图、表面积和体积 高考理数 (课标专用 ) A组  统一命题·课标卷题组 考点一　三视图与直观图 五年高考 1 .(2018课标Ⅰ,7,5分)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A ,圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ,则在此圆柱侧面上,从 M 到 N 的路径中,最短路径的长度为   (　　) A.2   　    B.2   　    C.3　    D.2 答案    B     本题主要考查空间几何体的三视图、直观图以及最短路径问题. 由圆柱的三视图及已知条件可知点 M 与点 N 的位置如图1所示,设 ME 与 FN 为圆柱的两条母线, 沿 FN 将圆柱的侧面展开,如图2所示,连接 MN , MN 即为从 M 到 N 的最短路径,由题意知, ME =2, EN =4,∴ MN =   =2   .故选B.   图1 　       图2 2.解决空间几何体表面上两点间的最短路径问题的常用方法是把空间图形展为平面图形,利 用两点之间线段最短进行求解. 方法点拨 　1.由三视图还原直观图的步骤: (1)看视图明关系;(2)分部分想整体;(3)合起来定整体. 2. (2018课标Ⅲ,3,5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部 分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬 合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是   (　　)     答案    A 　本题考查空间几何体的三视图. 两个木构件咬合成长方体时,小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的木构件,易知俯视图可以为A. 故选A. 3. (2017课标Ⅰ,7,5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角 三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯 形,这些梯形的面积之和为   (　　) A.10　    B.12 C.14　    D.16 答案    B     本题考查立体几何中的三视图问题,考查学生的运算求解能力和空间想象能力. 由多面体的三视图还原直观图如图. 该多面体由上方的三棱锥 A - BCE 和下方的三棱柱 BCE - B 1 C 1 A 1 构成,其中面 CC 1 A 1 A 和面 BB 1 A 1 A 是梯形,则梯形的面积之和为2 ×   =12.故选B. 题型归纳 　有关三视图的基本问题一般有两类:一类是根据给定的空间几何体(或物体模型) 画出该几何体(或物体模型)的三视图;另一类是已知某几何体的三视图,想象该几何体的结构 特征,画出该几何体的空间图形. 4. (2014课标Ⅰ,12,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图, 则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为   (　　)   A.6   　    B.6　    C.4   　    D.4 答案    B      由多面体的三视图可知该几何体的直观图为一个三棱锥,如图所示. 其中面 ABC ⊥面 BCD ,△ ABC 为等腰直角三角形, AB = BC =4,取 BC 的中点 M ,连接 AM , DM ,则 DM ⊥面 ABC ,在等腰△ BCD 中, BD = DC =2   , BC = DM =4,所以在Rt△ AMD 中, AD =   =   =6,又在Rt△ ABC 中, AC =4   <6,故该多面体的各条棱中,最长棱为 AD ,长度为6,故 选B. 考点二　空间几何体的表面积 1. (2016课标Ⅰ,6,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直 的半径.若该几何体的体积是   ,则它的表面积是   (　　)   A.17π　　B.18π　　C.20π　　D.28π 答案    A 　由三视图可知,该几何体是一个球被截去   后剩下的部分,设球的半径为 R ,则该几 何体的体积为   ×   π R 3 ,即   π=   ×   π R 3 ,解得 R =2.故其表面积为   × 4π × 2 2 +3 ×   × π × 2 2 =17π.选A. 评析 　三视图问题主要是考查空间想象能力.本题考查内容较多,其中包括球的体积、表面积 的求法.属中等难度题. 2. (2016课标Ⅱ,6,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积 为   (　　)   A.20π　　B.24π　　C.28π　　D.32π 答案    C 　由三视图可得圆锥的母线长为   =4,∴ S 圆锥侧 =π × 2 × 4=8π.又 S 圆柱侧 =2π × 2 × 4= 16π, S 圆柱底 =4π,∴该几何体的表面积为8π+16π+4π=28π.故选C. 思路分析 　先求圆锥的母线长,从而可求得圆锥的侧面积,再求圆柱的侧面积与底面积,最后相 加即可得出该几何体的表面积. (2015课标Ⅰ,11,5分,0.845)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个几何体,该 几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则 r =   (　　) A.1　    B.2 C.4　    D.8 3. 答案    B 　由已知可知,该几何体的直观图如图所示,其表面积为2π r 2 +π r 2 +4 r 2 +2π r 2 =5π r 2 +4 r 2 .由 5π r 2 +4 r 2 =16+20π,得 r =2.故选B.   思路分析 　根据题意及正视图和俯视图画出几何体的直观图,利用题图提供的数据表示出几 何体的表面积,从而构造出关于 r 的方程,由此可解出 r 的值. 方法归纳 　几何体的表面积是指各个面的面积之和;求组合体的表面积时应注意重合部分的 处理. 4. (2015课标Ⅱ,9,5分,0.685)已知 A , B 是球 O 的球面上两点,∠ AOB =90 ° , C 为该球面上的动点.若 三棱锥 O - ABC 体积的最大值为36,则球 O 的表面积为   (　　) A.36π　　B.64π　　C.144π　　D.256π 答案    C 　∵ S △ OAB 是定值,且 V O - ABC = V C - OAB , ∴当 OC ⊥平面 OAB 时, V C - OAB 最大,即 V O - ABC 最大.设球 O 的半径为 R ,则( V O - ABC ) max =   ×   R 2 × R =   R 3 =3 6,∴ R =6,∴球 O 的表面积 S =4π R 2 =4π × 6 2 =144π. 思路分析 　由△ OAB 的面积为定值分析出当 OC ⊥平面 OAB 时,三棱锥 O - ABC 的体积最大,从而 根据已知条件列出关于 R 的方程,进而求出 R 值,利用球的表面积公式即可求出球 O 的表面积. 导师点睛 　点 C 是动点,在三棱锥 O - ABC 中,如果以面 ABC 为底面,则底面面积与高都是变量,而 S △ OAB 为定值,因此转化成以面 OAB 为底面,这样高越大,体积越大. 5. (2014大纲全国,8,5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该 球的表面积为   (　　) A.   　    B.16π　　C.9π　　D.   答案    A 　设球的半径为 R ,由题意可得(4- R ) 2 +(   ) 2 = R 2 ,解得 R =   ,所以该球的表面积为4π R 2 =   .故选A. 6. (2018课标Ⅱ,16,5分)已知圆锥的顶点为 S ,母线 SA , SB 所成角的余弦值为   , SA 与圆锥底面所 成角为45 ° .若△ SAB 的面积为5   ,则该圆锥的侧面积为 　　　     . 答案 　40   π 解析 　本题考查了圆锥的性质和侧面积的计算,考查了异面直线所成的角和线面角. 因为母线 SA 与圆锥底面所成的角为45 ° ,所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形.设底面圆的半 径为 r ,则母线长 l =   r .在△ SAB 中,cos∠ ASB =   ,所以sin∠ ASB =   .因为△ SAB 的面积为5   , 即   SA · SB sin∠ ASB =   ·   r ·   r ×   =5   ,所以 r 2 =40,故圆锥的侧面积为π rl =   π r 2 =40   π. 疑难突破　 利用底面半径与母线的关系,以及△ SAB 的面积值求出底面半径是解题的突破口. 考点三　空间几何体的体积 1 .(2018课标Ⅲ,10,5分)设 A , B , C , D 是同一个半径为4的球的球面上四点,△ ABC 为等边三角形且 其面积为9   ,则三棱锥 D - ABC 体积的最大值为   (　　) A.12   　    B.18   　    C.24   　    D.54   答案    B 　本题考查空间几何体的体积. 设△ ABC 的边长为 a ,则 S △ ABC =   a · a ·sin 60 ° =9   ,解得 a =6(负值舍去).△ ABC 的外接圆半径 r 满足 2 r =   ,得 r =2   ,球心到平面 ABC 的距离为   =2.所以点 D 到平面 ABC 的最大距离 为2+4=6,所以三棱锥 D - ABC 体积的最大值为   × 9   × 6=18   ,故选B. 2 .(2017课标Ⅱ,4,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图, 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为   (　　)   A.90π　　B.63π　　C.42π　　D.36π 答案    B 　本题考查三视图和空间几何体的体积. 由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6,高为14的圆柱,所以该几何体的 体积 V =   × 3 2 × π × 14=63π.故选B. 3. (2017课标Ⅲ,8,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为   (　　) A.π　　B.   　    C.   　    D.   答案    B 　本题考查球的内接圆柱的体积. 设圆柱的底面半径为 r ,则 r 2 +   =1 2 ,解得 r =   , ∴ V 圆柱 =π ×   × 1=   ,故选B. 4. (2015课标Ⅰ,6,5分,0.682)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有   (　　) A.14斛　    B.22斛　    C.36斛　    D.66斛 答案    B 　设圆锥底面的半径为 R 尺,由   × 2π R =8得 R =   ,从而米堆的体积 V =   ×   π R 2 × 5=   (立方尺),因此堆放的米约有   ≈ 22(斛).故选B. 思路分析     根据米堆底部的弧长可求出圆锥底面的半径,从而计算出米堆的体积,用该体积除 以每斛的体积即可求得斛数. 5. (2014课标Ⅱ,6,5分,0.659)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的 是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉 部分的体积与原来毛坯体积的比值为   (　　)   A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案    C 　由三视图知该零件是两个圆柱的组合体.一个圆柱的底面半径为2 cm,高为4 cm;另 一个圆柱的底面半径为3 cm,高为2 cm.则零件的体积 V 1 =π × 2 2 × 4+π × 3 2 × 2=34π(cm 3 ).而毛坯的体 积 V =π × 3 2 × 6=54π(cm 3 ),因此切削掉部分的体积 V 2 = V - V 1 =54π-34π=20π(cm 3 ),所以   =   =   .故选C. 思路分析 　由三视图知该零件是两个圆柱的组合体,进而求出该零件的体积,再由柱体的体积 公式求出毛坯的体积,从而作差求出切削掉部分的体积,进而可得出相应体积之比. 易错警示 　由于审题不够严谨,误将“切削掉部分的体积”认为是“切削后部分的体积”,从 而误选A. 6. (2015课标Ⅱ,6,5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则截 去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)   A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案     D 　 如图，由已知条件可知，截去部分是以△ ABC 为底面且三条侧棱两两垂直的正三棱锥 D - ABC . 设正方体的棱长为 a ，则截去部分的体积为 ，剩余部分的体积为 a 3 - = . 它们的体积之比为 . 故选 D. 7 . ( 2016 课标 Ⅲ ， 10 ， 5 分)在封闭的直三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 内有一个体积为 V 的球 . 若 AB ⊥ BC ， AB = 6 ， BC =8 ， AA 1 =3 ，则 V 的最大值是(　　) A. 4π 　    B.   　    C. 6 π   　    D.   答案    B　 易知 AC =10.设底面△ ABC 的内切圆的半径为 r ,则   × 6 × 8=   × (6+8+10)· r ,所以 r =2,因 为2 r =4>3,所以当球与三棱柱的上、下底面相切时,体积最大,所以最大球的直径2 R =3,则 R =   , 此时球的体积 V =   π R 3 =   .故选B. 8 .(2017课标Ⅰ,16,5分)如图,圆形纸片的圆心为 O ,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC 的中 心为 O . D , E , F 为圆 O 上的点,△ DBC ,△ ECA ,△ FAB 分别是以 BC , CA , AB 为底边的等腰三角形.沿 虚线剪开后,分别以 BC , CA , AB 为折痕折起△ DBC ,△ ECA ,△ FAB ,使得 D , E , F 重合,得到三棱锥. 当△ ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3 )的最大值为 　　　     .   解析 　本题考查简单几何体的空间直观图与平面展开图,考查学生的空间想象能力、数学建 模能力和运算求解能力. 解法一:由题意可知,折起后所得三棱锥为正三棱锥,设△ ABC 的边长为 a ( a >0)cm,则△ ABC 的面 积为   a 2 cm 2 ,点 O 到△ ABC 三边的距离都为   a cm,△ DBC 的高为   cm,则正三棱锥的 高为   =   cm,∴25-   a >0,∴0< a <5   ,∴所得三棱锥的体积 V =   ×   a 2 ×   =   ×   cm 3 .令 t =25 a 4 -   a 5 ,则 t '=100 a 3 -   a 4 ,由 t '=0,得 a =4   (满足0< a <5   ),易知此时所得三棱锥的体积最大,为4   cm 3 . 解法二:由题意知折起以后所得三棱锥的直观图如图所示,   连接 CO 并延长交 AB 于 H ,连接 DO 、 DH .则 DO ⊥平面 ABC . 答案 　4   令 OH = x cm,则 OC =2 x cm, DH =(5- x )cm,得 OD =   =   cm, AB =2   x cm. 则 V D - ABC =     ·   =   x 2 ·   =   x 2   cm 3 , 令 f ( x )=   x 2   , 则 f '( x )=     =   , 则当 x ∈(0,2)时, f ( x )单调递增,当 x ∈(2,2.5)时, f ( x )单调递减,所以当 x =2时,体积取最大值,为   × 4 ×   =4   cm 3 . 方法总结 　求解立体几何中的最值问题. 在求解立体几何中的最值问题时,注意先要引入自变量,再根据几何体的点、线、面的位置关 系,表示几何体中的相关量,进而建立起目标函数,最后,利用函数的性质来求解最值. 考点一　三视图与直观图 1 .(2018北京,5,5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为   (　　)   A.1　    B.2　    C.3　    D.4 B组  自主命题·省(区、市)卷题组 答案    C 　本题考查空间几何体的三视图和直观图,空间线、面的位置关系. 由三视图得四棱锥的直观图如图所示.   其中 SD ⊥底面 ABCD , AB ⊥ AD , AB ∥ CD , SD = AD = CD =2, AB =1.由 SD ⊥底面 ABCD , AD , DC , AB ⊂ 底面 ABCD ,得 SD ⊥ AD , SD ⊥ DC , SD ⊥ AB ,故△ SDC ,△ SDA 为直角三角形,又∵ AB ⊥ AD , AB ⊥ SD , AD , SD ⊂ 平面 SAD , AD ∩ SD = D ,∴ AB ⊥平面 SAD ,又 SA ⊂ 平面 SAD ,∴ AB ⊥ SA ,即△ SAB 也是 直角三角形,从而 SB =   =3,又 BC =   =   , SC =2   ,∴ BC 2 + SC 2 ≠ SB 2 ,∴△ SBC 不是直角三角形,故选C. 方法技巧 　三视图还原为直观图的原则是“长对正、高平齐、宽相等”,另外,在将三视图还 原为直观图时,借助于正方体或长方体能使问题变得具体、直观、简单. 2. (2014江西,5,5分)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是   (　　)     答案    B 　由几何体的直观图知,该几何体最上面的棱横放且在中间的位置上,因此排 除A、C、D,经验证B符合题意,故选B. 3 .(2014湖北,5,5分)在如图所示的空间直角坐标系 O - xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0, 2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图 分别为   (　　)     A.①和②　    B.③和①　    C.④和③　    D.④和② 答案    D 　设 A (0,0,2), B (2,2,0), C (1,2,1), D (2,2,2).∵ B , C , D 在平面 yOz 上的投影的坐标分别为(0, 2,0),(0,2,1),(0,2,2),点 A (0,0,2)在平面 yOz 上,又点 C 的横坐标小于点 B 和 D 的横坐标,∴该几何体 的正视图为题图④.∵点 A , C , D 在平面 xOy 上的投影的坐标分别为(0,0,0),(1,2,0),(2,2,0),点 B (2,2, 0)在平面 xOy 上,∴该几何体的俯视图为题图②.故选D. 评析 　本题考查了空间直角坐标系和三视图,考查了空间想象能力.本题也可以根据该四面体 各顶点的坐标画出几何体的直观图再求解. 4. (2014北京,7,5分)在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A (2,0,0), B (2,2,0), C (0,2,0), D (1,1,   ).若 S 1 , S 2 , S 3 分别是三棱锥 D - ABC 在 xOy , yOz , zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则   (　　) A. S 1 = S 2 = S 3 　     B. S 2 = S 1 且 S 2 ≠ S 3 C. S 3 = S 1 且 S 3 ≠ S 2 　    D. S 3 = S 2 且 S 3 ≠ S 1 答案    D     三棱锥 D - ABC 如图所示. S 1 = S △ ABC =   × 2 × 2=2, S 2 =   × 2 ×   =   , S 3 =   × 2 ×   =   , ∴ S 2 = S 3 且 S 1 ≠ S 3 ,故选D. 5 .(2017北京,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为   (　　)   A.3   　    B.2   　    C.2   　    D.2 答案    B 　本题考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力. 根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥 P - ABCD )如图所示,将该四棱锥放入棱长为2的正 方体中.由图可知该四棱锥的最长棱为 PD , PD =   =2   .故选B.   考点二　空间几何体的表面积 1. (2015安徽,7,5分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是   (　　)   A.1+   　    B.2+   　    C.1+2   　    D.2   答案    B 　四面体的直观图如图所示.   侧面 SAC ⊥底面 ABC ,且△ SAC 与△ ABC 均为腰长是   的等腰直角三角形, SA = SC = AB = BC =   , AC =2.设 AC 的中点为 O ,连接 SO , BO ,则 SO ⊥ AC ,∴ SO ⊥平面 ABC ,∴ SO ⊥ BO .又 OS = OB =1, ∴ SB =   ,故△ SAB 与△ SBC 均是边长为   的正三角形,故该四面体的表面积为2 ×   ×   ×   + 2 ×   × (   ) 2 =2+   . 2. (2014重庆,7,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为   (　　)   A.54　    B.60　    C.66　    D.72 答案    B      该几何体的直观图如图所示,易知该几何体的表面是由两个直角三角形,两个直角梯形和一个 矩形组成的,则其表面积 S =   × 3 × 4+   × 3 × 5+   × 5+   × 4+3 × 5=60.选B. 3 .(2016浙江,11,6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是 　　　     cm 2 ,体积是 　　　     cm 3 .   解析 　由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示.该几何体由两个完全相同的长方 体组合而成,其中 AB = BC =2 cm, BD =4 cm,∴该几何体的体积 V =2 × 2 × 4 × 2=32 cm 3 ,表面积 S =(2 × 2 × 3+2 × 4 × 3) × 2=36 × 2=72 cm 2 .   答案 　72;32 思路分析 　由几何体的三视图得到该几何体的直观图(几何体由两个长方体组合而成),从而 利用长方体的表面积和体积公式求解即可. 评析　 本题主要考查几何体的三视图、直观图以及体积和表面积的求法,考查学生空间想象 能力,识图以及画图的能力.解决本题的关键是正确还原几何体的直观图. 考点三　空间几何体的体积 1. (2018浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm 3 )是   (　　)   A.2　    B.4　    C.6　    D.8 答案    C 　本小题考查空间几何体的三视图和直观图以及几何体的体积公式. 由三视图可知该几何体是直四棱柱,其中底面是直角梯形,直角梯形上,下底边的长分别为1 cm,2 cm,高为2 cm,直四棱柱的高为2 cm.故直四棱柱的体积 V =   × 2 × 2=6 cm 3 . 思路分析 　(1)利用三视图可判断几何体是直四棱柱; (2)利用“长对正,高平齐,宽相等”的原则,可得直四棱柱的各条棱长. 2. (2017浙江,3,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm 3 )是   (　　)   A.   +1　    B.   +3　    C.   +1　    D.   +3 答案    A      本题考查三视图和直观图,三棱锥和圆锥的体积计算. 由三视图可知该几何体是由底面半径为1 cm,高为3 cm的半个圆锥和三棱锥 S - ABC 组成的,如 图,三棱锥的高为3 cm,底面△ ABC 中, AB =2 cm, OC =1 cm, AB ⊥ OC .故其体积 V =   ×   × π × 1 2 × 3+   ×   × 2 × 1 × 3=   cm 3 .故选A. 3. (2015重庆,5,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为   (　　)   A.   +π　　B.   +π　　C.   +2π　　D.   +2π 答案    A 　由三视图知,该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体. V = V 三棱锥 +   V 圆柱 =   ×   × 2 × 1 × 1+   × π × 1 2 × 2=   +π.选A. 4 .(2016北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为   (　　)   A.   　    B.   　    C.   　    D.1 答案    A     由三视图可画出三棱锥的直观图如图所示,其底面是等腰直角三角形 ACB ,直角边长为1,三棱锥的高为1,故体积 V =   ×   × 1 × 1 × 1=   .故选A. 5 .(2016山东,5,5分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积 为   (　　)   A.   +   π　　B.   +   π　　C.   +   π　　D.1+   π 答案    C 　由三视图可知四棱锥为正四棱锥,底面正方形的边长为1,四棱锥的高为1,球的直径 为正四棱锥底面正方形的外接圆的直径,所以球的直径2 R =   ,则 R =   ,所以半球的体积为   π R 3 =   π,又正四棱锥的体积为   × 1 2 × 1=   ,所以该几何体的体积为   +   π.故选C. 易错警示 　没有从俯视图中正确得到球的半径,而错误地从正视图中得到球的半径 R =   造成 错解.或解题粗心,误认为半径 R =1造成错解. 评析 　本题考查了空间几何体的三视图和体积公式.正确得到几何体的直观图是解题关键. 6. (2015湖南,10,5分)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能 大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为     (　　)   A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案    A 　原工件是一个底面半径为1,高为2的圆锥,依题意加工后的新工件是圆锥的内接长 方体,且落在圆锥底面上的面是正方形,设正方形的边长为 a ,长方体的高为 h ,则0< a <   ,0< h <2. 于是   =   , h =2-   a . 令 f ( a )= V 长方体 = a 2 h =2 a 2 -   a 3 ,∴ f '( a )=4 a -3   a 2 , 当 f '( a )=0时, a =   .易知 f ( a ) max = f   =   . ∴材料利用率=   =   .故选A. 7. (2018天津,11,5分)已知正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为1,除面 ABCD 外,该正方体其余各面的 中心分别为点 E , F , G , H , M (如图),则四棱锥 M - EFGH 的体积为 　　　     .   答案        解析 　本题主要考查正方体的性质和正四棱锥的体积. 由题意知四棱锥的底面 EFGH 为正方形,其边长为   ,即底面面积为   ,由正方体的性质知,四 棱锥的高为   .故四棱锥 M - EFGH 的体积 V =   ×   ×   =   . 8 .(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 　　　     .   答案        解析 　本题考查组合体体积的计算. 多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成,其中正四棱锥的底面边长为   ,高为1,∴其体积 为   × (   ) 2 × 1=   ,∴多面体的体积为   . 9. (2017江苏,6,5分)如图,在圆柱 O 1 O 2 内有一个球 O ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记 圆柱 O 1 O 2 的体积为 V 1 ,球 O 的体积为 V 2 ,则   的值是 　　　     .   答案        解析 　本题考查空间几何体的体积. 设圆柱内切球的半径为 R ,则由题设可得圆柱 O 1 O 2 的底面圆的半径为 R ,高为2 R ,∴   =   =   . 10. (2017天津,10,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18, 则这个球的体积为 　　　     . 答案        π 解析 　本题考查正方体的表面积及外接球的体积. 设这个正方体的棱长为 a ,由题意可知6 a 2 =18,所以 a =   ,所以这个正方体的外接球半径 R =   a =   ,所以这个正方体外接球的体积 V =   π R 3 =   π ×   =   π. 方法总结 　找几何体外接球球心的方法:1.构造长方体(或正方体),将原几何体外接球转化成 长方体(或正方体)的外接球,进而易得球心位置;2.找几何体底面的外心 O 1 ,过 O 1 作底面的垂线 l 1 ,再找几何体一侧面的外心 O 2 ,过 O 2 作该侧面的垂线 l 2 ,则 l 1 与 l 2 的交点即为外接球的球心. 11. (2015江苏,9,5分)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的 圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱 各一个,则新的底面半径为 　　　     . 答案        解析 　原两个几何体的总体积 V =   × π × 5 2 × 4+π × 2 2 × 8=   π.由题意知新圆锥的高为4,新圆柱的 高为8,且它们的底面半径相同,可设两几何体的底面半径均为 r ( r >0),则   × π × r 2 × 4+π × r 2 × 8=   π,解得 r 2 =7,从而 r =   . 12. (2014山东,13,5分)三棱锥 P - ABC 中, D , E 分别为 PB , PC 的中点,记三棱锥 D - ABE 的体积为 V 1 , P - ABC 的体积为 V 2 ,则   = 　　　     . 答案        解析 　如图,设 S △ ABD = S 1 , S △ PAB = S 2 , E 到平面 ABD 的距离为 h 1 , C 到平面 PAB 的距离为 h 2 ,则 S 2 =2 S 1 , h 2 = 2 h 1 , V 1 =   S 1 h 1 , V 2 =   S 2 h 2 ,∴   =   =   . 评析 　本题考查三棱锥的体积求法以及等体积转化法在求空间几何体体积中的应用.本题的 易错点是不能利用转化与化归思想把三棱锥的体积进行适当的转化,找不到两个三棱锥的底 面积及相应高的关系,从而造成题目无法求解或求解错误. 13. (2016江苏,17,14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥 P - A 1 B 1 C 1 D 1 ,下部的形状是正四棱柱 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 (如图所示),并要求正四棱柱的高 O 1 O 是正四棱锥的高 PO 1 的4倍. (1)若 AB =6 m, PO 1 =2 m,则仓库的容积是多少? (2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当 PO 1 为多少时,仓库的容积最大? 解析 　(1)由 PO 1 =2 m知 O 1 O =4 PO 1 =8 m. 因为 A 1 B 1 = AB =6 m,所以正四棱锥 P - A 1 B 1 C 1 D 1 的体积 V 锥 =   · A 1   · PO 1 =   × 6 2 × 2=24(m 3 ); 正四棱柱 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 的体积 V 柱 = AB 2 · O 1 O =6 2 × 8=288(m 3 ). 所以仓库的容积 V = V 锥 + V 柱 =24+288=312(m 3 ). 于是仓库的容积 V = V 柱 + V 锥 = a 2 ·4 h +   a 2 · h =   a 2 h =   (36 h - h 3 ),0< h <6, 从而 V '=   (36-3 h 2 )=26(12- h 2 ). 令 V '=0,得 h =2   或 h =-2   (舍). 当0< h <2   时, V ‘>0, V 是单调增函数;当2   < h <6时, V '<0, V 是单调减函数. 故 h =2   时, V 取得极大值,也是最大值.因此,当 PO 1 =2   m时,仓库的容积最大. (2)设 A 1 B 1 = a (m), PO 1 = h (m),则0< h <6, O 1 O =4 h (m).连接 O 1 B 1 . 因为在Rt△ PO 1 B 1 中, O 1   + P   = P   , 所以   + h 2 =36,即 a 2 =2(36- h 2 ). 方法指导 　(1)根据已知条件求出相关数据,进而利用相应体积公式求解. (2)选择中间关联变量 PO 1 为主变量把相关边长与高用主变量表示出来,再把容积表示成主变 量的函数,进而转化成研究函数最值的问题. 评析 　本题主要考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识,考查空间想 象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力. 考点一　三视图与直观图 1 .(2014福建,2,5分)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是   (　　) A.圆柱　    B.圆锥　    C.四面体　    D.三棱柱 C组  教师专用题组 答案    A 　由三视图知识可知,圆柱的视图中不可能出现三角形.故选A. 2. (2014湖南,7,5分)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球, 则能得到的最大球的半径等于   (　　)   A.1　    B.2　    C.3　    D.4 答案    B 　由三视图知该石材表示的几何体是一个直三棱柱,该直三棱柱的底面是两直角边 长分别为6和8的直角三角形,其高为12.要得到最大球,则球与三个侧面相切,从而球的半径应 等于底面直角三角形的内切圆的半径,故半径 r =   =2,其中 S 为底面直角三角形的面积. 故选B. 3.(2013四川,3,5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是   (　　)     答案    D 　由俯视图易知,只有选项D符合题意.故选D. 4. (2013课标Ⅱ,7,5分,0.387)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O - xyz 中的坐标分别是(1,0,1), (1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可 以为   (　　)                        答案    A 　设 O (0,0,0), A (1,0,1), B (1,1,0), C (0,1,1),将以 O 、 A 、 B 、 C 为顶点的四面体补成一正方 体后,由于 OA ⊥ BC ,所以该几何体以 zOx 平面为投影面的正视图为A. 方法归纳 　由几何体直观图画三视图的要求:①注意三个视图对应的观察方向;②注意视图中 虚线与实线的区别;③画出的三视图要符合“长对正,高平齐,宽相等”的基本特征. 5 .(2013湖南,7,5分)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正 视图的面积不可能等于   (　　) A.1　    B.   　    C.   　    D.         答案    C 若该正方体的放置方式如图所示,当正视的方向与正方体的任一侧面垂直时,正视图的面积最小,其值为1,当正视的方向与正方体的对角面 BDD 1 B 1 或 ACC 1 A 1 垂直时,正视图的面积最大,其值为   , 由于正视的方向不同,因此正视图的面积 S ∈[1,   ].故选C. 评析     本题考查空间几何体的三视图与直观图,考查学生空间想象能力及有关知识的应用 能力,解答本题应设法求出正视图的面积的取值范围,而不应该逐项计算. 6 .(2011课标,6,5分)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以 为   (　　)     错因分析 　将组合体看成半圆柱和三棱锥的组合或不注意C和D中中线实虚的含义,易误选A 或C. 评析     本题主要考查空间几何体的三视图,考查学生的识图能力和空间想象能力. 答案    D 　由几何体的正视图和俯视图可知,该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面垂直 于底面的三棱锥组成的组合体,故其侧视图应为D选项. 考点二　空间几何体的表面积 1.( 2015陕西,5,5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为   (　　)   A.3π　　B.4π　　C.2π+4　    D.3π+4 答案    D 　由题中三视图知该几何体是底面半径为1,高为2的半个圆柱,故其表面积 S =2 ×   × π × 1 2 +π × 1 × 2+2 × 2=3π+4. 评析     本题考查三视图的概念和性质以及圆柱的表面积,考查运算及推理能力和空间想象 能力.由三视图确定几何体的直观图是解题的关键. 2 .(2014浙江,3,5分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是   (　　) A.90 cm 2 　    B.129 cm 2 　    C.132 cm 2 　    D.138 cm 2 答案    D 　由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成(如图),其表面积为 S =3 × 5+2 ×   × 4 × 3+4 × 3+3 × 3+2 × 4 × 3+2 × 4 × 6+3 × 6=138(cm 2 ).   3 .(2014安徽,7,5分)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为   (　　)   A.21+   　    B.18+   　    C.21　    D.18 答案    A      根据题意作出直观图如图,该多面体是由正方体切去两个角而得到的,根据三视图可知其表面 积为6   +2 ×   × (   ) 2 =6 ×   +   =21+   .故选A. 考点三　空间几何体的体积 1. (2015浙江,2,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是   (　　)   A.8 cm 3 　    B.12 cm 3 　    C.   cm 3 　    D.   cm 3 答案    C 　该几何体是由棱长为2的正方体和底面边长为2,高为2的正四棱锥组合而成的几何 体.故其体积为 V =2 × 2 × 2+   × 2 × 2 × 2=   cm 3 . 2. (2015山东,7,5分)在梯形 ABCD 中,∠ ABC =   , AD ∥ BC , BC =2 AD =2 AB =2.将梯形 ABCD 绕 AD 所 在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.2π 答案    C 　如图,此几何体是底面半径为1,高为2的圆柱挖去一个底面半径为1,高为1的圆锥,故 所求体积 V =2π-   =   .   评析     本题主要考查几何体的体积及空间想象能力. 3 .(2014湖北,8,5分)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国 现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之, 三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h ,计算其体积 V 的近似公式 V ≈   L 2 h . 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式 V ≈   L 2 h 相当于将圆锥体 积公式中的π近似取为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案    B 　圆锥的体积 V =   π r 2 h =   π   h =   , 由题意得12π ≈   ,π近似取为   ,故选B. 4. (2014辽宁,7,5分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为   (　　)   A.8-2π　　B.8-π　　C.8-   　    D.8-   答案    B　 该几何体由一个棱长为2的正方体切去两个四分之一圆柱所得.所以其体积为 V =2 3 - 2 ×   π·1 2 × 2=8-π,故选B. 5. (2013课标Ⅰ,6,5分,0.786)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为   (　　) A.   cm 3 　    B.   cm 3 C.   cm 3 　    D.   cm 3 答案    A 　设球的半径为 R cm,球心为 O ,正方体上底面中心为 A ,上底面一边的中点为 B ,在Rt△ OAB 中,| OA |=( R -2)cm,| AB |=4 cm,| OB |= R cm,由 R 2 =( R -2) 2 +4 2 得 R =5,∴ V 球 =   π R 3 =   (cm 3 ).故选A. 解题关键 　运用球的截面性质: R 2 = r 2 + d 2 ( R 为球的半径, r 为截面圆的半径, d 为球心到截面的距 离)列出方程是解决本题的关键. 6. (2013课标Ⅰ,8,5分,0.718)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为   (　　)   A.16+8π　　B.8+8π　　C.16+16π　　D.8+16π 答案    A 　由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成.其中长方体的长、宽、高分 别为4、2、2,圆柱的底面半径为2,高为4.所以该几何体的体积 V =4 × 2 × 2+   π × 2 2 × 4=16+8π.故选 A. 思路分析 　由三视图分析该几何体的构成,从而利用三视图中的数据计算几何体的体积. 7. (2012课标,7,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此 几何体的体积为   (　　)   A.6　    B.9　    C.12　    D.18 答案    B      由三视图可得,该几何体为如图所示的三棱锥,其底面△ ABC 为等腰直角三角形且 BA = BC , AC = 6, AC 边上的高为3, SB ⊥底面 ABC ,且 SB =3,所以该几何体的体积 V =   ×   × 6 × 3 × 3=9.故选B. 评析     本题考查了三视图和三棱锥的体积,考查了空间想象能力.由三视图正确得到该几何 体的直观图是求解的关键. 8 .(2012课标,11,5分)已知三棱锥 S - ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ ABC 是边长为1的正三 角形, SC 为球 O 的直径,且 SC =2,则此棱锥的体积为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案    A 　设△ ABC 外接圆的圆心为 O 1 ,则| OO 1 |=   =   =   . 三棱锥 S - ABC 的高为2| OO 1 |=   . 所以三棱锥 S - ABC 的体积 V =   ×   ×   =   .故选A. 评析     本题考查了三棱锥和球的基本知识,考查了空间想象能力. 9. (2016四川,13,5分)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所 示,则该三棱锥的体积是 　　　     . 答案        解析 　由题意及正视图可知三棱锥的底面等腰三角形的底长为2   ,三棱锥的高为1,则三棱 锥的底面积为   ×   × 2   =   , ∴该三棱锥的体积为   ×   × 1=   . 评析     正确理解正视图中的数据在直观图中表示的含义很关键. 10. (2016天津,11,5分)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位: m),则该四棱锥的体积为 　     m 3 .   答案 　2 解析　 四棱锥的底面是平行四边形,由三视图可知其面积为2 × 1=2 m 2 ,四棱锥的高为3 m,所以 四棱锥的体积 V =   × 2 × 3=2 m 3 . 易错警示 　该题有两点容易出错:一是锥体的体积公式中的系数   易漏写;二是底面平行四边 形的面积易错误地写成3 × 1=3 m 2 . 评析     本题考查了三视图和直观图,考查了锥体的体积. 11 .(2015天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 　　　     m 3 .   答案        π 解析 　由三视图知该几何体由两个相同的圆锥和一个圆柱组成.其中,圆锥的底面半径和圆柱 的底面半径均为1,圆锥的高均为1,圆柱的高为2.因此该几何体的体积为 V =2 ×   π × 1 2 × 1+π × 1 2 × 2 =   π m 3 . 12 .(2014江苏,8,5分)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S 1 、 S 2 ,体积分别为 V 1 、 V 2 ,若它们的侧 面积相等,且   =   ,则   的值是 　　　     . 答案        解析 　设圆柱甲的底面半径为 r 1 ,高为 h 1 ,圆柱乙的底面半径为 r 2 ,高为 h 2 . 由题意得   =   =   , ∴   =   . 又∵ S 甲侧 = S 乙侧 ,即2π r 1 h 1 =2π r 2 h 2 , ∴   =   =   , 故   =   =   ·   =   ×   =   . 13. (2011课标,15,5分)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为4的球 O 的球面上,且 AB =6, BC =2   ,则 棱锥 O - ABCD 的体积为 　　　     . 答案 　8   解析 　如图 , 连接 AC , BD , 交于 O 1 , 则 O 1 为矩形 ABCD 所在小圆的圆心 , 连接 OO 1 , 则 OO 1 ⊥面 ABCD ,   易求得 O 1 C =2   ,又 OC =4, ∴ OO 1 =   =2, ∴棱锥体积 V =   × 6 × 2   × 2=8   . 失分警示 　立体感不强,空间想象能力差,无法正确解出棱锥的高而得出错误结论. 评析     本题主要考查球中截面圆的性质及空间几何体的体积的计算,通过球这个载体考查 学生的空间想象能力及推理运算能力. 考点一　三视图与直观图 1. (2018江西南昌二中3月月考,9)一个几何体的三视图如图所示,在该几何体的各个面中,面积 最小的面的面积为   (　　)   A.8　    B.4　    C.4   　    D.4   A组  2016—2018年高考模拟·基础题组 三年模拟 答案    D 　由三视图可知该几何体的直观图如图所示,由三视图特征可知, PA ⊥平面 ABC , DB ⊥平面 ABC , AB ⊥ AC , PA = AB = AC =4, DB =2,则易得 S △ PAC = S △ ABC =8, S △ CPD =12, S 梯形 ABDP =12, S △ BCD =   × 4   × 2=4   ,故选D.   2. (2018江西南昌NCS项目4月联考,7)已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所 示,图中小方格是单位正方形,那么组合体的侧视图的面积为   (　　)   A.6+   　    B.   　    C.6+   　    D.8 答案    B 　由题意可得侧视图如图所示,上面是一个三角形,其底为1+   =   ,高为2,三角形的面 积 S 1 =   ×   × 2=   ;下面是一个梯形,上底为2,下底为4,高为2,梯形的面积 S 2 =   × (2+4) × 2=6,所以 组合体的侧视图的面积 S = S 1 + S 2 =   +6=   .选B.   3. (2018河南百校联盟4月联考,9)如图,网格纸上小正方形的边长为1,图中粗线画出的是某多面 体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为   (　　)   A.2   　    B.3　    C.   　    D.   答案    B 　根据三视图,利用棱长为2的正方体分析知,该多面体是一个三棱锥,即三棱锥 A 1 - MNP ,如图所示,其中 M , N , P 是棱长为2的正方体相应棱的中点,可得棱 A 1 M 最长, A 1 M =   =3,故最长的棱的长度为3,选B.   4. (2017河北衡水中学七调,5)正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中, E 为棱 BB 1 的中点(如图),用过点 A , E , C 1 的 平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为   (　　)     答案    C 　过点 A , E , C 1 的截面为 AEC 1 F ,如图,则剩余几何体的左视图为选项C中的图形.故选C.   5 .(2016湖南长沙三校一模,7)已知点 E 、 F 、 G 分别是正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 的棱 AA 1 、 CC 1 、 DD 1 的中点,点 M 、 N 、 Q 、 P 分别在线段 DF 、 AG 、 BE 、 C 1 B 1 上.以 M 、 N 、 Q 、 P 为顶点的三棱 锥 P - MNQ 的俯视图不可能是   (　　)     答案    C 　当 M 与 F 重合、 N 与 G 重合、 Q 与 E 重合、 P 与 B 1 重合时,三棱锥 P - MNQ 的俯视图为A; 当 M 、 N 、 Q 、 P 是所在线段的中点时,三棱锥 P - MNQ 的俯视图为B;当 M 、 N 、 Q 、 P 位于所在 线段的非端点位置时,存在三棱锥 P - MNQ ,使其俯视图为D.故选C. 考点二　空间几何体的表面积 1. (2018广东广州3月调研,7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个几何体的三 视图,则该几何体的表面积为   (　　)   A.4+4   +2   　    B.14+4   C.10+4   +2   　    D.4 答案    C 　如图,该几何体是一个底面为直角梯形,有一条侧棱垂直于底面的四棱锥 S - ABCD . 连接 AC ,因为 AC =   =2   , SC =   =2   , SD = SB =   =2   , CD =   =2   , SB 2 + BC 2 =(2   ) 2 +4 2 =24= SC 2 ,故△ SCD 为等腰三角形,△ SCB 为直角三角形.过 D 作 DK ⊥ SC 于点 K ,则 DK =   =   ,△ SCD 的面积为   ×   × 2   =2   ,△ SBC 的面积为   × 2   × 4=4   .所求几何体的表面积为   × (2+4) × 2+2 ×   × 2 × 2+4   +2   =10+4   +2   ,选C.   2 .(2018河南濮阳二模,7)已知三棱锥 A - BCD 中,△ ABD 与△ BCD 是边长为2的等边三角形且二 面角 A - BD - C 为直二面角,则三棱锥 A - BCD 的外接球的表面积为   (　　) A.   　    B.5π　　C.6π　　D.   答案    D 　取 BD 中点 M ,连接 AM , CM ,取△ ABD ,△ CBD 的中心即 AM , CM 的三等分点 P , Q ,过 P 作 面 ABD 的垂线,过 Q 作面 CBD 的垂线,两垂线相交于点 O ,则点 O 为外接球的球心,其中 OQ =   , CQ =   ,连接 OC ,则外接球的半径 R = OC =   ,表面积为4π R 2 =   ,故选D.   3. (2017河北衡水中学三调,10)已知正方体 ABCD - A ' B ' C ' D '的外接球的体积为   π,将正方体割 去部分后,剩余几何体的三视图如图所示,则剩余几何体的表面积为   (　　)   A.   +   　    B.3+   或   +   C.2+   　    D.   +   或2+   答案    B 　设正方体的棱长为 a ,依题意得,   π ×   =   π,解得 a =1.由三视图可知,该几何体 的直观图有以下两种可能,图1对应的几何体的表面积为   +   ,图2对应的几何体的表面积为3 +   .故选B.   4.( 2017安徽皖北协作区3月联考,10)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线(实线和虚线)表 示的是某几何体的三视图,则该几何体外接球的表面积为   (　　) A.24π　　B.29π　　C.48π　　D.58π 答案    B 　如图,在3 × 2 × 4的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥 A - BCD ),其外接球即为长 方体的外接球,表面积为4π R 2 =π(3 2 +2 2 +4 2 )=29π.   5. (2017河南中原名校联考,15)已知正三棱锥 A - BCD 内接于球 O ,且球 O 的体积为36π,过三棱锥 一侧棱以及球心 O 作截面得到的图形如图所示,则侧面三角形 ABC 的面积为 　　　     .   答案        解析 　设球 O 的半径为 R ,依题意,   π R 3 =36π,解得 R =3.由题图可知,正三棱锥的底面正三角形在 球的大圆上,则底面正三角形的高为   R =   × 3=   ,正三棱锥的高为3,故底面三角形的边长为   ÷   =3   ,侧面三角形的高为   =   ,故所求面积 S =   × 3   ×   =   . 考点三　空间几何体的体积 1. (2018山东日照二模,8)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积为   (　　)   A.   π　　B.   π　　C.   π　　D.   π 答案    A 　该几何体可以看成是一个半球上叠加一个   圆锥,然后挖掉一个相同的   圆锥所形 成的组合体,所以该几何体的体积和半球的体积相等.由题图可知,半球的半径为2,则 V =   π r 3 =   .故选A. 2 .(2018湖北武汉调研,9)已知 A 、 B 、 C 、 D 是某球面上不共面的四点,且 AB = BC = AD =1, BD = AC =   , BC ⊥ AD ,则此球的体积为(　　) A.   π　　B.   π　　C.2   π　　D.4   π 答案    A 　由 AB = BC =1, AC =   ,得 AB 2 + BC 2 = AC 2 ,所以∠ CBA =   ,即 BC ⊥ AB ,又 BC ⊥ AD ,所以 BC ⊥平面 ABD ,因为 AB = AD =1, BD =   ,所以 AB 2 + AD 2 = BD 2 ,所以 AB ⊥ AD ,故可将点 A , B , C , D 看成 棱长为1的正方体上的四个顶点,则该正方体的外接球的体积即为所求球的体积,设球 O 为正方 体的外接球,易得球 O 的半径为 R =   ,则球 O 的体积 V =   π R 3 =   π,故选A. 3. (2018河南顶级名校3月联考,10)某四棱锥的三视图如图所示,其中正视图的轮廓是边长为2 的正方形,侧视图的轮廓是底边长分别为2和1的直角梯形,则该几何体的体积为   (　　)   A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案    A 　如图,在棱长为2的正方体中,点 A , B , C 为正方体的顶点,点 D , E 为所在棱的中点,由三 视图还原后的几何体为四棱锥 A - BCDE ,分析知四棱锥的侧面 ABE ⊥底面 BCDE ,点 A 到直线 BE 的距离即棱锥的高,易求得其为   ,故四棱锥的体积 V =   × 2 ×   ×   =   ,故选A.   4 .(2017河南新乡二模,8)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为   (　　)   A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案    C 　该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成,直观图如图所示,   V = V 柱 + V 锥 =   × (1+1) × 1 × 2+   ×   × (1+1) × 1 × 2=   ,故选C. 1. (2018广东揭阳一模,9)某几何体三视图如图所示,则此几何体的表面积为   (　　)   A.4π+16　    B.2(   +2)π+16 C.4π+8　    D.2(   +2)π+8 B组  2016—2018年高考模拟·综合题组 (时间:35分钟　　分值:50分) 一、选择题(每题5分,共40分) 答案    B 　由三视图知,该几何体是一个棱长为2的正方体和一个底面半径为   、高为1的圆 柱的组合体,其表面积 S 表 =5 × 2 2 +2π·   ·1+2π·(   ) 2 -2 2 =2(   +2)π+16.故选B. 导师点睛 　解决组合体表面积问题时,一定要注意重叠面,尤其要注意重叠面是否完全重叠. 2 .(2018河北第二次质检,6)《九章算术》是中国古代第一部数学专著,书中有关于“堑堵”的 记载,“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后,剩 下部分的三视图如图所示,则剩下部分的体积是   (　　)   A.50　    B.75　    C.25.5　    D.37.5 答案    D      由题意及给定的三视图可知,剩余部分是在直三棱柱的基础上,截去一个四棱锥所得的,且直三 棱柱的底面是腰长为5的等腰直角三角形,高为5.如图,图中几何体 ABCC 1 MN 为剩余部分,因为 AM =2, B 1 C 1 ⊥平面 MNB 1 A 1 ,所以剩余部分的体积 V = V 三棱柱 - V 四棱锥 =   × 5 × 5 × 5-   × 3 × 5 × 5=37.5,故选 D. 思路分析 　由几何体的三视图画出几何体的直观图,利用补体作差的方法求出几何体的体积. 方法点拨 　(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定几何体的形 状以及直观图中线、面的位置关系和数量关系,进而利用相应体积公式求解;(2)若所给几何体 的体积不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解. 3. (2018福建4月质检,8)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图, 俯视图中的两条曲线均为圆弧,则该几何体的体积为   (　　)   A.64-   　    B.64-8π C.64-   　    D.64-   答案    C 　由三视图可知该几何体是由棱长为4的正方体截去   个圆锥和   个圆柱所得到的, 且圆锥的底面半径为2,高为4,圆柱的底面半径为2,高为4,所以该几何体的体积为4 3 -     =64-   .故选C. 4. (2018广东惠州二模,10)已知三棱锥 S - ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形, AB =2, SA = SB = SC =2,则三棱锥 S - ABC 的外接球的球心到平面 ABC 的距离是   (　　) A.   　    B.1　    C.   　    D.   答案    A 　∵三棱锥 S - ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形, SA = SB = SC =2,∴ S 在底面 ABC 内的射影为 AB 的中点,设 AB 的中点为 H ,连接 SH , CH ,∴ SH ⊥平面 ABC ,∴ SH 上任意一点到 A , B , C 的距离相等,易知 SH =   , CH =1,∴Rt△ SHC 中∠ HSC =30 ° .在面 SHC 内作 SC 的垂直平分线 MO ,交 SH 于点 O ,交 SC 于点 M ,则 O 为三棱锥 S - ABC 的外接球的球心.∵ SC =2,∴ SM =1,又∠ OSM = 30 ° ,∴ SO =   , OH =   ,∴球心 O 到平面 ABC 的距离为   ,故选A. 解题关键 　找出球心 O 的位置是解题的关键. 知识拓展      S 为△ ABC 所在平面外一点,(1)若 SA = SB = SC ,则点 S 在面 ABC 内的射影为△ ABC 的 外心;(2)若 SA ⊥ BC , SB ⊥ AC ,则点 S 在面 ABC 内的射影为△ ABC 的垂心;(3)若 SA , SB , SC 与面 ABC 所成的角均相等,则点 S 在面 ABC 内的射影为△ ABC 的外心. 5 .(2018中原名校4月联考,10)已知 A , B , C , D 是球 O 表面上四点,点 E 为 BC 的中点,若 AE ⊥ BC , DE ⊥ BC ,∠ AED =120 ° , AE = DE =   , BC =2,则球 O 的表面积为   (　　) A.   π　　B.   　    C.4π　　D.16π 答案     B 　由题意可知△ ABC 与△ BCD 都是边长为 2 的正三角形 , 如图 , 过△ ABC 与△ BCD 的外 心 M , N 分别作面 ABC 、面 BCD 的垂线 , 两垂线的交点就是球心 O .   连接 OE ,可知∠ MEO =∠ NEO =   ∠ AED =60 ° , 在Rt△ OME 中,∠ MEO =60 ° , ME =   ,所以 OE =2 ME =   ,连接 OB ,所以球 O 的半径 R = OB =   =   =   ,所以球 O 的表面积为 S =4π R 2 =   π,故选B. 方法点拨 　求解与球有关的切、接问题的关键是确定球心和半径,常用的方法有:①定义法,利 用球的定义确定球心和半径;②补形法,将几何体补成长方体或正方体,长方体或正方体的体对 角线就是外接球的直径;③轴截面法,画出轴截面,利用球的性质确定球心和半径. 思路分析　 先找出△ ABC 与△ BCD 的外心,然后过两外心分别作面 ABC 、面 BCD 的垂线,则两 垂线的交点即为球心 O ,从而可利用平面几何知识求外接球的半径 R ,进而得其表面积. 6. (2017湖北七市(州)3月联考,10)一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的表面积为   (　　)   A.36π　　B.   　    C.32π　　D.28π 答案    B 　根据三视图,可知该几何体是一个四棱锥,其底面是一个边长为4的正方形,高是2   .将该四棱锥补形成一个三棱柱,如图所示,则其底面是边长为4的正三角形,高是4,该三棱柱 的外接球即为原四棱锥的外接球.∵三棱柱的底面是边长为4的正三角形,∴底面三角形的中 心到该三角形三个顶点的距离为   × 2   =   ,∴外接球的半径 R =   =   ,外接球 的表面积 S =4π R 2 =4π ×   =   ,故选B.   方法技巧 　对于三视图问题,一般先根据该几何体的三视图判断几何体的形状,再作出其直观 图,根据直观图来计算棱长、表面积、体积.对于棱锥的外接球问题,一般将棱锥补形成棱柱, 从而转化为棱柱外接球问题,进而求解. 7 .(2017山西五校3月联考,10)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下 问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈;上袤二丈,无广;高一丈,问:积几何?”其意思为:“今有底 面为矩形的屋脊柱的楔体,下底面宽3丈,长4丈;上棱长2丈,高一丈,问它的体积是多少?”已知1 丈为10尺,现将该楔体的三视图给出,其中网格纸上小正方形的边长为1丈,则该楔体的体积为   (　　) A.5 000立方尺　    B.5 500立方尺 C.6 000立方尺　    D.6 500立方尺 答案    A 　该楔体的直观图如图中的几何体 ABCDEF .取 AB 的中点 G , CD 的中点 H ,连接 FG , GH , HF ,则该几何体的体积为四棱锥 F - GBCH 与三棱柱 ADE - GHF 的体积之和.又可以将三棱柱 ADE - GHF 割补成高为 EF ,底面积为 S =   × 3 × 1=   平方丈的一个直棱柱,故该楔体的体积 V =   × 2 +   × 2 × 3 × 1=5立方丈=5 000立方尺.   思路分析 　根据几何体的三视图还原出直观图,利用割补法求几何体的体积. 方法总结 　求空间几何体体积的常用方法:(1)公式法(适用于规则几何体);(2)割补法(适用于 不规则的几何体,有时对不易求体积的规则几何体也用此法);(3)等体积转化法(适用于求三棱 锥的体积). 8. (2016江西赣州二模,11)某几何体的主视图和左视图如图(1),它的俯视图的直观图是矩形 O 1 A 1 B 1 C 1 ,如图(2),其中 O 1 A 1 =6, O 1 C 1 =2,则该几何体的侧面积为   (　　) A.48　    B.64　    C.96　    D.128 答案    C 　由题图(2)及斜二测画法可知原俯视图为如图所示的平行四边形 OABC ,设 CB 与 y 轴 的交点为 D ,则易知 CD =2, OD =2 × 2   =4   ,∴ CO =   =6= OA ,∴俯视图是以6为边长 的菱形,由三视图知几何体为一个直四棱柱,其高为4,所以该几何体的侧面积为4 × 6 × 4=96.故选 C.   思路分析 　利用斜二测画法分析出原俯视图的形状及数据,进而由三视图确定出几何体的形 状及数据,据此即可求得几何体的侧面积. 9. (2018江西九江二模,15)如图,在直三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中,底面 ABC 是等腰直角三角形, AB = BC =1.点 D 为侧棱 BB 1 上的动点.若△ ADC 1 周长的最小值为   +   ,则三棱锥 C 1 - ABC 外接球的表面 积为 　　　     .   二、填空题(每题5分,共10分) 解析 　将侧面展开如图,   易知当 D 为侧棱 BB 1 的中点时,△ ADC 1 周长最小,此时设 BD = x ,则2   +   =   +   ,可 得 x =   ,∴ CC 1 =1,又易知三棱锥 C 1 - ABC 外接球的球心为 AC 1 的中点,∴半径 R =   ,则三棱锥 C 1 - ABC 外接球的表面积为 S =4π R 2 =3π. 答案 　3π 导师点睛 　正确分析出△ ADC 1 周长最小时点 D 的位置是求解本题的关键.解决此类问题的方 法是“空间问题平面化”. 10. (2018广东3月质检,16)如图,圆形纸片的圆心为 O ,半径为6 cm,该纸片上的正方形 ABCD 的中 心为 O . E 、 F 、 G 、 H 为圆 O 上的点,△ ABE 、△ BCF 、△ CDG 、△ ADH 分别是以 AB 、 BC 、 CD 、 DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以 AB 、 BC 、 CD 、 DA 为折痕折起△ ABE 、 △ BCF 、△ CDG 、△ ADH ,使得 E 、 F 、 G 、 H 重合,得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底 面积的2倍时,该四棱锥的外接球的体积为 　　　　　　　     .   解析 　如图,连接 OE 交 AB 于点 I ,设 E 、 F 、 G 、 H 重合于点 P ,设正方形 ABCD 的边长为 x cm( x > 0),则 OI =   cm, IE =   cm,∵该四棱锥的侧面积是底面积的2倍,∴4·     =2 x 2 ,解得 x =4, 设四棱锥的外接球的球心为 Q ,半径为 R cm,连接 PO ,可知 Q 在 PO 上,连接 OC , QC ,易知 OC =2   cm, OP =   =   =2   cm,则在Rt△ OQC 中,可得 R 2 =(2   - R ) 2 +(2   ) 2 ,解得 R =   ,所 以外接球的体积 V =   π   =   cm 3 ,故答案为   cm 3 .          答案        cm 3 思路分析 　利用四棱锥侧面积与底面积的关系构造方程,求得底面边长,然后利用作轴截面的 方法找外接球球心,进而利用 R 2 = d 2 + r 2 ( R 为球的半径, d 为球心到球的一个不过球心的截面的距 离, r 为该截面截球所得圆的半径)求外接球的半径,进而得其体积. 方法点拨　 在解决翻折问题时,要牢牢抓住翻折前后的不变量,这是解决此类问题的前提.