专题07 天体的质量和密度的估算-2019高考物理一轮复习专题详解

专题07 天体的质量和密度的估算-2019高考物理一轮复习专题详解

知识回顾 ‎1．牢记两个基本关系式 ‎(1)利用F万＝F向，有＝m＝mω2r＝mr＝ma.‎ ‎(2)在星球表面附近有＝mg星．‎ ‎2．明确三个常见误区 ‎(1)天体质量和密度的估算是指中心天体而非环绕天体的质量和密度的估算．‎ ‎(2)注意区分轨道半径r和中心天体的半径R.‎ ‎(3)在考虑自转问题时，只有两极才有＝mg.‎ 规律方法 估算中心天体质量和密度的两条思路 ‎(1)利用天体表面的重力加速度和天体半径估算 由G＝mg得M＝，再由ρ＝，V＝πR3得ρ＝.‎ ‎(2)已知天体做匀速圆周运动的轨道半径和周期，由G＝mr得M＝，再结合ρ＝，V＝πR3得ρ＝ρ＝.‎ 典例分析 ‎【例1】　假设地球可视为重量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　B ‎【例2】　宇宙中有两颗相距无限远的恒星s1、s2，半径均为R0.图分别是两颗恒星周围行星的公转周期T2与公转半径r3的图象，则(　　)‎ A．恒星s1的质量大于恒星s2的质量 B．恒星s1的密度小于恒星s2的密度 C．恒星s1的第一宇宙速度大于恒星s2的第一宇宙速度 D．距两恒星表面高度相同的行星，s1的行星向心加速度较大 ‎【答案】　B 专题练习 ‎1．(多选)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量．假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量．这两个物理量可以是(　　)‎ A．卫星的速度和角速度 B．卫星的质量和轨道半径 C．卫星的质量和角速度 D．卫星的运行周期和轨道半径 ‎【答案】：AD ‎【解析】知道卫星的速度和角速度，由v＝ωr可求得卫星的轨道半径，根据G＝m，即可求得冥王星的质量，选项A正确；根据G＝m2r，知道卫星的运行周期和轨道半径，可求得冥王星的质量，选项D正确；求冥王星的质量，不需要知道卫星的质量，选项B、C错误．‎ ‎2．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(　　)‎ A．1－ B．1＋ C.2 D.2‎ ‎【答案】：A ‎【解析：】根据万有引力与重力相等可得，在地面处有：‎ G＝mg，‎ 在矿井底部有：G＝mg′，‎ 所以＝＝1－.故选项A正确．‎ ‎3．有一个质量为M，半径为R，密度均匀的大球体．从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)(　　)‎ A．G　　　 B．0‎ C．4G D．G ‎【答案】：D ‎4．(2017年河北重点中学联考)假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，不考虑地球自转的影响，则距离地球球心为r处的重力加速度大小g与r的关系图象可能为(　　)‎ ‎【答案】：A ‎5．已知月球半径为R，飞船在距月球表面高度为R的圆轨道上飞行，周期为T.引力常量为G，下列说法正确的是(　　)‎ A．月球第一宇宙速度为 B．月球表面重力加速度为R C．月球密度为 D．月球质量为 ‎【答案】：D ‎【解析】：由题意知，飞船运行的速度为v＝，小于月球的第一宇宙速度，所以A错误；根据G＝m·2R，又GM＝gR2，联立解得g＝，M＝，所以B错误，D正确；再根据M＝＝ρπR3，解得ρ＝，C错误．‎ ‎6．(2017年湖北八校三月模拟)据英国《每日邮报》报道，科学家发现了一颗距离地球仅14光年的“另一个地球”——沃尔夫(Wolf)1061c.沃尔夫1061c的质量为地球的4倍，围绕红矮星沃尔夫1061运行的周期为5天，它是迄今为止在太阳系外发现的距离最近的宜居星球．设想从地球发射一颗科学探测卫星围绕沃尔夫1061c表面运行．已知万有引力常量为G，天体的环绕运动可看作匀速圆周运动．则下列说法正确的是(　　)‎ A．从地球发射该卫星的速度应该小于第三宇宙速度 B．卫星绕行星沃尔夫1061c运行的周期与该卫星的密度有关 C．沃尔夫1061c和地球公转轨道半径的三次方之比等于2‎ D．若已知探测卫星的周期和地球的质量，可近似求出沃尔夫1061c的半径 ‎【答案】：D ‎7．(多选)在研究发现太阳与行星间的引力规律过程中，下列说法正确的是(　　)‎ A．研究思路是根据行星的受力情况去探究行星的运动情况 B．引用了公式F＝，这个关系式实际上是牛顿第二定律 C．由太阳对行星的引力表达式推出行星对太阳的引力表达式，采用的论证方法是等效法 D．在开普勒第三定律＝k和引力公式F＝G中，常数k和G与太阳和行星均无关 ‎【答案】　BC ‎【解析】研究思路是根据行星的运动情况去探究行星的受力情况，A项错误．公式F＝实际上是牛顿第二定律的表达式．由太阳对行星的引力表达式推出行星对太阳的引力表达式，采用的论证方法是等效法．常数k与太阳有关，G与太阳和行星均无关，B、C两项正确．‎ ‎8．(多选)已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量M(引力常量G为已知)(　　)‎ A．月球绕地球运动的周期T1及月球到地球中心的距离R1‎ B．地球绕太阳运行周期T2及地球到太阳中心的距离R2‎ C．人造卫星在地面附近的运行速度v3和运行周期T3‎ D．地球绕太阳运行的速度v4及地球到太阳中心的距离R4‎ ‎【答案】　AC ‎9．(2017·山东泰安市质检)(多选)我国计划在2017年发射“嫦娥四号”，层次、更加全面的科学探测月球地貌、资源等方面的信息，完善月球档案资料．已知月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G，嫦娥四号离月球中心的距离为r，绕月周期为T.根据以上信息可求出(　　)‎ A．“嫦娥四号”绕月运行的速度 B．“嫦娥四号”绕月运行的速度为 C．月球的平均密度为 D．月球的平均密度为 ‎【答案】　BD ‎【解析】月球表面任意一物体重力等于万有引力G＝mg，则有GM＝R2g，“嫦娥四号”绕月运行时，万有引力提供向心力：G＝m，解得v＝，联立解得，故A项错误，B项正确；“嫦娥四号”绕月运行时，根据万有引力提供向心力，有G＝mr，解得M＝，月球的平均密度为ρ＝＝＝，故C项错误，D项正确；所以B、D项正确，A、C项错误．‎ ‎10.(2017·山东泰安市质检)(多选)密度均匀的球形行星对其周围物体的万有引力使物体产生的加速度用a表示，物体到行星表面的距离用h表示．a随h变化的图像如图所示．图中a、h1、a2、h2及万有引力常量G均为已知．根据以上数据可以计算出(　　)‎ A．该行星的半径 B．该行星的质量 C．该行星的自转周期 D．该行星同步卫星离行星表面的高度 ‎【答案】　AB C项，由题目以及相关的公式的物理量都与该行星转动的自转周期无关，所以不能求出该行星的自转周期，C项错误；‎ D项，由于不能求出该行星的自转周期，所以也不能求出该行星同步卫星离行星表面的高度，D项错误；故选A、B两项．‎ ‎11．(2017·山西模拟)2016年8月16日，我国将世界首颗量子卫星发射升空，轨道距离地面高度为h.我国“蛟龙号”载人潜水器执行科考任务时下潜深度为d.把地球看做质量分布均匀的球体，且质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．若地球半径为R，“蛟龙号”所在处与“量子卫星”所处的加速度之比为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　C ‎【解析】令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有g＝，‎ 由于地球的质量为：M＝πR3ρ，所以重力加速度的表达式可写成：g＝πGρR.‎ 根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故重力加速度g′＝πGρ(R－d)．所以有＝.‎ 根据万有引力提供向心力＝ma，量子卫星的加速度a＝，‎ 所以＝，‎ 所以＝，故C项正确，A、B、D项错误．‎ ‎12．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原地．若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计．则(　　)‎ A．g′∶g＝5∶1 B．g′∶g＝5∶2‎ C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80‎ ‎【答案】　D ‎13．(2017·宝鸡一模)宇航员在某星球上为了探测其自转周期做了如下实验：在该星球两极点，用弹簧秤测得质量为M的砝码所受重力为F，在赤道测得该砝码所受重力为F′.他还发现探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T.假设该星球可视为质量分布均匀的球体，则其自转周期为(　　)‎ A．T B．T C．T D．T ‎【答案】　D ‎【解析】设星球及探测器质量分别为m、m′‎ 在该星球两极点，用弹簧秤测得质量为M的砝码所受重力为F，则有＝F，‎ 在赤道测得该砝码所受重力为F′，则有－F′＝MR，‎ 探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T，则有G＝m′R；‎ 联立两式解得T自＝T.故D项正确，A、B、C三项错误．‎ ‎14．(2017·湖南省二模)一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力F大小随时间t的变化规律如图乙所示．F1＝7F2，设R、m、引力常量G以及F1为已知量，忽略各种阻力．以下说法正确的是(　　)‎ A．该星球表面的重力加速度为 B．卫星绕该星球的第一宇宙速度为 C．星球的密度为 D．小球过最高点的最小速度为0‎ ‎【答案　】C F1＝7F2，所以该星球表面的重力加速度为，故A项错误．根据万有引力提供向心力，得＝m，卫星绕该星球的第一宇宙速度为v＝，故B项错误．在星球表面，万有引力近似等于重力＝mg ⑤‎ 由④⑤解得M＝，星球的密度ρ＝＝，C项正确；‎ 小球在最高点受重力和绳子拉力，根据牛顿运动定律，得F2＋mg＝m≥mg 所以小球在最高点的最小速度v2≥，故D项错误．‎ ‎15．(2017·广西模拟)为了方便研究物体与地球间的万有引力问题，通常将地球视为质量分布均匀的球体．已知地球的质量为M，半径为R，引力常量为G，不考虑空气阻力的影响．‎ ‎(1)求北极点的重力加速度的大小；‎ ‎(2)若“天宫二号”绕地球运动的轨道可视为圆周，其轨道距地面的高度为h，‎ 求“天宫二号”绕地球运行的周期和速率；‎ ‎(3)若已知地球质量M＝6.0×1024 kg，地球半径R＝6 400 km，其自转周期T＝24 h，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.在赤道处地面有一质量为m的物体A，用W0表示物体A在赤道处地面上所受的重力，F0表示其在赤道处地面上所受的万有引力．请求出的值(结果保留1位有效数字)，并以此为依据说明在处理万有引力和重力的关系时，为什么经常可以忽略地球自转的影响．‎ ‎【答案】　(1)　 (2)2π　 (3)见解析 ‎【解析】(1)设北极点的重力加速度为g0，则有m0g0＝G 解得g0＝ ‎(3)物体A在赤道处地面上所受的万有引力F0＝G 对于物体A在赤道处地面上随地球运动的过程，设其所受地面的支持力为N，根据牛顿第二定律，有F0－N＝mR 物体A此时所受重力的大小为：W0＝N＝G－mR 所以＝ 代入数据，解得＝3×10－3.‎ 这一计算结果说明，由于地球自转对地球赤道外地面上静止的物体所受重力与所受地球引力大小差别的影响很小，所以通常情况下可以忽略地球自转造成的地球引力与重力大小的区别．‎ ‎16．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：‎ ‎(1)该星球表面的重力加速度；‎ ‎(2)该星球的密度；‎ ‎(3)该星球的第一宇宙速度v；‎ ‎(4)人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T.‎ ‎【答案】　(1)　(2) (3)　(4)2πR ‎　【解析】(1)由平抛运动的知识得 tanα＝，则g＝；‎ ‎17．(2017年广东珠海模拟)某火星探测实验室进行电子计算机模拟实验，结果为探测器在靠近火星表面轨道做圆周运动的周期是T，探测器着陆过程中，第一次接触火星表面后，以v0的初速度竖直反弹上升，经t时间再次返回火星表面，设这一过程只受火星的重力作用，且重力近似不变．已知引力常量为G，试求：‎ ‎(1)火星的密度；‎ ‎(2)火星的半径．‎ ‎【答案】ρ＝＝＝. ；R＝.‎ ‎(2)探测器在火星表面的万有引力近似等于重力，有 G＝mg′，③‎ 根据题意有探测器在火星表面反弹后做竖直上抛运动，根据竖直上抛运动落回抛出点的时间t＝得火星表面的重力加速度g′＝，④‎ 将②④代入③得R＝.‎ ‎18．由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同．已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G.假设地球可视为质量均匀分布的球体．求：‎ ‎(1)质量为m的物体在地球北极所受地球对它的万有引力的大小；‎ ‎(2)地球的半径；‎ ‎(3)地球的密度．‎ ‎【解析】：(1)质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力，即F＝mg0.‎ ‎(2)设地球的质量为M，半径为R，在赤道处随地球做圆周运动物体的质量为m.物体在赤道处随地球自转做圆周运动的周期等于地球自转的周期，轨道半径等于地球半径．根据万有引力定律和牛顿第二定律有－mg＝mR；在赤道的物体所受地球的引力等于其在两极所受的重力即＝mg0，解得 R＝.‎ ‎(3)因为G＝mg0，所以 M＝.又因地球的体积V＝πR3，所以ρ＝＝.‎