【物理】2018届一轮复习人教版电磁感应中的电路和图象问题学案

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第三节　电磁感应中的电路和图象问题 一、电磁感应中的电路问题 1．内电路和外电路 (1)切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的线圈都相当于电源． (2)该部分导体的电阻或线圈的电阻相当于电源的内阻，其余部分是外电阻． 2．电源电动势和路端电压 (1)电动势：E＝Blv 或 E＝n ΔΦ Δt ． (2)路端电压：U＝IR＝ E R＋r·R． 　1.如图所示是两个互连的金属圆环，小金属环的电阻是 大金属环电阻的二分之一，磁场垂直穿过大金属环所在区域．当磁感应强度随 时间均匀变化时，在大环内产生的感应电动势为 E，则 a、b 两点间的电势差为(　　) A． 1 2E　　　 B． 1 3E　　　 C． 2 3E　　　 D．E 提示：选 B.a、b 间的电势差等于路端电压，而小环电阻占电路总电阻的 1 3，故 Uab＝ 1 3 E，B 正确． 二、电磁感应中的图象问题 图象类型 (1)磁感应强度 B、磁通量 Φ、感应电动势 E 和感应电流 I 随时间 t 变化的图象，即 B－t 图象、Φ－t 图象、E－t 图象和 I－t 图象； (2)对于切割磁感应线产生感应电动势和感应 电流的情况，还常涉及感应电动势 E 和感应 电流 I 随位移 x 变化的图象，即 E－x 图象和 I －x 图象 问题类型 (1)由给定的电磁感应过程判断或画出正确的 图象； (2)由给定的有关图象分析电磁感应过程，求 解相应的物理量； (3)利用给出的图象判断或画出新的图象 应用知识 左手定则、安培定则、右手定则、楞次定律、 法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿定律、 函数图象等 　2.(2017·河南三市联考)如图所示，在平面直角坐标系 xOy 的第一、三 象限内有垂直该坐标平面向里的匀强磁场，二者磁感应强度相同，圆心角为 90 °的扇形导线框 OPQ 以角速度 ω 绕 O 点在图示坐标平面内沿顺时针方向匀 速转动．规定与图中导线框的位置相对应的时刻为 t＝0，导线框中感应电流逆 时针为正．则关于该导线框转一周的时间内感应电流 i 随时间 t 的变化图象，下列正确的是 (　　) 提示：选 A.在线框切割磁感线产生感应电动势时，由 E＝ 1 2BL2ω知，感应电动势一定， 感应电流大小不变，故 B、D 错误；在 T 2～ 3 4T 内，由楞次定律判断可知线框中感应电动势方 向沿逆时针方向，为正，故 A 正确、C 错误． 　电磁感应中的电路问题 【知识提炼】 1．电磁感应电路中的五个等效问题 2．解决电磁感应电路问题的基本步骤 (1)“源”的分析：用法拉第电磁感应定律算出 E 的大小，用楞次定律或右手定则确定 感应电动势的方向：感应电流方向是电源内部电流的方向，从而确定电源正、负极，明确内 阻 r. (2)“路”的分析：根据“等效电源”和电路中其他各元件的连接方式画出等效电路 图． (3)“式”的建立：根据 E＝Blv 或 E＝n ΔΦ Δt 结合闭合电路欧姆定律、串并联电路知识 和电功率、焦耳定律等关系式联立求解． 【典题例析】 (2015·高考福建卷)如图，由某种粗细均匀的总电阻为 3R 的金 属条制成的矩形线框 abcd，固定在水平面内且处于方向竖直向下的匀强磁 场中．一接入电路电阻为 R 的导体棒 PQ，在水平拉力作用下沿 ab、dc 以速度 v 匀速滑 动，滑动过程 PQ 始终与 ab 垂直，且与线框接触良好，不计摩擦．在 PQ 从靠近 ad 处向 bc 滑动的过程中(　　) A．PQ 中电流先增大后减小 B．PQ 两端电压先减小后增大 C．PQ 上拉力的功率先减小后增大 D．线框消耗的电功率先减小后增大 [审题指导]　在匀强磁场中，谁运动谁是电源，则 PQ 中的电流为干路电流，PQ 两端 电压为路端电压，线框消耗的功率为电源的输出功率，再依据电路的规律求解问题． [解析]　设 PQ 左侧金属线框的电阻为 r，则右侧电阻为 3R－r；PQ 相当于电源，其电 阻为 R，则电路的外电阻为 R 外＝ r（3R－r） r＋（3R－r）＝ －(r－3R 2 )2 ＋(3R 2 )2 3R ，当 r＝ 3R 2 时，R 外 max ＝ 3 4R，此时 PQ 处于矩形线框的中心位置，即 PQ 从靠近 ad 处向 bc 滑动的过程中外电阻先 增大后减小．PQ 中的电流为干路电流 I＝ E R外＋R内，可知干路电流先减小后增大，选项 A 错 误．PQ 两端的电压为路端电压 U＝E－U 内，因 E＝Blv 不变，U 内＝IR 先减小后增大，所 以路端电压先增大后减小，选项 B 错误．拉力的功率大小等于安培力的功率大小，P＝F安 v ＝BIlv，可知因干路电流先减小后增大，PQ 上拉力的功率也先减小后增大，选项 C 正确．线 框消耗的电功率即为外电阻消耗的功率，因外电阻最大值为 3 4R，小于内阻 R；根据电源的 输出功率与外电阻大小的变化关系，外电阻越接近内阻时，输出功率越大，可知线框消耗的 电功率先增大后减小，选项 D 错误． [答案]　C 电磁感应中电路问题的误区分析 (1)不能正确分析感应电动势及感应电流的方向．因产生感应电动势的那部分电路为电 源部分，故该部分电路中的电流应为电源内部的电流，而外电路中的电流方向仍是从高电势 到低电势． (2)应用欧姆定律分析求解电路时，没有注意等效电源的内阻对电路的影响． (3)对连接在电路中电表的读数不能正确进行分析，特别是并联在等效电源两端的电压 表，其示数应该是路端电压，而不是等效电源的电动势．　 【跟进题组】 考向 1　恒定感应电流的电路分析 1．(2016·高考浙江卷)如图所示，a、b 两个闭合正方形线圈用同样的导线制成，匝数均 为 10 匝，边长 la＝3lb，图示区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度随时间均匀 增大，不考虑线圈之间的相互影响，则(　　) A．两线圈内产生顺时针方向的感应电流 B．a、b 线圈中感应电动势之比为 9∶1 C．a、b 线圈中感应电流之比为 3∶4 D．a、b 线圈中电功率之比为 3∶1 解析：选 B.由于磁感应强度随时间均匀增大，则根据楞次定律知两线圈内产生的感应 电流方向皆沿逆时针方向，则 A 项错误；根据法拉第电磁感应定律 E＝N ΔΦ Δt ＝NS ΔB Δt，而 磁感应强度均匀变化，即 ΔB Δt恒定，则 a、b 线圈中的感应电动势之比为Ea Eb＝ Sa Sb＝ l l＝9，故 B 项正确；根据电阻定律 R＝ρ L S′，且 L＝4Nl，则 Ra Rb＝ la lb＝3，由闭合电路欧姆定律 I＝ E R， 得 a、b 线圈中的感应电流之比为 Ia Ib＝ Ea Eb·Rb Ra＝3，故 C 项错误；由功率公式 P＝I2R 知，a、 b 线圈中的电功率之比为 Pa Pb＝ I I· Ra Rb＝27，故 D 项错误． 考向 2　变化感应电流的电路分析 2．如图所示，OACO 为置于水平面内的光滑闭合金属导轨，O、C 处分别接有短电阻 丝(图中用粗线表示)，R1＝4 Ω、R2＝8 Ω(导轨其他部分电阻不计)．导轨 OACO 的形状满 足 y＝2sin(π 3 x )(单位：m)．磁感应强度 B＝0.2 T 的匀强磁场方向垂直于导轨平面．一足 够长的金属棒在水平外力 F 作用下，以恒定的速率 v＝5.0 m/s 水平向右在导轨上从 O 点滑 动到 C 点，棒与导轨接触良好且始终保持与 OC 导轨垂直，不计棒的电阻．求： (1)外力 F 的最大值； (2)金属棒在导轨上运动时电阻丝 R1 上消耗的最大功率； (3)在滑动过程中通过金属棒的电流 I 与时间 t 的关系． 解析：(1)由题图容易看出，当 y＝0 时 x 有两个值，即 sin(π 3 x )＝0 时，x1＝0，x2＝3. 这即是 O 点和 C 点的横坐标，因而与 A 点对应的 x 值为 1.5.将 x＝1.5 代入函数 y＝2sin (π 3 x )，便得 A 点的纵坐标，即 y＝2sin π 2 ＝2(单位：m)．这就是金属棒切割磁感线产生电 动势的最大有效长度． 当金属棒在 O、C 间运动时，R1、R2 是并联在电路中的，其等效电路如图所示．其并联 电阻 R 并＝ R1R2 R1＋R2＝ 8 3 Ω. 当金属棒运动到 x 位置时，其对应的长度为 y＝2sin(π 3 x )， 此时金属棒产生的感应电动势为 E＝Byv＝2Bvsin(π 3 x )(单位：V)， 其电流 I＝ E R并(单位：A)． 而金属棒所受的安培力应与 F 相等， 即 F＝BIy＝ B2y2v R并 . 在金属棒运动的过程中，由于 B、v、R并不变，故 F 随 y 的变大而变大．当 y 最大时 F 最大，即 Fmax＝ B2yv R并 ＝0.3 N. (2)R1 两端电压最大时，其功率最大． 即 U＝Emax 时，R1 上消耗的功率最大， 而金属棒上产生的最大电动势 Emax＝Bymaxv＝2.0 V. 这时 Pmax＝ E R1＝1.0 W. (3)当 t＝0 时，棒在 x＝0 处． 设运动到 t 时刻，则有 x＝vt， 将其代入 y 得 y＝2sin(5π 3 t )， 再结合 E＝Byv 和 I＝ E R并， 得 I＝ E R并＝ 2Bv（R1＋R2） R1R2 sin(5π 3 t ) ＝0.75sin(5π 3 t )A. 答案：(1)0.3 N　(2)1.0 W (3)I＝0.75sin(5π 3 t )A 考向 3　含容电路的分析与计算 3.在同一水平面的光滑平行导轨 P、Q 相距 l＝1 m，导轨左端接有 如图所示的电路．其中水平放置的平行板电容器两极板 M、N 相距 d＝ 10 mm，定值电阻 R1＝R2＝12 Ω，R3＝2 Ω，金属棒 ab 的电阻 r＝2 Ω，其他电阻不计．磁感应强度 B＝0.5 T 的匀强磁场竖直穿过导轨平 面，当金属棒 ab 沿导轨向右匀速运动时，悬浮于电容器两极板之间，质量 m＝1×10－14 kg， 电荷量 q＝－1×10－14 C 的微粒恰好静止不动．取 g＝10 m/s2，在整个运动过程中金属棒与 导轨接触良好．且速度保持恒定．试求： (1)匀强磁场的方向； (2)ab 两端的路端电压； (3)金属棒 ab 运动的速度． 解析：(1)负电荷受到重力和电场力的作用处于静止状态，因为重力竖直向下，所以电 场力竖直向上，故 M 板带正电．ab 棒向右做切割磁感线运动产生感应电动势，ab 棒等效于 电源，感应电流方向由 b→a，其 a 端为电源的正极，由右手定则可判断，磁场方向竖直向 下． (2)微粒受到重力和电场力的作用处于静止状态，根据平衡条件有 mg＝Eq 又 E＝ UMN d ，所以 UMN＝ mgd q ＝0.1 V R3 两端电压与电容器两端电压相等，由欧姆定律得通过 R3 的电流为 I＝ UMN R3 ＝0.05 A 则 ab 棒两端的电压为 Uab＝UMN＋I R1R2 R1＋R2＝0.4 V. (3)由法拉第电磁感应定律得感应电动势 E＝BLv 由闭合电路欧姆定律得 E＝Uab＋Ir＝0.5 V 联立解得 v＝1 m/s. 答案：(1)竖直向下　(2)0.4 V　(3)1 m/s 　电磁感应中的图象问题 【知识提炼】 1．题型特点：一般可把图象问题分为三类 (1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图象； (2)由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量； (3)根据图象定量计算． 2．解题关键：弄清初始条件，正、负方向的对应，变化范围，所研究物理量的函数表 达式，进、出磁场的转折点是解决问题的关键． 3．解决图象问题的一般步骤 (1)明确图象的种类，即是 B－t 图象还是 Φ－t 图象，或者是 E－t 图象、I－t 图象等； (2)分析电磁感应的具体过程； (3)用右手定则或楞次定律确定方向对应关系； (4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等规律写出函数关系式； (5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等； (6)画出图象或判断图象． 【典题例析】 　(多选)(2016·高考四川卷)如 图所示，电阻不计、间距为 l 的光滑平行金属导轨水平放置于磁感应强度为 B、方向竖 直向下的匀强磁场中，导轨左端接一定值电阻 R.质量为 m、电阻为 r 的金属棒 MN 置于导轨 上，受到垂直于金属棒的水平外力 F 的作用由静止开始运动，外力 F 与金属棒速度 v 的关 系是 F＝F0＋kv(F0、k 是常量)，金属棒与导轨始终垂直且接触良好．金属棒中感应电流为 i，受到的安培力大小为 FA，电阻 R 两端的电压为 UR，感应电流的功率为 P，它们随时间 t 变化图象可能正确的有(　　) [审题指导]　先分别得出 I、FA、UR、P 与 v 的关系．然后对棒 MN 受力分析，由牛顿 第二定律列方程分情况讨 论棒 MN 的运动情况，最后依据各量与 v 的关系讨论得到各量与 t 的关系． [解析]　设某时刻金属棒的速度为 v，根据牛顿第二定律 F－FA＝ma，即 F0＋kv－ B2l2v R＋r ＝ma，即 F0＋(k－B2l2 R＋r)v＝ma，如果 k> B2l2 R＋r，则加速度与速度成线性关系，且随着速度增 大，加速度越来越大，即金属棒运动的 v－t 图象的切线斜率也越来越大，由于 FA＝ B2l2v R＋r， FA－t 图象的切线斜率也越来越大，感应电流(i＝ Blv R＋r)、电阻两端的电压(UR＝BlRv R＋r)及感应 电流的功率(P＝B2l2v2 R＋r )也会随时间变化得越来越快，B 项正确；如果 k＝B2l2 R＋r，则金属棒做 匀加速直线运动，电动势随时间均匀增大，感应电流、电阻两端的电压、安培力均随时间均 匀增大，感应电流的功率与时间的二次方成正比，没有选项符合；如果 k< B2l2 R＋r，则金属棒 做加速度越来越小的加速运动，感应电流、电阻两端的电压、安培力均增加得越来越慢，最 后恒定，感应电流的功率最后也恒定，C 项正确． [答案]　BC 电磁感应图象问题的分析方法 (1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢(均 匀变化还是非均匀变化)，特别是物理量的正、负，排除错误的选项． (2)函数法：根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关 系对图象做出分析和判断．　 【跟进题组】 考向 1　“由因及果”类图象的选择 1.(多选)(2017·山西太原质检)在光滑水平桌面上有一边长为 l 的正方形线框 abcd，bc 边右侧有一等腰直角三角形匀强磁场区域 efg，三角形腰长为 l，磁感应强度竖直向下，a、b、e、f 在同一直线 上，其俯视图如图所示，线框从图示位置在水平拉力 F 作用下以 速度 v 向右匀速穿过磁场区，线框中感应电流 i－t 和 F－t 图象正确的是(以逆时针方向为电 流的正方向，以水平向右的拉力为正，时间单位为 l v)(　　) 解析：选 BD.从 bc 边开始进入磁场到线框完全进入磁场的过程中，当线框 bc 边进入磁 场位移为 x 时，线框 bc 边有效切割长度为 x，感应电动势为 E＝Bxv，感应电流 i＝ Bxv R ，根 据楞次定律判断出感应电流方向沿 a→b→c→d→a，为正值．同理，从 bc 开始出磁场到线 框完全出磁场的过程中，根据楞次定律判断出感应电流方向沿 a→d→c→b→a，为负值，线 框 ad 边有效切割长度逐渐变大，感应电流逐渐增大，根据数学知识知道 A 错误，B 正 确．在水平拉力 F 作用下向右匀速穿过磁场区，因此拉力大小等于安培力，而安培力的表 达式 F 安＝ B2L2v R ，而 L＝vt，则有 F 安＝ B2v3 R t2，因此 C 错误，D 正确． 考向 2　“由果索因”类图象的选择 2．(2017·河北唐山检测)如图甲所示，矩形导线框 abcd 固定在变化的磁场中，产生了如 图乙所示的电流(电流方向 abcda 为正方向)．若规定垂直纸面向里的方向为磁场正方向，能 够产生如图乙所示电流的磁场为(　　) 解析：选 D.由题图乙可知，0～t1 内，线圈中的电流的大小与方向都不变，根据法拉第 电磁感应定律可知，线圈中的磁通量的变化率相同，故 0～t1 内磁感应强度与时间的关系是 一条斜线，A、B 错．又由于 0～t1 时间内电流的方向为正，即沿 abcda 方向，由楞次定律 可知，电路中感应电流的磁场方向向里，故 0～t1 内原磁场方向向里减小或向外增大，因此 D 对，C 错． 考向 3　电磁感应电路与图象综合问题的求解 3．如图甲所示，在垂直于匀强磁场 B 的平面内，半径为 r 的金属圆盘绕过圆心 O 的轴 转动，圆心 O 和边缘 K 通过电刷与一个电路连接．电路中的 P 是加上一定正向电压才能导 通的电子元件．流过电流表的电流 I 与圆盘角速度 ω 的关系如图乙所示，其中 ab 段和 bc 段 均为直线，且 ab 段过坐标原点．ω>0 代表圆盘逆时针转动．已知：R＝3.0 Ω，B＝1.0 T， r＝0.2 m．忽略圆盘、电流表和导线的电阻． 　 (1)根据图乙写出 ab、bc 段对应的 I 与 ω 的关系式； (2)求出图乙中 b、c 两点对应的 P 两端的电压 Ub、Uc； (3)分别求出 ab、bc 段流过 P 的电流 IP 与其两端电压 UP 的关系式． 解析：(1)由题图乙可知，在 ab 段 I＝ ω 150 A(－45 rad/s≤ω≤15 rad/s) 在 bc 段 I＝( ω 100－0.05) A(15 rad/s<ω≤45 rad/s)． (2)由题意可知，P 两端的电压 UP 等于圆盘产生的电动势，UP＝1 2Br2ω b 点时 ωb＝15 rad/s，Ub＝ 1 2Br2ωb＝0.3 V c 点时 ωc＝45 rad/s，Uc＝ 1 2Br2ωc＝0.9 V. (3)由题图乙中电流变化规律可知电子元件 P 在 b 点时开始导通，则：在 ab 段 IP＝0(－0.9 V≤UP≤0.3 V) 在 bc 段 IP＝I－ UP R 而 I＝ ω 100－0.05，UP＝ 1 2Br2ω 联立可得 IP＝(UP 6 －0.05) A(0.3 Vab)，处于匀强磁场中．同种材料同样规格 的金属丝 MN 可与导线框保持良好的接触并做无摩擦滑动．当 MN 在 外力作用下从导线框左端向右匀速运动到右端的过程中，下列说法正确的是(　　) A．金属丝 MN 相当于电源，MN 间的外电路总电阻先减小后增大 B．金属丝 MN 相当于电源，MN 间的外电路总电阻先增大后减小 C．导线框消耗的电功率先减小后增大 D．导线框消耗的电功率先增大再减小，再增大再减小 解析：选 BD.金属丝 MN 在外力作用下从导线框的左端开始做切割磁感线的匀速运动， 所以产生的电动势为定值，E＝BLv0，整个电路的总电阻等于金属丝的电阻 r 与左右线框并 联电阻之和，当金属丝 MN 运动到线框中点时总电阻达到最大值，A 错，B 对．在金属丝 MN 运动过程中，设某一时刻线框的总电阻为 R，金属丝的电阻为 r，由于 ad>ab，则金属丝 MN 运动到线框中点时，R>r，亦即 R＝r 的位置在线框中点的左边，根据对称性，在线框中点 的右边也有 R＝r 的位置．所以在线框中点两边对称的位置导线框消耗的电功率最大．所以， 当 MN 从导线框左端向右运动到右端的过程中，导线框消耗的电功率先增大再减小，再增大 再减小，C 错，D 对． 3.(2015·高考安徽卷)如图所示，abcd 为水平放置的平行“ ” 形光滑金属导轨，间距为 l，导轨间有垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，导 轨电阻不计，已知金属杆 MN 倾斜放置，与导轨成 θ 角，单位长度的电阻为 r，保持金属杆 以速度 v 沿平行于 cd 的方向滑动(金属杆滑动过程中与导轨接触良好)．则(　　) A．电路中感应电动势的大小为 Blv sin θ B．电路中感应电流的大小为 Bvsin θ r C．金属杆所受安培力的大小为 B2lvsin θ r D．金属杆的热功率为 B2lv2 rsin θ 解析：选 B.金属杆的运动方向与金属杆不垂直，电路中感应电动势的大小为 E＝Blv(l 为切割磁感线的有效长度)，选项 A 错误；电路中感应电流的大小为 I＝ E R＝ Blv l sin θ r ＝ Bvsin θ r ，选项 B 正确；金属杆所受安培力的大小为 F＝BIl′＝B· Bvsin θ r · l sin θ＝ B2lv r ，选项 C 错误；金属杆的热功率为 P＝I2R＝ B2v2sin2θ r2 · lr sin θ＝ B2lv2sin θ r ，选项 D 错误． 4．(高考全国卷Ⅰ)如图甲，线圈 ab、cd 绕在同一软铁芯上，在 ab 线圈中通以变化的 电流，用示波器测得线圈 cd 间电压如图乙所示．已知线圈内部的磁场与流经线圈的电流成 正比，则下列描述线圈 ab 中电流随时间变化关系的图中，可能正确的是(　　) 解析：选 C.由题图乙可知在 cd 间不同时间段内产生的电压是恒定的，所以在该时间段 内线圈 ab 中的磁场是均匀变化的，则线圈 ab 中的电流是均匀变化的，故选项 A、B、D 错 误，选项 C 正确． 5．(2017·石家庄质检)如图甲所示，两根足够长的平行光滑金属导轨 MN、PQ 被固定在 水平面上，导轨间距 l＝0.6 m，两导轨的左端用导线连接电阻 R1 及理想电压表 V，电阻为 r ＝2 Ω的金属棒垂直于导轨静止在 AB 处；右端用导线连接电阻 R2，已知 R1＝2 Ω，R2＝1 Ω，导轨及导线电阻均不计．在矩形区域 CDFE 内有竖直向上的磁场，CE＝0.2 m，磁感应 强度随时间的变化规律如图乙所示．开始时电压表有示数，当电压表示数变为零后，对金属 棒施加一水平向右的恒力 F，使金属棒刚进入磁场区域时电压表的示数又变为原来的值，金 属棒在磁场区域内运动的过程中电压表的示数始终保持不变．求： (1)t＝0.1 s 时电压表的示数； (2)恒力 F 的大小； (3)从 t＝0 时刻到金属棒运动出磁场的过程中整个电路产生的热量． 解析：(1)设磁场宽度为 d＝CE，在 0～0.2 s 的时间内，有 E＝ ΔΦ Δt ＝ ΔB Δtld＝0.6 V 此时，R1 与金属棒并联后再与 R2 串联 R＝R 并＋R2＝1 Ω＋1 Ω＝2 Ω U＝ E RR 并＝0.3 V. (2)金属棒进入磁场后，R1 与 R2 并联后再与 r 串联，有 I′＝ U R1＋ U R2＝0.45 A FA＝BI′l＝1.00×0.45×0.6 N＝0.27 N 由于金属棒进入磁场后电压表的示数始终不变，所以金属棒做匀速运动，所以恒力 F 的大小 F＝FA＝0.27 N. (3)在 0～0.2 s 的时间内有 Q＝ E2 R t＝0.036 J 金属棒进入磁场后，有 R′＝ R1R2 R1＋R2＋r＝ 8 3 Ω E′＝I′R′＝1.2 V E′＝Blv，v＝2.0 m/s t′＝d v ＝ 0.2 2 s＝0.1 s Q′＝E′I′t′＝0.054 J Q 总＝Q＋Q′＝0.036 J＋0.054 J＝0.09 J. 答案：(1)0.3 V　(2)0.27 N　(3)0.09 J 一、单项选择题 1．如图甲所示，一个圆形线圈的匝数 n＝100，线圈面积 S＝200 cm2，线圈的电阻 r＝1 Ω，线圈外接一个阻值 R＝4 Ω的电阻，把线圈放入一方向垂直线圈平面向里的匀强磁场中， 磁感应强度随时间变化规律如图乙所示．下列说法中正确的是(　　) A．线圈中的感应电流方向为顺时针方向 B．电阻 R 两端的电压随时间均匀增大 C．线圈电阻 r 消耗的功率为 4×10－4 W D．前 4 s 内通过 R 的电荷量为 4×10－4 C 解析：选 C.由楞次定律，线圈中的感应电流方向为逆时针方向，选项 A 错误；由法拉 第电磁感应定律，产生的感应电动势恒定为 E＝ nSΔB Δt ＝0.1 V，电阻 R 两端的电压不随时间 变化，选项 B 错误；回路中电流 I＝ E R＋r＝0.02 A，线圈电阻 r 消耗的功率为 P＝I2r＝4×10 －4 W，选项 C 正确；前 4 s 内通过 R 的电荷量为 q＝It＝0.08 C，选项 D 错误． 2．(2015·高考山东卷)如图甲，R0 为定值电阻，两金属圆环固定在同一绝缘平面内．左 端连接在一周期为 T0 的正弦交流电源上，经二极管整流后，通过 R0 的电流 i 始终向左，其 大小按图乙所示规律变化．规定内圆环 a 端电势高于 b 端时，a、b 间的电压 uab 为正，下列 uab－t 图象可能正确的是(　　) 解析：选 C.圆环内磁场的变化周期为 0.5T0，则产生的感应电动势的变化周期也一定是 0.5T0，四个图象中，只有 C 的变化周期是 0.5T 0，根据排除法可知，C 正 确． 3.如图所示，PN 与 QM 两平行金属导轨相距 1 m，电阻不计，两端分别 接有电阻 R1 和 R2，且 R1＝6 Ω，ab 杆的电阻为 2 Ω，在导轨上可无摩擦 地滑动，垂直穿过导轨平面的匀强磁场的磁感应强度为 1 T．现 ab 以恒定速 度 v＝3 m/s 匀速向右移动，这时 ab 杆上消耗的电功率与 R1、R2 消耗的电功率之和相等．则 (　　) A．R2＝6 Ω B．R1 上消耗的电功率为 0.75 W C．a、b 间电压为 3 V D．拉 ab 杆水平向右的拉力为 0.75 N 解析：选 D.杆 ab 消耗的功率与 R1、R2 消耗的功率之和相等，则 R1·R2 R1＋R2＝Rab.解得 R2＝3 Ω，故 A 错；E＝Blv＝3 V，则 Iab＝ E R总＝0.75 A，Uab＝E－Iab·Rab＝1.5 V，PR1＝ U R1＝0.375 W，故 B、C 错；F 拉＝F 安＝BIab·l＝0.75 N，故 D 对． 4.(2017·广东六校联考)如图所示，△ABC 为等腰直角三角形，AB 边与 x 轴垂直，A 点坐标为(a，0)，C 点坐标为(0，a)，三角形区域内存 在垂直平面向里的磁场，磁感应强度 B 与横坐标 x 的变化关系满足 B＝ k x (k 为常量)，三角形区域的左侧有一单匝矩形线圈，线圈平面与纸面平行，线圈宽为 a，高为 2a，电阻为 R.若线圈以某一速度 v 匀速穿过磁场，整个运动过程中线圈不发生转动，则下 列说法正确的是(　　) A．线圈穿过磁场的过程中感应电流的大小逐渐增大 B．线圈穿过磁场的过程中产生的焦耳热为 Q＝ 4k2av R C．线圈穿过磁场的过程中通过导线截面的电荷量为零 D．穿过三角形区域的磁通量为 2ka 解析：选 D.线圈穿过磁场的过程中，感应电动势为 E＝BLv，根据欧姆定律可得感应电 流大小为 I＝E R，由几何关系知，切割边运动距离为 x 时，L＝2x，解得 I＝ 2kv R ，为定值，所 以 A 错误；产生的焦耳热为 Q＝I2Rt，而 t＝ 2a v ，解得 Q＝ 8k2av R ，所以 B 错误；因为 E＝ ΔΦ Δt ， 所以 q＝ ΔΦ R ＝IΔt＝ 2ka R ，解得ΔΦ＝2ka，所以穿过三角形区域的磁通量为 2ka，故 C 错 误、D 正确． 二、多项选择题 5.如图所示，CAD 是固定在水平面上的用一硬导线折成的 V 形框 架，∠A＝θ.在该空间存在磁感应强度为 B、方向竖直向下的匀强磁 场．框架上的 EF 是用同样的硬导线制成的导体棒，它在水平外力作用 下从 A 点开始沿垂直 EF 方向以速度 v 匀速水平向右平移．已知导体棒 和框架始终接触良好且构成等腰三角形回路，导线单位长度的电阻均为 R，框架和导体棒均 足够长．则下列描述回路中的电流 I 和消耗的电功率 P 随时间 t 变化的图象中正确的是(　　) 解析：选 AD.由几何知识可知，导体棒切割磁感线的有效长度为 L＝2vttan θ 2 ，回路的 总 电 阻 R 总 ＝ ( 1 sin θ 2 ＋ 1)·LR ， 感 应 电 动 势 E ＝ BLv ， 则 回 路 中 的 电 流 I ＝ Bv R（ 1 sin θ 2 ＋1） ，回路消耗的电功率 P＝EI＝ 2B2v3tan θ 2 R（ 1 sin θ 2 ＋1） t，故选项 A、D 正确，选项 B、C 错误． 6.如图所示，一金属棒 AC 在匀强磁场中绕平行于磁感应强度方向的轴 (过 O 点)匀速转动，OA＝2OC＝2L，磁感应强度大小为 B、方向垂直纸面向里， 金属棒转动的角速度为 ω、电阻为 r，内、外两金属圆环分别与 C、A 良好接 触并各引出一接线柱与外电阻 R 相接(没画出)，两金属环圆心皆为 O 且电阻均不计，则(　　) A．金属棒中有从 A 到 C 的感应电流 B．外电阻 R 中的电流为 I＝ 3BωL2 2（R＋r） C．当 r＝R 时，外电阻消耗功率最小 D．金属棒 AC 间电压为 3BωL2R 2（R＋r） 解析：选 BD.由右手定则可知金属棒相当于电源且 A 是电源的正极，即金属棒中有从 C 到 A 的感应电流，A 错；金属棒转动产生的感应电动势为 E＝ 1 2Bω(2L)2－ 1 2BωL2＝ 3BωL2 2 ， 即回路中电流为 I＝ 3BωL2 2（R＋r），B 对；由电源输出功率特点知，当内、外电阻相等时，外电 路消耗功率最大，C 错；UAC＝IR＝ 3BωL2R 2（R＋r），D 对． 7.(2017·江西新余模拟)如图所示，在坐标系 xOy 中，有边长为 L 的正方形金属线框 abcd，其一条对角线 ac 和 y 轴重合、顶点 a 位于 坐标原点 O 处．在 y 轴的右侧，在Ⅰ、Ⅳ象限内有一垂直纸面向里 的匀强磁场，磁场的上边界与线框的 ab 边刚好完全重合，左边界 与 y 轴重合，右边界与 y 轴平行．t＝0 时刻，线框以恒定的速度 v 沿 垂直于磁场上边界的方向穿过磁场区域．取沿 a→b→c→d→a 方向的感应电流为正，则在线 框穿过磁场区域的过程中，感应电流 i、ab 间的电势差 Uab 随时间 t 变化的图线是下图中的 (　　) 解析：选 AD.在 d 点运动到 O 点过程中，ab 边切割磁感线，根据右手定则可以确定线 框中电流方向为逆时针方向，即正方向，电动势均匀减小到 0，则电流均匀减小到 0；然后 cd 边开始切割磁感线，感应电流的方向为顺时针方向，即负方向，电动势均匀减小到 0，则电 流均匀减小到 0，故 A 正确、B 错误；d 点运动到 O 点过程中，ab 边切割磁感线，ab 相当 于电源，电流由 a 到 b，b 点的电势高于 a 点，ab 间的电势差 Uab 为负值，大小等于电流乘 以 bc、cd、da 三条边的电阻，并逐渐减小；ab 边出磁场后，cd 边开始切割磁感线，cd 边相 当于电源，电流由 b 到 a，ab 间的电势差 Uab 为负值，大小等于电流乘以 ab 边的电阻，并 逐渐减小，故 C 错误、D 正确． 8.如图所示，边长为 L、不可形变的正方形导线框内有半 径为 r 的圆形磁场区域，其磁感应强度 B 随时间 t 的变化关 系为 B＝kt(常量 k＞0)．回路中滑动变阻器 R 的最大阻值为 R0，滑 动片 P 位于滑动变阻器中央，定值电阻 R1＝R0、R2＝ R0 2 .闭合开 关 S，电压表的示数为 U，不考虑虚线 MN 右侧导体的感应电动势，则(　　) A．R2 两端的电压为U 7 B．电容器的 a 极板带正电 C．滑动变阻器 R 的热功率为电阻 R2 的 5 倍 D．正方形导线框中的感应电动势为 kL2 解析：选 AC.由法拉第电磁感应定律 E＝n ΔΦ Δt ＝n ΔB ΔtS 有 E＝kπr2，D 错误；因 k＞0， 由楞次定律知线框内感应电流沿逆时针方向，故电容器 b 极板带正电，B 错误；由题图知外 电路结构为 R2 与 R 的右半部并联，再与 R 的左半部、R 1 相串联，故 R 2 两端电压 U2＝ R0 2 · 1 2 R0＋R0 2 ＋R0 2 · 1 2 U＝ U 7，A 正确；设 R2 消耗的功率为 P＝IU2，则 R 消耗的功率 P′＝2I×2U2＋ IU2＝5P，故 C 正确． 三、非选择题 9.半径分别为 r 和 2r 的同心圆形导轨固定在同一水平面内，一长为 r， 质量为 m 且质量分布均匀的直导体棒 AB 置于圆导轨上面，BA 的延长线通 过圆导轨中心 O，装置的俯视图如图所示．整个装置位于一匀强磁场中，磁 感应强度的大小为 B，方向竖直向下．在内圆导轨的 C 点和外圆导轨的 D 点之间接有一阻 值为 R 的电阻(图中未画出)．直导体棒在水平外力作用下以角速度 ω 绕 O 逆时针匀速转动， 在转动过程中始终与导轨保持良好接触．设导体棒与导轨之间的动摩擦因数为 μ，导体棒和 导轨的电阻均可忽略．重力加速度大小为 g.求： (1)通过电阻 R 的感应电流的方向和大小； (2)外力的功率． 解析：(1)根据右手定则，得导体棒 AB 上的电流方向为 B→A，故电阻 R 上的电流方向 为 C→D. 设导体棒 AB 中点的速度为 v，则 v＝ vA＋vB 2 而 vA＝ωr，vB＝2ωr 根据法拉第电磁感应定律，导体棒 AB 上产生的感应电动势 E＝Brv 根据闭合电路欧姆定律得 I＝ E R， 联立以上各式解得通过电阻 R 的感应电流的大小为 I＝ 3Bωr2 2R . (2)根据能量守恒定律，外力的功率 P 等于安培力与摩擦力的功率之和，即 P＝BIrv＋Ffv， 而 Ff＝μmg 解得 P＝ 9B2ω2r4 4R ＋ 3μmgωr 2 . 答案：(1)C→D　 3Bωr2 2R 　(2) 9B2ω2r4 4R ＋ 3μmgωr 2 10．(2017·福州高三模拟)在一周期性变化的匀强磁场中有一圆形闭合线圈，线圈平面与 磁场垂直，如图甲所示，规定图中磁场方向为正．已知线圈的半径为 r、匝数为 N，总电阻 为 R，磁感应强度的最大值为 B0，变化周期为 T，磁感应强度按图乙所示规律变化．求： (1)在 0～ 1 6T 内线圈产生的感应电流 I1 的大小； (2)规定甲图中感应电流的方向为正方向，在图丙中画出一个周期内的 i－t 图象，已知 图中 I0＝ 3πr2NB0 RT ； (3)在一个周期 T 内线圈产生的电热 Q. 解析：(1)在 0～ 1 6T 内感应电动势 E1＝N ΔΦ1 Δt1 ， 磁通量的变化ΔΦ1＝B0πr2， 解得 E1＝ 6πNr2B0 T ， 线圈中感应电流大小 I1＝ E1 R ＝ 6πNr2B0 RT . (2) (3)在 0～1 6T 和 5 6T～T 两个时间段内产生的热量相同，有 Q1＝Q3＝I21R· 1 6T， 在 1 6T～ 5 6T 时间内产生的热量 Q2＝I22R· 4 6T， 一个周期内产生的总热量 Q＝Q1＋Q2＋Q3＝ 18（πNr2B0）2 RT . 答案：(1) 6πNr2B0 RT 　(2)见解析图　(3) 18（πNr2B0）2 RT 四、选做题 11．上海世博会某国家馆内，有一“发电”地板，利用游人走过此处，踩踏地板发 电．其原因是地板下有一发电装置，如图甲所示，装置的主要结构是一个截面半径为 r、匝 数为 n 的线圈，紧固在与地板相连的塑料圆筒 P 上．磁场的磁感线沿半径方向均匀分布， 图乙为横截面俯视图．轻质地板四角各连接有一个劲度系数为 k 的复位弹簧(图中只画出其 中的两个)．当地板上下往返运动时，便能发电．若线圈所在位置磁感应强度大小为 B，线 圈的总电阻为 R0，现用它向一个电阻为 R 的小灯泡供电．为了便于研究，将某人走过时地 板发生的位移—时间变化的规律简化为图丙所示．(取地板初始位置 x＝0，竖直向下为位移 的正方向，且弹簧始终处在弹性限度内．) (1)取图乙中逆时针方向为电流正方向，请在图丁所示坐标系中画出线圈中感应电流 i 随 时间 t 变化的图线，并标明相应纵坐标．要求写出相关的计算和判断过程； (2)t＝t0 2时地板受到的压力； (3)求人踩踏一次地板所做的功． 解析：(1)0～t0 时间，地板向下做匀速运动， 其速度 v＝ x0 t0， 线圈切割磁感线产生的感应电动势 e＝nB·2πrv＝ 2nBπrx0 t0 ， 感应电流 i＝ e R＋R0＝ 2nBπrx0 （R＋R0）t0； t0～2t0 时间，地板向上做匀速运动， 其速度 v＝ x0 t0， 线圈切割磁感线产生的感应电动势 e＝－nB·2πrv＝－ 2nBπrx0 t0 ， 感应电流 i＝ e R＋R0＝－ 2nBπrx0 （R＋R0）t0； 图线如图所示． (2)t＝ t0 2 时，地板向下运动的位移为x0 2，弹簧弹力为 kx0 2 ，安培力 F 安＝nBi·2πr＝2nBiπ r，由平衡条件可知，地板受到的压力 F＝2kx0＋ 4n2B2π2r2x0 （R＋R0）t0. (3)由功能关系可得人踩踏一次地板所做的功 W＝2i2(R＋R0)t0＝ 8n2B2π2r2x （R＋R0）t0. 答案：(1)见解析图　(2)2kx0＋ 4n2B2π2r2x0 （R＋R0）t0　(3) 8n2B2π2r2x （R＋R0）t0