2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题12数列的综合问题教学案理（含解析）

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题12数列的综合问题教学案理（含解析）

1 数列的综合问题 【2019 年高考考纲解读】 1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式. 2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围. 3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力． 【重点、难点剖析】 一、利用 Sn，an 的关系式求 an 1．数列{an}中，an 与 Sn 的关系 an＝Error! 2．求数列通项的常用方法 (1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式． (2)在已知数列{an}中，满足 an＋1－an＝f(n)，且 f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项 an. (3)在已知数列{an}中，满足 an＋1 an ＝f(n)，且 f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项 an. (4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)． 二、数列与函数、不等式的综合问题 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出 Sn 的 表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条 件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问 题． 三、数列的实际应用 用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还 是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求 和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问 题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果． 【高考题型示例】 题型一、 利用 Sn，an 的关系式求 an 例 1、已知等差数列{an}中，a2＝2， a3＋a5＝8，数列{ bn}中，b1＝2，其前 n 项和 Sn 满足：bn＋1 ＝Sn＋ 2(n∈N*)． 2 (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设 cn＝ an bn，求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 解　(1)∵a2＝2，a3＋a5＝8， ∴2＋d＋2＋3d＝8，∴d＝1，∴an＝n(n∈N*)． ∵bn＋1＝Sn＋2(n∈N*)，① ∴bn＝Sn－1＋2(n∈N*，n≥2)．② 由①－②，得 bn＋1－bn＝Sn－Sn－1＝bn(n∈N*，n≥2)， ∴bn＋1＝2bn(n∈N*，n≥2)． ∵b1＝2，b2＝2b1， ∴{bn}是首项为 2，公比为 2 的等比数列， ∴bn＝2n(n∈N*)． 【感悟提升】给出 Sn 与 an 的递推关系，求 an，常用思路：一是利用 Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为 an 的递推关 系，再求其通项公式；二是转化为 Sn 的递推关系，先求出 Sn 与 n 之间的关系，再求 an. 【变式探究】已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：a1an＝S1＋Sn. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 an>0，数列{log2 an 32}的前 n 项和为 Tn，试问当 n 为何值时，Tn 最小？并求出最小值． 解　(1)由已知 a1an＝S1＋Sn，① 可得当 n＝1 时，a21＝a1＋a1，解得 a1＝0 或 a1＝2， 当 n≥2 时，由已知可得 a1an－1＝S1＋Sn－1，② ①－②得 a1(an－an－1)＝an. 若 a1＝0，则 an＝0，此时数列{an}的通项公式为 an＝0. 3 若 a1＝2，则 2(an－an－1)＝an，化简得 an＝2an－1， 即此时数列{an}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， 故 an＝2n(n∈N*)． 综上所述 ，数列{an}的通项公式为 an＝0 或 an＝2n. (2)因为 an>0，故 an＝2n. 设 bn＝log2 an 32，则 bn＝n－5，显然{bn}是等差数列， 由 n－5≥0，解得 n≥5，所以当 n＝4 或 n＝5 时，Tn 最小， 最小值为 T4＝T5＝ 5(－4＋0) 2 ＝－10. 题型二　数列与函数、不等式的综合问题 例 2、已知函数 f(x)＝ln(1＋x)－ x1＋λx 1＋x . (1)若 x≥0 时，f(x)≤0，求 λ 的最小值； (2)设数列{an}的通项 an＝1＋ 1 2＋ 1 3＋…＋ 1 n，证明：a2n－an＋ 1 4n>ln 2. ③若 λ≥ 1 2， 则当 x>0 时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当 x≥0 时，f(x)≤f(0)＝0，符合题意． 综上，λ≥ 1 2. ∴实数 λ 的最小值为 1 2. 4 (2)证明　由于 a2n－an＋ 1 4n＝ 1 n＋1＋ 1 n＋2＋ 1 n＋3＋…＋ 1 2n－1＋ 1 2n＋ 1 4n， 若 λ＝ 1 2，由(1)知，f(x)＝ln(1＋x)－ x2＋x 2＋2x ， 且当 x>0 时，f(x)<0， 即 x2＋x 2＋2x >ln(1＋x)， 令 x＝ 1 n，则 2n＋1 2nn＋1>ln n＋1 n ， ∴ 1 2n＋ 1 2n＋1>ln n＋1 n ， 1 2n＋1＋ 1 2n＋2>ln n＋2 n＋1， 1 2n＋2＋ 1 2n＋3>ln n＋3 n＋2， …， 1 22n－1＋ 1 4n>ln 2n 2n－1. 以上各式两边分别相加可得 1 2n＋ 1 2n＋1＋ 1 2n＋1＋ 1 2n＋2＋ 1 2n＋2＋ 1 2n＋3＋…＋ 1 22n－1＋ 1 4n >ln n＋1 n ＋ln n＋2 n＋1＋ln n＋3 n＋2＋…＋ln 2n 2n－1， 即 1 n＋1＋ 1 n＋2＋ 1 n＋3＋…＋ 1 2n－1＋ 1 2n＋ 1 4n >ln n＋1 n · n＋2 n＋1· n＋3 n＋2·…· 2n 2n－1＝ln 2n n ＝ln 2， ∴a2n－an＋ 1 4n>ln 2. 【感悟提升】解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点 (1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视． (2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件． (3)不等关系证明中进行适当的放缩． 【变式探究】已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N*)，满足 S4＝2a4－1，S3＝2a3－1. (1)求{an}的通项公式； (2)记 bn＝log2(an·an＋1)(n∈N*)，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求证： 1 T1＋ 1 T2＋…＋ 1 Tn<2. (1)解　设{an}的公比为 q， 由 S4－S3＝a4，S4 ＝2a4－1 得， 5 2a4－2a3＝a4， 所以 a4 a3＝2，所以 q＝2.又因为 S3＝2a3－1， 所以 a1＋2a1＋4a1＝8a1－1，所以 a1＝1， 所以 an＝2n－1(n∈N*)． (2)证明　由(1)知 bn＝log2(an＋1·an) ＝log2(2n×2n－1)＝2n－1， 所以 Tn＝ 1＋2n－1 2 n＝n2， 所以 1 T1＋ 1 T2＋…＋ 1 Tn＝ 1 12＋ 1 22＋…＋ 1 n2<1＋ 1 1 × 2＋ 1 2 × 3＋…＋ 1 n－1n ＝1＋1－ 1 2＋ 1 2－ 1 3＋…＋ 1 n－1－ 1 n ＝2－ 1 n<2. 题型三　数列的实际应用 例 3、科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环 境部门对 A 市每年的碳排放总量规定不能超过 550 万吨，否则将采取紧急限排措施．已知 A 市 2017 年的碳 排放总量为 400 万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施 ，此后每年的碳排放总量比上一年的碳排放总 量减少 10%.同时，因经济发展和人口增 加等因素，每年又新增加碳排放量 m 万吨(m>0)． (1)求 A 市 2019 年的碳排放总量(用含 m 的式子表示)； (2)若 A 市永远不需要采取紧急限排措施，求 m 的取值范围． 解　设 2018 年的碳排放总量为 a1,2019 年的碳排放总量为 a2，…， (1)由已知，a1＝400×0.9＋m， a2＝0.9×(400 × 0.9＋m)＋m ＝400×0.92＋ 0.9m＋m＝324＋1.9m. (2)a3＝0.9×(400 × 0.92＋0.9m＋m)＋m ＝400×0.93＋0.92m＋0.9m＋m， …， an＝400×0.9n＋0.9n－1m＋0.9n－2m＋…＋0.9m＋m ＝400×0.9n＋m 1－0.9n 1－0.9 ＝400×0.9n＋10m(1－0.9n) ＝(400－10m)×0.9n＋10m. 由已知∀n∈N*，an≤550， 6 (1)当 400－10m＝0，即 m＝40 时，显然满足题意； (2)当 400－10m>0，即 m<40 时， 由指数函数的性质可得(400－10m)×0.9＋10m≤550，解得 m≤190. 综合得 m<40； (3)当 400－10m<0，即 m>40 时， 由指数函数的性质可得 10m≤550， 解得 m≤55，综合得 400 ， 故当 n≥4 时，f(n)递增． 又 f(1)＝－ 15 2 <0， f(7)＝(3 2 )7－21≈17－21 ＝－4<0， f(8)＝(3 2 )8－23≈25－23＝2>0. ∴该项目将从第 8 年开始并持续赢利． 答：该项目将从 2023 年开始并持续赢利． 方法二　设 f(x)＝(3 2 )x－2x－7(x≥1)， 则 f′(x)＝(3 2 )xln 3 2－2，令 f′(x)＝0， 得 (3 2 )x＝ 2 ln 3 2 ＝ 2 ln 3－ln 2≈ 2 1.1－0.7＝5， ∴x≈4. 从而当 x∈[1,4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当 x∈(4，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 又 f(1)＝ － 15 2 <0， f(7)＝(3 2 )7－21≈17－21＝－4<0， f(8)＝(3 2 )8－23≈25－23＝2>0. ∴该项目将从第 8 年开始并持续赢利． 答：该项目将从 2023 年开始并持续赢利． 8 题型四　与数列相关的综合问题 例 4、设 f(x)＝ 1 2x2＋2x，f′(x)是 y＝f(x)的导函数，若数列{an}满足 an＋1＝f′(an)，且首项 a1＝1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)数列{an}的前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}中，b1＝a1，b2＝a2，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，请写出适合条 件 Tn≤Sn 的所有 n 的值. 解　(1)由 f(x)＝ 1 2x2＋2x，得 f′(x)＝x＋2. ∵an＋1＝f′(an)，且 a1＝1. ∴an＋1＝an＋2 则 an＋1－an＝2， 因此数列{an}是公差为 2，首项为 1 的等差数列. ∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)数列{an}的前 n 项和 Sn＝ n（1＋2n－1） 2 ＝n2， 等比数列{bn}中，b1＝a1＝1，b2＝a2＝3，∴q＝3. ∴bn＝3n－1. ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn＝ 1－3n 1－3 ＝ 3n－1 3－1 ＝ 3n－1 2 . Tn≤Sn 可化为 3n－1 2 ≤n2. 又 n∈N*，∴n＝1，或 n＝2 故适合条件 Tn≤Sn 的所有 n 的值为 1 和 2. 【感悟提升】1.求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数 集(或 它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意 限制条件. 2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单 调性处理. 【变式探究】设数列{an}(n＝1，2，3，…)的前 n 项和 Sn 满足 Sn＝2an－a1，且 a1，a2＋1，a3 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记数列{ 1 an }的前 n 项和为 Tn，求使得|Tn－1|< 1 1 000成立的 n 的最小值. 解　(1)由已知 S n＝2an－a1， 有 an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即 an＝2an－1(n≥2). 从而 a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1. 9 又因为 a1，a2＋1，a3 成等差数列，即 a1＋a3＝2(a2＋1)， 所以 a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得 a1＝2， 所以数列{an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 故 an＝2n.