2021届高考物理一轮复习5第1讲功和功率练习含解析
第1讲 功和功率
考点一 功和恒力做功
对功的理解
【典例1】(2017·全国卷Ⅱ)如图，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环，小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力 ( )
A.一直不做功 B.一直做正功
C.始终指向大圆环圆心 D.始终背离大圆环圆心
【解析】选A。因为大圆环对小环的作用力始终与速度垂直不做功，因此A正确、B错误； 从静止开始在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力先背离大圆环圆心，后指向大圆环圆心，故C、D项错误。
恒力做功
【典例2】(多选)质量为m=2 kg的物体沿水平面向右做直线运动，t=0时刻受到一个水平向左的恒力F，如图甲所示，取水平向右为正方向，此物体的v-t图象如图乙所示，g取10 m/s2，则 ( )
A.物体与水平面间的动摩擦因数μ=0.5
B.10 s内恒力F对物体做功102 J
C.10 s末物体在计时起点位置左侧2 m处
D.10 s内物体克服摩擦力做功34 J
【解析】选C、D。设物体向右做匀减速直线运动的加速度为a1，则由v-t图象得加速度大小a1=2 m/s2，方向与初速度方向相反，设物体向左做匀加速直线运动的加速度为a2，则由v-t
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图象得加速度大小a2=1 m/s2，方向与初速度方向相反，根据牛顿第二定律得，F+μmg=ma1，F-μmg=ma2，解得F=3 N，μ=0.05，故A错误；根据v-t图象与横轴所围成的面积表示位移得，x=×4×8 m-×6×
6 m=-2 m，负号表示物体在起点的左侧，则10 s内恒力F对物体做功W=Fx=3×
2 J=6 J，故B错误，C正确；10 s内物体克服摩擦力做功Wf=Ffs=0.05×20
×(×4×8+×6×6) J=34 J，故D正确。
【多维训练】(2019·长沙模拟)一物块放在水平地面上，受到水平推力F的作用，力F与时间t的关系如图甲所示，物块的运动速度v与时间t的关系如图乙所示。10 s后的v-t图象没有画出，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是 ( )
A.物块滑动时受到的摩擦力大小是6 N
B.物块的质量为1 kg
C.物块在0～10 s内克服摩擦力做功为50 J
D.物块在10～15 s内的位移为6.25 m
【解析】选D。由题图乙可知，在5～10 s内物块做匀速运动，故受到的摩擦力与水平推力相等，故摩擦力f=F′=4 N，故A错误；在0～5 s内物块的加速度为a== m/s2=1 m/s2，根据牛顿第二定律可得F-f=ma，解得m=2 kg，故B错误；在0～10 s内物块通过的位移为x=×(5+10)×5 m=37.5 m，故克服摩擦力做功为Wf=fx=4×37.5 J=150 J，故C错误；撤去外力后物块的加速度为a′=
=-2 m/s2，减速到零所需时间为t′= s=2.5 s<5 s，减速到零通过的位移为x′=
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= m=6.25 m，故D正确。
1.功的正负判断方法：
(1)恒力做功的判断：依据力与位移方向的夹角来判断。
(2)曲线运动中功的判断：依据F与v的方向夹角α来判断。0°≤α<90°时，力对物体做正功；90°<α≤180°时，力对物体做负功；α=90°时，力对物体不做功。
(3)依据能量变化来判断：功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断。
2.恒力做功的计算方法：
3.总功的计算方法：
方法一：先求合力F合，再用W总=F合lcosα求功，此法要求F合为恒力。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W总=W1+W2+W3+…求总功，注意代入“+”“-”再求和。
【加固训练】
1.(2019·南京模拟)如图所示，木板质量为M，长度为L，小木块(可视为质点)的质量为m，水平地面光滑，一根不计质量的轻绳通过定滑轮分别与M和m连接，小木块与木板间的动摩擦因数为μ，开始时木块静止在木板左端，现用水平向右的力将m拉至木板右端，拉力至少做功为 ( )
A. B.2μmgL
C.μmgL D.μ(M+m)gL
【解析】选C。若使拉力F做功最少，在拉力F作用下使小木块m和木板M恰好做匀速直线运动，对小木块m和木板进行受力分析得出拉力F=2μmg(此时绳子上的拉力等于μmg)，
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而拉力F发生的位移为，所以由功的公式可得W=Fs=2μmg×=μmgL，选项C正确。
2.(多选)水平长直轨道上紧靠放置n个质量为m可看作质点的物块，物块间用长为l的细线连接，开始处于静止状态，轨道动摩擦因数为μ。用水平恒力F拉动1开始运动，到连接第n个物块的线刚好拉直时整体速度正好为零，
则 ( )
A.拉力F所做功为nFl
B.系统克服摩擦力做功为
C.F>
D.(n-1)μmg
，故C正确，D错误。
考点二 变力做功
微元法求变力的功
【典例3】如图所示，某人用力F转动半径为R的磨盘，力F的大小不变，且方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则在转动一周过程中力F做的功为( )
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A.0 B.2πRF C.RF D.-2πRF
【解析】选B。在转动转盘一周过程中，力F的方向时刻变化，但每一瞬时力F总是与该瞬时的速度同向(切线方向)，即每一瞬时转盘转过的极小位移Δx1、Δx2、Δx3……都与当时的F方向同向，因而在转动一周过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即W=(FΔx1+FΔx2+FΔx3+FΔx4+…+FΔxn)=F(Δx1+Δx2+Δx3+Δx4+…+Δxn)=2πFR，选项B正确。
平均力法求变力的功
【典例4】用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为 ( )
A.(-1)d B.(-1)d
C. D.d
【解析】选B。铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功。由于阻力与深度成正比，可用阻力的平均值求功，据题意可得W=d=d
W=d′=d′
联立解得d′=(-1)d，故选B。
图象法求变力的功
【典例5】轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m=0.5 kg的物块相连，如图甲所示，弹簧处于原长状态，物块静止，物块与水平面间的动摩擦因数μ=0.2。以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴，现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示，物块运动至x=0.4 m处时速度为零，则此过程物块克服弹簧弹力做的功为(g取10 m/s2) ( )
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A.3.1 J B.3.5 J C.1.8 J D.2.0 J
【通型通法】
1.题型特征：外力F和弹簧的弹力为变力，已知F随位移变化的图象。
2.思维导引：
(1)分析物块的受力情况和做功情况。
(2)图象与横轴围成的面积表示外力F做的功。
(3)由动能定理求物块克服弹簧弹力做的功。
【解析】选A。物块与水平面间的摩擦力为Ff=μmg=1 N，现对物块施加水平向右的外力F，由F-x图象面积表示功可知，物块运动至x=0.4 m处时F做功W=
3.5 J，克服摩擦力做功Wf=Ffx=0.4 J，由动能定理得W-Wf-W弹=0-0，解得W弹=
3.1 J，故A正确，B、C、D错误。
【多维训练】(2020·邵阳模拟)静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动(如图甲所示)，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆。则小物块运动到x0处时的动能
为 ( )
A.0 B.Fmx0 C.Fmx0 D.
【解析】选C。由于W=Fx，所以F-x图象与x轴所夹的面积表示功，由图象知半圆形的面积为Fmx0。选项中C正确。
变力做功方法与选用
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方法
以例说法
应用动
能定理
用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有：WF-mgL(1-cosθ)=0，得WF=mgL(1-cosθ)
微元法
质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf=f·Δx1+f·Δx2+f·Δx3+…=f(Δx1+Δx2+Δx3+…)=f·2πR
等效转
换法
恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W=F·
平均
力法
弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做功W=·(x2-x1)
图象法
一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W=x0
【加固训练】
如图所示，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高，质量为m
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的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功 ( )
A.mgR B.mgR
C.mgR D.mgR
【解析】选C。在Q点由牛顿第二定律得FN-mg=m，FN=2mg，联立解得v=，下滑过程中，根据动能定理得mgR-Wf=mv2，解得Wf=mgR，所以克服摩擦力做功mgR，故C正确，A、B、D错误。
考点三 功率
功率的计算
【典例6】(多选)(2018·全国卷Ⅲ) 地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送到地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同：两次提升的高度相同，提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程 ( )
A.矿车上升所用的时间之比为4∶5
B.电机的最大牵引力之比为2∶1
C.电机输出的最大功率之比为2∶1
D.电机所做的功之比为4∶5
【通型通法】
1.题型特征：图象分析+功率计算。
2.思维导引：
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运动情况→分析受力→选用方法→解决问题
【解析】选A、C。由图象可知图线①过程所用时间为2t0，由于两次提升的高度相同，图线①②与x轴围成的面积相等可知图线②过程所用时间为2.5t0，因此矿车上升所用时间之比为4∶5，A对；由于它们的变速阶段加速度大小相同，电机的最大牵引力相等，B错；由Pm=Fv可知，F最大，v最大时，P最大，F相等，vm之比为2∶1，所以最大功率之比为2∶1，C对；电机做功W提供矿石的重力势能和动能，据动能定理W-mgh=ΔEk，由于提升高度相同，ΔEk=0，所以做功相等，D错，故选A、C。
机车启动模型
模型1 匀加速启动
【典例7】一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的功率达到最大值P，之后起重机保持该功率不变，继续提升重物，最后重物以最大速度v2匀速上升，不计钢绳重力。则整个过程中，下列说法正确的是 ( )
A.钢绳的最大拉力为
B.重物匀加速过程的时间为
C.重物匀加速过程的加速度为
D.速度由v1增大至v2的过程中，重物的平均速度<
【解析】选B。匀加速过程物体处于超重状态，钢绳拉力较大，匀加速运动阶段钢绳的拉力为F=，故A错误；根据牛顿第二定律可知F-mg=ma，结合v=at解得a=-g，t=，故B正确，C错误；在速度由v1增大至v2的过程中，做加速度减小的变加速运动，平均速度>，故D错误。
模型2 恒定功率启动
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【典例8】一质量为m的电动汽车在平直公路上以恒定的功率加速行驶，当速
度大小为v时，其加速度大小为a，设汽车所受的阻力恒为Ff。以下说法正确的
是( )
A.汽车的功率为Ffv
B.当汽车的速度增加到2v时，加速度为
C.汽车行驶的最大速率为(1+)v
D.当汽车的速度为v时，行驶的距离为
【解析】选C。设汽车的额定功率为P，汽车的速度为v时，根据牛顿第二定律得-Ff=ma，解得 P=(Ff+ma)v，故A错误；加速度为时，此时牵引力为F，则 F-Ff=m·，解得F=Ff+m·，此时速度为 v′==v+v<2v，故B错误；汽车匀速运动时，牵引力等于阻力，速率最大，故有 vm==(1+)v，故C正确；因为该汽车以恒定功率行驶，做加速度减小的变加速运动，无法算出其行驶的距离，故D错误。
1.求功率的基本思路：
2.机车启动问题：
恒定
功率
启动
动态
过程
12
P-t
图象
和v-t图象
恒定
加速
度启
动
动态
过程
P-t
图象
和v-t图象
三个
重要
关系
式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都为vm= 。
(2)机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后功率最大，速度不是最大，即v=
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