高中物理第2章研究圆周运动2_3圆周运动的案例分析教学案
圆周运动的案例分析
[学习目标] 1.通过向心力的实例分析，体会匀速圆周运动在生活、生产中的应用.2.能应用
向心力和向心加速度公式分析过山车问题和火车转弯问题.3.熟练掌握应用牛顿第二定律和
向心力知识分析两类竖直面内圆周运动模型的步骤和方法.
一、过山车问题
1.向心力：过山车到轨道顶部 A 时，如图 1 所示，人与车作为一个整体，所受到的向心力是
重力 mg 跟轨道对车的弹力 N 的合力，即 F 向＝N＋mg.如图所示，过山车在最低点 B，向心力 F
向＝N1－mg.
图 1
2.临界速度：
当 N＝0 时，过山车通过圆形轨道顶部时的速度最小，v 临界＝ gR.
(1)v＝v 临界时，重力恰好等于过山车做圆周运动的向心力，车不会脱离轨道.
(2)v
v 临界时，弹力和重力的合力提供向心力，车子不会掉下来.
二、运动物体的转弯问题
1.自行车在水平路面转弯，地面对车的作用力与重力的合力提供转弯所需的向心力.
2.汽车在水平路面转弯，所受静摩擦力提供转弯所需的向心力.
3.火车转弯时外轨高于内轨，如图 2 所示，向心力由支持力和重力的合力提供.
图 2
[即学即用]
1.判断下列说法的正误.
(1)汽车在水平路面上正常转弯时所需要的向心力是滑动摩擦力提供的.(×)
(2)火车转弯时，内、外轨道一样高.(×)
(3)若铁路弯道的内外轨一样高，火车通过弯道时向心力的来源是外轨的水平弹力，所以外轨
容易磨损.(√)
(4)汽车行驶至凸形桥顶部时，对桥面的压力等于车重.(×)
(5)汽车行驶至凹形桥底部时，对桥面的压力大于车重.(√)
(6)绕地球做匀速圆周运动的航天器中的宇航员处于完全失重状态，故不再具有重力.(×)
2.飞机由俯冲转为拉起的一段轨迹可看成一段圆弧，如图 3 所示，飞机做俯冲拉起运动时，
在最低点附近做半径为 r＝180 m 的圆周运动，如果飞行员质量 m＝70 kg，飞机经过最低点 P
时的速度 v＝360 km/h，则这时飞行员对座椅的压力是________.(g 取 10 m/s2)
图 3
答案 4 589 N
解析 飞机经过最低点时，v＝360 km/h＝100 m/s.
对飞行员进行受力分析，飞行员在竖直面内共受到重力 G 和座椅的支持力 N 两个力的作用，
根据牛顿第二定律得 N－mg＝mv2
r
，所以 N＝mg＋mv2
r
＝70×10 N＋70×1002
180
N≈4 589 N，由牛
顿第三定律得，飞行员对座椅的压力为 4 589 N.
一、分析游乐场中的圆周运动
[导学探究] 如图 4 所示，过山车能从高高的圆形轨道顶部轰然而过，车却不掉下来，这是
为什么呢？是因为过山车的车轮镶嵌在轨道的槽内、人被安全带固定的原因吗？
图 4
答案 当过山车在最高点的速度大于 gR时，重力和轨道对车向下的弹力提供向心力，所以
车不会掉下来，与其它因素无关.
[知识深化]
竖直平面内的“绳杆模型”的临界问题
1.轻绳模型(如图 5 所示)
图 5
(1)绳(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力(或压力).
(2)在最高点的动力学方程 T＋mg＝mv2
R
.
(3)在最高点的临界条件 T＝0，此时 mg＝mv2
R
，则 v＝ gR.
①v＝ gR时，拉力或压力为零.
②v> gR时，小球受向下的拉力或压力.
③v< gR时，小球不能到达最高点.
即轻绳的临界速度为 v 临界＝ gR.
2.轻杆模型(如图 6 所示)
图 6
(1)杆(双轨道)施力特点：既能施加向下的拉力(或压力)，也能施加向上的支持力.
(2)在最高点的动力学方程
当 v＞ gR时，N＋mg＝mv2
R
，杆对球有向下的拉力，且随 v 增大而增大.
当 v＝ gR时，mg＝mv2
R
，杆对球无作用力.
当 v＜ gR时，mg－N＝mv2
R
，杆对球有向上的支持力.
当 v＝0 时，mg＝N，球恰好能到达最高点.
(3)杆类的临界速度为 v 临界＝0.
例 1 公园里的过山车驶过最高点时，乘客在座椅里面头朝下.若轨道半径为 R，人的质量为
m.
(1)若过山车安全通过最高点，必须至少具备多大的速度？
(2)若过最高点时人对座椅的压力为 2mg，则过山车在最高点时的速度是多大？
答案 (1) gR (2) 3gR
解析 (1)人恰好通过最高点时，座椅对人的压力为零.人只有重力提供向心力，根据牛顿第
二定律.mg＝mv 2
1
R
得：v1＝ gR，即为安全通过最高点的最小速度
(2)若人对座椅的压力 N′＝2mg，在最高点人受座椅向下的弹力和重力，两个力的合力提供
向心力，有：
mg＋N＝mv 2
2
R
得：v2＝ 3gR
例 2 如图 7 所示，质量为 m 的小球固定在长为 l 的细轻杆的一端，绕轻杆的另一端 O 在竖
直平面内做圆周运动.球转到最高点时，线速度的大小为 gl
2
，此时( )
图 7
A.杆受到 1
2
mg 的拉力 B.杆受到 1
2
mg 的压力
C.杆受到 3
2
mg 的拉力 D.杆受到 3
2
mg 的压力
答案 B
解析 以小球为研究对象，小球受重力和沿杆方向杆的弹力，设小球所受弹力方向竖直向下，
则 N＋mg＝mv2
l
，将 v＝ gl
2
代入上式得 N＝－1
2
mg，即小球在 A 点受杆的弹力方向向上，大
小为 1
2
mg，由牛顿第三定律知杆受到 1
2
mg 的压力.
二、研究运动物体转弯时的向心力
[导学探究] 设火车转弯时的运动为匀速圆周运动.
(1)如果铁路弯道的内外轨一样高，火车在转弯时的向心力由什么力提供？会导致怎样的后
果？
(2)实际上在铁路的弯道处外轨略高于内轨，试从向心力的来源分析这样做有怎样的优点.
(3)当轨道平面与水平面之间的夹角为α，转弯半径为 R 时，火车行驶速度多大轨道才不受挤
压？
(4)当火车行驶速度 v>v0＝ gRtan α时，轮缘受哪个轨道的压力？当火车行驶速度 vv0＝ gRtan α时，重力和支持力的合力提供的向心力不足，此时外侧
轨道对轮缘有向里的侧向压力；当火车行驶速度 vv0 时，F 向>F，即所需向心力大于支持力和重力的合力，这时外轨对车轮有侧压力，以
弥补向心力不足的部分.
③当 v 2g
D
C.栗子脱离滚筒的位置与其质量有关
D.若栗子到达最高点时脱离滚筒，栗子将自由下落
答案 A
解析 栗子在最高点恰好不脱离时有：mg＝m×D
2
ω2，解得ω＝ 2g
D
，要求栗子到达滚筒最
高处前与筒壁脱离，则ω< 2g
D
，故 A 正确，B 错误.栗子脱离滚筒的位置与其质量无关，故
C 错误.若栗子到达最高点时脱离滚筒，由于栗子的速度不为零，所以栗子的运动不是自由落
体运动，故 D 错误.故选 A.
课时作业
一、选择题(1～6 题为单选题，7～10 题为多选题)
1.长为 L 的细绳，一端系一质量为 m 的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再
给小球一水平初速度 v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点.则下列说法
中正确的是( )
A.小球过最高点时速度为零
B.小球开始运动时绳对小球的拉力为 mv 2
0
L
C.小球过最高点时绳对小球的拉力为 mg
D.小球过最高点时速度大小为 gL
答案 D
解析 小球刚好过最高点时，拉力 T＝0，则 mg＝mv2
L
，得 v＝ gL，故 A、C 错误，D 正确；开
始时小球受到的拉力与重力的合力提供向心力，所以：T－mg＝mv 2
0
L
，所以 T＝mg＋mv 2
0
L
，故 B
项错误，故选 D.
2.如图 1 所示，质量相等的汽车甲和汽车乙，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，
汽车甲在汽车乙的外侧.两车沿半径方向受到的摩擦力分别为 f 甲和 f 乙.以下说法正确的是
( )
图 1
甲小于 f 乙
甲等于 f 乙
甲大于 f 乙
甲和 f 乙的大小均与汽车速率无关
答案 A
解析 汽车在水平面内做匀速圆周运动，摩擦力提供做匀速圆周运动的向心力，即 f＝F 向心
＝mv2
r
，由于 r 甲＞r 乙，则 f 甲＜f 乙，A 正确.
3.如图 2 所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，
若轨道半径为 R，人体重为 mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，
则过山车在最高点时的速度大小为( )
图 2
错误! 错误! 错误!
答案 C
解析 由题意知 F＋mg＝2mg＝mv2
R
，故速度大小 v＝ 2gR，C 正确.
4.在铁路转弯处，往往外轨略高于内轨，关于这点下列说法不正确的是( )
A.减轻火车轮子对外轨的挤压
B.减轻火车轮子对内轨的挤压
C.使火车车身倾斜，利用重力和支持力的合力提供转弯所需向心力
D.限制火车向外脱轨
答案 B
5.长度为 1 m 的轻杆 OA 的 A 端有一质量为 2 kg 的小球，以 O 点为圆心，在竖直平面内做圆
周运动，如图 3 所示，小球通过最高点时的速度为 3 m/s，g 取 10 m/s2，则此时小球将( )
图 3
A.受到 18 N 拉力 B.受到 38 N 的支持力
C.受到 2 N 的拉力 D.受到 2 N 的支持力
答案 D
解析 设此时轻杆拉力大小为 F，根据向心力公式有 F＋mg＝mv2
r
，代入数值可得 F＝－2 N，
表示小球受到 2 N 的支持力，选项 D 正确.
6.在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低.如图 4 所示，在某路段汽车向左拐弯，司机
左侧的路面比右侧的路面低一些.汽车的运动可看做是半径为 R 的圆周运动.设内、外路面高
度差为 h，路基的水平宽度为 d，路面的宽度为 L.已知重力加速度为 g.要使车轮与路面之间
的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )
图 4
错误! 错误! 错误! 错误!
答案 B
解析 设路面的倾角为θ，根据牛顿第二定律得 mgtan θ＝mv2
R
，又由数学知识可知 tan θ
＝h
d
，联立解得 v＝ gRh
d
，选项 B 正确.
7.火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动，当火车以规定速度通过时，内外轨道均不受侧向
挤压，如图 5.现要降低火车转弯时的规定速度，须对铁路进行改造，从理论上讲以下措施可
行的是( )
图 5
A.减小内外轨的高度差 B.增加内外轨的高度差
C.减小弯道半径 D.增大弯道半径
答案 AC
解析 当火车以规定速度通过弯道时，火车的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示：
即 F＝mgtan θ，而 F＝mv2
R
，故 gRtan θ＝v2，若使火车经弯道时的速度 v 减小，则可以减
小倾角θ，即减小内外轨的高度差，或者减小弯道半径 R，故 A、C 正确，B、D 错误.
8.如图 6 所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为 R. 现有一个半径略
小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，当小球通过最高点时速率为 v0，则下列说法
中正确的是( )
图 6
A.若 v0＝ gR，则小球对管内壁无压力
B.若 v0> gR，则小球对管内上壁有压力
C.若 0 gR，则有 mg＋N＝mv 2
0
R
，表明小球对管内上壁有压力，选项 B 正确.
若 0
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