运动快慢的描述——速度要点梳理

运动快慢的描述——速度要点梳理

运动快慢的描述——速度 【学习目标】 1、理解并掌握速度、平均速度、瞬时速度等基本概念 2、清楚平均速度与瞬时速度之间的区别与联系 【要点梳理】 要点一、速度 (1)提出问题 在 30 min 内，自行车行驶 8 km，汽车行驶 48km，显然汽车比自行车运动得快；两位同学参加百米赛 跑，甲同学用时 12.5s，乙同学用时 13.5s，甲同学比乙同学运动得快．可见，运动的快慢与位移和时间两 个量有关，在其中一个量相同时，可以通过比较另一个量来比较物体运动的快慢．但要比较上例中的汽车 和甲同学哪个运动得快，就不能直接看出了，这就要找出统一的比较标准． (2)速度 要点诠释： ①定义：速度 v 等于物体运动的位移△x 跟发生这段位移所用时间△t 的比值． ②公式： xv t   ． 速度定义采用比值定义法， xv t   不表示 v 与△x 之间的数量关系，即 v 大，表示物体位置变化快， 但△x 不一定大，二者不成正比关系．式中△x 是位移而不是路程，△x 与△t 具有同一性和对应性．如果 一段时间 t 内物体发生的位移用 x 表示，公式还可表示成 xv t  ． ③物理意义：速度是表示物体运动快慢和方向的物理量． ④单位：国际单位制中，速度的单位是“米每秒”，符号是 m/s(或 m·s－1)．常用单位还有：千米每小时(km/h 或 km·h－1)、厘米每秒(cm/s 或 cm·s－1)等． ⑤矢量性：速度不但有大小，而且有方向，是矢量，其大小在数值上等于单位时间内位移的大小，它 的方向跟运动的方向相同． 要点二、平均速度和瞬时速度 要点诠释： (1)提出问题 坐在汽车驾驶员的旁边，观察汽车上的速度计，在汽车行驶的过程中，速度计指示的数值是时常变化 的，如：启动时，速度计的数值增大，刹车时速度计的数值减小．可见物体运动的快慢程度是在变化的， 这时我们说汽车的“速度”是指什么呢? (2)平均速度 由前述速度的公式 xv t   可以求得一个速度值，如果在时间△t 内物体运动的快慢程度是不变的，这 就是说物体的速度是不变的，如果在时间△t 内物体运动的快慢程度是变化的，这个速度值表示的是物体 在时间△t 内运动的平均快慢程度，称为平均速度． ①定义：做变速直线运动的物体的位移△x 跟发生这段位移所用时间△t 的比值，叫做平均速度． ②公式： xv t   ． ③矢量性：平均速度既有大小又有方向，是矢量，其方向与一段时间△t 内发生的位移的方向相同． 【注意】平均速度表示做变速直线运动的物体在某一段时间内的平均快慢程度，只能粗略地描述物体 的运动． 在变速直线运动中，不同时间(或不同位移)内的平均速度一般是不相同的，因此，求出的平均速度必 须指明是对哪段时间(或哪段位移)而言的． (3)瞬时速度 ①定义：运动物体在某一时刻(或某一位置)的速度．在公式 xv t   中，如果时间△t 非常小，接近于 零，表示的是一瞬时，这时的速度称为瞬时速度． ②物理意义：精确地描述了物体运动的快慢及方向． ③瞬时速度简称速度，因此以后碰到“速度”一词，如果没有特别说明均指瞬时速度． (4)如何理解平均速度和瞬时速度 当质点做匀速直线运动时，因为在任何相同的时间内发生的位移都相同，所以任取一段位移△x 和与 之对应的时间△t 的比值 xv t   是恒定的，它反映了运动的快慢和运动的方向． 在变速直线运动中，质点每时每刻的运动情况都不相同，所以为了描述质点在一段时间内(或一段位移 上)运动的快慢和方向，常把该段时间内(或该段位移上)的变速直线运动等效为匀速直线运动，这样质点的 位移△x 与相应的时间△t 的比值 xv t   就是变速直线运动的质点在这段时间内(或这段位移上)的平均速 度，平均速度只是粗略地描述质点的运动情况．对变速直线运动而言，在不同时间内（或不同位移上）的 平均速度一般不同． 为了精确地描述做变速直线运动的质点运动的快慢和运动的方向，我们采用无限取微逐渐逼近的方 法，即以质点经过某点起在后面取一小段位移，求出质点在该段位移上的平均速度，从该点起所取的位移 越小，质点在该段时间内的速度变化就越小，即质点在该段时间内的运动越趋于匀速直线运动．当位移足 够小(或时间足够短)时，质点在这段时间内的运动可以认为是匀速的，求得的平均速度就等于质点通过该 点时的速度．对变速直线运动，各点的瞬时速度是变化的． 在匀速直线运动中，各点的瞬时速度都相等，所以任一段时间内的平均速度等于任一时刻的瞬时速度． (5)平均速度和瞬时速度的比较 平均速度 瞬时速度 区 别 对应关系 与某一过程中的一段位移、一段时间对应 与运动过程中的某一时刻、某一位置对应 物理意义 粗略描述质点在一段位移或时间上的运动 快慢和方向 精确描述质点在某一位置或某一时刻运动的 快慢和方向 矢量性 与对应时间内物体的位移方向相同 与质点所在位置的运动方向相同 联系 （1）在公式 xv t   中，△t→0，平均速度即为瞬时速度 （2）在匀速直线运动中，各点的瞬时速度都相等，所以任意一段时间内的平均速度等于 任一时刻的瞬时速度 要点三、瞬时速率和平均速率 要点诠释： (1)瞬时速率就是瞬时速度的大小． (2)平均速率是物体运动的路程与所用时间的比值． 【注意】平均速率与平均速度的大小是两个完全不同的概念． 平均速度是位移和发生这段位移所用时间的比，平均速率是路程和通过这段路程所用时间的比，它们 是两个不同的概念．例如：如图所示，一质点沿直线 AB 运动，先以速度 v 从 A 匀速运动到 B，接着以速 度 2v 沿原路返回到 A，已知 AB 间距为 s．因为整个过程的总位移为 0，所以整个过程的平均速度为 0； 而整个过程质点通过的总路程为 2s，所用的总时间为 2 s s v v  ，所以平均速率为 2 4 3 2 s vs s v v   ． 要点四、位移—时间关系图象 要点诠释： 用图象阐明物理规律是物理学中常用的方法，具有简明直观的特点．对物体直线运动情况，我们可以 借助位移一时间关系图象来分析． 在平面直角坐标系中，用横轴表示时间 t，用纵轴表示位移 x，根据给出的(或测定的)数据，描出几个 点，用直线将几个点连接起来，则这条直线就表示了物体的运动特点，这种图象就叫做位移一时间图象， 简称位移图象．如图所示为汽车自初位置开始，每小时的位移都是 5.0×104m 的 x-t 图象． 分析判断直线运动的位移—时间图象时，要把握下面几点来分析： (1)匀速直线运动的 x-t 图象一定是一条倾斜的直线．x-t 图象为平行于时间轴的直线时表示物体静止， 若是一条曲线时，则表示物体做变速直线运动． (2)直线是否过原点?若开始计时时的初位置作为位移的零点，如图所示，直线过原点；若开始计时时 的初位置不作为位移的零点，则图象就不过原点．物体在计时开始的初位置由 t＝0 时的位移即纵轴的截距 决定． (3)x-t 图象表示的是位移随时间变化的情况，而不是运动的径迹．如图所示，在 0～t1 时间内，即 OA 段图象表示物体做与选定的正方向相同的匀速直线运动；在 t1～t2 时间内，即图象的 AB 段表示物体静止； 在 t2～t3 时间内，图象的 BC 段表示物体做与选定的正方向相反的匀速直线运动；在 t3 时刻，物体回到运 动的初始位置．在 0～t3 时间内始终沿同一直线运动，总位移为零． (4)在 x～t 图象中，直线的倾斜程度反映了物体做匀速直线运动的快慢，倾斜程度越大(如图中 OA)， 位移随时间变化得越快，运动越快；直线的倾斜程度越小(如图中 OB)，位移随时间变化得越慢，运动越慢．速 度大小等于 x-t 图线的斜率大小． (5)在 x-t 图象中，凡是直线，均表示物体的速度不变，向上倾斜的直线(如图中 OA)表示沿正方向的匀 速直线运动，向下倾斜的直线(如图中 BC)表示沿负方向的匀速直线运动，或依图线斜率的正、负来确定其 运动方向：斜率为正，则物体向正方向运动；斜率为负，物体就向负方向运动． (6)若 x-t 图象为曲线，那其速度如何呢?例：某质点沿直线运动的 x-t 图象如图所示，由图象可看到在 相等时间△t 内位移△x1、△x2、△x3、△x4 不等，可见速度是变化的，而且随着时间增大速度减小．取 △t 趋近零，则 x t   趋近瞬时速度，其实某时刻的速度等于 x-t 图象上该时刻图象的切线的斜率，即图象切 线斜率反映着各时刻的瞬时速度． 【典型例题】 类型一、关于速度概念的理解 例 1、某测量员是这样利用回声测距离的：他站在两平行峭壁间某一位置鸣枪，经过 1.00s 第一次听到回声， 又经过 0.50s 再次听到回声．已知声速为 340m/s，则两峭壁间的距离为_______________． 【答案】425m 【解析】测量员第一次听到的声音是声波遇到较近的峭壁反射回的，则测量员到这一峭壁的距离为 x1=vt1/2=170m；第二次听到的声音是声波在另一个峭壁反射回的，所以测量员与另一峭壁的距离应为 x2=v(t1+t2)/2=255m，因此两峭壁间的距离为 x=x1+x2=170m+255m=425m． 【总结升华】这是一个联系实际的问题，解决此题的关键在于要搞清楚两次听到的声音是怎样造成的， 建立起速度与时间、位移的关系． 举一反三 【变式 1】一人看到闪电 12.3s 后又听到雷声．已知空气中的声速约为 330～340m/s，光速为 3×108m/s，于 是他用 12.3 除以 3 很快估算出闪电发生位置到他的距离为 4.1km．根据你所学的物理知识可以判断( ) A．这种估算方法是错误的，不可采用 B．这种估算方法可以比较准确地估算出闪电发生位置与观察者间的距离 C．这种估算方法没有考虑光的传播时间，结果误差很大 D．即使声速增大 2 倍以上，本题的估算结果依然正确 【答案】B 【解析】在研究问题时，为了抓住主要矛盾，同时使问题得到简化，总是要忽略次要矛盾．光速和声速相 差很大，在传播约 4.1km 的距离时，光运动的时间非常短，对于估算来说完全可以忽略，其运算方法是： 声速：v＝330m/s＝0.33km/s． 所以 0.33 3 tx vt t   (km)，显然声速加倍后题中的估算将不再成立． 【总结升华】速度是描述物体运动快慢的物理量.本题通过距离的测定，认识估算原理，考查考生解决问题 的能力．解答本题要抓住主要矛盾，忽略次要矛盾． 【高清课程：运动快慢的描述——速度 23 页】 【变式 2】图示为高速摄影机拍摄到的子弹穿过苹果瞬间的照片.该照片经过放大后分析出，在曝光时间内， 子弹影像前后错开的距离约为子弹长度的 1%～2%.已知曝光时间约 10－6 s，因此可估算子弹飞行速度约为 多大？ 【答案】500m/s——1000m/s 例 2、甲、乙两质点在同一直线上匀速运动，设向右为正，甲质点的速度为 2m/s，乙质点的速度为-4m/s， 则可知( )． A．乙质点的速率大于甲质点的速率 B．因为+2＞-4，所以甲质点的速度大于乙质点的速度 C．这里的正、负号的物理意义是表示运动的方向 D．若甲、乙两质点同时由同一点出发，则 10s 后甲、乙两质点相距 60m 【答案】A、C、D 【解析】因为速度是矢量，其正、负号表示物体的运动方向，速率是标量，在匀速直线运动中，速度的大 小等于速率，故 A、C 正确，B 错；甲、乙两质点在同一直线上沿相反方向运动，故 D 正确． 类型二、关于平均速度的理解 例 3、某物体沿一条直线运动： (1)若前一半时间内的平均速度为 v1，后一半时间内的平均速度为 v2，求全程的平均速度． (2)若前一半位移的平均速度为 v1，后一半位移的平均速度为 v2，全程的平均速度又是多少? 【答案】（1） 1 2 1 ( )2 xv v vt    （2） 1 2 1 2 2v vxv t v v    【解析】(1)设全程所用的时间为 t，则由平均速度的定义知 前一半时间 2 t 内的位移为 1 1 2 tx v   ． 后一半时间 2 t 的位移为 2 2 2 tx v   ， 全程时间 t 的位移为 1 2 1 2( ) 2 tx x x v v       ． 全程的平均速度为 1 2 1 ( )2 xv v vt    ． (2)设全程位移为 x，由平均速度定义知 前一半位移所用时间为 1 1 1 /2 2 x xt v v    ， 后一半位移所用时间为 2 2 2 /2 2 x xt v v    ， 全程所用时间为 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 2 2 x v vx xt t t v v v v         ． 全程的平均速度为 1 2 1 2 2v vxv t v v    ． 【总结升华】不要把平均速度与速度的平均值弄混淆，注意按平均速度的定义求解． 举一反三 【高清课程：运动快慢的描述——速度 17 页】 【变式 1】甲、乙二物体在同一直线上同向运动，甲在前一半时间内以 5m/s 的速度做匀速运动，后一半时 间内以 6m/s 做匀速运动，而乙在前一半路程中以 5m/s 的速度做匀速运动，后一半路程中以 6m/s 做匀速运 动，则甲的平均速度为_____m/s，乙的平均速度为______________m/s． 【答案】5.5；5.45 【高清课程：运动快慢的描述——速度 18 页】 【变式 2】一质点沿直线 Ox 轴做变速运动，它离开 O 点的距离 x 随时间变化关系为 x=(5＋2t3)m，则该质 点在 t=0 至 t=2s 的时间内的平均速度=________m/s；在 t=2s 至 t=3s 时间内的平均速度=__________m/s． 【答案】8 ；38 类型三、关于瞬时速度、平均速度、平均速率的理解 例 4、三个质点 A、B、C 的运动轨迹如图所示，三个质点同时从 N 点出发，同时到达 M 点，设无往返运 动，下列说法正确的是( ) A．三个质点从 N 到 M 的平均速度相同 B．三个质点任意时刻的速度方向都相同 C．三个质点从 N 点出发到任意时刻的平均速度都相同 D．三个质点从 N 到 M 的平均速率相同 【答案】A 【解析】要弄清该题的每个选项，首先应明确两个概念：平均速度和平均速率．速度是表征质点在某瞬时 运动快慢和运动方向的矢量．位移与该段时间的比值叫平均速度．本题中 A、B、C 三个质点在相同时间 内位移相同，大小是 MN 的长度，方向是由 N 指向 M，所以它们的平均速度相同，A 选项正确．平均速 率是描述物体运动快慢的物理量．规定物体在△t 时间内通过的路程△s 与△t 之比为平均速率，即 sv t   ．由于路程与位移一般不同，故平均速率与平均速度的大小一般不相等，仅在质点做单方向直线运 动时，平均速率才与平均速度的大小相等．本题中 A、C 两质点均为曲线运动，可见选项 C、D 不正确， 但 A、C 两质点的平均速率相等，它们均大于 B 质点的平均速率．本题只能选 A． 【总结升华】明确瞬时速度、平均速度、平均速率的概念，知道它们之间的关系，理解瞬时速度、平均速 度的矢量性特点是解题关键． 举一反三 【高清课程：运动快慢的描述——速度 16 页】 【变式 1】第四次提速后，出现了“星级列车”．从其中的 T14 次列车时刻表可知，列车在蚌埠至济南区间 段运行过程中的平均速率为________千米/小时． 【答案】103.66 【变式 2】下列所说的速度中，哪些是平均速度?哪些是瞬时速度? (1)百米赛跑的运动员以 9.5m/s 的速度冲过终点线； (2)经过提速后列车的速度达到 150km/h； (3)由于堵车，车在隧道内的速度仅为 1.2m/s； (4)返回地面的太空舱以 8m/s 的速度落入太平洋中； (5)子弹以 800m/s 的速度撞击在墙上． 【答案】(1)9.5m/s 是瞬时速度；(2)150km/h 是平均速度； (3)1.2m/s 是平均速度；(4)8m/s 是瞬时速度； (5)800m/s 是瞬时速度． 【解析】瞬时速度表示物体在某一时刻(或某一位置)运动的快慢；平均速度表示物体在某一段时间内或在 某一过程中运动的快慢． 【变式 3】在 2008 北京奥运会中，牙买加选手博尔特是公认的世界飞人，他在男子 100m 决赛和男子 200m 决赛中分别以 9.69s 和 19.30s 的成绩破两项世界纪录，获得两枚金牌，如图所示．关于他在这两次决赛中 的运动情况，下列说法正确的是( )． A．200 m 决赛中的位移是 100 m 决赛的两倍 B．200 m 决赛中的平均速度约为 10.36 m/s C．100 m 决赛中的平均速度约为 10.32m/s D．100 m 决赛中的最大速度约为 20.64m/s 【答案】C 【解析】200 m 决赛路径是曲线，指路程，其位移小于 200 m，因此选项 A 错误．由于 200m 决赛的位移 x1 ＜ 200m ， 则 平 均 速 度 11 1 200 m /s 10.36m /s19.30 xv t    ， 故 选 项 B 错 ． 100m 决 赛 的 平 均 速 度 22 2 100 m /s 10.32m /s9.69 xv t    ，故 C 选项正确．100m 决赛中的最大速度无法求得，故选项 D 错误． 类型四、关于位移—时间关系图象的理解 例 5、甲、乙两物体在同一直线上运动的 x-t 图象如图所示，以甲的出发点为原点，出发时刻为计时起点， 则从图象可以看出( ) A．甲、乙同时出发 B．乙比甲先出发 C．甲开始运动时，乙在甲前面 x0 处 D．甲在中途停了一会儿，但最后还是追上了乙 【答案】A、C、D 【解析】匀速直线运动的x-t图象是一条倾斜的直线，直线与纵坐标的交点表示出发时物体离原点的距离．当 直线与 t 轴平行时，表示物体位置不变，处于静止，两直线的交点表示两物体处在同一位置，离原点距离 相等． 【总结升华】x-t 图象中，纵轴截距表示零时刻物体的位置，横轴截距表示位移为零的时刻，交点表示两物 体处于同一位置． 举一反三 【高清课程：运动快慢的描述——速度 19 页】 【变式 1】如图所示为某物体的位移图象，则开始运动后经 5s 物体离出发点______m，在第 l0s 末的速度 是_________m/s，在前 l0s 内的平均速度等于________m/s，在 20～40s 内的平均速度等于________m/s，在 整个过程中的平均速度等于_________． 【答案】10，2，2，l，0 【变式 2】如图所示为甲、乙两物体相对于同一参考系的 x-t 图象．下面说法正确的是( ) A．甲、乙两物体的出发点相距 x0 B．甲、乙两物体都做匀速直线运动 C．甲物体比乙物体早出发的时间为 t1 D．甲、乙两物体向同方向运动 【答案】A、B、C 【解析】甲物体在 t＝0 时出发，其运动方向与规定的正方向相反，做匀速直线运动，出发点距原点 x0．乙 物体从原点出发，其运动方向沿规定的正方向，乙物体在 t＝t1 时出发，做匀速直线运动，故选 A、B、C．两 物体运动方向相反，D 错．正确答案为 A、B、C．