2020届高考物理二轮复习第二部分思想方法2估算与近似计算练习含解析

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2020届高考物理二轮复习第二部分思想方法2估算与近似计算练习含解析

高考物理总复习 思想方法2 估算与近似计算 ‎[方法概述]‎ 物理估算题,一般是指依据一定的物理概念和规律,运用物理方法和近似计算方法,对所求物理量的数量级或物理量的取值范围,进行大致的、合理的推算。物理估算是一种重要的方法,有的物理问题,在符合精确度的前提下可以用近似的方法便捷处理;有的物理问题,由于本身条件的特殊性,不需要也不可能进行精确计算。在这些情况下,估算就很实用。其特点是在“理”不在“数”,它要求考生在分析和解决问题时,要善于抓住问题的本质特征和影响结果的主要因素,忽略次要因素,从而使问题简捷地解决,迅速获得合理的结果。‎ ‎(1)估算时经常用到的近似数学关系:‎ ‎①角度θ很小时,弦长近似等于弧长。‎ ‎②θ很小时,sinθ≈θ,tanθ≈θ,cosθ≈1。‎ ‎③a≫b时,a+b≈a,+≈。‎ ‎(2)估算时经常用到的一些物理常识数据:‎ 解题所需数据,通常可从日常生活、生产实际、熟知的基本常数、常用关系等方面获取,如成人体重约600 N,汽车速度约10~20 m/s,重力加速度约为10 m/s2……‎ ‎[典型例题]‎ 典例1 (2019·江苏七市二模)引体向上是中学生体育测试的项目之一,引体向上运动的吉尼斯世界纪录是53次/分钟。若一个普通中学生在30秒内完成12次引体向上,该学生此过程中克服重力做功的平均功率最接近于(  )‎ A.5 W B.20 W C.100 W D.400 W 解析 学生体重约为50 kg,每次引体向上上升的高度约为0.5 m,引体向上一次克服重力做功为W=mgh=50×10×0.5 J=250 J,全过程克服重力做功的平均功率为===100 W,故C正确,A、B、D错误。‎ 答案 C - 7 -‎ 高考物理总复习 名师点评 本题考查重力做功与功率,但难点是考查学生的估算能力和生活常识,中学生的体重大约为50 kg,引体向上每次上升的高度大约为0.5 m。‎ 典例2 (2019·北京高三期末)杭州市正将主干道上的部分高压钠灯换成LED灯,已知高压钠灯功率为400 W,LED灯功率为180 W,若更换4000盏,则一个月可节约的电能约为(  )‎ A.9×103 kW·h B.3×105 kW·h C.6×105 kW·h D.1×1012 kW·h 解析 根据生活常识可知路灯每天工作约10 h,则一个月可节省的电能最接近W=Pt=(0.4 kW-0.18 kW)×4000×10 h×30≈3×105 kW·h,故B正确,A、C、D错误。‎ 答案 B 名师点评 本题主要考查功与功率的关系以及同学们的估算能力和生活常识,一天24小时开灯时间约为10小时,一个月大约30天,选项中数值相差很大,只需估算即可。‎ 典例3 已知地球中心到月球的距离约为地球半径的60倍,试估算地球的平均密度(取一位有效数字,G=6.7×10-11 N·m2/kg2)。‎ 解析 设r为月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径,R为地球半径,则r=60R,T为月球绕地球做匀速圆周运动的周期,约为28天,即 T=28×24×3600 s=2.4×106 s。‎ 又因万有引力提供向心力:=mr 把r=60R代入上式并整理得=,‎ 故地球平均密度ρ== ‎= kg/m3≈5×103 kg/m3。‎ 答案 5×103 kg/m3‎ 名师点评 (1)利用月、地距离,联想到月球绕地球运行可近似地看做匀速圆周运动这一物理情景,提出问题的物理过程和实质。(2)选定适用的物理规律:向心力=万有引力,即=m。(3)明确向心力、万有引力概念,引入常识性的物理量及挖掘出隐含的数据。‎ 典例4 某种油的密度ρ=0.8×103 kg/m3,把一滴体积为1.2×10-3 mL的这种油滴在水面上,可以形成最大面积为2 m2的油膜,阿伏加德罗常数NA=6.0×1023 mol-1。‎ ‎(1)把分子看成球形估算它的直径;‎ - 7 -‎ 高考物理总复习 ‎(2)估算这种油的摩尔质量(保留一位有效数字)。‎ 解析 (1)由于形成的油膜最大面积为S=2 m2,油膜厚度可以认为就等于一个分子的直径d,由d=,‎ 得油分子的直径d= m=6×10-10 m。‎ ‎(2)上问中虽然把油分子看成球形,但每个油分子的占有空间是以d为棱的立方体,每个油分子占有体积为d3,‎ 油的摩尔体积V摩=NAd3,根据ρ=,‎ 得油的摩尔质量M=ρV摩=ρNAd3=0.8×103×6.0×1023×(6×10-10)3 kg/mol≈0.1 kg/mol。‎ 答案 (1)6×10-10 m (2)0.1 kg/mol 名师点评 对于微观量的估算应注意的几点:(1)理解微观量和宏观量之间的关系。在微观量的估算中,物质的量往往是所求问题的关键。阿伏加德罗常数和物质的量是联系微观量和宏观量的关键量。(2)记住重要的物理常数,例如NA=6.02×1023 mol-1,1 mol任何理想气体在标准状态下的体积都约为22.4 L等。(3)掌握下列公式:①分子质量m分子=;②分子的摩尔体积V摩=;③一个(固体或液体)分子的体积V分子==。‎ 典例5 如图所示,U=1.5 V,R1=1 kΩ,R2=10 Ω,R3=5 kΩ,RA=20 Ω,试估算电流表的读数。‎ 解析 由于(R3+RA)≫R2,所以并联部分电阻的阻值约为R2,则并联部分电压为U并=U≈U=1.5×10-2 V,又由于R3≫RA,所以IA≈= A=3×10-6 A。‎ 答案 3×10-6 A 名师点评 利用一些数学近似公式进行估算,可大大地简化其计算过程,提高解题速度。在平时学习过程中要熟悉一些常用的近似计算公式,并且在解题中能做些应用和训练,可提高应用数学公式解决物理问题的能力。在物理估算中,常用的一些数学近似公式如下:当θ很小时,sinθ≈tanθ≈θ,cosθ≈1;T=2π 中π≈;当a≫b时,a+b≈a,+≈ - 7 -‎ 高考物理总复习 ‎;当a≈b时,≈。借用上述公式进行物理估算,常常会收到意想不到的效果。‎ 配套作业 ‎1.在雷雨云下沿竖直方向的电场强度约为104 V/m。已知一半径为1 mm的雨滴在此电场中不会下落,取重力加速度大小为10 m/s2,水的密度为103 kg/m3。则雨滴携带的电荷量的最小值约为(  )‎ A.2×10-9 C B.4×10-9 C C.6×10-9 C D.8×10-9 C 答案 B 解析 雨滴受力平衡时,电场力和重力大小相等,此时电场力最小,则雨滴带电荷量最小,有mg=Eq,而m=ρV=·ρ,联立两式得q== C≈4×10-9 C,故选B。‎ ‎2.(2019·山东高三高考模拟)2019年4月10日,包括中国在内,全球多地天文学家同步公布人类史上首张黑洞照片,照片中是室女座巨椭圆星系M87的黑洞照片,这是黑洞存在最直接的视觉证据。黑洞的发现是由全球200多位科学家,历时十年、从全球四大洲8个观测点共同合作完成的成果,这也表明当今世界合作才会共赢,单边主义只会越走越窄。黑洞是一个非常致密的天体,会形成强大的引力场,连光也无法逃脱。某黑洞中心天体的质量是太阳的50亿倍,太阳质量为2×1030 kg,光在真空中的传播速度c=3×108 m/s,引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2。已知天体的近地卫星的环绕速度为v,则在该天体表面发射卫星脱离该天体束缚的最小发射速度为v。请估算该黑洞最大半径的数量级为(  )‎ A.109 m B.1010 m C.1011 m D.1013 m 答案 D 解析 设该黑洞的可能半径为R,质量为M,近地卫星的质量为m,近地卫星的环绕速度为v,则=m,v= ,由题给条件可知,则v>c,即 >c,即有R< - 7 -‎ 高考物理总复习 ‎,所以该黑洞的最大半径:Rmax≈= m≈1.5×1013 m,故D正确,A、B、C错误。‎ ‎3.在地球上空,一个质量为m的火箭,靠竖直向下喷出气体的反冲使火箭停在空中不动,从火箭中喷出气体的速度等于v,则火箭发动机的功率约为(  )‎ A.0 B.mgv C.mg D.2mgv 答案 C 解析 设M为每秒喷出的气体质量,则每秒气体的动量变化为Mv,这就是火箭受到的反作用力,它必须与重力平衡,故Mv=mg,M=。气体每秒得到的动能为E=Mv2=mgv,所以火箭的功率为mgv。此计算为近似值,因为它忽略了喷气后火箭质量的变化。‎ ‎4. (多选)如图所示,两等量异号的点电荷相距为2a。M与两点电荷共线,N位于两点电荷连线的中垂线上,两点电荷连线中点到M和N的距离都为L,且L≫a。略去()n(n≥2)项的贡献,则两点电荷的合电场在M和N点的强度(  )‎ A.大小之比为2,方向相反 B.大小之比为1,方向相反 C.大小均与a成正比,方向相反 D.大小均与L的平方成反比,方向相互垂直 答案 AC 解析 两点电荷在M、N两点的合场强分别为EM=-=kq≈,EN=·≈,所以=2,在M点的合场强方向由+q决定,沿两点电荷连线从-q指向+q;在N点的合场强方向由平行四边形定则知,平行于两点电荷连线从+q指向-q。故A、C正确。‎ ‎5.如图所示,带电量分别为4q和-q的小球A、B固定在水平放置的光滑绝缘细杆上,相距为d。若杆上套一带电小环C,带电体A、B和C均可视为点电荷。‎ - 7 -‎ 高考物理总复习 ‎(1)求小环C的平衡位置;‎ ‎(2)若小环C带电量为-q,将小环拉离平衡位置一小位移x(|x|≪d)后静止释放,试证明小环C将做简谐运动。(提示:当α≪1时,≈1-nα)‎ 答案 见解析 解析 (1)设C的电荷量为Q,位于AB连线的延长线上距离B为l处时达到平衡,‎ 由+=0‎ 得l1=d,l2=-d(舍去)‎ 即小环C的平衡位置在B的右方离开B为l=d的地方。‎ ‎(2)当小环带电量为-q时,向右拉离平衡位置一小位移x后它所受到的合力为 FC=+ ‎=+ 利用近似关系≈1-nα(α≪1),上式可化简为 FC=(1-)+(1-)=-x 说明小环受到的合力大小与位移x成正比,方向与其相反(即指向左方),所以小环C将做简谐运动。‎ ‎6. 如图所示,透明的柱形元件的横截面是半径为R的圆弧,圆心为O,以O为原点建立直角坐标系xOy。一束单色光平行于x轴射入该元件,入射点的坐标为(0,d),单色光对此元件的折射率为n=。‎ ‎(1)当d多大时,该单色光在圆弧面上恰好发生全反射?‎ ‎(2)当d→0时,求该单色光照射到x轴上的位置到圆心O的距离。(不考虑单色光经圆弧面反射后的情况;θ很小时,sinθ≈θ)‎ - 7 -‎ 高考物理总复习 答案 (1) (2)(4+2)R 解析 (1)如图a所示,当光射到圆弧面上的入射角等于临界角时,刚好发生全反射,由 sinθ=,‎ 解得:θ=60°,‎ 根据几何关系d=Rsinθ=。‎ ‎(2)如图b所示,当光射到圆弧面上的入射角很小时,设入射角为β,折射角为α,‎ 由折射定律 n=≈=,‎ 在△OEF中,由正弦定理=,‎ 当d→0时,α、β很小,sinα≈α,sin(α-β)≈α-β,‎ 解得:OF=,‎ 所以OF=(4+2)R。‎ - 7 -‎
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