2021届高考物理一轮复习1第3讲运动图象追及相遇问题练习含解析

2021届高考物理一轮复习1第3讲运动图象追及相遇问题练习含解析

第3讲 运动图象追及相遇问题 考点一　运动图象的理解及应用 x-t图象 ‎【典例1】(多选)(2018·全国卷Ⅲ) 甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是 (　　)‎ A.在t1时刻两车速度相等 B.从0到t1时间内，两车走过的路程相等 C.从t1到t2时间内，两车走过的路程相等 D.在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等 ‎【通型通法】‎ ‎1.题型特征：x-t图象。‎ ‎2.思维导引：‎ ‎(1)某点的切线斜率表示该点的速度。‎ ‎(2)纵坐标之差表示该段时间内的位移。‎ ‎【解析】选C、D。由位移—时间图象的意义可知t1时刻两车在x1位置，图线的斜率不同，速度不等，A错；由于甲车起始位置不在原点，从0到t1时间内，两车走过的路程不等，B错；从t1到t2时间内，两车都从x1位置运动到x2位置，因此走过的路程相等，C对；从t1到t2时间内甲车图线的斜率先小于后大于乙车，因此在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等，D对。‎ ‎【多维训练】(2020·泉州模拟)在平直公路上行驶的a车和b车，其位移—时间图象分别为图中直线a和曲线b。t=3 s时，直线a和曲线b刚好相切，下列说法正确的是 (　　)‎ 13‎ A.t=3 s时，两车具有共同的加速度 B.a车做匀速运动，b车做加速运动 C.在运动过程中，b车始终没有超过a车 D.在0～3 s的时间内，a车的平均速度比b车的大 ‎【解析】选C。t=3 s时，两图线斜率相等，所以两车的速度相等，故A错误；x-t图象的斜率表示速度，由图可知，a车做匀速直线运动，b车做减速直线运动，故B错误；由图象可知，b车的位置始终在a车的后面，故C正确；在0～3 s的时间内，a车的位移为6 m，b车的位移为8 m，由公式=可知，a车的平均速度小于b车，故D错误。‎ v-t图象 ‎【典例2】如图所示是甲、乙两物体运动的速度—时间图象，下列说法正确的是 (　　)‎ A.0～5 s内甲物体的加速度大小为0.75 m/s2‎ B.3 s时乙物体的加速度大小为1 m/s2‎ C.0～5 s内甲物体的位移大小为 m D.0～5 s内乙物体的位移大于13.5 m ‎【通型通法】‎ ‎1.题型特征：v-t图象。‎ ‎2.思维导引：‎ 13‎ ‎【解析】选D。根据v-t图象的斜率表示加速度，得0～5 s内甲物体的加速度大小为a甲== m/s2，选项A错误；乙的图象不是四分之一圆，所以(3，3)处切线斜率不是1，选项B错误；根据v=-4 m/s+t，得t=5 s时甲的速度大小为 m/s，则0～5 s内甲物体的位移大小为x甲= m- m= m，选项C错误；根据图象与坐标轴围成的面积表示位移，知0～5 s内乙物体的位移大于(+3×‎ ‎3+) m=13.5 m，选项D正确。‎ 其他运动图象 ‎【典例3】如图所示是某物体做直线运动的v2-x图象(其中v为速度，x为位置坐标)，下列关于物体从x=0处运动至x=x0处的过程分析，其中正确的是(　　)‎ A.该物体做匀加速直线运动 B.该物体的加速度大小为 13‎ C.当该物体的速度大小为v0时，位移大小为x0‎ D.当该物体的位移大小为x0时，速度大小为v0‎ ‎【通型通法】‎ ‎1.题型特征：v2-x图象。‎ ‎2.思维导引：‎ ‎【解析】选C。由匀变速直线运动的速度—位移关系公式v2-=2ax可得v2=2ax+‎ ‎，可知物体的加速度恒定不变，由于物体的速度减小，故物体做匀减速直线运动，选项A错误；由v2=2ax+知，v2-x图象的斜率绝对值等于2a，由图可得2a=，则得物体的加速度大小为a=，选项B错误；当该物体速度大小为v0时，v2=，可得x=，选项C正确；当该物体位移大小为x0时，可得v2=，v=v0，选项D错误。‎ ‎【举一反三】‎ ‎1.情景：A、B两辆汽车从同一地点同时出发沿同一方向做直线运动。‎ 问题：汽车B的加速度大小以及汽车A、B在x=4 m处的速度大小为多少？‎ ‎【解析】对汽车B，‎ 有v2=2aBx，2aB= m/s2=2 m/s2，‎ 解得aB=1 m/s2。‎ 13‎ 对汽车A，根据匀变速直线运动的速度—位移关系得 v2=+2ax，‎ 由图线可知图象的斜率等于2a，‎ 则有2aA= m/s2，解得aA=-2 m/s2。‎ 由v2-=2ax 得v== m/s=2 m/s 答案：1 m/s2　2 m/s ‎2.情景：一辆汽车在平直的公路上做匀减速直线运动。‎ 问题：当汽车的速度为12 m/s时， x1为多少？‎ ‎【解析】汽车做匀减速直线运动，设加速度大小为a，‎ 由公式=2ax，‎ 其中v0=20 m/s，x=20 m 代入解得a=10 m/s2。‎ 当v=12 m/s时，汽车刹车的位移为x1==12.8 m。‎ 答案：12.8 m ‎3.情景：一辆汽车在平直的公路上做匀减速直线运动。‎ 问题：汽车的加速度大小为多少？汽车在减速过程中所用的时间为多少？‎ ‎【解析】设减速过程中汽车加速度大小为a，‎ 所用时间为t，由题可得初速度v0=20 m/s，‎ 13‎ 末速度v=0，位移x=25 m，‎ 由运动学公式得：=2ax，t=，‎ 代入数据解得：a=8 m/s2，t=2.5 s。‎ 答案：8 m/s2　2.5 s ‎1.两类图象的比较：‎ x-t图象 v-t图象 轴 横轴为时间t，纵轴为位移x 横轴为时间t，纵轴为速度v 线 倾斜直线表示匀速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运动 斜率 表示速度 表示加速度 面积 无实际意义 图线与时间轴围成的面积表示位移大小 纵截距 表示初位置 表示初速度 特殊点 拐点表示速度变化，交点表示相遇 拐点表示加速度变化，交点表示速度相等 ‎2.解答图象类问题的方法：‎ ‎【加固训练】‎ ‎1.司机驾驶汽车在平直公路上匀速行驶，突然遇到紧急情况刹车直到停止运动，从司机发现情况到停止运动这段时间内汽车-t的图象如图所示，下列说法正确的是 (　　)‎ 13‎ A.从司机发现情况开始至汽车停止所用时间为5 s B.汽车刹车过程的加速度大小为2.0 m/s2‎ C.汽车刹车过程的加速度大小为4.0 m/s2‎ D.从司机发现情况开始至刹车停止，汽车的总位移为30 m ‎【解析】选C。根据位移-时间公式x=v0t+at2得：=v0+·t，由此可知，-t图象中斜率表示加速度的一半，即a=2× m/s2=-4 m/s2，“-”表示方向，由图象可知，匀速运动的速度为v0=10 m/s，反应时间为t=0.5 s，刹车时间为：t′== s=2.5 s，故从司机发现情况开始至汽车停止所用时间为t″=t+t′=‎ ‎(0.5+2.5) s=3.0 s，选项A、B错误，C正确；反应时间内的位移为x1=v0t=10×‎ ‎0.5 m=5 m，刹车位移为：x2=t′=×2.5 m=12.5 m，从司机发现情况开始至刹车停止，汽车的总位移为x=x1+x2=5 m+12.5 m=17.5 m，选项D错误。‎ ‎2.一物体做匀加速直线运动，从某位置开始通过传感器收集位移和速度等数据信息，然后输入计算机自动生成了物体运动的x-v图象，如图所示，‎ 以下说法正确的是(　　)‎ A.物体运动的初速度为1 m/s B.物体运动的加速度为2 m/s2‎ C.物体速度由2 m/s增加到4 m/s 的过程中，物体的位移大小为1 m D.物体速度由2 m/s增加到4 m/s的过程中，物体的运动时间为2 s ‎【解析】选B。物体做匀加速直线运动，则有v2-=2ax，由图可知当v=0时，x=-1 m，‎ 13‎ 代入上式得-=-2a；当x=0时，v=2 m/s代入上式得4-=0，解得v0=2 m/s，a=2 m/s2，选项A错误，B正确；物体速度由2 m/s增加到4 m/s的过程中，物体的位移大小为x== m=3 m，选项C错误；物体速度由2 m/s增加到4 m/s的过程中，物体的运动时间为t== s=1 s，选项D错误。‎ 考点二　追及相遇问题 图象信息类 ‎【典例4】甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向沿直线运动，它们的v-t图象如图所示。下列判断不正确的是 (　　)‎ A.乙车启动时，甲车在其前方50 m处 B.乙车超过甲车后，两车不会再相遇 C.乙车启动10 s后正好追上甲车 D.运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75 m ‎【通型通法】‎ ‎1.题型特征：v-t图象、相遇、最大距离。‎ ‎2.思维导引：‎ ‎【解析】选C。由图可知乙在t=10 s时启动，根据速度图线与时间轴包围的面积表示位移，可知此时甲的位移为x=×10×10 m=50 m，即甲车在乙前方50 m处，选项A正确；乙车超过甲车后，由于乙的速度大，所以不可能再相遇，选项B正确；由于两车从同一地点沿同一方向沿直线运动，当位移相等时两车才相遇，由图可知，乙车启动10 s 13‎ 后位移小于甲的位移，还没有追上甲，选项C错误；当两车的速度相等时相距最远，最大距离为smax=×(5+15)×10 m-×10‎ ‎×5 m=75 m，选项D正确。‎ ‎【多维训练】(2020·武汉模拟)某厂家为了测试新款汽车的性能，将两辆完全相同的汽车并排停在检测场平直跑道上，t=0时刻将两车同时启动，通过车上的速度传感器描绘出了两车的速度随时间的变化规律图线，图象中两阴影部分的面积S2>S1，下列说法正确的是 (　　)‎ A.t1时刻甲车的加速度小于乙车的加速度 B.t1时刻甲车在前，t2时刻乙车在前 C.0～t2时间内两车可能相遇2次 D.0～t2时间内甲车的平均速度比乙车大 ‎【解析】选D。速度—时间图线的斜率表示加速度，由题图可知，t1时刻甲车的加速度大于乙车的加速度，故A错误；由S2>S1，可知，t1时刻乙车在前，t2时刻甲车在前，故B错误；0～t2的时间内，两车相遇的时刻在t1时刻后，t2时刻前，故两车仅能相遇1次，故C错误；0～t2的时间内甲车的位移大于乙车的位移，所用时间相等，则0～t2的时间内甲车的平均速度大于乙车的平均速度，故D正确。‎ 情境描述类 ‎【典例5】一辆汽车在十字路口等候红绿灯，当绿灯亮时汽车以a=3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自=6 m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车。试求： ‎ ‎(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？‎ ‎(2)什么时候汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？‎ ‎【一题多解】‎ ‎(1)方法1：物理分析法 汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t1，两车间的距离为Δx，则有 13‎ v自=at1‎ 所以t1==2 s Δx=v自t1-a=6 m。‎ 方法2：极值法 设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车相距最远，则Δx=v自t1-a 代入已知数据得Δx=6t1-‎ 由二次函数求极值的条件知：‎ t1=2 s时，Δx有最大值6 m。‎ 所以经过t1=2 s后，两车相距最远，此时距离为Δx=6 m。‎ 方法3：图象法 自行车和汽车的v-t图象如图所示，‎ 由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有 t1== s=2 s Δx== m=6 m。‎ ‎(2)方法1：物理分析法 当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，‎ 13‎ 则有v自t2=a 解得t2== s=4 s 此时汽车的速度v1=at2=12 m/s。‎ 方法2：图象法 由前面画出的v-t图象可以看出，在t1时刻之后，当由图线v自、v汽和t=t2构成的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时，汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇，所以t2=2t1=4 s，v1=at2=3×4 m/s=12 m/s。‎ 答案：(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s ‎1.解答追及和相遇问题的四种方法：‎ 情景法 抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的情景图 函数法 设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x与时间t的函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况 图象法 将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画在同一图象中，然后利用图象分析求解相关问题 临界法 寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者时，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者时，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离 ‎2.解答追及和相遇问题的两点技巧：‎ ‎3.追及相遇问题的解题流程：‎ 13‎ ‎【加固训练】‎ ‎　　1.甲、乙两辆汽车沿同一平直路面行驶，其v-t图象如图所示，下列对汽车运动状态的描述正确的是 (　　)‎ A.在第20 s末，甲、乙两车相遇 B.若乙车在前，则可能相遇两次 C.在第10 s末，甲、乙车改变运动方向 D.在第10 s末，甲、乙两车相距150 m ‎【解析】选B。在第20 s末，甲通过的位移比乙的位移大，但由于它们初始位置关系未知，所以不能判断是否相遇，选项A错误；若t=0时刻乙车在前，则两车在第20 s末前，可能相遇一次，此后由于乙做匀加速运动，甲做匀速运动，乙可能追上甲，再相遇一次，选项B正确；由图知，甲乙两车的速度一直为正，说明一直沿正方向运动，运动方向没有改变，选项C错误；在第10 s末，甲、乙两车的位移之差为Δx=20×10 m-×10×10 m=150 m，由于出发点的位置关系未知，所以不能确定它们相距的距离，选项D错误。‎ ‎2.春节放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求小轿车通过收费站窗口前x0=9 m区间的速度不超过v0=6 m/s。现有甲、乙两小轿车在收费站前平直公路上分别以v甲=20 m/s和v乙=34 m/s的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后。甲车司机发现正前方收费站，开始以大小为a甲=2 m/s2的加速度匀减速刹车。‎ ‎(1)甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章。‎ ‎(2)若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前9 m处的速度恰好为6 m/s，乙车司机在发现甲车刹车时经t0=0.5 s的反应时间后开始以大小为a乙=4 m/s2的加速度匀减速刹车。为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前9 m区不超速，则在甲车司机开始刹车时，‎ 13‎ 甲、乙两车至少相距多远？‎ ‎【解析】(1)对甲车，速度由20 m/s减至6 m/s过程中的位移 x1==91 m x2=x0+x1=100 m 即：甲车司机需在离收费站窗口至少100 m处开始刹车。‎ ‎(2)设甲刹车后经时间t，‎ 甲、乙两车速度相同，由运动学公式得：‎ v乙-a乙(t-t0)=v甲-a甲t，‎ 解得t=8 s 相同速度 v=v甲-a甲t=4 m/s<6 m/s，‎ 即v0=6 m/s的共同速度为不相撞的临界条件 乙车从34 m/s减速至6 m/s的过程中的位移为 x3=v乙t0+=157 m 所以要满足条件甲、乙的距离至少为 x=x3-x1=66 m。‎ 答案：(1)100 m　(2)66 m 13‎