2014北京海淀高考一模数学文

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2014北京海淀高考一模数学文

海淀区高三年级第二学期期中练习 ‎ 数 学 (文科) 2014.4‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1. ( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 已知集合( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 抛物线上到其焦点距离为5的点有( ).‎ A.0个 B.1个 C. 2个 D. 4个 ‎4. 平面向量满足,,且的夹角为,则=( ).‎ A.1 B. 3 C.5 D. 7‎ ‎5. 函数的部分图象可能是( ).‎ ‎ A B C D ‎ ‎6. 已知等比数列的前项和为,且,,成等差数列,则数列的公比为( ).‎ A.1 B.2 C. D.3‎ ‎7. 已知和是指数函数,则“”是“”的( ).‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎8. 已知,点在曲线上,若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点,则称为曲线关于曲线的一个关联点.那么曲线关于曲线的关联点的个数为( ).‎ A.0 B.1 C.2 D.4‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9.双曲线的离心率为2,则__________.‎ ‎10. 李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案,则所用时间最少的方案是_______ ‎ 方案一: 方案二: 方案三:‎ ‎11. 在中,,,,则 ‎12. 某商场2013年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势,现有三种函数模型:‎ ‎①,;②;③.‎ 能较准确反映商场月销售额与月份x关系的函数模型为 _________(填写相应函数的序号),若所选函数满足,则=_____________.‎ ‎13.一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为 ‎__________.‎ ‎14. 设不等式组表示的区域为,不等式表示的平面区域为.‎ ‎(1)若与有且只有一个公共点,则= ;‎ ‎(2)记为与公共部分的面积,则函数的取值范围是 .‎ 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.‎ ‎15.(本小题满分13分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)求在上的取值范围.‎ ‎16.(本小题满分13分)‎ 某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况,随机对100名出租车司机进行调查.调查问卷共10道题,答题情况如下表:‎ 答对题目数 ‎8‎ ‎9‎ 女 ‎2‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ 男 ‎3‎ ‎37‎ ‎16‎ ‎9‎ ‎ (Ⅰ)如果出租车司机答对题目数大于等于9,就认为该司机对新法规的知晓情况比较好,试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率;‎ ‎ (Ⅱ)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出两人做进一步的调查,求选出的两人中至少有一名女出租车司机的概率.‎ ‎17. (本小题满分14分)‎ 如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC中点,于(不同于点),延长AE交BC于F,将△ABD沿BD折起,得到三棱锥,如图2所示. ‎ ‎(Ⅰ)若M是FC的中点,求证:直线//平面;‎ ‎(Ⅱ)求证:BD⊥;‎ ‎(Ⅲ)若平面平面,试判断直线与直线CD能否垂直?并说明理由. ‎ ‎18. (本小题满分13分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)当时,求证:恒成立. ‎ ‎19. (本小题满分14分)‎ 已知是椭圆上两点,点的坐标为.‎ ‎(Ⅰ)当关于点对称时,求证:;‎ ‎(Ⅱ)当直线经过点 时,求证:不可能为等边三角形.‎ ‎20. (本小题满分13分)‎ 在平面直角坐标系中,对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐标都是整数的点):与:,其中,若同时满足:‎ ‎①两点列的起点和终点分别相同;②线段,其中,‎ 则称与互为正交点列.‎ ‎(Ⅰ)试判断:与:是否互为正交点列,并说明理由;‎ ‎(Ⅱ)求证::不存在正交点列;‎ ‎(Ⅲ)是否存在无正交点列的有序整数点列?并证明你的结论.‎ ‎ ‎ 海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 ‎ 数 学 (文科) 2014.4‎ 阅卷须知:‎ ‎1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数.‎ ‎2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.‎ ‎1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.D 7. C 8.B 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9. 1 10. 方案三 11. , 12. ③, 13. 152‎ ‎14. , ‎ ‎{说明:两空的第一空3分,第二空2分;14题的第二空若写成不扣分}‎ 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.‎ ‎15.解:‎ ‎(Ⅰ) —————————————————1分 ‎ ———————————————2分 ‎ ——————————————————3分 ‎ ———————— ———4分 ‎(Ⅱ) —————————————————6分 ‎ —————————————————8分 因为 所以 —————————————————10分 所以 —————————————————12分 所以的取值范围是 —————————————————13分 ‎16.解:‎ ‎(Ⅰ)答对题目数小于9道的人数为55人,记“答对题目数大于等于9道”为事件A ‎ —————————————————5分 ‎(Ⅱ)设答对题目数少于8道的司机为 A.B.C.D.E,其中A.B为女司机 ,选出两人包含 AB.AC.AD.AE.BC.BD.BE.CD.CE.DE共10种情况,至少有1名女驾驶员的事件为AB.AC.AD.AE.BC.BD.BE共7种.‎ 记“随机选出的两人中至少有1名女驾驶员”为事件M,则 ‎ ——————————————————13分 ‎17.解:‎ ‎(Ⅰ)因为,分别为中点,所以// ——————————————2分 ‎ 又, ‎ 所以. ———————————————4分 ‎ ‎(Ⅱ)因为,且 所以 —————————————7分 又 所以 ————————————————9分 ‎(Ⅲ)直线与直线不能垂直 ———————10分 因为,,,‎ ‎,‎ 所以 . ———————————————————12分 因为,所以,‎ 又因为,所以.‎ 假设,‎ 因为,,‎ 所以, ——————————————————————13分 所以,‎ 这与为锐角矛盾 ‎ 所以直线与直线不能垂直. ————————————————14分 ‎18.解:‎ ‎(Ⅰ)定义域为 ——————————————————1分 ‎ ——————————————————2分 令,得 ————————————————————3分 与的情况如下:‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ————————————————————————————————5分 所以的单调减区间为,单调增区间为—————————————6分 ‎ (Ⅱ)证明1:‎ 设, ———————————————7分 ‎ —————————————8分 与的情况如下:‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ 所以,即 ‎ 在时恒成立, —————————10分 ‎ 所以,当时,, ‎ 所以,即,‎ 所以,当时,有. ————————13分 证明2:‎ 令 ————————————7分 ‎ ————————————8分 令,得 ———————— —9分 与的情况如下:‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ —————————————————————10分 的最小值为 ———————————11分 当时,,所以 故 ———————————————12分 即当时,. ————————————————13分 ‎19.解:(Ⅰ)证明:‎ 因为在椭圆上,‎ 所以 —————————————————1分 因为关于点对称,‎ 所以, ————————————————2分 将代入②得 ③,‎ 由①和③消解得, ———————————————————4分 所以 . ——————————————————5分 ‎(Ⅱ)当直线不存在斜率时,,‎ 可得,不是等边三角形. ———————————6分 当直线存在斜率时,显然斜率不为0.‎ 设直线:,中点为,‎ 联立 消去得, ———————————7分 由,得到 ① —————————————————8分 又, ‎ 所以, ‎ 所以 ————————————————————10分 假设为等边三角形,则有,‎ 又因为,‎ 所以, 即, —————————————11分 化简 ,解得或 ——————————12分 这与①式矛盾,所以假设不成立.‎ 因此对于任意不能使得,故不能为等边三角形. —————————14分 ‎20.解:‎ ‎(Ⅰ)有序整点列与互为正交点列.‎ ‎——————————————1分 理由如下:‎ ‎ 由题设可知 ,,‎ ‎ 因为 ,‎ ‎ 所以 .‎ ‎ 所以整点列与互为正交点列.‎ ‎ ————————————3分 ‎(Ⅱ)证明 :由题意可得 ,‎ ‎ 设点列是点列的正交点列,‎ ‎ 则可设,‎ ‎ 因为相同,所以有 ‎ ‎ ‎ 因为,方程②不成立,‎ ‎ 所以有序整点列不存在正交点列.——————————8分 ‎(Ⅲ)存在无正交点列的整点列. ——————————————9分 当时,设其中是一对互质整数,‎ ‎ 若有序整点列 是点列的正交点列,‎ ‎ 则 ,由 ‎ ‎ 得 ‎ 取,‎ ‎ 由于是整点列,所以有. ‎ ‎ 等式②中左边是3的倍数,右边等于1,等式不成立,‎ ‎ 所以存在无正交点列的整点列. —————————————13分
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