解析几何高考名题选萃1

解析几何高考名题选萃1

解析几何·高考名题选萃 ‎ ‎ 一、选择题 ‎1．以极坐标系中的点(1，1)为圆心，1为半径的圆的方程是 ‎[ ]‎ ‎2．过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 ‎[ ]‎ ‎3．过抛物线y=ax2(a＞0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，‎ ‎[ ]‎ ‎[ ]‎ ‎5．若右图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 ‎[ ]‎ A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2‎ C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2‎ ‎6．下列四个命题中的真命题是 ‎[ ]‎ A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示 B．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)=(x－x1)(y2－y1)表示 D．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y=kx＋b表示 ‎7．已知集合M=｛(x，y)|x＋y=2}，N={(x，y)|x－y=4} ，那么集合M∩N为 ‎[ ]‎ A．x=3，y＝－1‎ B．(3，－1)‎ C．{3，－1}‎ D．{(3，－1)}‎ ‎8．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，那么系数a＝‎ ‎[ ]‎ ‎9．设a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA·x+ay+c＝0与bx－sinB·y＋sinC＝0的位置关系是 ‎[ ]‎ A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 ‎10．如果方程x2+ky=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 ‎[ ]‎ A．(0，＋∞) B．(0，2) C．(1，＋∞) D．(0，1)‎ 足∠F1DF2＝90°，则△F1DF2的面积是 ‎[ ]‎ ‎12．在直角坐标系xOy中，曲线C的方程是y＝cosx，现平移坐标 的方程是 ‎[ ]‎ ‎ ‎ ‎13．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是 ‎[ ]‎ ‎[ ]‎ 椭圆方程是 ‎[ ]‎ 的方程是 ‎[ ]‎ 所表示的曲线是 ‎[ ]‎ A．实轴在y轴上的双曲线 B．实轴在x轴上的双曲线 C．长轴在y轴上的椭圆 D．长轴在x轴上的椭圆 的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的 ‎[ ]‎ A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍 ‎[ ]‎ 在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是 ‎[ ]‎ A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④‎ ‎(x－2)2＋y2＝3的位置关系是 ‎[ ]‎ A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心 C．直线与圆相切 D．直线与圆没有公共点 ‎22．若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)，F2(3，0)，则其离心率为 ‎[ ]‎ ‎[ ]‎ ‎[ ]‎ ‎25．下列以t为参数的参数方程所表示的曲线中，与方程xy＝1所表示的曲线完全一致的是 ‎[ ]‎ 二．填空题 F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围________．‎ PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为________．‎ ‎28．已知O(0，0)和A(6，3)两点，若点P在直线OA上，且 ‎29．抛物线y2＝8－4x的准线方程是________，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是________．‎ ‎31．直线l过抛物线y2＝a(x＋1)(a＞0)的焦点，并且与x轴垂直．若l被抛物线截得的线段长为4，则a＝________．‎ ‎32．到点A(－1，0)和直线x＝3距离相等的点的轨迹方程是________．‎ ‎33．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则p=________．‎ ‎34．平移坐标轴将抛物线4x2－8x＋y＋5＝0化为标准方程x′2＝ay′(a≠0)，则新坐标系的原点在原坐标系中的坐标是________．‎ ‎35．设圆x2＋y2－4x－5=0的弦AB的中点为P(3，1)，则直线AB的方程是________．‎ 曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．‎ F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是________．‎ ‎38．若平移坐标系，将曲线方程y2＋4x－4y－4=0化为标准方程，‎ ‎_______．‎ ‎40．极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是________．‎ 线的距离是_________．‎ ‎43．极坐标方程5ρ2cos2θ＋ρ2－24＝0所表示的曲线焦点的极坐标为_________．‎ 三、解答题 ‎45．已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(－1，0)和点B(0，8)关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程．‎ ‎46．设椭圆的中心在原点O，一个焦点为F(0，1)，长轴和短轴的长度之比为t．‎ ‎①求椭圆的方程；‎ ‎②设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，‎ 说明轨迹是什么图形．‎ ‎47．如右图，给出定点A(a，0)(a＞0)和直线l：x＝－1．B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于C．求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系．‎ ‎①用θ、m、n表示四边形ABCD的面积S．‎ l2与双曲线y2－x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2．‎ ‎①求l1的斜率k1的取值范围；‎ ‎50．已知A(－1，2)为抛物线C∶y＝2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2∶x＝a(a≠1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D．‎ ‎①求直线l1的方程；‎ ‎②设△ABD的面积为S1，求|BD|及S1的值；‎ ‎③设由抛物线C、直线l1、l2所围成的图形的面积为S2．求证：S1：S2的值为与a无关的常数．‎ ‎0)为圆心、1为半径的圆相切，双曲线S的一个顶点A′与点A关于直线y＝x对称．设直线l过点A，斜率为k．‎ ‎①求双曲线S的方程；‎ ‎②当k＝1时，在双曲线S的上支上求点B，使其与直线l的距离 ‎③当0≤k＜1时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l ‎52．设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程．‎ ‎53．如右图，抛物线方程为y2＝p(x＋1)(p＞0)，直线x＋y＝m与x轴的交点在抛物线的准线的右边．‎ ‎①求证：直线与抛物线总有两个交点．‎ ‎②设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥OR，求p关于m的函数f(m)的表达式；‎ ‎③在②的条件下，若m变化，使得原点O到直线QR的距离不大于 ‎54．如右图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且|BN|＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．‎ ‎55．设曲线C的方程是y＝x3－x，将C沿x轴，y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1．‎ ‎①写出曲线C1的方程；‎ 标是(0，‎3a)，求线段AB的中点M的轨迹C的方程．‎ ‎②过点D(2，0)的直线l交上述轨迹C于P、Q两点，E点坐标是(1，0)，若△EPQ的面积为4，求直线l的倾斜角α的值．‎ ‎ ‎ 参考答案提示 ‎ ‎ 一、选择题 ‎1．C 2．C 3．C 4．C 5．D 6．B ‎7．D 8．B 9．C 10．D 11．A 12．B ‎13．C 14．A 15．C 16．A 17．C 18．A ‎19．C 20．D 21．C 22．C 23．B 24．B ‎25．D ‎20．本小题考查直线方程，以及直线与直线，直线与圆，直线与椭圆，双曲线的位置关系．由于P满足|MP|＝|NP|，所以点P在线段MN的 所以曲线①与l平行，故点P不能在曲线①上．曲线③为椭圆，将l方程 选项只有选项D成立‎ ‎21．本小题考查直线的斜率和倾斜角以及直线与圆的位置关系．直 ‎24．本小题考查极坐标和圆的知识．解法一：将曲线的极坐标方程 ‎25．本小题考查参数方程化普通方程．A与B中x＞0，C中－1≤x≤1，与xy=1中x的范围x∈R且x≠0不符，故选D．‎ 二、填空题 ‎31．4 32．y2=－8x＋8 33．2‎ ‎34．(1，－1) 35．x＋y－4=0 36．16/3‎ ‎38．(2，2)．提示：本小题考查坐标轴的平移．将y2＋4x－4y－4=0配方，得(y－2)2=－4(x－2)．令y′＝y－2，x′＝x－2，得y′2＝－4x′．故h=2，k=2，新原点的坐标为(2，2)．‎ 曲线的几何性质．5ρ2cos2θ＋ρ2－24＝0，变形为5ρ2(cos2θ 三、解答题 ‎44．本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力．‎ 如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴．因为双曲线经过点C、D，且以A，B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．‎ 为双曲线的半焦距，h是梯形的高．‎ 由定比分点坐标公式得 将③式代入②式，整理得 ‎46．①椭圆的方程为t2(t2－1)x2＋(t2－1)y2＝t2；‎ ‎②点P的轨迹方程为 ‎47．本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．‎ 依题意，记B(－1，b)(b∈R)，则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=－bx．设点C(x，y)，则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等．根据点到直线的距离公式得 依题设，点C在直线AB上，故有 将②式代入①式得 整理得 y2[(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2]＝0，‎ 若y≠0，则(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2=0(0＜x＜a)；‎ 若y＝0，则b=0，∠AOB＝π，点C的坐标为(0，0)，满足上式．‎ 综上得点C的轨迹方程为 ‎(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2=0(0≤x＜a)．‎ ‎(i)当a＝1时，轨迹方程化为 y2＝x(0≤x＜1)．③‎ 此时，方程③表示抛物线弧段；‎ ‎(ii)当a≠1时，轨迹方程为 所以，当0＜a＜1时，方程④表示椭圆弧段；‎ 当a＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段．‎ ‎48．略 ‎50．①l1 的方程为4x＋y＋2=0；②S1＝|a＋1|3；‎ ‎③∵当0≤k＜1时，双曲线S的上支在直线l的上方，‎ ‎∴点B在直线l的上方．‎ 线l′在直线l的上方．双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的 由方程 y2－x2＝2及 y＝kx＋m，消去y，得 ‎(k2－1)x2＋2mkx＋m2－2=0．‎ ‎∵ k2≠1‎ ‎∵ 0≤k＜1，‎ ‎52．设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则P到x轴、y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆 又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2＝a2＋1．‎ 从而有2b2－a2＝1．‎ 所以 5d2=|a－2b|2＝a2＋4b2－4ab ‎≥a2＋4b2－2(a2＋b2)‎ ‎＝2b2－a2=1．‎ 当且仅当a＝b时上式等号成立，此时5d2＝1，从而d取得最小值．‎ 于是，所求圆的方程是 ‎(x－1)2＋(y－1)2＝2，或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2‎ 由②知m＞－2且m≠0，故m∈〔－1，0)∪(0，1〕．‎ 当m∈［－1，0)时，任取m1、m2，0＞m1＞m2≥－1，‎ ‎＜0，又由m1－m2＞0，知f(m1)＜f(m2)，因而f(m)为减函数，可见，当m∈〔－1，0)时，P∈(0，1〕．同样可证，当m∈〔1，0)时，‎ ‎54．如图，建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．‎ 依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点．‎ 设曲线段C的方程为 y2=2px(p＞0)(xA≤x≤xB，y＞0)，‎ 其中xA、xB分别为A、B的横坐标，p＝|MN|．‎ ‎∴ p＝4，xA＝1．‎ 所以曲线段C的方程为y2＝8x(1≤x≤4，y＞0)‎ ‎55．①曲线C1的方程为y＝(x－t)3－(x－t)＋s．‎ ‎②在曲线C上任取一点B1(x1，y1)，设B2(x2，y2)是B1关于点A的对称点，则有 ‎∴ x1＝t－x2，y1=s－y2．‎ 代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：‎ s－y2＝(t－x2)3－(t－x2)，‎ 即 y2=(x2－t)3－(x2－t)＋s．‎ 可知点B2(x2，y2)在曲线C1上．‎ 反过来，同样可以证明，曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上．因此，曲线C与C1关于点A对称．‎ ‎③因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，所以方程组 有且仅有一组解．‎ 消去y，整理得 3tx2－3t2x＋(t3－t－s)＝0．‎ 这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根，所以t≠0并且其根的判别式 Δ=9t4－12t(t3－t－s)＝0，‎ ‎56．①轨迹C的方程为y2＝4(x－1)(如图)；‎ ‎②设直线l的方程为y=k(x－2)，因l与抛物线有两个交点，故k≠‎ ‎∴ △EPQ的面积为