2015高考数学人教A版本（8-5双曲线）一轮复习学案
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 8-5双曲线课后强化作业 新人教A版
基础巩固强化
一、选择题
1．(2013·北京)双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是( )
A．m> B．m≥1
C．m>1 D．m>2
[答案] C
[解析] 双曲线离心率e＝>，
所以m>1，选C.
2．(文)(2012·石家庄质检)已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[答案] C
[解析] 设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，∵e＝＝，c＝，∴＝＝，∴＝2，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选C.
(理)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] A
[解析] 由渐近线方程为y＝±x知，＝，
∴a＝b，①
又顶点到渐近线距离为1，
∴＝1，②
由①②得，a＝2，b＝，∴选A.
3．(2013·广东六校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－5,0)和C(5,0)，若顶点B在双曲线－＝1上，则为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 设△ABC中角A、B、C所对的边分别是a、b、c，
由正弦定理得＝，
由双曲线的标准方程和定义可知，A、C是双曲线的焦点，且|AC|＝10，||BC|－|AB||＝8.
所以＝，故选C.
4．(文)(2013·保定调研)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝48x的准线上．则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] B
[解析] 由题意可知解得
所以选B.
(理)(2013·辽宁六校联考)设P(2，)是双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线上的一点，E、F分别是双曲线的左、右焦点，若·＝0，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] C
[解析] 由条件易得＝，且(2＋c，)·(2－c，)＝(2＋c)(2－c)＋5＝9－c2＝0，∴c2＝9，a2＝4，b2＝5，故选C.
5．(文)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] A
[分析] 首先根据椭圆的离心率与长轴长求焦距，再根据双曲线的定义，求曲线C2的标准方程．
[解析] 在椭圆C1中，因为e＝，2a＝26，所以椭圆的焦距2c＝10，根据题意，可知曲线C2为双曲线，根据双曲线的定义可知，双曲线C2中的2a＝8，焦距与椭圆的焦距相同，即2c＝10，可知b＝3，所以双曲线的标准方程为－＝1，故选A.
(理)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] D
[解析] 抛物线y2＝16x的焦点坐标是(4,0)，于是有由此解得a2＝4，b2＝12，故双曲线的方程是－＝1，选D.
6．(2013·淮北二模)过已知双曲线－＝1(b>0)的左焦点F1作⊙O2：x2＋y2＝4的两条切线，记切点为A，B，双曲线的左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D．2
[答案] D
[解析] 如图，
∵∠OCA＝60°，|OC|＝|OA|＝2，
∴∠AOC＝60°，∠AF1C＝30°，
∴e＝＝＝＝2.
二、填空题
7．(文)若双曲线－＝1的离心率e＝2，则m＝________.
[答案] 48
[解析] ∵＝2，∴m＝48.
(理)已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mx－y＝0，若m为集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意一个值，则使得双曲线的离心率大于3的概率是________．
[答案]
[解析] 由题意知双曲线方程可设为m2x2－y2＝1，从而e＝>3，∵m>0，∴m>2，故所求概率是，故填.
8．(2013·广东茂名质检)设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
[答案]
[解析] c＝5，设过点F平行于一条渐近线的直线方程为y＝(x－5)，即4x－3y－20＝0，联立直线与双曲线方程，求得yB＝－，则S＝|AF|·|yB|＝×(5－3)×＝.
9．(2013·北京大兴模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p
>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为________．
[答案] 2
[解析] 由解得
由题意得得
又已知＋a＝4，故a＝2，b＝1，c＝＝.
所以双曲线的焦距2c＝2.
三、解答题
10．(文)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)在(2)的条件下，求△F1MF2的面积．
[解析] (1)∵e＝，
∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6，
∴双曲线方程为－＝1.
(2)证明：法1：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，
∴c＝2，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝，
∵点M(3，m)在双曲线上，∴m2＝3，
∴kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，即·＝0.
法2：∵＝(－2－3，－m)，
＝(2－3，－m)，
∴·＝(－2－3)×(2－3)＋m2＝－3＋m2，
∵点M在双曲线上，
∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴·＝0.
(3)∵△F1MF2的底边长|F1F2|＝4，△F1MF2的高h＝|m|＝，
∴S△F1MF2＝6.
(理)(2013·铜陵一模)若双曲线E：－y2＝1(a>0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若|AB|＝6，点C是双曲线上一点，且＝m(＋)，求k，m的值．
[解析] (1)由得
故双曲线E的方程为x2－y2＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①
∵直线与双曲线右支交于A，B两点，
故
即
所以1
0，a>0)与抛物线y＝x2有一个公共焦点F，双曲线的过点F且垂直于y轴的弦长为，则双曲线的离心率等于( )
A．2 B.
C. D.
[答案] B
[解析] 双曲线与抛物线x2＝8y的公共焦点F的坐标为(0,2)，由题意知(，2)在双曲线上，于是，得a2＝3，b2＝1，故e＝＝，故选B.
(理)(2013·安徽皖南八校联考)设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使·＝0，且△F1PF2的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为( )
A. B.
C．2 D．5
[答案] D
[解析] 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，且m>n，|F1F2|＝2c，由题可知△F1PF2为直角三角形且F1F2为斜边．由双曲线的几何性质和直角三角形的勾股定理得
由①③得
代入②得(2c－2a)2＋(2c－4a)2＝4c2，整理得c2－6ac＋5a2＝0，等式两边同时除以a2得e2－6e＋5＝0，解得e＝5或e＝1.因为双曲线的离心率e>1，所以e＝5.
12．(2013·开封一模)已知A，B是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，点C在双曲线上，在△ABC中，∠ACB＝90°，sinAsinB＝21，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 依题意得sinAsinB＝|BC||AC|＝21，则|BC|＝2|AC|，又∠ACB＝90°，所以|AB|＝|AC|，故双曲线的离心率e＝＝＝，选D.
13．(文)若原点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为( )
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C．[－，＋∞) D．[，＋∞)
[答案] B
[解析] ∵a2＋1＝22＝4，∴a2＝3，
∴双曲线方程为－y2＝1.
设P点坐标为(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋2，y)，
∵y2＝－1，∴·＝x2＋2x＋y2
＝x2＋2x＋－1＝x2＋2x－1＝(x＋)2－.
又∵x≥(右支上任意一点)，
∴·≥3＋2.故选B.
(理)设F1、F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|＝|F1F2|，且cos∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为( )
A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0
C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0
[答案] C
[解析] 在△PF1F2中，由余弦定理得，
cos∠PF1F2＝
＝＝＝.
所以|PF1|＝c.
又|PF1|－|PF2|＝2a，即c－2c＝2a，所以c＝a.
代入c2＝a2＋b2得＝±.
因此，双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0.
二、填空题
14．(2013·湖南)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
[答案] ＋1
[解析] 由已知可得，|PF1|＝2ccos30°＝c，|PF2|＝2csin30°＝c，由双曲线的定义，可得c－c＝2a，则e＝＝＝＋1.
15．(文)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率是2，则的最小值为________．
[答案]
[解析] 由离心率e＝2得，＝2，从而b＝a>0，
所以＝＝a＋
≥2＝2＝，当且仅当a＝，
即a＝时“＝”成立．
(理)P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．
[答案] 5
[解析] 双曲线的两个焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r1＝2，r2＝1，|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝5.
三、解答题
16．(文)已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线与圆x2＋y2－10x
＋20＝0相切．过点P(－4,0)作斜率为的直线l，交双曲线左支于A、B两点，交y轴于点C，且满足|PA|·|PB|＝|PC|2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设点M为双曲线上一动点，点N为圆x2＋(y－2)2＝上一动点，求|MN|的取值范围．
[解析] (1)设双曲线的渐近线方程为y＝kx，
因为渐近线与圆(x－5)2＋y2＝5相切，
则＝，即k＝±，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
设双曲线方程为x2－4y2＝m，将y＝(x＋4)代入双曲线方程中整理得，3x2＋56x＋112＋4m＝0.
所以xA＋xB＝－，xAxB＝.
因为|PA|·|PB|＝|PC|2，点P、A、B、C共线，且点P在线段AB上，则(xP－xA)(xB－xP)＝(xP－xC)2，即(xB＋4)(－4－xA)＝16.
所以4(xA＋xB)＋xAxB＋32＝0.
于是4·(－)＋＋32＝0，解得m＝4.
故双曲线方程是x2－4y2＝4，即－y2＝1.
(2)设点M(x，y)，圆x2＋(y－2)2＝的圆心为D，则x2－4y2＝4，点D(0,2)．
所以|MD|2＝x2＋(y－2)2＝4y2＋4＋(y－2)2
＝5y2－4y＋8＝5(y－)2＋≥.
所以|MD|≥，
从而|MN|≥|MD|－≥.
故|MN|的取值范围是[，＋∞)．
(理)已知斜率为1的直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)相交于B、D两点，且BD的中点为M(1,3)．
(1)求C的离心率；
(2)设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
[解析] (1)由题意知，l的方程为：y＝x＋2，
代入C的方程并化简得，
(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0.
设B(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1·x2＝－，①
由M(1,3)为BD的中点知＝1，故×＝1，
即b2＝3a2，②
故c＝＝2a，
∴C的离心率e＝＝2.
(2)由②知，C的方程为3x2－y2＝3a2，
A(a,0)，F(2a,0)，x1＋x2＝2，x1·x2＝－<0，
故不妨设x1≤－a，x2≥a，
|BF|＝＝＝a－2x1，
|FD|＝＝＝2x2－a，
|BF|·|FD|＝(a－2x1)(2x2－a)
＝－4x1x2＋2a(x1＋x2)－a2＝5a2＋4a＋8.
又|BF|·|FD|＝17，故5a2＋4a＋8＝17，
解得a＝1，或a＝－.
故|BD|＝|x1－x2|＝＝6.
连接MA，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，
从而MA＝MB＝MD，∠DAB＝90°，
因此以M为圆心，MA为半径的圆过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．
考纲要求
了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．
补充说明
1．数学思想的应用
(1)在双曲线的几何性质的讨论中，要注意方程思想的应用．
(2)求双曲线的方程，离心率等，常常要讨论焦点在哪个轴上．
(3)求取值范围的问题、最值问题要注意函数思想的应用．
(4)圆锥曲线的大部分题目，结合图形分析更有利于思路的打通．
2．双曲线的形状与e的关系：∵双曲线渐近线的斜率k＝＝＝＝，∴e越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．故双曲线的离心率越大，它的开口就越宽阔．
3．基础三角形如图，△AOB中，|OA|＝a，|AB|＝b，|OB|＝c，tan∠AOB＝，△OF2D中，|F2D|＝b.
备选习题
1．(2013·惠州模拟)已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1，) B．(1，]
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
[答案] C
[解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
则由题意得>2.∴e＝＝>＝.
2．(2012·浙江文，8)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M、N是双曲线的两顶点，若M、O、N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A．3 B．2
C. D.
[答案] B
[解析] 本题考查了椭圆与双曲线中离心率e的求法．设椭圆长轴长为2a，则双曲线实半轴长为＝，
因为椭圆与双曲线有公共焦点，
所以离心率的比值＝＝2.
3．存在两条直线x＝±m与双曲线－＝1(a>0，b>0)相交于A、B、C、D四点，若四边形ABCD为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A．(1，) B．(1，)
C．(，＋∞) D．(，＋∞)
[答案] C
[解析] 依题意，不妨设直线AC的倾斜角为锐角，则直线AC的倾斜角为45°，该直线与双曲线有两个不同的交点，因此有>tan45°＝1，双曲线的离心率e＝＝>＝，则该双曲线的离心率的取值范围是(，＋∞)，选C.
4．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] B
[解析] 设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有：两式作差得：＝＝，
又AB的斜率是＝1，所以b2＝a2，
代入a2＋b2＝9得，a2＝4，b2＝5，
所以双曲线标准方程是－＝1，故选B.
5.
如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，当动点M在底面ABCD内运动时，总有：D1A＝D1M，则动点M在面ABCD内的轨迹是( )上的一段弧．( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案] A
[解析] 因为满足条件的动点在底面ABCD内运动时，动点的轨迹是以D1D为轴线，以D1A为母线的圆锥，与平面ABCD的交线即圆的一部分．故选A.
6．(2013·江苏泰州质检)已知点N(1,2)，过点N的直线交双曲线x2－＝1于A，B两点，且＝(＋)．
(1)求直线AB的方程；
(2)若过N的另一条直线交双曲线于C，D两点，且·＝0，那么A，B，C，D四点是否共圆？为什么？
[解析] (1)由题意知直线AB的斜率存在．
设直线AB：y＝k(x－1)＋2，代入x2－＝1得，
(2－k2)x2－2k·(2－k)x－(2－k)2－2＝0.(*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两根，
∴2－k2≠0且x1＋x2＝.
∵＝(＋)，∴N是AB的中点，∴＝1，
∴k(2－k)＝－k2＋2，∴k＝1，
∴AB的方程为y＝x＋1.
(2)将k＝1代入方程(*)得x2－2x－3＝0，
∴x＝－1或x＝3，
不妨设A(－1,0)，B(3,4)．
∵·＝0，∴CD垂直平分AB.
∴CD所在直线方程为y＝－(x－1)＋2，即y＝3－x，
代入双曲线方程整理得x2＋6x－11＝0，
令C(x3，y3)，D(x4，y4)及CD中点M(x0，y0)，
则x3＋x4＝－6，x3·x4＝－11，
∴x0＝＝－3，y0＝6，即M(－3,6)．
|CD|＝|x3－x4|
＝＝4，
|MC|＝|MD|＝|CD|＝2，
|MA|＝|MB|＝2，
即A，B，C，D到M的距离相等，∴A，B，C，D四点共圆．
