高考数学理科二轮复习资料全套
高考数学理科二轮复习资料全套
一、集合与常用逻辑用语（理科数学）
1.集合
(1)集合的运算性质：①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁UA⊇∁UB.
(2)子集、真子集个数计算公式：
对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2.
(3)数轴和Venn图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘记集合本身和空集这两种特殊情况.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.
2.四种命题及其相互关系
(1)
(2)互为逆否命题的两命题同真同假.
3.含有逻辑联结词的命题的真假
(1)命题p∨q：若p、q中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则真.
(2)命题p∧q：若p、q中至少有一个为假，则命题为假命题，p、q同为真时，命题才为真命题，简记为：一假则假，同真则真.
(3)命题綈p与命题p真假相反.
4.全称命题、特称命题及其否定
(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称命题綈p：∃x0∈M，綈p(x0).
(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题綈p：∀x∈M，綈p(x).
5.充分条件和必要条件
(1)若p⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；
(2)若p⇏q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件；
(3)若p⇔q，则称p是q的充要条件；
(4)若p⇏q且q⇏p，则称p是q的既不充分也不必要条件.
1.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集.
2.易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}.
3.集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性.
4.空集是任何集合的子集.由条件A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析研究A＝∅的情况.
5.区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p，则q”，则该命题的否定为“若p，则綈q”，其否命题为“若綈p，则綈q”.
6.在对全称命题和特称命题进行否定时，不要忽视对量词的改变.
7.对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论.
1.已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( )
A.0或 B.0或3 C.1或 D.1或3
答案 B
解析 ∵A∪B＝A，∴B⊆A，
∴m∈{1，3，}，
∴m＝1或m＝3或m＝，
由集合中元素的互异性易知m＝0或m＝3.
2.设集合A＝{x|1
5}，则M∪N等于( )
A.{x|－3－3} D.{x|x<－3或x>5}
答案 C
解析 在数轴上表示集合M、N，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}，故选C.
4.满足条件{a}⊆A⊆{a，b，c}的所有集合A的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D
解析 满足题意的集合A可以为{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}，共4个.
5.已知集合U＝R(R是实数集)，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∪(∁UB)等于( )
A.[－1，0] B.[1，2] C.[0，1] D.(－∞，1]∪[2，＋∞)
答案 D
解析 B＝{x|x2－2x<0}＝(0，2)，
A∪(∁UB)＝[－1，1]∪(－∞，0]∪[2，＋∞)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，故选D.
6.下列命题正确的是( )
(1)命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R，2≤0”；
(2)l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α；
(3)给定命题p，q，若“p∧q为真命题”，则綈p是假命题；
(4)“sin α＝”是“α＝”的充分不必要条件.
A.(1)(4) B.(2)(3) C.(1)(3) D.(3)(4)
答案 C
解析 命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R，2≤0”；l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α；给定命题p，q，若“p∧q为真命题”；则p且q是真命题，綈p且綈q是假命题；“sin α＝”是“α＝”的必要不充分条件，因此(1)(3)为真，选C.
7.设命题p：∃x0∈R，使x＋2x0＋a＝0(a∈R)，则使得p为真命题的一个充分不必要条件是( )
A.a>－2 B.a<2 C.a≤1 D.a<0
答案 D
解析 设f(x)＝x2＋2x＋a，则p为真命题⇔f(x)在R内有零点⇔Δ≥0⇔a≤1.
8.已知命题p：在△ABC中，若AB1”是“<1”的必要不充分条件.在命题p∧q，p∨ q，(綈p)∨q，(綈p)∧q中，真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 A
解析 由题意得，在△ABC中，若AB1”是“<1”的充分不必要条件，所以q假，只有p∨q为真命题，故选A.
9.已知命题p：∀m∈[0，1]，x＋≥2m，则綈p为( )
A.∀m∈[0，1]，x＋<2m
B.∃m0∈[0，1]，x＋≥2
C.∃m0∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，x＋≥2
D.∃m0∈[0，1]，x＋<2
答案 D
解析 根据全称命题与特称命题的关系，可知命题p：∀m∈[0，1]，x＋≥2m，则綈p为“∃m0∈[0，1]，x＋<2”，故选D.
10.下列结论正确的是________.
(1)f(x)＝ax－1＋2(a>0，且a≠1)的图象经过定点(1，3)；
(2)已知x＝log23，4y＝，则x＋2y的值为3；
(3)若f(x)＝x3＋ax－6，且f(－2)＝6，则f(2)＝18；
(4)f(x)＝x(－)为偶函数；
(5)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|mx＝1}，且B⊆A，则m的值为1或－1.
答案 (1)(2)(4)
解析 (1)当x＝1时，f(1)＝a0＋2＝1＋2＝3，则函数的图象经过定点(1，3)，故(1)正确；
(2)已知x＝log23，4y＝，则22y＝，2y＝log2，则x＋2y＝log23＋log2＝log2(×3)＝log28＝3，故(2)正确；
(3)若f(x)＝x3＋ax－6，且f(－2)＝6，则(－2)3－2a－6＝6，即a＝－10，则f(2)＝23－2×10－6＝－18，故(3)错误；
(4)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
f(x)＝x(－)＝x·，
则f(－x)＝－x·＝－x·＝x·＝f(x)，
即有f(x)为偶函数，则f(x)＝x(－)为偶函数，故(4)正确；
(5)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|mx＝1}，且B⊆A，
当m＝0时，B＝∅，也满足条件，故(5)错误，故正确的是(1)(2)(4).
11.已知M是不等式≤0的解集且5∉M，则a的取值范围是________________.
答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞)
解析 若5∈M，则≤0，∴(a＋2)(a－5)≤0且a≠5，∴－2≤a＜5，∴5∉M时，a<－2或a≥5.
12.若三个非零且互不相等的实数a，b，c满足＋＝，则称a，b，c是调和的；若满足a＋c＝2b，则称a，b，c是等差的.若集合P中元素a，b，c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好集”，若集合M＝{x||x|≤2 014，x∈Z}，集合P＝{a，b，c}⊆M，则(1)“好集”P中的元素最大值为________；(2)“好集”P的个数为________.
答案 2 012 1 006
解析 因为a＝－2b，c＝4b，若集合P中元素a、b、c既是调和的，又是等差的，则＋＝且a＋c＝2b，故满足条件的“好集”为形如{－2b，b，4b}(b≠0)的形式，则－2 014≤4b≤2 014，解得－503≤b≤503，且b≠0，P中元素的最大值为4b＝4×503＝2 012.符合条件的b值可取1 006个，故“好集”P的个数为1 006.
13.设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；命题q：实数x满足x2＋2x－8>0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.
答案 (－∞，－4]
解析 由命题q：实数x满足x2＋2x－8>0，得x<－4或x>2，由命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0，得(x－3a)(x－a)<0，∵a<0，∴3a0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________.
答案 (2，＋∞)
解析 ∵≤1⇔－1≤－1≤1⇔0≤≤2⇔－1≤x≤3，∴p：－1≤x≤3；
∵x2－2x＋1－m2<0(m>0)⇔[x－(1－m)][x－(1＋m)]<0⇔1－m2.
二、函数与导数
1．函数的定义域和值域
(1)求函数定义域的类型和相应方法
①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；
②若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f[g(x)]的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈[a，b])的值域；
③在实际问题中应使实际问题有意义．
(2)常见函数的值域
①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R；
②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：a>0时，值域为，a<0时，值域为；
③反比例函数y＝(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}．
2．函数的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．
(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值：若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．
3．关于函数周期性、对称性的结论
(1)函数的周期性
①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
②设f(x)是R上的偶函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期．
③设f(x)是R上的奇函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，4a是它的一个周期．
(2)函数图象的对称性
①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，
即f(x)＝f(2a－x)，
则f(x)的图象关于直线x＝a对称．
②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，
即f(x)＝－f(2a－x)，
则f(x)的图象关于点(a,0)对称．
③若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，
则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
4．函数的单调性
函数的单调性是函数在定义域上的局部性质．
①单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，
那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
②若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f[g(x)]的单调性．
5．函数图象的基本变换
(1)平移变换：
y＝f(x)y＝f(x－h)，
y＝f(x)y＝f(x)＋k.
(2)伸缩变换：
y＝f(x)y＝f(ωx)，
y＝f(x)y＝Af(x)．
(3)对称变换：
y＝f(x)y＝－f(x)，
y＝f(x)y＝f(－x)，
y＝f(x)y＝－f(－x)．
6．准确记忆指数函数与对数函数的基本性质
(1)定点：y＝ax (a>0，且a≠1)恒过(0,1)点；
y＝logax(a>0，且a≠1)恒过(1,0)点．
(2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调递增；y＝logax在(0，＋∞)上单调递增；
当00的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．
(2)由函数的单调性求参数的取值范围：①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)
恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0 (x∈M)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．
10．利用导数研究函数的极值与最值
(1)求函数的极值的一般步骤：①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：
若左正右负，则x0为极大值点；
若左负右正，则x0为极小值点；
若不变号，则x0不是极值点．
(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则．
2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．
3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．
5．准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y＝ax(a>0，a≠1)的单调性忽视字母a的取值讨论，忽视ax>0；对数函数y＝logax(a>0，a≠1)忽视真数与底数的限制条件．
6．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．
7．已知可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”号，且需验证“＝”不能恒成立；而已知可导函数f(x)的单调递增(减)区间为(a，b)，则f′(x)＞0(＜0)的解集为(a，b)．
8．f′(x)＝0的解不一定是函数f(x)的极值点．一定要检验在x＝x0的两侧f′(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．
1．若函数f(x)＝则f[f(1)]等于( )
A．－10 B．10 C．－2 D．2
答案 C
解析 由f[f(1)]＝f(21－4)＝f(－2)＝2×(－2)＋2＝－2，故选C.
2．若函数f(x)＝x2－ln x＋1在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[1，)
C．[1,2) D．[，2)
答案 B
解析 因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，y′＝2x－，
由f′(x)＝0，得x＝.利用图象可得，
解得1≤k<，故选B.
3．若函数f(x)＝单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．(，3) B．[，3)
C．(1,3) D．(2,3)
答案 D
解析 因为函数f(x)＝单调递增，所以12，所以实数a的取值范围是(2,3)，故选D.
4．函数y＝的图象大致形状是( )
答案 A
解析 y＝
y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，且y＝2x＞0，
排除B，D；
又y＝－2x在(－∞，0)上单调递减，排除C.
5．(2016·课标全国甲)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )
A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝
答案 D
解析 函数y＝10lg x的定义域为{x|x>0}，值域为{y|y>0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y＝，故选D.
6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且f(－1)＝2，则f(2 017)的值是( )
A．2 B．0 C．－1 D．－2
答案 D
解析 由题意得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数是以T＝4的周期函数，所以f(2 017)＝f(1)＝－f(－1)＝－2，故选D.
7．已知函数f(x)＝x－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值( )
A．恒为正值 B．等于0
C．恒为负值 D．不大于0
答案 A
解析 由题意知f(x)为(0，＋∞)上的减函数，
又f(x0)＝0，x1＜x0，
∴f(x1)＞f(x0)＝0，故选A.
8．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
答案 D
解析 易知log23>1，log32，log52∈(0,1)．在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log3x与y＝log5x的图象，观察可知log32>log52.所以c>a>b.比较a，b的其他解法：log32>log3＝，log52b；0，结合换底公式得log32>log52，即a＞b.
9．若函数f(x)定义域为[－2,2]，则函数y＝f(2x)·ln(x＋1)的定义域为________．
答案 (－1,1]
解析 由题意可得∴－10，当x>0时，f′(x)<0，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，
在(0，＋∞)上单调递减．
(2)存在x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，
则2[φ(x)]min<[φ(x)]max.
∵φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x＝，
∴φ′(x)＝＝－.
①当t≥1时，φ′(x)≤0，φ(x)在[0,1]上单调递减，
∴2φ(1)<φ(0)，即t>3－>1；
②当t≤0时，φ′(x)>0，φ(x)在[0,1]上单调递增，
∴2φ(0)<φ(1)，即t<3－2e<0；
③当00，φ(x)在(t,1)上单调递增，
∴2φ(t)0，A>0)的图象
(1)“五点法”作图：
设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得.
(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口.
(3)图象变换：
y＝sin xy＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ).
7.正弦定理及其变形
＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径).
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
sin A＝，sin B＝，sin C＝.
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
8.余弦定理及其推论、变形
a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C.
9.面积公式
S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C.
10.解三角形
(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解.
(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一.
(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解.
(4)已知三边，利用余弦定理求解.
11.平面向量的数量积
(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ.
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
12.两个非零向量平行、垂直的充要条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
13.利用数量积求长度
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
||＝.
14.利用数量积求夹角
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝.
15.三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝.
(2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0.
(3)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·.
(4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.
1.利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号.
2.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围.
3.求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解.
4.三角函数图象变换中，注意由y＝sin ωx的图象变换得y＝sin(ωx＋φ)时，平移量为，而不是φ.
5.在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.
6.要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行.
7.a·b>0是〈a，b〉为锐角的必要不充分条件；
a·b<0是〈a，b〉为钝角的必要不充分条件.
1.2sin 45°cos 15°－sin 30°的值等于( )
A. B. C. D.1
答案 C
解析 2sin 45°cos 15°－sin 30°＝2sin 45°cos 15°－sin(45°－15°)＝2sin 45°cos 15°－(sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°)＝sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°＝sin 60°＝.故选C.
2.要得到函数y＝sin 2x的图象，可由函数y＝cos(2x－)( )
A.向左平移个单位长度得到
B.向右平移个单位长度得到
C.向左平移个单位长度得到
D.向右平移个单位长度得到
答案 D
解析 由于函数y＝sin 2x＝cos(－2x)＝cos(2x－)＝cos[2(x－)－]，所以可由函数y＝cos(2x－)向右平移个单位长度得到函数y＝sin 2x的图象，
故选D.
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )
A.3 B. C. D.3
答案 C
解析 c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6，①
∵C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，②
由①和②得ab＝6，
∴S△ABC＝absin C＝×6×＝，
故选C.
4.(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)的值是( )
A. B.1＋ C.2 D.2(tan 18°＋tan 27°)
答案 C
解析 由题意得，tan(18°＋27°)＝，
即＝1，
所以tan 18°＋tan 27°＝1－tan 18°tan 27°，
所以(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝2，故选C.
5.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
答案 B
解析 ∵bcos C＋ccos B＝asin A，
∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，∴sin A＝1，∴A＝，三角形为直角三角形.
6.已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是( )
A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定
答案 A
解析 ∵A、B、C是锐角△ABC的三个内角，∴A＋B>，即A>－B>0，∴sin A>sin(－B)＝cos B，
∴p·q＝sin A－cos B>0.再根据p，q的坐标可得p，q不共线，故p与q的夹角为锐角.
7. f(x)＝sin(2x－)＋cos(2x－)是( )
A.最小正周期为2π的偶函数 B.最小正周期为2π的奇函数
C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为π的偶函数
答案 C
解析 f(x)＝sin(2x－)＋cos(2x－)＝sin(2x－＋)＝sin 2x，是最小正周期为π的奇函数，故选C.
8.已知a，b为同一平面内的两个向量，且a＝(1，2)，|b|＝|a|，若a＋2b与2a－b垂直，则a与b的夹角为( )
A.0 B. C. D.π
答案 D
解析 |b|＝|a|＝，而(a＋2b)·(2a－b)＝0⇒2a2－2b2＋3b·a＝0⇒b·a＝－，从而cos〈b，a〉＝＝－1，〈b，a〉＝π，故选D.
9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c有下列命题：
①若A>B>C，则sin A>sin B>sin C；
②若＝＝，则△ABC为等边三角形；
③若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰三角形；
④若(1＋tan A)(1＋tan B)＝2，则△ABC为钝角三角形；
⑤存在A，B，C使得tan Atan Btan CB>C，则a>b>c⇒sin A>sin B>sin C；
若＝＝，则＝⇒sin(A－B)＝0⇒A＝B⇒a＝b，同理可得a＝c，所以△ABC为等边三角形；若sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，因此△ABC为等腰或直角三角形；若(1＋tan A)(1＋tan B)＝2，则tan A＋tan B＝1－tan Atan B，因此tan(A＋B)＝1⇒C＝，△ABC为钝角三角形；在△ABC中，tan Atan Btan C＝tan A＋tan B＋tan C恒成立，
因此正确的命题为①②④.
10.若△ABC的三边a，b，c及面积S满足S＝a2－(b－c)2，则sin A＝________.
答案
解析 由余弦定理得S＝a2－(b－c)2＝2bc－2bccos A＝bcsin A，所以sin A＋4cos A＝4，由sin2A＋cos2A＝1，解得sin2A＋(1－)2＝1，sin A＝(0舍去).
11.若tan θ＝3，则cos2θ＋sin θcos θ＝________.
答案
解析 ∵tan θ＝3，
∴cos2θ＋sin θcos θ＝＝＝＝.
12.已知单位向量a，b，c，且a⊥b，若c＝ta＋(1－t)b，则实数t的值为________.
答案 1或0
解析 c＝ta＋(1－t)b⇒c2＝t2＋(1－t)2＝|c|2＝1⇒t＝0或t＝1.
13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcos A＝(2c＋a)cos(A＋C).
(1)求角B的大小；
(2)求函数f(x)＝2sin 2x＋sin(2x－B)(x∈R)的最大值.
解 (1)由已知，bcos A＝(2c＋a)cos(π－B)，
即sin Bcos A＝－(2sin C＋sin A)cos B，
即sin(A＋B)＝－2sin Ccos B，
则sin C＝－2sin Ccos B，
∴cos B＝－，即B＝.
(2)f(x)＝2sin 2x＋sin 2xcos －cos 2xsin
＝sin 2x－cos 2x＝sin(2x－)，
即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值.
14.已知函数f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＋1.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且锐角A满足f(A)＝1，b＝，c＝3，求a的值.
解 (1)f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1
＝sin 2x－cos 2x＝sin(2x－)，
所以f(x)的最小正周期为π.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z).
(2)由题意知f(A)＝sin(2A－)＝1，
sin(2A－)＝，
又∵A是锐角，
∴2A－＝，
∴A＝，
由余弦定理得a2＝2＋9－2××3×cos ＝5，
∴a＝.
四、数 列
1.牢记概念与公式
等差数列、等比数列
等差数列
等比数列
通项公式
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1 (q≠0)
前n项和
Sn＝＝na1＋d
(1)q≠1，Sn＝＝
(2)q＝1，Sn＝na1
2.活用定理与结论
(1)等差、等比数列{an}的常用性质
等差数列
等比数列
性质
①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq
②an＝am＋(n－m)d
③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列
①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq
②an＝amqn－m
③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sn≠0)
(2)判断等差数列的常用方法
①定义法：
an＋1－an＝d (常数) (n∈N*)⇔{an}是等差数列.
②通项公式法：
an＝pn＋q (p，q为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列.
③中项公式法：
2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)⇔{an}是等差数列.
④前n项和公式法：
Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列.
(3)判断等比数列的三种常用方法
①定义法：＝q (q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列.
②通项公式法：an＝cqn (c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列.
③中项公式法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列.
3.数列求和的常用方法
(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和.
(2)形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和.
(3)通项公式形如an＝(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和.
(4)通项公式形如an＝(－1)n·n或an＝a·(－1)n(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论.
(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn＝an＋bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.
(6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn.
1.已知数列的前n项和求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示.事实上，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
2.易混淆几何平均数与等比中项，正数a，b的等比中项是±.
3.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求时，无法正确赋值求解.
4.易忽视等比数列中公比q≠0，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解.
5.运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论.一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论.
6.利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项.
7.裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等，
如≠－，而是＝.
8.通项中含有(－1)n的数列求和时，要把结果写成分n为奇数和n为偶数两种情况的分段形式.
1.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，则an等于( )
A.2n＋1 B.2n C.2n－1 D.2n－2
答案 A
解析 an＋1＝Sn＋1－Sn＝2a n＋1－4－(2an－4)⇒an＋1＝2an，再令n＝1，∴S1＝2a1－4⇒a1＝4，∴数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴an＝4·2n－1＝2n＋1，故选A.
2.已知数列{an}满足an＋2＝an＋1－an，且a1＝2，a2＝3，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 016的值为( )
A.0 B.2 C.5 D.6
答案 A
解析 由题意得，a3＝a2－a1＝1，a4＝a3－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－3，a6＝a5－a4＝－1，a7＝a6－a5＝2，∴数列{an}是周期为6的周期数列，而2 016＝6·336，∴S2 016＝336S6＝0，故选A.
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＝14－a6，则S10等于( )
A.35 B.70 C.28 D.14
答案 B
解析 a5＝14－a6⇒a5＋a6＝14，
S10＝＝＝70.故选B.
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S10＝110，则使取得最小值时n的值为( )
A.7 B.7或8 C. D.8
答案 D
解析 a2＝4，S10＝110⇒a1＋d＝4，10a1＋45d＝110⇒a1＝2，d＝2，因此＝＝＋＋，又n∈N*，所以当n＝8时，取得最小值.
5.等比数列{an}中，a3a5＝64，则a4等于( )
A.8 B.－8 C.8或－8 D.16
答案 C
解析 由等比数列的性质知，a3a5＝a，
所以a＝64，所以a4＝8或a4＝－8.
6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＝，且a2＋a4＝，则等于( )
A.4n－1 B.4n－1 C.2n－1 D.2n－1
答案 D
解析 设等比数列{an}的公比为q，
则解得
∴＝＝＝2n－1.故选D.
7.设函数f(x)＝xa＋ax的导函数f′(x)＝2x＋2，则数列{}的前9项和是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意得函数f(x)＝xa＋ax的导函数f′(x)＝2x＋2，即axa－1＋a＝2x＋2，所以a＝2，即f(x)＝x2＋2x，＝＝(－)，
所以Sn＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝(1＋－－).
则S9＝(1＋－－)＝，故选C.
8.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，Sn是数列{an}前n项的和，则(n∈N*)的最小值为( )
A.4 B.3 C.2－2 D.
答案 A
解析 据题意由a1，a3，a13成等比数列可得(1＋2d)2＝1＋12d，解得d＝2，故an＝2n－1，Sn＝n2，因此＝＝＝＝(n＋1)＋－2，据基本不等式知＝(n＋1)＋－2≥2 －2＝4，当n＝2时取得最小值4.
9.等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于________.
答案 4
解析 由等比数列的性质有a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5，
所以T8＝lg a1＋lg a2＋…＋lg a8＝lg(a1a2…a8)＝lg(a4a5)4＝lg(10)4＝4.
10.已知数列{an}满足an＋1＝an＋2n且a1＝2，则数列{an}的通项公式an＝__________.
答案 n2－n＋2
解析 an＋1＝an＋2n，
∴an＋1－an＝2n，采用累加法可得
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1，
＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2＋2＝n2－n＋2.
11.若数列{an}满足an＝3an－1＋2(n≥2，n∈N*)，a1＝1，则数列{an}的通项公式为an＝____________.
答案 2×3n－1－1
解析 设an＋λ＝3(an－1＋λ)，化简得an＝3an－1＋2λ，
∵an＝3an－1＋2，∴λ＝1，
∴an＋1＝3(an－1＋1)，
∵a1＝1，∴a1＋1＝2，
∴数列{an＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列，
∴an＋1＝2×3n－1，
∴an＝2×3n－1－1.
12.数列1，2，3，4，5，…的前n项之和等于________________.
答案 ＋[1－()n]
解析 由数列各项可知通项公式为an＝n＋，由分组求和公式结合等差数列、等比数列求和公式可知前n项和为Sn＝＋[1－()n].
13.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝λSn＋1(n∈N*，且λ≠－1)，且a1，2a2，a3＋3为等差数列{bn}的前三项.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{anbn}的前n项和.
解 (1)方法一 ∵an＋1＝λSn＋1(n∈N*)，
∴an＝λSn－1＋1(n≥2).
∴an＋1－an＝λan，即an＋1＝(λ＋1)an (n≥2)，λ＋1≠0，
又a1＝1，a2＝λS1＋1＝λ＋1，
∴数列{an}为以1为首项，以λ＋1为公比的等比数列，
∴a3＝(λ＋1)2，∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3，
整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1.
∴an＝2n－1，bn＝1＋3(n－1)＝3n－2.
方法二 ∵a1＝1，an＋1＝λSn＋1(n∈N*)，
∴a2＝λS1＋1＝λ＋1，a3＝λS2＋1＝λ(1＋λ＋1)＋1＝λ2＋2λ＋1.
∴4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3，
整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1.
∴an＋1＝Sn＋1 (n∈N*)，
∴an＝Sn－1＋1(n≥2)，
∴an＋1－an＝an，即an＋1＝2an (n≥2)，又a1＝1，a2＝2，
∴数列{an}为以1为首项，以2为公比的等比数列，
∴an＝2n－1，bn＝1＋3(n－1)＝3n－2.
(2)设数列{anbn}的前n项和为Tn，
anbn＝(3n－2)·2n－1，
∴Tn＝1·1＋4·21＋7·22＋…＋(3n－2)·2n－1. ①
∴2Tn＝1·21＋4·22＋7·23＋…＋(3n－5)·2n－1＋(3n－2)·2n. ②
①－②得－Tn＝1·1＋3·21＋3·22＋…＋3·2n－1－(3n－2)·2n＝1＋3·－(3n－2)·2n.
整理得Tn＝(3n－5)·2n＋5.
14.已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝ (n∈N*)，
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，若λ≤Tn对于任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.
(1)证明 ∵Sn＝ (n∈N*)， ①
∴Sn－1＝ (n≥2). ②
①－②得：an＝ (n≥2)，
整理得：(an＋an－1)(an－an－1)＝(an＋an－1)，
∵数列{an}的各项均为正数，∴an＋an－1≠0，
∴an－an－1＝1(n≥2).
当n＝1时，a1＝1，∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列.
(2)解 由(1)得Sn＝，
∴bn＝＝＝2(－)，
∴Tn＝2[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝2(1－)＝，
∵Tn＝，∴Tn单调递增，∴Tn≥T1＝1，∴λ≤1.
故λ的取值范围为(－∞，1].
五、不等式与线性规划
1.一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间).
解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③
在有根的条件下，要比较两根的大小.
2.一元二次不等式的恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是
3.分式不等式
>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
≥0(≤0)⇔
4.基本不等式
(1)①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)当且仅当a＝b时取等号.
②≥(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时取等号.
(2)几个重要的不等式：①ab≤2(a，b∈R)；
② ≥≥≥(a>0，b>0，当a＝b时等号成立).
③a＋≥2(a>0，当a＝1时等号成立)；
④2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立).
5.可行域的确定
“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域.
6.线性规划
(1)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；
(2)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个.
1.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错.
2.解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论.
3.应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.
4.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、 二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y＝x＋(x<0)时应先转化为正数再求解.
5.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解.
6.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如是指已知区域内的点(x，y)与点(－2，2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1，1)的距离的平方等.
1.下列命题中正确的个数是( )
①a>b，c>d⇔a＋c>b＋d；②a>b，c>d⇒>；③a2>b2⇔|a|>|b|；④a>b⇔<.
A.4 B.3 C.2 D.1
答案 C
解析 ①a>b，c>d⇔a＋c>b＋d正确，不等式的同向可加性；②a>b，c>d⇒>错误，反例：若a＝3，b＝2，c＝1，d＝－1，则>不成立；③a2>b2⇔|a|>|b|正确；④a>b⇔<错误，反例：若a＝2，b＝－2，则<不成立.故选C.
2.设M＝2a(a－2)＋4，N＝(a－1)(a－3)，则M，N的大小关系为( )
A.M>N B.M0.故选A.
3.若不等式2kx2＋kx－≥0的解集为空集，则实数k的取值范围是( )
A.(－3，0) B.(－∞，－3) C.(－3，0] D.(－∞，－3)∪(0，＋∞)
答案 C
解析 由题意可知2kx2＋kx－<0恒成立，当k＝0时成立，当k≠0时需满足代入求得－31，所以不等式的解集为(－∞，0]∪(1，＋∞)，故选C.
6.设第一象限内的点(x，y)满足约束条件目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为40，则＋的最小值为( )
A. B. C.1 D.4
答案 B
解析 不等式表示的平面区域如图中阴影部分，直线z＝ax＋by过点(8，10)时取最大值，即8a＋10b＝40，4a＋5b＝20，从而＋＝(＋)＝(25＋＋)≥(25＋2 )＝，当且仅当2a＝5b时取等号，因此＋的最小值为，故选B.
7.已知实数x、y满足如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于( )
A.6 B.5 C.4 D.3
答案 B
解析 作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由目标函数z＝x－y的最小值为－1，得y＝x－z，及当z＝－1时，函数y＝x＋1，此时对应的平面区域在直线y＝x＋1的下方，由⇒即A(2，3)，同时A也在直线x＋y＝m上，所以m＝5.
8.在平面直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是( )
A.(－∞，－1) B.(1，＋∞)
C.(－1，1) D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 易知直线y＝k(x－1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示.
当直线y＝k(x－1)－1位于y＝－x和x＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域，所以直线y＝k(x－1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k的取值范围是(－∞，－1).
9.已知实数x∈[－1，1]，y∈[0，2]，则点P(x，y)落在区域内的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为×(2－)×(1＋1)＝，则所求的概率为，故选D.
10.函数y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为________.
答案 8
解析 由已知可得定点A(－2，－1)，代入直线方程可得2m＋n＝1，从而＋＝(＋)(2m＋n)＝＋＋4≥2 ＋4＝8.
当且仅当n＝2m时取等号.
11.已知ab＝，a，b∈(0，1)，则＋的最小值为________.
答案 4＋
解析 因为ab＝，所以b＝，
则＋＝＋
＝＋
＝＋
＝＋＋2
＝2(＋)＋2
＝(＋)[(4a－1)＋(4－4a)]＋2
＝[3＋＋]＋2
≥(3＋2)＋2＝4＋(当且仅当＝，即a＝时，取等号).
12.变量x，y满足约束条件若z＝2x－y的最大值为2，则实数m＝______.
答案 1
解析 由可行域知，直线2x－y＝2必过直线x－2y＋2＝0与mx－y＝0的交点，即直线mx－y＝0
必过直线x－2y＋2＝0与2x－y＝2的交点(2，2)，所以m＝1.
13.(2016·上海)若x，y满足则x－2y的最大值为________.
答案 －2
解析 令z＝x－2y，则y＝x－.当在y轴上截距最小时，z最大.即过点(0，1)时，z取最大值，z＝0－2×1＝－2.
14.已知实数x，y满足则的取值范围是________.
答案 [－1，]
解析 作出可行域，如图△ABC内部(含边界)，表示可行域内点(x，y)与P(5，6)连线斜率，kPA＝＝－1，kPC＝＝，所以－1≤≤.
六、立体几何（理科）
1.概念理解
(1)四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.
(2)三视图
①三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.
②三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样.
2.柱、锥、台、球体的表面积和体积
侧面展开图
表面积
体积
直棱柱
长方形
S＝2S底＋S侧
V＝S底·h
圆柱
长方形
S＝2πr2＋2πrl
V＝πr2·l
棱锥
由若干三角形构成
S＝S底＋S侧
V＝S底·h
圆锥
扇形
S＝πr2＋πrl
V＝πr2·h
棱台
由若干个梯形构成
S＝S上底＋S下底＋S侧
V＝(S＋＋S′)·h
圆台
扇环
S＝πr′2＋π(r＋r′)l＋πr2
V＝π(r2＋rr′＋r′2)·h
球
S＝4πr2
S＝πr3
3.平行、垂直关系的转化示意图
(1)
(2)线线垂直线面垂直面面垂直
(3)两个结论
①⇒a∥b
②⇒b⊥α
4.用向量求空间角
(1)直线l1，l2夹角θ有cos θ＝|cos〈l1，l2〉|(其中l1，l2分别是直线l1，l2的方向向量).
(2)直线l与平面α的夹角θ有sin θ＝|cos〈l，n〉|(其中l是直线l的方向向量，n是平面α的法向量).
(3)平面α，β夹角θ有cos θ＝|cos〈n1，n2〉|，则α—l—β二面角的平面角为θ或π－θ(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量).
1.混淆“点A在直线a上”与“直线a在平面α内”的数学符号关系，应表示为A∈a，a⊂α.
2.在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线.在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主.
3.易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数.
4.不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错.如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件.
5.注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系.
6.几种角的范围
两条异面直线所成的角0°<α≤90°
直线与平面所成的角0°≤α≤90°
二面角0°≤α≤180°
两条相交直线所成的角(夹角)0°<α≤90°
直线的倾斜角0°≤α<180°
两个向量的夹角0°≤α≤180°
锐角0°<α<90°
7.空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.
1.如图是一个多面体三视图，它们都是斜边长为的等腰直角三角形，则这个多面体最长一条棱长为( )
A. B. C.2 D.3
答案 B
解析 由三视图可知，几何体是一个三棱锥，底面是一个斜边长为的等腰直角三角形，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长度为1，这样在所有棱中，连接与底面垂直的侧棱的顶点与底面的另一锐角顶点的侧棱最长，长度是＝.故选B.
2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )
答案 D
解析 在被截去的四棱锥的三条可见棱中，两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合.
3.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )
A.72 cm3 B.90 cm3 C.108 cm3 D.138 cm3
答案 B
解析 该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示.
V＝V三棱柱＋V长方体＝×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3).
4.直三棱柱ABC—A1B1C1的直观图及三视图如图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是( )
A.AB1∥平面BDC1
B.A1C⊥平面BDC1
C.直三棱柱的体积V＝4
D.直三棱柱的外接球的表面积为4π
答案 D
解析 由三视图可知，直三棱柱ABC—A1B1C1的侧面B1C1CB是边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB＝BC＝2.连接B1C交BC1于点O，连接OD.在△CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，∴OD∥AB1，∴AB1∥平面BDC1.故A正确.
直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BD.又AB＝BC＝2，D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面AA1C1C.∴BD⊥A1C.
又A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，
∴A1B1⊥平面B1C1CB，∴A1B1⊥BC1.
∵BC1⊥B1C，且A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面A1B1C.
∴BC1⊥A1C，∴A1C⊥平面BDC1.故B正确.
V＝S△ABC×C1C＝×2×2×2＝4，∴C正确.
此直三棱柱的外接球的半径为，其表面积为12π，D错误.故选D.
5.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案 C
解析 由中点M，N可知MN∥AD1，由△D1AC是正三角形可知∠D1AC＝60°，所以异面直线AC和MN所成的角为60°.
6.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )
A.若m∥α，n∥α，则m∥n
B.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C.若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D.若m∥α，m⊥n，则n⊥α
答案 B
7.已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB＝1，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于________.
答案
解析 由题意得三棱柱底面为正三角形，设侧棱长为h，则h··12＝⇒h＝4，因为球心为上下底面中心连线的中点，所以R2＝22＋()2＝，因此球的表面积等于4πR2＝4π·＝π.
8.已知长方体ABCD—A′B′C′D′，E，F，G，H分别是棱AD，BB′，B′C′，DD′中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB′D′平行的有________条.
答案 6
解析 如图，连接EG，EH，FG，∵EH綊FG，
∴EFGH四点共面，由EG∥AB′，EH∥AD′，EG∩EH＝E，AB′∩AD′＝A，
可得平面EFGH与平面AB′D′平行，∴符合条件的共有6条.
9.α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.
其中能成为增加条件的序号是________.
答案 ①③
解析 由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面.
①中，∵AC⊥β，EF⊂β，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EF⊂α，
∴AB⊥EF，∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABCD，
又∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正确；
②中，由①可知，若BD⊥EF成立，
则有EF⊥平面ABCD，则有EF⊥AC成立，
而AC与α，β所成角相等是无法得到EF⊥AC的，故②错误；
③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上，
可知面EF⊥AC，由①可知③正确；
④中，仿照②的分析过程可知④错误，
故填①③.
10.如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下面结论：
①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成角为60°.
错误的有________.(把你认为错误的序号全部写上)
答案 ④
解析 ①BD∥B1D1，利用线面平行的判定可推出BD∥平面CB1D1；
②由BD⊥平面ACC1可推出AC1⊥BD；
③AC1⊥CD1，AC1⊥B1D1可推出AC1⊥平面CB1D1；
④异面直线AD与CB1所成角为45°，错误.
11.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D、E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为________.
答案
解析 如图，取AC中点F，连接FD，FB.则DF∥BE，DF＝BE，∴DE∥BF，∴BF与平面BB1C1C所成的角为所求的角，∵AB＝1，BC＝，AC＝2，∴AB⊥BC，又AB⊥BB1，∴AB⊥平面BB1C1C，作GF∥AB交BC于点G，则GF⊥平面BB1C1C，∴∠FBG为直线BF与平面BB1C1C所成的角，由条件知BG＝BC＝，GF＝AB＝，
∴tan∠FBG＝＝，∴∠FBG＝.
12.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边长都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
答案 DM⊥PC(或BM⊥PC，答案不唯一)
解析 ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD，
又AC∩PA＝A，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，
即有PC⊥平面MBD，
而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
13.在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA＝AB＝4，∠CDA＝120°，点N在线段PB上，且PN＝.
(1)求证：BD⊥PC；
(2)求证：MN∥平面PDC；
(3)求二面角A—PC—B的余弦值.
(1)证明 因为△ABC是正三角形，M是AC中点，
所以BM⊥AC，即BD⊥AC，
又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
PA⊥BD，又PA∩AC＝A，
所以BD⊥平面PAC，
又PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.
(2)证明 在正三角形ABC中，BM＝2，
在△ACD中，因为M为AC中点，DM⊥AC，
所以AD＝CD，又∠CDA＝120°，所以DM＝，
所以BM∶MD＝3∶1，在等腰直角三角形PAB中，
PA＝AB＝4，PB＝4，所以BN∶NP＝3∶1，
BN∶NP＝BM∶MD，所以MN∥PD，
又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，
所以MN∥平面PDC.
(3)解 因为∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝90°，
所以AB⊥AD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，所以B(4，0，0)，C(2，2，0)，D(0，，0)，P(0，0，4).
由(1)可知，＝(4，－，0)为平面PAC的一个法向量，
＝(2，2，－4)，＝(4，0，－4)，
设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则 即
令z＝3，则平面PBC的一个法向量为n＝(3，，3)，
设二面角A—PC—B的大小为θ，
则cos θ＝＝.
所以二面角A—PC—B的余弦值为.
七、解析几何
1.直线方程的五种形式
(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线).
(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线).
(3)两点式：＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线).
(4)截距式：＋＝1(a、b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线).
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0).
2.直线的两种位置关系
当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：
(1)两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2.
(2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
提醒：当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略.
3.三种距离公式
(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离：
|AB|＝.
(2)点到直线的距离：d＝(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0).
(3)两平行线间的距离：d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0).
提醒：应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等.
4.圆的方程的两种形式
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
5.直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法.
(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法.
6.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义
|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)
||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)
|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M
标准方程
＋＝1(a>b>0)
－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
图形
几何性质
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≥a
x≥0
顶点
(±a，0)，(0，±b)
(±a，0)
(0，0)
对称性
关于x轴，y轴和原点对称
关于x轴对称
焦点
(±c，0)
(，0)
轴
长轴长2a，短轴长2b
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝＝(01)
e＝1
准线
x＝－
渐近线
y＝±x
7.直线与圆锥曲线的位置关系
判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断.
弦长公式：|AB|＝|x1－x2|＝ |y1－y2|.
8.范围、最值问题的常用解法
(1)几何法
①直线外一定点P到直线上各点距离的最小值为该点P到直线的垂线段的长度.
②圆C外一定点P到圆上各点距离的最大值为|PC|＋R，最小值为|PC|－R(R为圆C的半径).
③过圆C内一定点P的圆的最长的弦即为经过点P的直径，最短的弦为过点P且与经过点P的直径垂直的弦.
④圆锥曲线上本身存在最值问题，如(ⅰ)椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长)；(ⅱ)双曲线上两点间最小距离为2a(实轴长)；(ⅲ)椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[a－c，a＋c]，a－c与a＋c分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；(ⅳ)在抛物线上的点中，顶点与抛物线的准线距离最近.
(2)代数法
把要求的最值表示为某个参数的解析式，然后利用函数、最值、基本不等式等进行求解.
9.定点、定值问题的思路
求解直线或曲线过定点问题的基本思路是把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.
求证某几何量为定值，首先要求出这个几何量的代数表达式，然后对表达式进行化简、整理，根据已知条件列出必要的方程(或不等式)，消去参数，最后推出定值.
10.解决存在性问题的解题步骤
第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；
第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；
第三步：得出结论.
1.不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错.
2.易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为＋＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等.
3.讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.
4.在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合.
5.求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式，导致错解.
6.在圆的标准方程中，误把r2当成r；在圆的一般方程中，忽视方程表示圆的条件.
7.易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解.
8.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支.
9.易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误.
10.已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解.
11.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制.尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、 弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行.
1.直线2mx－(m2＋1)y－＝0倾斜角的取值范围为( )
A.[0，π) B.[0，]∪[，π) C.[0，] D.[0，]∪(，π)
答案 C
解析 由已知可得m≥0.直线的斜率k＝.当m＝0时，k＝0，当m>0时，k＝＝≤＝1，又因为m>0，所以0r，故相离.
7.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1、F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2＝30°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是( )
A.7－4 B.2－ C.－1 D.4－2
答案 B
解析 由题意设椭圆方程为＋＝1，
双曲线方程为－＝1，且c＝c1.
由题意·＝1， (*)
由∠F1PF2＝30°，由余弦定理得：椭圆中4c2＝4a2－(2＋)|PF1||PF2|，
双曲线中：4c2＝4a＋(2－)|PF1||PF2|，
可得b＝(7－4)b2，代入(*)式，
c4＝aa2＝(c2－b)a2＝(8－4)c2a2－(7－4)a4，
即e4－(8－4)e2＋(7－4)＝0，
得e2＝7－4，即e＝2－，故选B.
8.若椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点分成5∶3两段，则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 ∵＝，a2－b2＝c2，c＝2b，
∴5c2＝4a2，∴e＝＝＝.
9.如图，已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，|F1F2|＝4，点A在双曲线的右支上，线段AF1与双曲线左支相交于点B，△F2AB的内切圆与BF2相切于点E，若|AF2|＝2|BF1|，|BE|＝2，则双曲线C的离心率为________.
答案
解析 设|AF2|＝2|BF1|＝2m，
由题意得|AF1|＝2m＋2a，|BF2|＝m＋2a，
因此|AB|＝m＋2a，2|BE|＝|AB|＋|BF2|－|AF2|＝4a，
即a＝，又|F1F2|＝4⇒c＝2，所以离心率为＝.
10.已知F1，F2是双曲线－＝1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜角为60°，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值为________.
答案 16
解析 由双曲线方程－＝1知，2a＝8，
由双曲线的定义得，|PF2|－|PF1|＝2a＝8， ①
|QF2|－|QF1|＝2a＝8， ②
①＋②得|PF2|＋|QF2|－(|QF1|＋|PF1|)＝16，
∴|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝16.
11.抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是________.
答案
解析 抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，双曲线x2－＝1的渐近线为y＝±x，即y＝±x.由于焦点(1，0)到双曲线的两条渐近线距离相等，所以只考虑焦点到其中一条之间的距离d＝＝.
12.过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则|AF|＝________.
答案
解析 ∵＋＝＝2，
|AB|＝|AF|＋|BF|＝，|AF|<|BF|，
∴|AF|＝，|BF|＝.
13.已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝r2与圆F2：(x－1)2＋y2＝(4－r)2 (0|F1F2|，
因此曲线E是长轴长2a＝4，焦距2c＝2的椭圆，且b2＝a2－c2＝3，所以曲线E的方程为＋＝1.
(2)由曲线E的方程得，上顶点M(0，)，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，x1≠0，x2≠0，若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为x＝x1，故y1＝－y2，且y＝y＝3(1－)，因此kMA·kMB＝·＝－＝，与已知不符，因此直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝kx＋m，代入椭圆E的方程＋＝1，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－3)＝0.①
因为直线AB与曲线E有公共点A，B，所以方程①有两个非零不等实根x1，x2，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
又kAM＝＝，
kMB＝＝，
由kAM·kBM＝，
得4(kx1＋m－)(kx2＋m－)＝x1x2，
即(4k2－1)x1x2＋4k(m－)(x1＋x2)＋4(m－)2＝0，
所以4(m2－3)(4k2－1)＋4k(m－)(－8km)＋4(m－)2(3＋4k2)＝0，
化简得m2－3m＋6＝0，故m＝或m＝2，
结合x1x2≠0知m＝2，即直线AB恒过定点N(0，2).
(3)由Δ>0且m＝2得k<－或k>，
又S△ABM＝|S△ANM－S△BNM|＝|MN|·|x2－x1|
＝
＝
＝＝≤，
当且仅当4k2－9＝12，即k＝±时，△ABM的面积最大，最大值为.
八、计数原理
1.分类加法计数原理
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法(也称加法原理).
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法(也称乘法原理).
3.排列
(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示.
(3)排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1).
(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝1.
4.组合
(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示.
(3)组合数的计算公式：C＝＝＝，由于0！＝1，所以C＝1.
(4)组合数的性质：①C＝C；②C＝C＋C.
5.二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn
(n∈N*).
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数.式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Can－kbk.
6.二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.
7.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C.
(2)增减性与最大值：二项式系数C，当k<时，二项式系数是递增的；当k>时，二项式系数是递减的.
当n是偶数时，那么其展开式中间一项的二项式系数最大.
当n是奇数时，那么其展开式中间两项和的二项式系数相等且最大.
(3)各二项式系数的和
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
1.关于两个计数原理应用的注意事项
(1)分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
(2)混合问题一般是先分类再分步.
(3)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏.
(4)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.
2.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.
3.排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.
4.对于二项式定理应用时要注意：
(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.
项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正.
(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出k，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系.
(3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
(4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a、b.
1.用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )
A.36个 B.18个 C.9个 D.6个
答案 B
解析 利用树状图考察四个数位上填充数字的情况，如：1，共可确定8个四位数，但其中不符合要求的有2个，所以所确定的四位数应有18个，故选B.
2.某学习小组男女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男，女生人数为( )
A.2，6 B.3，5 C.5，3 D.6，2
答案 B
解析 设男生人数为n，则女生人数为8－n，由题意可知CCA＝90，即CC＝15，解得n＝3，所以男，女生人数为3，5，故选B.
3.将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有( )
A.150种 B.180种 C.240种 D.540种
答案 A
解析 先将5个人分成三组，(3，1，1)或(1，2，2)，分组方法有C＋C＝25(种)，再将三组全排列有A＝6(种)，故总的方法数有25×6＝150(种).
4.从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任(每班1位班主任)，要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有( )
A.210种 B.420种 C.630种 D.840种
答案 B
解析 因为要求3位班主任中男、女教师都要有，所以共有两种情况，1男2女或2男1女.若选出的3位教师是1男2女则共有CCA＝180(种)不同的选派方法，若选出的3位教师是2男1女则共有CCA＝240(种)不同的选派方法，所以共有180＋240＝420(种)不同的方案，故选B.
5.若二项式(2x＋)7的展开式中的系数是84，则实数a等于( )
A.2 B. C.1 D.
答案 C
解析 二项式(2x＋)7的通项公式为Tk＋1＝C(2x)7－k()k＝C27－kakx7－2k，令7－2k＝－3，得k＝5.故展开式中的系数是C22a5＝84，解得a＝1.
6.(x－1)4－4x(x－1)3＋6x2(x－1)2－4x3(x－1)＋x4等于( )
A.－1 B.1 C.(2x－1)4 D.(1－2x)5
答案 B
解析 (x－1)4－4x(x－1)3＋6x2(x－1)2－4x3(x－1)＋x4＝((x－1)－x)4＝1.
7.某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙中两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有( )
A.30种 B.600种 C.720种 D.840种
答案 C
解析 A－A＝720(种).
8.如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种一种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为( )
A.180 B.240 C.360 D.420
答案 D
解析 若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2，4两个花池栽同一种颜色的花，或3，5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2A种；若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有A种，所以最多有A＋2A＋A＝420(种).
9.(x＋)5的各项系数和是1 024，则由曲线y＝x2和y＝xa围成的封闭图形的面积为______.
答案
解析 设x＝1，则各项系数和为(1＋)5＝1 024＝45，所以a＝，联立可得交点坐标分别为(0，0)，(1，1)，所以曲线y＝x2和y＝x围成的封闭图形的面积为(x－x2)dx＝＝－＝.
10.圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为______.
答案 120
解析 圆上任意三点都不共线，
因此有三角形C＝120(个).
11.一排共有9个座位，现有3人就坐，若他们每两人都不能相邻，每人左右都有空座，而且至多有两个空座，则不同坐法共有________种.
答案 36
解析 可先考虑3人已经就座，共有A＝6(种)，再考虑剩余的6个空位怎么排放，根据要求可产生把6个空位分为1，1，2，2，放置在由已经坐定的3人产生的4个空中，共有C＝6，所以不同的坐法共有6×6＝36(种).
12.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机(甲、乙、丙、丁、戊)准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有________种.
答案 24
解析 先把甲、乙捆绑在一起有A种情况，然后对甲、乙整体和戊进行排列，有A种情况，这样产生了三个空位，插入丙、丁，有A种情况，所以着舰方法共有AAA＝2×2×6＝24(种).
13.实验员进行一项实验，先后要实施5个程序(A，B，C，D，E)，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序C或D在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有______种.
答案 24
解析 依题意，当A在第一步时，共有AA＝12(种)；当A在最后一步时，共有AA＝12(种).所以实验的编排方法共有24种.
14.用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为________.
答案 288
解析 从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有A＝6(种)，先排3个奇数，有A＝6(种)，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的4个空中，方法有A＝12(种).根据分步乘法计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×6×12＝432(种).若1排在两端，1的排法有AA＝4(种)，形成了3个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的3个空中，方法有A＝6(种)，根据分步乘法计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×4×6＝144(种)，故满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为432－144＝288(种).
九、概率与统计
1.牢记概念与公式
(1)概率的计算公式
①古典概型的概率计算公式
P(A)＝；
②互斥事件的概率计算公式
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
③对立事件的概率计算公式
P()＝1－P(A)；
④几何概型的概率计算公式
P(A)＝.
(2)抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样.
①从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，则每个个体被抽到的概率都为；
②分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量.
(3)统计中四个数据特征
①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据.
②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数.
③平均数：样本数据的算术平均数，
即＝(x1＋x2＋…xn).
④方差与标准差
方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].
标准差：
s＝.
(4)八组公式
①离散型随机变量的分布列的两个性质
Ⅰ.pi≥0(i＝1，2，…，n)；Ⅱ.p1＋p2＋…＋pn＝1.
②均值公式
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
③均值的性质
Ⅰ.E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
Ⅱ.若X～B(n，p)，则E(X)＝np；
Ⅲ.若X服从两点分布，则E(X)＝p.
④方差公式
D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，标准差.
⑤方差的性质
Ⅰ.D(aX＋b)＝a2D(X)；
Ⅱ.若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)；
Ⅲ.若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p).
⑥独立事件同时发生的概率计算公式
P(AB)＝P(A)P(B).
⑦独立重复试验的概率计算公式
Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k.
⑧条件概率公式
P(B|A)＝.
2.活用定理与结论
(1)直方图的三个结论
①小长方形的面积＝组距×＝频率.
②各小长方形的面积之和等于1.
③小长方形的高＝，所有小长方形高的和为.
(2)线性回归方程＝x＋一定过样本点的中心(，).
(3)利用随机变量K2＝来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.如果K2的观测值k越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大.
(4)如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2).满足正态分布的三个基本概率的值是：①P(μ－σ0，b>0)，从1，3，5，7，9中任取两个作为有A＝20种，又与相同，与相同，∴lg a－lg b的不同值的个数有A－2＝20－2＝18，选C.
7.甲、乙两同学用茎叶图记录高三前5次数学测试的成绩，如图所示，他们在分析对比成绩变化时，发现乙同学成绩的一个数字看不清楚了，若已知乙的平均成绩低于甲的平均成绩，则看不清楚的数字为( )
A.0 B.3 C.6 D.9
答案 A
解析 设看不清的数字为x，甲的平均成绩为＝101，
所以<101，x<1，所以x＝0.故选A.
8.在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－x＋2上，则这组样本数据的样本的相关系数为( )
A.－1 B.0 C.－ D.1
答案 A
解析 数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－x＋2上，说明这组数据点完全负相关，其相关系数为－1，故选A.
9.在区间[1，5]和[2，4]内分别取一个数，记为a，b，则方程＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为________.
答案
解析 当方程＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时，
有
即 化简得
又a∈[1，5]，b∈[2，4]，画出满足不等式的平面区域，如图阴影部分所示 ，求得阴影部分的面积为，
故P＝＝.
10.将某班参加社会实践编号为1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是________.
答案 13
解析 系统抽样法取出的样本编号成等差数列，因此还有一个编号为5＋8＝21－8＝13.
11.某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本(等距抽样)，已知编号为4，a，28，b，52号学生在样本中，则a＋b＝________.
答案 56
解析 ∵样本容量为5，∴样本间隔为60÷5＝12，
∵编号为4，a，28，b，52号学生在样本中，
∴a＝16，b＝40，
∴a＋b＝56.
12.给出如下四对事件：
①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；
②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；
③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少一个黑球”与“都是红球”；
④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”.
其中属于互斥事件的是________.(把你认为正确的事件的序号都填上).
答案 ①③④
解析 ①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”两个事件不会同时发生，故为互斥事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，前者包含后者，故②不是互斥事件；③“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，所以这两个事件是对立事件，故是互斥事件；④“没有黑球”与“恰有一个红球”，不可能同时发生，故他们属于互斥事件.
13.国内某知名大学有男生14 000人，女生10 000人.该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：(平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是[0，3])
男生平均每天运动的时间分布情况：
平均每天运动的时间
[0，0.5)
[0.5，1)
[1，1.5)
[1.5，2)
[2，2.5)
[2.5，3]
人数
2
12
23
18
10
x
女生平均每天运动的时间分布情况：
平均每天运动的时间
[0，0.5)
[0.5，1)
[1，1.5)
[1.5，2)
[2，2.5)
[2.5，3]
人数
5
12
18
10
3
y
(1)请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间(结果精确到0.1)；
(2)若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.
①根据样本估算该校“运动达人”的数量；
②请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关？”
运动达人
非运动达人
总计
男生
女生
总计
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d
参考数据：
P(K2>k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
解 (1)由分层抽样得：男生抽取的人数为120×＝70，女生抽取的人数为120－70＝50，故x＝5，y＝2，则该校男生平均每天运动的时间为
≈1.5.
故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时.
(2)①样本中“运动达人”所占比例是＝，故估计该校“运动达人”有×(14 000＋10 000)＝4 000(人).
②由表格可知：
运动达人
非运动达人
总计
男生
15
55
70
女生
5
45
50
总计
20
100
120
故K2的观测值k＝＝≈2.743<3.841，
故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”.
14.某公司通过初试和复试两轮考试确定最终合格人选，当第一轮初试合格后方可进入第二轮复试，两次考核过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一轮考核甲、乙、丙三人合格的概率分别为0.4、0.6、0.5.第二轮考核，甲、乙、丙三人合格的概率分别为0.5、0.5、0.4.
(1)求第一轮考核后甲、乙两人中只有乙合格的概率；
(2)设甲、乙、丙三人经过前后两轮考核后合格入选的人数为X，求X的分布列和均值.
解 (1)设甲、乙经第一次考核后合格为事件A1、B1，
设事件E表示第一轮考核后甲不合格、乙合格，
则P(E)＝P(1·B1)＝0.6×0.6＝0.36.
即第一轮考核后甲、乙两人中只有乙合格的概率为0.36.
(2)分别设甲、乙、丙三人经过前后两次考核后合格入选为事件A、B、C，
则P(A)＝0.4×0.5＝0.2，
P(B)＝0.6×0.5＝0.3，
P(C)＝0.4×0.5＝0.2，
经过前后两轮考核后合格入选的人数为X，则X可能取0，1，2，3.
P(X＝0)＝0.8×0.7×0.8＝0.448，
P(X＝1)＝0.2×0.7×0.8＋0.8×0.3×0.8＋0.8×0.7×0.2＝0.416，
P(X＝3)＝0.2×0.3×0.2＝0.012，
P(X＝2)＝1－0.448－0.416－0.012＝0.124.
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.448
0.416
0.124
0.012
均值为E(X)＝0×0.448＋1×0.416＋2×0.124＋3×0.012＝0.
十、复数、算法、推理与证明
1.复数的相关概念及运算法则
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类
①z是实数⇔b＝0.
②z是虚数⇔b≠0.
③z是纯虚数⇔a＝0且b≠0.
(2)共轭复数
复数z＝a＋bi的共轭复数＝a－bi.
(3)复数的模：
复数z＝a＋bi的模|z|＝.
(4)复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R).
(5)复数的运算法则
加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；
乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i；
其中a，b，c，d∈R.
2.复数的几个常见结论
(1)(1±i)2＝±2i；
(2)＝i，＝－i；
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)；
(4)ω＝－±i，且ω0＝1，ω2＝，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0.
3.程序框图的三种基本逻辑结构
(1)顺序结构：如图(1)所示.
(2)条件结构：如图(2)和图(3)所示.
(3)循环结构：如图(4)和图(5)所示.
程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；流程线带有方向箭头，按照算法进行的顺序将程序框连接起来.程序框图的基本逻辑结构包括顺序结构、条件结构和循环结构三种.
4.推理
推理分为合情推理与演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理；演绎推理的一般模式是三段论.
合情推理的思维过程
(1)归纳推理的思维过程：
―→→
(2)类比推理的思维过程：
―→→
5.证明方法
(1)分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知.
推理模式：
框图表示：→→→…→
(2)综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知.
推理模式：
框图表示：→→→…→(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论).
(3)反证法
在假定命题结论成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此判定命题结论成立的方法叫反证法.
1.复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi，a，b∈R).还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧.
2.复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i2＝－1化简合并同类项.
3.在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件.注意理解循环条件中“≥”与“>”的区别.
4.解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应.
5.类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比.用数学归纳法证明时，易盲目以为n0的起始值n0＝1，另外注意证明传递性时，必须用n＝k成立的归纳假设.
6.在循环结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果.
1.复数z＝的虚部为( )
A.－ B. C.－ D.
答案 D
解析 z＝＝＝－＋i，所以其虚部为.
2.复数z满足z(2－i)＝1＋7i，则复数z的共轭复数为( )
A.－1－3i B.－1＋3i C.1＋3i D.1－3i
答案 A
解析 z(2－i)＝1＋7i，
∴z＝＝＝＝－1＋3i，
共轭复数为－1－3i.
3.阅读如图所示的程序框图，若m＝8，n＝10，则输出的S的值等于( )
A.28 B.36 C.45 D.120
答案 C
解析 第一次循环：S＝10，k＝1；
第二次循环：S＝10×＝45，k＝2；
第三次循环：S＝45×＝120，k＝3；
第四次循环：S＝120×＝210，k＝4；
第五次循环：S＝210×＝252，k＝5；
第六次循环：S＝252×＝210，k＝6；
第七次循环：S＝210×＝120，k＝7；
第八次循环：S＝120×＝45，k＝8＝m；
结束循环，输出S＝45.
4.已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，
类比有x＋≥n＋1 (n∈N*)，
则a等于( )
A.n B.2n C.n2 D.nn
答案 D
解析 第一个式子是n＝1的情况，此时a＝1，
第二个式子是n＝2的情况，此时a＝4，
第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33，
归纳可以知道a＝nn.
5.“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )
A.正方形都是对角线相等的四边形
B.矩形都是对角线相等的四边形
C.等腰梯形都是对角线相等的四边形
D.矩形都是对边平行且相等的四边形
答案 B
解析 用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，∵由四边形ABCD为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论，∴大前提一定是矩形的对角线相等.
6.用反证法证明命题：“已知a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )
A.a，b都被5整除 B.a，b都不能被5整除
C.a，b不能被5整除 D.a不能被5整除
答案 B
解析 由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证.命题“a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”.
7. 以下是解决数学问题的思维过程的流程图：
在此流程图中，①，②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( )
A.①—综合法，②—分析法
B.①—分析法，②—综合法
C.①—综合法，②—反证法
D.①—分析法，②—反证法
答案 A
解析 根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：
∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①—综合法，②—分析法.
8.执行如图所示的程序框图，若输出的是n＝6，则输入整数p的最小值为( )
A.15 B.16 C.31 D.32
答案 B
解析 列表分析如下
是否继续循环 S n
循环前 0 1
第一圈 是 1 2
第二圈 是 3 3
第三圈 是 7 4
第四圈 是 15 5
第五圈 是 31 6
第六圈 否
故当S值不大于15时继续循环，大于15但不大于31时退出循环，故p的最小正整数值为16.
9.在平面上，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是______________.
答案 S＋S22＋S＝S
解析 将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S＋S22＋S＝S
.
10.若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a>0，b>0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________________.
答案 －＝1
解析 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则P1，P2的切线方程分别是
－＝1，－＝1.
因为P0(x0，y0)在这两条切线上，
故有－＝1，－＝1，
这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线－＝1上，
故切点弦P1P2所在的直线方程是－＝1.
选择题、填空题“12＋4”专项练1
1.已知集合A＝{x|log3x≥0}，B＝{x|x≤1}，则( )
A.A∩B＝∅ B.A∪B＝R
C.B⊆A D.A⊆B
答案 B
2.(2016·课标全国甲)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A.(－3，1) B.(－1，3)
C.(1，＋∞) D.(－∞，－3)
答案 A
解析 由复数z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限得：解得－30 B.∀x∈R，ln(ex－1)≥0
C.∃x0∈R，ln(e－1)<0 D.∃x0∈R，ln(e－1)≥0
答案 D
5.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(－＜φ＜0)的图象如图所示，f()＝－，则f()等于( )
A.－ B.－ C. D.
答案 D
解析 由图可知，T＝2(－)＝＝，
所以ω＝3，又f()＝Acos(＋φ)＝0，
所以＋φ＝kπ＋，k∈Z，
即φ＝kπ－，k∈Z，
又因为－＜φ＜0，所以φ＝－.
所以f(x)＝Acos(3x－).
由f()＝Acos(3×－)＝－Asin ＝－，
所以A＝，
所以f()＝cos(－)＝sin ＝.
故选D.
6.甲，乙，丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为，，，那么三人中恰有两人合格的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 所求概率为P＝××＋××＋××＝.
7.“①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形”，根据“三段论”推理形式，则作为大前提、小前提、结论的分别为( )
A.①②③ B.③①② C.②③① D.②①③
答案 C
解析 用三段论的形式写出的演绎推理是：
大前提 ②矩形的对角线相等
小前提 ③正方形是矩形
结论 ①正方形的对角线相等，故选C.
8.一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为( )
A.20π B.π C.25π D. 25π
答案 A
解析 由三视图可知，该三棱柱的底面为顶角为，两腰为2的等腰三角形，高为2，底面三角形的外接圆直径为＝4，半径为2，设该三棱柱的外接球的半径为R，则R2＝22＋12＝5，所以该三棱柱的外接球的表面积为S＝4πR2＝20π，故选A.
9.已知x，y满足约束条件则z＝的范围是( )
A.[，2] B.[－，] C.[，] D.[，]
答案 C
解析 在直角坐标系中作出可行域
由斜率公式可知z＝表示可行域内的点M(x，y)与点P(－1，－1)连线的斜率，由图可知zmax＝＝，zmin＝＝，故选C.
10.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B与B1C所在直线所成角的大小是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案 C
解析 作A1B∥D1C，连接B1D1，易证∠B1CD1就是A1B与B1C所在直线所成的角，由于△B1CD1是等边三角形，因此∠B1CD1＝60°，故选C.
11.已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )
A.x±y＝0 B.x±y＝0 C.2x±y＝0 D.x±2y＝0
答案 B
解析 a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，
C1的离心率为，
双曲线C2的方程为－＝1，
C2的离心率为，
∵C1与C2的离心率之积为，
∴·＝，
∴()2＝，＝，
C2的渐近线方程为y＝±x，
即x±y＝0.故选B.
12.设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，则a的取值范围是( )
A.[－，1) B.[－，) C.[，) D.[，1)
答案 D
解析 设g(x)＝ex(2x－1)，y＝ax－a，
由题意知存在唯一的整数x0使得g(x0)在直线y＝ax－a的下方，
∵g′(x)＝ex(2x－1)＋2ex＝ex(2x＋1)，
∴当x<－时，g′(x)＜0，
当x>－时，g′(x)＞0，
∴当x＝－时，g(x)取最小值－2e－，
当x＝0时，g(0)＝－1，当x＝1时，g(1)＝e＞0，
直线y＝ax－a恒过定点(1，0)且斜率为a，
故－a＞g(0)＝－1且g(－1)＝－3e－1≥－a－a，
解得≤a<1.
13.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是________.
答案 10 000
解析 i＝0，S＝0⇒i＝1，S＝1⇒i＝2，S＝4⇒i＝3，
S＝9…
由此可知S＝i2，所以当i＝100时，S＝10 000.
14.已知(x＋a)2(x－1)3的展开式中，x4的系数为1，则a＝________.
答案 2
解析 (x＋a)2(x－1)3的展开式中，x4 的系数为1×(－3)＋2a×1＝2a－3＝1， 所以a＝2，所以应填2.
15.函数y＝ln＋的定义域为________.
答案 (0，1]
解析 根据题意可知， ⇒⇒02}，B＝{x|y＝}，则( )
A.A⊆B B.A∪B＝A
C.A∩B＝∅ D.A∪B＝∅
答案 A
2.若复数z满足zi＝1＋2i，则z的共轭复数是( )
A.2－i B.2＋i
C.－2－i D.－2＋i
答案 B
解析 ∵zi＝1＋2i，∴z＝＝2－i，∴＝2＋i.
3.下列有关命题的说法错误的是( )
A.若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题
B.“x＝1”是“x≥1”的充分不必要条件
C.“sin x＝”的必要不充分条件是“x＝”
D.若命题p：∃x0∈R，x≥0，则命题綈p：∀x∈R，x2<0
答案 C
4.命题“若a>－3， 则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中， 真命题的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
5.(2016·北京)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 D
解析 若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件.
6.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中0<φ<2π，若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立，且f()>f(π)，则φ等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立，
所以|f(x)|max＝f()＝sin(2×＋φ)＝sin(＋φ)，
即＋φ＝kπ＋，k∈Z，
又0<φ<2π，所以φ＝或φ＝，
当φ＝时，f()＝sin(π＋)＝－sin ＝－，
f(π)＝sin(2π＋)＝sin ＝，f()＜f(π)，
不合题意，
当φ＝时，f()＝sin(π＋)＝－sin ＝，
f(π)＝sin(2π＋)＝sin ＝－，f()＞f(π)，符合题意，所以φ＝，故选C.
7.已知两个不重合的平面α，β和两条不同的直线m，n，则下列说法正确的是( )
A.若m⊥n，n⊥α，m⊂β，则α⊥β
B.若α∥β，n⊥α，m⊥β，则m∥n
C.若m⊥n，n⊂α，m⊂β，则α⊥β
D.若α∥β，n⊂α，m∥β，则m∥n
答案 B
解析 A.若n⊥α，m⊥n，则m∥α或m⊂α，又m⊂β，
∴α⊥β不成立，∴A错误.
B.若α∥β，n⊥α，则n⊥β，又m⊥β，∴m∥n成立，
∴B正确.
C.m⊥n，n⊂α，m⊂β，则α⊥β或α∥β.∴C错误.
D.若α∥β，n⊂α，m∥β，则m∥n或m与n相交或m，n为异面直线，∴D错误.
8.如图是某几何体的三视图，则该几何体体积是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由三视图可知，该几何体是由三棱柱割掉一个角(三棱锥)而成的几何体，所以体积为×22×2－×
×22×1＝.
9.已知{an}为等比数列， a1>0，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a4＋a7＋a10等于( )
A.－7 B.－5 C.5 D.7
答案 B
解析 由等比数列性质可得a5a6＝a4a7＝－8，又a4＋a7＝2，解之得a4＝－2或a7＝4或a7＝－2，a4＝4，因为a7＝a1q6>0，所以a4＝－2，a7＝4，a7＝a4q3＝－2q3＝4，所以q3＝－2，所以a1＝＝1，a10＝a7q3＝－8，所以a1＋a4＋a7＋a10＝－5，故选B.
10.设随机变量X～B( n ， p )，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 根据二项分布的均值和方差公式，
有
解之得n＝12，p＝，
所以P(X＝1)＝C()12＝.
11.观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图和第n个图小正方形的个数( )
A.28， B.14， C.28， D.12，
答案 A
解析 观察所给图形的小正方形，
可得an－an－1＝n＋1 (n≥2，n∈N)，即a2－a1＝3，
a3－a2＝4，…，an－an－1＝n＋1，这n－1个式子相加得到an－a1＝＝，a1＝3，解得an＝＋3＝＝，验证n＝1成立，当n＝6时，an＝28，故选A.
12.定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，已知f(x＋1)是偶函数，(x－1)f′(x)<0，若x12，则f(x1)与f(x2)的大小关系为( )
A.f(x1)f(x2) D.不确定
答案 C
解析 因为f(x＋1)是偶函数，
所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，
则f(x)的图象关于x＝1对称，
由(x－1)f′(x)＜0得，x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增.若x1≤1，由x1＋x2>2，得x2>2－x1≥1，所以f(x1)＝f(2－x1)>f(x2)；若x1>1，则1f(x2).
综上知f(x1)>f(x2).
13.如图是一个算法的程序框图，最后输出的S＝________.
答案 25
解析 因为a＝1时，P＝9＞0，则S＝9，此时a＝2，P＝16>9，继续可得S＝16，将a＝3代入得P＝21>16，则得S＝21，将a＝4代入得P＝24>21，则S＝24，将a＝5代入得P＝25>24，得S＝25，将a＝6代入得P＝24<25，此时输出S＝25.
14.若若z＝x＋2y的最大值为3，则a的值是________.
答案 1
解析 画出可行域如图所示，A(a，a)为最优解，
故z＝3a＝3，a＝1.
15.如图，已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q.若||＝3，||＝5，则(＋)·(－)的值为________.
答案 －16
解析 (＋)·(－)＝(＋2)·(－)＝·(－)＋2·(－)＝·＋2·(－)＝)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝9－25＝－16.
16.设P为直线y＝x与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e＝________.
答案
解析 设P(－c，y0)，代入双曲线C∶－＝1，
得y＝()2，由题意知y0＜0，∴y0＝，
又∵P在直线y＝x上，代入得c＝3b，
又∵c2＝a2＋b2，
∴e＝＝.
选择题、填空题“12＋4”专项练3
1.(2016·天津)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B等于( )
A.{1} B.{4} C.{1，3} D.{1，4}
答案 D
解析 因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；
当x＝2时，y＝3×2－2＝4；
当x＝3时，y＝3×3－2＝7；
当x＝4时，y＝3×4－2＝10.
即B＝{1，4，7，10}.
又因为A＝{1，2，3，4}，所以A∩B＝{1，4}.故选D.
2.设z是纯虚数，若是实数，则z等于( )
A.－2i B.－i C.i D. 2i
答案 A
解析 设z＝bi(b≠0)，
＝＝∈R，
∴2＋b＝0，b＝－2，∴z＝－2i.
3.已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，使x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题， 则实数a的取值范围是( )
A.{a|a≤－2或a＝1} B.{a|a≥1}
C.{a|a≤－2或1≤a≤2} D.{a|－2≤a≤1}
答案 A
解析 p为真，则x2≥a，所以a≤1；
q为真，则Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，
解得，a≥1或a≤－2.命题“p且q”为真命题，
则a的取值范围为a≤－2或a＝1.
4.已知条件p：x2－2x－3＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为( )
A.a＞3 B.a≥3 C.a＜－1 D.a≤－1
答案 D
5.函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图，则φ、ω可以取的一组值是( )
A.ω＝，φ＝ B.ω＝，φ＝
C.ω＝，φ＝ D.ω＝，φ＝
答案 C
解析 由图象得＝2，∴T＝8，ω＝＝，
当x＝1时，y＝1，∴sin(＋φ)＝1，
则φ＝时符合，故选C.
6.由a1＝1，an＋1＝给出的数列{an}的第34项是( )
A. B.100 C. D.
答案 A
解析 由a1＝1，an＋1＝得，
a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝，a5＝＝，
a6＝＝，…，各项分子为1，分母构成等差数列{bn}，首项b1＝1，公差为d＝3，
所以b34＝b1＋(34－1)d＝1＋33×3＝100，故选A.
7.给出以下四个命题：
①若ab≤0，则a≤0或b≤0；
②若a>b，则am2>bm2；
③在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B；
④在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根.
其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )
A.① B.② C.③ D.④
答案 C
8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A. B. C.13 D.
答案 C
解析 该三视图的几何体是三棱台ABC—DEF，为正方体中的一部分，如图.
BC＝，EF＝2，BE＝CF＝，
SBCFE＝(＋2)× ＝，
所以S表＝＋2＋2××(1＋2)×2＋＝13.故选C.
9.已知三角形的三边分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r；四面体的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为R.类比三角形的面积可得四面体的体积为( )
A.V＝(S1＋S2＋S3＋S4)R B.V＝(S1＋S2＋S3＋S4)R
C.V＝(S1＋S2＋S3＋S4)R D.V＝(S1＋S2＋S3＋S4)R
答案 B
解析 根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比，∴△ABC的面积为S＝(a＋b＋c)r，
对应于四面体的体积为V＝(S1＋S2＋S3＋S4)R.
10.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{0，1，2，…，9}.若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 共有10×10＝100(种)猜字结果，其中满足|a－b|≤1的有：当a＝0时，b＝0，1；当a＝1时，b＝
0，1，2；当a＝2时，b＝1，2，3；当a＝3时，b＝2，3，4；当a＝4时，b＝3，4，5；当a＝5时，b＝4，5，6；当a＝6时，b＝5，6，7；当a＝7时，b＝6，7，8；当a＝8时，b＝7，8，9；当a＝9时，b＝8，9，共28种，所以他们“心有灵犀”的概率为P＝＝，故选A.
11.函数f(x)＝2x2－ln x的单调递减区间是( )
A.(0，) B.(－，0)和(，＋∞)
C.(，＋∞) D. (－∞，－)和(0，)
答案 A
解析 由题意，得f′(x)＝4x－＝
＝ (x>0)，又当x∈(0，)时，f′(x)<0，
所以函数f(x)的单调递减区间是(0，)，故选A.
12.已知双曲线－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为( )
A. B. C.2 D.
答案 B
解析 由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a， ①
又|PF1|＝4|PF2|， ②
联立①②解得|PF1|＝a，|PF2|＝a.
在△PF1F2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2＝＝－e2.
要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，
当cos∠F1PF2＝－1时，
解得e＝(e＝－不合题意，舍去)，
即e的最大值为，故选B.
13.(1－x)(1＋2)5展开式中x2的系数为________.
答案 60
解析 因为(1＋2)5展开式的通项公式为
Tk＋1＝C·2k·x，
所以(1－x)(1＋2)5展开式中x2的系数为
1×C×24－×C×22＝60.
14.曲线y＝x3－2x在(1，－1)处的切线方程为__________________.
答案 x－y－2＝0
解析 y′＝3x2－2，y′|x＝1＝1，
所以切线方程为x－y－2＝0.
15.程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是__________________.
答案
解析 由程序框图知：第一次循环S＝＝－3，i＝2；第二次循环S＝＝－，i＝3；第三次循环S＝＝，i＝4；第四次循环S＝＝2，i＝5；第五次循环S＝＝－3，i＝6；…S值的周期为4，∵跳出循环体的i值为2 106，∴共循环了2 015次，∴输出的S＝.
16.已知向量＝(2，1)，＝(1，7)，＝(5，1)，设X是直线OP上的一点(O为坐标原点)，那么·的最小值是________.
答案 －8
解析 直线OP方程为y＝x，
设点X坐标为(m，m)，
则＝(1－m，7－m)，＝(5－m，1－m)，
所以·＝(1－m)(5－m)＋(7－m)(1－m)
＝m2－10m＋12＝(m－4)2－8，
当m＝4时，·有最小值为－8.
选择题、填空题“12＋4”专项练4
1.设全集U＝{x|x<9且x∈Z}，集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，图中阴影部分所表示的集合为( )
A.{1，2，3，4，5，6，7，8} B.{1，2，4，5，6}
C.{1，2，4，5，6，7，8} D.{1，2，3，4，5，6}
答案 B
2.已知i为虚数单位，则复数等于( )
A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i
答案 A
3.(2016·浙江)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
B.∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
C.∃x0∈R，∃n∈N*，使得n＜x
D.∃x0∈R，∀n∈N*，使得n＜x
答案 D
解析 原命题是全称命题，条件为∀x∈R，结论为∃n∈N*，使得n≥x2，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D选项符合.
4.sin 47°cos 17°＋cos 47°cos 107°等于( )
A.－ B. C. D.
答案 D
解析 sin 47°cos 17°＋cos 47°cos 107°＝sin 47°cos 17°－cos 47°sin 17°＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝，故选D.
5.有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( )
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
答案 C
解析 ∵大前提的形式：“有些有理数是真分数”，不是全称命题，∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误.
6.若k∈R，则k>3是方程－＝1表示双曲线的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 方程＋＝1表示双曲线，
只需满足(k－3)(－k－3)＜0，解得k＞3或k＜－3.
所以k＞3是方程－＝1表示双曲线的充分不必要条件.
7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B.8 C. D.4
答案 A
解析 该几何体是一个四棱锥，其底面是边长为2的正方形，右侧面是腰长为的等腰三角形，且垂直于底面，由此可得四棱锥的高为2，所以体积V＝，故选A.
8.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设正方体的边长为2，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图)，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，M(2，1，2)，N(2，2，1).所以＝(0，1，2)，＝(2，0，1)，
所以cos θ＝＝.
9.设函数f(x)＝xa＋ax的导函数f′(x)＝2x＋2，则数列{}的前9项和是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意得函数f(x)＝xa＋ax的导函数f′(x)＝2x＋2，即axa－1＋a＝2x＋2，所以a＝2，即f(x)＝x2＋
2x，＝＝(－)，所以Sn＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝(1＋－－)，则S9＝(1＋－－)＝，故选C.
10.某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 先排B，有A(非第一与最后)种方法，再排A有A(非第一)种方法，其余三个自由排，共有AAA＝54(种)方法，这是总结果；学生C第一个出场，先排B，有A(非第一与最后)种方法，再排A有A种方法，C第一个出场，剩余2人自由排，故有AAA＝18(种)，故学生C第一个出场的概率为＝.
11.已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a>0，b<0)的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－，则的值是( )
A.－ B.－ C.－ D.－
答案 B
解析 双曲线ax2＋by2＝1的渐近线方程可表示为ax2＋by2＝0，由
得(a＋b)x2－2bx＋b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，y1＋y2＝，
所以原点和线段AB中点的直线的斜率为
k＝＝＝＝－，故选B.
12.定义在(0，)上的函数f(x)， 其导函数为f′(x)， 若恒有f(x)f() B.f()f() D.f()0，cos x>0.
由f(x)0.
不妨设g(x)＝，
则g′(x)＝>0，
所以函数g(x)在(0，)上单调递增，
所以g()0”的否定是( )
A.不存在x∈R，x2＋x＋1>0
B.∃x0∈R，x＋x0＋1>0
C.∃x0∈R，x＋x0＋1≤0
D.∀x∈R，x2＋x＋1≤0
答案 C
4.已知p：α为第二象限的角，q：sin α>cos α，则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
答案 A
5.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a7＋a11＝12，则S13等于( )
A.52 B.54 C.56 D.58
答案 A
解析 若a3＋a7＋a11＝12，则有3a7＝12，
∴a7＝4，∴S13＝＝13a7＝52.
6.已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)图象的一个对称中心为(2，0)，直线x＝x1，x＝x2是图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为3，且f(1)>f(3)，要得到函数f(x)的图象可将函数y＝2cos ωx的图象( )
A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
答案 A
解析 由两条对称轴的距离|x1－x2|的最小值为3，可得T＝6，∴6＝，ω＝，又函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)图象的一个对称中心为(2，0)，则＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∵－<φ<，∴φ＝－，f(x)＝2cos(x－)，满足f(1)>f(3)，故可将函数y＝2cos ωx的图象向右平移个单位长度得到函数f(x)的图象，故选A.
7.在正方体ABCD—A1B1C1D1上有一只蚂蚁，从A点出发沿正方体的棱前进，要它走过的第n＋2条棱与第n条棱是异面的，则这只蚂蚁走过第2 016条棱之后的位置是在( )
A.点A1处 B.点A处 C.点D处 D.点B处
答案 B
解析 走过的棱可依次为AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A，因此走过6条棱后回到起点，所以周期为6，
因为2 016÷6＝336，所以又回到起点A.
8.如图是一个几何体的三视图，正(主)视图是一个等腰直角三角形，且斜边BD长为2，侧(左)视图为一个直角三角形，俯视图是一个直角梯形，且AB＝BC＝1，则此几何体的表面积是( )
A. B. C D.＋
答案 D
解析 几何体为一个四棱锥，高为1，底面为直角梯形，上、下底为1和2，高为1，因此几何体四个侧面中有两个全等的直角三角形，直角边分别为1，，一个底边长为2的等腰直角三角形，还有一个边长为的等边三角形，因此表面积为×(1＋2)×1＋2××1×＋×()2＋×1×2＝＋，故选D.
9.已知一只蚂蚁在边长分别为5，12，13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由题意可知，三角形的三条边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为＝.
10.(2016·课标全国乙)平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，∵α∥平面CB1D1，则m1∥m，又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m，同理可得CD1∥n.
故m、n所成角的大小与B1D1、CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小.
而B1C＝B1D1＝CD1(均为面对角线)，因此∠CD1B1＝，得sin∠CD1B1＝，故选A.
11.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数( )
A.y＝x＋1的图象上 B.y＝2x的图象上 C.y＝2x的图象上 D.y＝2x－1的图象上
答案 D
解析 由题可知，输入x＝1，y＝1，由于1≤4，输出点(1，1)，进入循环，x＝1＋1＝2，y＝2×1＝2，由于2≤4，输出点(2，2)，进入循环，x＝2＋1＝3，y＝2×2＝4，由于3≤4，输出点(3，4)，进入循环，x＝3＋1＝4，y＝2×4＝8，由于4≤4，输出点(4，8)，进入循环，x＝4＋1＝5>4，循环结束；故点(2，2)，点(3，4)，点(4，8)均满足在函数y＝2x－1的图象上.
12.设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有两个极值点x1，x2，若点P(x1，f(x1))为坐标原点，点Q(x2，f(x2))在圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上运动时，则函数f(x)图象的切线斜率的最大值为( )
A.3＋ B.2＋ C.2＋ D.3＋
答案 D
解析 因为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，
所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
又因为点P(x1，f(x1))为坐标原点，
所以f(0)＝0，f′(0)＝0，c＝0，d＝0，
令f′(x)＝0，即f′(x)＝3ax2＋2bx＝0，
解得x1＝0，x2＝－，
f(x2)＝a(－)3＋b(－)2＝，
又点Q(x2，f(x2))在圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上运动，
所以a<0，k＝f′(x)＝3ax2＋2bx≤－＝·，表示圆上动点与原点连线的斜率，
由几何意义可求得的最大值为2＋，
因此k的最大值为3＋，故选D.
13.已知x，y的取值如表所示：若y与x呈线性相关，且线性回归方程为＝x＋，则＝________.
x
2
3
4
y
5
4
6
答案
解析 ＝3，＝5，
∴5＝×3＋，
∴＝.
14.如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间(，)内，那么输入实数x的取值范围是________.
答案 (1，2)
解析 模拟执行程序框图，可得其功能为计算并输出分段函数f(x)＝的值，如果输出的函数值在区间(，)内，即y∈(3－2，3－1)，从而解得x∈(1，2)，故答案为(1，2).
15.数列1，2，3，4，5，6，…，n，…是一个首项为1，公差为1的等差数列，其通项公式an＝n，前n项和Sn＝.若将该数列排成如下的三角形数阵的形式
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
… … … … … … … …
根据以上排列规律，数阵中的第n行(n≥3)的第3个(从左至右)数是________.
答案
解析 由题意知该三角形数阵的每一行的第一个数为＋1，所以第三个数为.
16.(2016·课标全国乙)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________.
答案 4π
解析 圆C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)，C到直线y＝x＋2a的距离为d＝＝.又由|AB|＝2，得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，所以圆的面积为π(a2＋2)＝4π.
选择题、填空题“12＋4”专项练6
1.(2016·山东)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B等于( )
A.(－1，1) B.(0，1) C.(－1，＋∞) D.(0，＋∞)
答案 C
解析 ∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－10；命题q：∃x0∈R，sin(x0＋)＝1，则下列判断正确的是( )
A.綈p是假命题 B.q是假命题 C.p∨(綈q)是真命题 D.(綈p)∨q是真命题
答案 D
4.“a＝”是“直线y＝x与圆(x－a)2＋y2＝1相切”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B
5.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为( )
A.a，b，c中至少有两个偶数 B.a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C.a，b，c都是奇数 D.a，b，c都是偶数
答案 B
6.(2016·山东)函数f(x)＝(sin x＋cos x)·(cos x－sin x)的最小正周期是( )
A. B.π C. D.2π
答案 B
解析 ∵f(x)＝2sin xcos x＋(cos2x－sin2x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，∴T＝π，故选B.
7.观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )
A.f(x) B.－f(x) C.g(x) D.－g(x)
答案 D
解析 由(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x可归纳得偶函数的导数为奇函数，由f(－x)＝f(x)可知函数为偶函数，所以导函数为奇函数.
8.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为6
的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( )
A.96 B.108 C.180 D.198
答案 C
解析 由三视图可知，该几何体是棱长为6的正方体，挖去一个正四棱锥所形成的几何体，如图所示.所以该几何体的体积是63－×62×3＝180，故选C.
9.已知数列an＝(n∈N*)，则数列{an}的前10项和为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为an＝＝(－)，所以考虑裂项相消的方法可以求此数列的前10项和，
S10＝a1＋a2＋…＋a10
＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]
＝(1－)＝.
10.已知小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 正方体的体积为64，“安全飞行”为一个棱长为2的小正方体，其体积为8，所以所求概率P＝＝，故选D.
11.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，则不等式exf(x)>ex＋3其中(e为自然对数的底数)的解集为( )
A.(0，＋∞) B.(－∞，0)∪(3，＋∞)
C.(－∞，0)∪(0，＋∞) D. (3，＋∞)
答案 A
解析 令g(x)＝exf(x)－ex，
∴g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]，
∵f(x)＋f′(x)>1，∴g′(x)>0，
∴y＝g(x)在定义域上单调递增，
∵exf(x)>ex＋3，∴g(x)>3，
∵g(0)＝3，∴g(x)>g(0)，∴x>0，故选A.
12.如图所示，F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A，B两点.若△ABF1为等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由题意，可得
解得|AB|＝4a，|AF2|＝2a，所以|BF2|＝6a，
在△BF1F2中，由余弦定理可得
＝cos 60°，
化简得－＝1，所以e＝，故选B.
13.执行如图所示的程序框图，输出的S＝________.
答案 7
解析 程序执行中的数据变化如下：
k＝0，S＝0，0<3，S＝1，k＝1，1<3，S＝3，k＝2，2<3，
S＝7，k＝3，3<3不成立，因此输出S＝7.
14.5位刚毕业的研究生，分到4个单位工作，每个单位至少一人，则不同的方法总数为________.(用数字作答)
答案 240
解析 现将5个人分好组，方法数有C种，将分好组的4组派给4个单位，方法数有A种，按照分步乘法计数原理，方法总数有CA＝240(种).
15.已知向量a＝(2，2)，b＝(1，－1)，且(a＋λb)⊥b，则|2a－λb|的值为________.
答案 4
解析 由题意可知|a|＝2，|b|＝，a·b＝0，因为(a＋λb)⊥b，所以(a＋λb)·b＝a·b＋λb2＝2λ＝0，∴λ＝0，|2a－λb|＝2|a|＝4.
16.(2016·课标全国丙)设x，y满足约束条件则z＝2x＋3y－5的最小值为________.
答案 －10
解析 如图，可行域为一个三角形ABC及其内部，
其中A(1，0)，B(－1，－1)，
C(1，3)，
直线z＝2x＋3y－5过点B时取最小值－10.
选择题、填空题“12＋4”专项练7
1.已知全集U＝R，A＝{y|y＝2x＋1}，B＝{x|ln x＜0}，则(∁UA)∩B等于( )
A.∅ B.{x|＜x≤1} C.{x|x＜1} D.{x|0＜x＜1}
答案 D
2.设a，b∈R，且i(a＋i)＝b－i，则a－b等于( )
A.2 B.1 C.0 D.－2
答案 C
3.命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A.∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)>n B.∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n
C.∃n0∈N*，f(n0)∈N*或f(n0)>n0 D.∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0
答案 D
4.(2016·四川)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点( )
A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度
答案 D
解析 由题可知，y＝sin＝sin，则只需把y＝sin 2x的图象向右平移个单位，故选D.
5.下列结论错误的是( )
A.命题“若p，则q”与命题“若綈q，则綈p”互为逆否命题
B.命题p：“∀x∈[0，1]，1≤ex≤e(e是自然对数的底数)，命题q：“∃x0∈R，x＋x0＋1<0”，则p∨q为真
C.“am23，S＝8满足S≥6，则S＝8－6＝2，n＝2＋1＝3；
n＝3不满足n>3，S＝2不满足S≥6，则S＝2S＝2×2＝4，n＝3＋1＝4；
n＝4满足n>3，输出S＝4.故选B.
10.设点(x，y)在不等式组所表示的平面区域上，若对b∈[0，1]时，不等式ax－by>b恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.(，4) B.(，＋∞) C.(4，＋∞) D.(2，＋∞)
答案 C
解析 作出不等式组对应的平面区域，如图所示，当b＝0时，ax>0，所以a>0；当b≠0时，y0时，B(1，3)在y4b，因为04，故选C.
11.甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去. 则两人能会面的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能会面的充要条件是|x－y|≤15.在平面上建立直角坐标系如图所示，则(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示，所以P＝＝，故选C.
12.已知t为常数，函数f(x)＝x2＋tln(x＋1)有两个极值点 a，b(a C.f(b)> D.f(b)<
答案 B
解析 函数f(x)＝x2＋tln(x＋1)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝2x＋＝，又因为函数有两个极值点a，b，即a，b是方程2x2＋2x＋t＝0在区间(－1，0)上的两根，所以有－10，所以g(x)在区间(－，0)上单调递增，所以对任意b∈(－，0)，有g(b)>g(－)＝，所以f(b)＝g(b)>，故选B.
13.在周长为10的△ABC中，AB＝2，则·的最小值是______.
答案 14
解析 设CA＝m，CB＝n，则m＋n＝8，
所以借助余弦定理可得
·＝mncos C＝
＝＝＝30－mn，
又因为mn≤()2＝16，
所以·≥30－16＝14.
14.若(2x－1)dx＝6，则二项式(1－2x)3m的展开式各项系数和为________.
答案 －1
解析 (2x－1)dx＝(x2－x)|＝m2－m＝6，m＝3(m＝－2舍去)，令x＝1，则(1－2×1)9＝－1，即为所求系数和.
15.数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，前n项和为Sn，则Sn＝________.
答案 (1－)
解析 因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，所以当n≥2时有a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，两式作差得3n－1an＝，所以an＝·，又因为当n＝1时，a1＝适合此式，所以数列{an}的通项公式为an＝·，所以Sn＝＝(1－).
16.已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________.
答案 0或－8
解析 因为点M，N关于直线y＝x＋m对称，所以MN的垂直平分线为y＝x＋m，所以直线MN的斜率为－1.设线段MN的中点P(x0，x0＋m)，
直线MN的方程为y＝－x＋b，
则x0＋m＝－x0＋b，所以b＝2x0＋m.
由得2x2＋2bx－b2－3＝0，
所以xM＋xN＝－b，所以x0＝－，所以b＝，
所以P(－，m).
因为MN的中点在抛物线y2＝18x上，
所以m2＝－m，
解得m＝0或m＝－8.
选择题、填空题“12＋4”专项练8
1.已知集合A＝{x|(x－4)(x＋2)<0}，B＝{－3，－1，1，3，5}，则A∩B等于( )
A.{－1，1，3} B.{－3，－1，1，3} C.{－1，1，3，5} D.{－3，5}
答案 A
2.复数的共轭复数是( )
A.3－4i B.＋i C.3＋4i D.－i
答案 B
3.命题“∀x∈R ，都有log2x>0成立”的否定为 ( )
A.∃x0∈R，使log2x0≤0成立
B.∃x0∈R，使log2x0>0成立
C.∀x∈R，都有log2x≥0成立
D.∀x∈R，都有log2x>0成立
答案 A
4.已知p：x>1，y>1，q：x＋y>2，xy>1，则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
5.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰好有2粒发芽的概率是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 依题意可知发芽数量满足二项分布X～B(4，)，所以P(X＝2)＝C()2()2＝.
6.将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向左平移φ (φ>0)个单位后，得到的函数图象关于y轴对称，则φ的最小值为( )
A.π B.π C. D.
答案 D
解析 将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向左平移φ(φ>0)个单位后，可得函数f(x)＝sin[2(x＋φ)＋]＝sin(2x＋2φ＋)的图象.再根据得到的函数图象关于y轴对称，可得2φ＋的最小正值为，∴φ＝，故选D.
7.已知{an}为等差数列，且a6＝4，则a4a7的最大值为( )
A.8 B.10 C.18 D.36
答案 C
解析 设等差数列的公差为d，
则a4a7＝(a6－2d)(a6＋d)＝(4－2d)(4＋d)＝－2(d＋1)2＋18，即a4a7的最大值为18.
8.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是 ( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 连接BC1，如图，由AC∥A1C1可得异面直线A1B与AC所成角为∠BA1C1，在△BA1C1中，A1C1＝1，BC1＝，A1B＝，
由余弦定理可得
cos∠BA1C1＝＝.
9.(2016·浙江)函数y＝sin x2的图象是( )
答案 D
解析 ∵y＝sin x2为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A、C.又当x2＝，即x＝±时，ymax＝1，排除B，故选D.
10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )
A.3 B. C. D.3
答案 C
解析 ∵c2＝(a－b)2＋6，
∴c2＝a2＋b2－2ab＋6. ①
∵C＝，
∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab. ②
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.
∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.
11.已知实数x，y满足直线(1＋λ)x＋(1－2λ)y＋3λ－12＝0 (λ∈R)过定点A(x0，y0)，则z＝的取值范围为( )
A.(－∞，]∪[7，＋∞) B.[，7]
C.(－∞，]∪[5，＋∞) D.[，5]
答案 D
解析 由直线(1＋λ)x＋(1－2λ)y＋3λ－12＝0可得x＋y－12＝(－x＋2y－3)λ，可知解得即定点A(7，5)，故z＝
，由不等式组作出可行域如图，目标函数可视为点A与可行域中的点连线的斜率，则由图可知分别取点P，Q时，z取得最小、最大值，又P(0，4)，Q(6，0)，
故zmin＝，zmax＝5，
故z的取值范围为[，5].
12.对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若f(x)＝x3－x2＋3x－，根据这一发现，则函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为( )
A.(，1) B.(－，1) C.(，－1) D.(－，－1)
答案 A
解析 依题意，得f′(x)＝x2－x＋3，∴f″(x)＝2x－1，由f″(x)＝0，即2x－1＝0.∴x＝，又f()＝1，∴函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为(，1).
13.在8张奖券中有一，二，三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，则不同的获奖情况有________种(用数字作答).
答案 60
解析 当一，二，三等奖被三个不同的人获得，共有A＝24(种)不同的方法，当一，二，三等奖被两个不同的人获得，即有一个人获得其中的两个奖，共有CA＝36(种)方法，所以获奖的不同情况有24＋36＝60(种)不同的方法.
14.已知向量b为单位向量，向量a＝(1，1)，且|a－b|＝，则向量a，b的夹角为_____.
答案
解析 因为b为单位向量，向量a＝(1，1)，
所以|a|＝，|b|＝1，因为|a－b|＝⇒a2－2a·b＋2b2＝6，即2－2a·b＋2＝6⇒a·b＝－，所以向量a，b的夹角为cos〈a，b〉＝＝－，所以向量a，b的夹角为.
15.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
答案 3
解析 由⊥知∠F1PF2＝90°，
则由题意，得
可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，
所以b＝3.
16.在平面直角坐标系中，半径为r，以点(x0，y0)为圆心的圆的标准方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2；则类似地，在空间直角坐标系中，半径为R，以(x0，y0，z0)为球心的球的标准方程为________________.
答案 (x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝R2
解析 在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，一般为：由平面几何中圆的性质，类比推理空间几何中球的性质；故由“以半径为r，以点(x0，y0)为圆心的圆的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2”，类比到空间可得的结论是：以点(x0，y0，z0)为球心，R为半径的球的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝R2.
选择题、填空题“12＋4”专项练9
1.若集合A＝{x|x≥0}，且B⊆A，则集合B可能是( )
A.{1，2} B.{x|x≤1} C.{－1，0，1} D.R
答案 A
2.复数z＝的虚部为( )
A.2 B.－2 C.2i D.－2i
答案 B
3.命题p：∃x0∈R，x0>1的否定是( )
A.綈p：∀x∈R，x≤1 B.綈p：∃x0∈R，x0≤1
C.綈p：∀x∈R，x<1 D.綈p：∃x0∈R，x0<1
答案 A
4.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为( )
A. B. C.2 D.2
答案 B
解析 因为S＝×AB×ACsin A
＝×2×AC＝，所以AC＝1，
所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，
所以BC＝.
5.(2016·课标全国乙)执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足( )
A.y＝2x B.y＝3x C.y＝4x D.y＝5x
答案 C
解析 执行题中的程序框图，知
第一次进入循环体：
x＝0＋＝0，y＝1×1＝1，x2＋y2<36；
第二次执行循环体：n＝1＋1＝2，x＝0＋＝，y＝2×1＝2，x2＋y2<36；
第三次执行循环体：n＝2＋1＝3，x＝＋＝，y＝3×2＝6，x2＋y2>36，满足x2＋y2≥36，故退出循环，输出x＝，y＝6，满足y＝4x，故选C.
6.设平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥l，则“a⊥b”是“α⊥β”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B
7.(2016·课标全国甲)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A.x＝－(k∈Z) B.x＝＋(k∈Z)
C.x＝－(k∈Z) D.x＝＋(k∈Z)
答案 B
解析 由题意将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin，由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)，故选B.
8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为( )
A.2 B. C.3 D.
答案 A
解析 由三视图知，S底＝×(1＋2)×2＝3，
∴V＝S底·h＝×3×2＝2.
9.已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，定义集合A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，则集合A×B中属于集合{(x，y)|logxy∈N}的元素个数是( )
A.3 B.4 C.8 D.9
答案 B
解析 由给出的定义得A×B＝{(1，2)，(1，4)，(1，6)，(1，8)，(2，2)，(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(3，8)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(4，8)}.其中log22＝1，log24＝2，log28＝3，log44＝1，因此一共有4个元素，故选B.
10.(2016·天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋5y的最小值为( )
A.－4 B.6 C.10 D.17
答案 B
解析 由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y＝－x＋z，在图中画出直线y＝－x，
平移该直线，易知经过点A时z最小.
又知点A的坐标为(3，0)，
∴zmin＝2×3＋5×0＝6.故选B.
11.(2016·课标全国乙)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A.(－1，3) B.(－1，) C.(0，3) D.(0，)
答案 A
解析 ∵方程－＝1表示双曲线，
∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2f(x)，则下列结论正确的是( )
A.f(1)>ef(0) B.f(1)f(0) D.f(1)，∴f(1)＞ef(0).
13.A，B，C三点与D，E，F，G四点分别在一个以O为顶点的角的不同的两边上，则在A，B，C，D，E，F，G，O这8个点中任选三个点作为三角形的三个顶点，可构成的三角形的个数为________.
答案 42
解析 由题意得三点不能共线，可用间接法，所以可构成的三角形的个数为C－C－C＝42.
14.已知数列{an}满足an＋1＝an＋2n且a1＝2，则数列{an}的通项公式an＝________.
答案 n2－n＋2
解析 an＋1＝an＋2n，∴an＋1－an＝2n，采用累和法可得
an－a1＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)
＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2＝n2－n.∴an＝n2－n＋2.
15.已知下列四个等式：
21×1＝2
22×1×3＝3×4
23×1×3×5＝4×5×6
24×1×3×5×7＝5×6×7×8
…
依此类推，猜想第n个等式为__________________.
答案 2n×1×3×5×7×…×(2n－1)＝(n＋1)×(n＋2)×(n＋3)×…×(n＋n)
解析 观察给出的四个等式可以发现第n个等式的左边是2n乘上从1开始的n个奇数，右边是从(n＋1)开始的n个连续正整数的积，根据这一规律即可归纳出第n个等式为2n×1×3×5×7×…×(2n－1)＝(n＋1)×(n＋2)×(n＋3)×…×(n＋n).
16.在△ABC中，若|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则·＝________.
答案
解析 ∵|＋|＝|－|，∴·＝0，
即⊥，
如图建立平面直角坐标系，
∵AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，
∴E(，)，F(，)，·＝.
选择题、填空题“12＋4”专项练10
1.设集合A＝{x|0
C.∀x∈R，ex－x－1>0
D.∀x∈R，ex－x－1≥0
答案 C
4.设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2，1)时，f(x)＝则f()等于( )
A.0 B.1 C. D.－1
答案 D
解析 因为f(x)是周期为3的周期函数，所以f()＝f(－＋3)＝f(－)＝4×(－)2－2＝－1，故选D.
5.设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)，且函数f(x)的部分图象如图所示，则有( )
A.f(－)f()>f()，故选D.
6.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，则图中x的值等于( )
A.0.12 B.0.012 C.0.18 D.0.018
答案 D
解析 依题意，0.054×10＋10x＋0.01×10＋0.006×10×3＝1，解得x＝0.018，故选D.
7.(2016·四川)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于( )
A.－4 B.－2 C.4 D.2
答案 D
解析 ∵f(x)＝x3－12x，
∴f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，
则x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，
f′(x)>0，则f(x)单调递增；
当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，
则f(x)单调递减，
∴f(x)的极小值点为a＝2.
8.如图，长方形的四个顶点为O(0，0)，A(4，0)，B(4，2)，C(0，2)，曲线y＝经过点B.小军同学在学做电子线路板时有一电子元件随机落入长方形OABC中，则该电子元件落在图中阴影区域的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 图中阴影部分是事件A发生的区域，
其面积S阴＝dx＝x＝，
S长方形＝4×2＝8，
∴所求概率P＝＝＝.故选C.
9.函数y＝|log2x|－()x的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.4
答案 C
解析 令y＝|log2x|－()x＝0，
即|log2x|＝()x，
在同一坐标系下作出y＝|log2x|和y＝()x的图象(图略)，
易知两图象有2个交点，即函数有2个零点.
10.(2016·天津)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的( )
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 设数列的首项为a1，则a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)<0，即q<－1，
故q<0是q<－1的必要而不充分条件.故选C.
11.设椭圆的两个焦点分别为F1，F2 ，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2
为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )
A.＋1 B.＋1 C.－1 D.－1
答案 D
解析 设点P在x轴上方，
则依题意，P点的坐标为(c，).
因为△F1PF2为等腰直角三角形，
所以＝2c，b2＝2ac，即a2－c2＝2ac，
两边除以a2得1－e2＝2e，
解得e＝－1(e＝－－1舍去)，故选D.
12.已知f(x)＝|x2－1|＋x2＋kx，若关于x的方程f(x)＝0在(0，2)上有两个不相等的实根，则k的取值范围是( )
A.(－1，0) B.(－，＋∞) C.(－∞，－)∪(－1，＋∞) D.(－，－1)
答案 D
解析 本题考查函数零点及函数与方程的关系.
当x∈(0，1]时，f(x)＝1－x2＋x2＋kx＝kx＋1，
此时方程f(x)＝0有一个零点－；
当x∈(1，2)时，
f(x)＝g(x)＝x2－1＋x2＋kx＝2x2＋kx－1.
∵g(x)＝2x2＋kx－1＝0必有一正根、一负根，
∴正根一定位于区间(1，2)上，
即
解得－0)，
则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.
代入＋＝中，有
＋＝，变形可得
sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B).
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C.所以sin Asin B＝sin C.
(2)解 由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有
cos A＝＝.
所以sin A＝＝.
由(1)，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin B＝cos B＋sin B.
故tan B＝＝4.
5.已知向量m＝(sin x，cos x)，n＝(cos x，cos x)，x∈R，设f(x)＝m·n.
(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；
(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a＝1，b＋c＝2，f(A)＝1，求△ABC的面积.
解 (1)f(x)＝m·n＝sin xcos x＋cos2x
＝sin 2x＋cos 2x＋
＝sin(2x＋)＋，
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
可得，－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(2)∵f(A)＝1，∴sin(2A＋)＝，
∵01，an＝4qn－1，
∵a3是a2，a4的等差中项，
∴2×a3＝a2＋a4，
即2q2－5q＋2＝0.
∵q>1，∴q＝2，
∴an＝4·2n－1＝2n＋1.
依题意，数列{bn}为等差数列，公差d＝1，
又S2＋S6＝a4＝32，
∴(2b1＋1)＋6b1＋＝32，
∴b1＝2，∴bn＝n＋1.
(2)∵an＝2n＋1，
∴Tn＝＝2n＋2－4.
不等式nlog2(Tn＋4)－λbn＋7≥3n化为
n2－n＋7≥λ(n＋1)，
∵n∈N*，
∴λ≤对一切n∈N*恒成立.
而＝
＝(n＋1)＋－3≥2－3＝3，
当且仅当n＋1＝，
即n＝2时等号成立，
∴λ≤3.
4.在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且a3，3a2，a4成等差数列.
(1)求等比数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝(n＋2)log2an，求数列{}的前n项和Tn.
解 (1)由已知6a2＝a3＋a4，
则6a2＝a2q＋a2q2，
即q2＋q－6＝0，又q>0，
所以q＝2，an＝2n.
(2)bn＝(n＋2)log22n＝n(n＋2)，
则＝(－)，
Tn＝＋＋…＋
＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)
＝(1＋－－)
＝－.
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＋a8＝－10，S10＝－35.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{}的前n项和Tn.
解 (1)由题设可得
解得
所以an＝1－(n－1)＝2－n.
(2)因为＝－n·，
所以Tn＝2＋1＋＋…＋－(1＋2×＋3×＋…＋n·)，
令Sn＝2＋1＋＋…＋，
Sn′＝1＋2×＋3×＋…＋n·，
则Tn＝Sn－Sn′，
因而Sn＝2＋1＋＋…＋
＝＝4(1－)＝4－，
因为Sn′＝1＋2×＋3×＋…＋n·，
所以Sn′＝＋2×＋3×＋…＋n·，
以上两式两边相减可得
Sn′＝1＋＋＋＋…＋－n·
＝－n·＝2－－n·，
所以Sn′＝4－－n·，
因此Tn＝Sn－Sn′＝.
中档大题规范特训4 概率与统计
1.(2016·北京)A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：
A班
6
6.5
7
7.5
8
B班
6
7
8
9
10
11
12
C班
3
4.5
6
7.5
9
10.5
12
13.5
(1)试估计C班的学生人数；
(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取1人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
(3)再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25(单位：小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小(结论不要求证明).
解 (1)C班学生人数约为100×＝100×＝40.
(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i＝1，2，…，5，
事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”，j＝1，2，…，8.
由题意可知P(Ai)＝，i＝1，2，…，5；P(Cj)＝，j＝1，2，…，8.
P(AiCj)＝P(Ai)P(Cj)＝×＝，i＝1，2，…，5，j＝1，2，…，8.
设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知，
E＝A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2 ∪A5C3∪A5C4.
因此P(E)＝P(A1C1)＋P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(A2C2)＋P(A2C3)＋P(A3C1)＋P(A3C2)＋P(A3C3)＋P(A4C1)＋P(A4C2)＋P(A4C3)＋P(A5C1)＋P(A5C2)＋P(A5C3)＋P(A5C4)＝15×＝.
(3)μ1＜μ0.
2.某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位：cm).跳高成绩在175 cm以上(包括175 cm)定义为“合格”，成绩在175 cm以下定义为“不合格”.鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队员，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队.
(1)求甲队队员跳高成绩的中位数；
(2)如果将所有的运动员按“合格”与“不合格”分成两个层次，用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共5人，则各层应抽取多少人？
(3)若从所有“合格”运动员中选取2名，用X表示所选运动员中甲队能参加市运动会开幕式旗林队的人数，试写出X的分布列，并求X的均值.
解 (1)由茎叶图知，甲田径队12名队员的跳高成绩从小到大排列后中间的两个成绩为176、178，
故中位数为(176＋178)＝177.
(2)由茎叶图可知，甲、乙两队合格人数为12，不合格人数为18，所以抽取五人，合格人数为×12＝2，不合格人数为×18＝3.
(3)X＝0，1，2，P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
3.安排5个大学生到A，B，C三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的.
(1)求5个大学生中恰有2个人去A校支教的概率；
(2)设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列.
解 (1)5个大学生到三所学校支教的所有可能为35＝243(种)，设“恰有2个人去A校支教”为事件M，
则有C·23＝80(种)，∴P(M)＝.
即5个大学生中恰有2个人去A校支教的概率为.
(2)由题意得：ξ＝1，2，3， ξ＝1⇒5人去同一所学校，
有C＝3(种)，∴P(ξ＝1)＝＝，ξ＝2⇒5人去两所学校，即分为4，1或3，2有C·(C＋C)·A＝90(种)，
∴P(ξ＝2)＝＝＝，ξ＝3⇒5人去三所学校，即分为3，1，1或2，2，1有(＋)·A＝150(种)，∴P(ξ＝3)＝＝.
∴ξ 的分布列为
ξ
1
2
3
P
4.甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点A，在点A处投中一球得2分，不中得0
分；在距篮筐3米线外设一点B，在点B处投中一球得3分，不中得0分，已知甲、乙两人在A点投中的概率都是，在B点投中的概率都是，且在A，B两点处投中与否相互独立，设定甲、乙两人先在A处各投篮一次，然后在B处各投篮一次，总得分高者获胜.
(1)求甲投篮总得分ξ的分布列和均值；
(2)求甲获胜的概率.
解 (1)设“甲在A点投中”为事件A，“甲在B点投中”为事件B，根据题意，ξ的可能取值为0，2，3，5，则
P(ξ＝0)＝P( )＝(1－)×(1－)＝，
P(ξ＝2)＝P(A)＝×(1－)＝，
P(ξ＝3)＝P(B)＝(1－)×＝，
P(ξ＝5)＝P(AB)＝×＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
2
3
5
P
E(ξ)＝0×＋2×＋3×＋5×＝2.
(2)同理，乙的总得分η的分布列为
ξ
0
2
3
5
P
甲获胜包括：甲得2分、3分、5分三种情形，这三种情形之间彼此互斥.因此，所求事件的概率为
P＝P(ξ＝2)×P(η＝0)＋P(ξ＝3)×P(η<3)＋P(ξ＝5)×P(η<5)＝×＋×(＋)＋×(1－)＝.
5.某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制， 已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表， 规定：A、B、C三级为合格等级，D为不合格等级.
百分制
85分及以上
70分到84分
60分到69分
60分以下
等级
A
B
C
D
为了解该校高一年级学生身体素质情况， 从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计， 按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图如图1所示， 样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.
(1)求n和频率分布直方图中x，y的值；
(2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人， 求至少有1人成绩是合格等级的概率；
(3)在选取的样本中， 从A、C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研， 记ξ表示所抽取的3名学生中为C等级的学生人数， 求随机变量ξ的分布列及均值.
解 (1)n＝＝50，x＝＝0.004，
y＝＝0.018.
(2)成绩是合格等级人数为(1－0.1)×50＝45， 抽取的50人中成绩是合格等级的频率为，故从该校学生中任选1人， 成绩是合格等级的概率为，设在该校高一学生中任选3人， 至少有1人成绩是合格等级的事件为A，
则P(A)＝1－C×(1－)3＝.
(3) 由题意可知C等级的学生人数为0.18×50＝9，A等级的学生人数为3， 故ξ的取值为0，1，2，3，则
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝＝，
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
压轴大题突破练（一） 直线与圆锥曲线(1)
1.在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，点B在直线l：x＝－1上运动，过点B与l垂直的直线和线段AB的垂直平分线相交于点M.
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)过(1)中轨迹E上的点P(1，2)作两条直线分别与轨迹E相交于C(x1，y1)，D(x2，y2)两点.试探究：当直线PC，PD的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
解 (1)依题意，得|MA|＝|MB|.
∴动点M的轨迹E是以A(1，0)为焦点，直线l：x＝－1为准线的抛物线，
∴动点M的轨迹E的方程为y2＝4x.
(2)∵P(1，2)，C(x1，y1)，D(x2，y2)在抛物线y2＝4x上，
∴
由①－②得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
∴直线CD的斜率为kCD＝＝. ③
设直线PC的斜率为k，则PD的斜率为－k，
则直线PC方程为y－2＝k(x－1)，
由得ky2－4y－4k＋8＝0.
由2＋y1＝，求得y1＝－2，
同理可求得y2＝－－2.
∴kCD＝＝＝－1，
∴直线CD的斜率为定值－1 .
2.如图所示，椭圆＋＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，已知点B在直线l：y＝－1上，且椭圆的离心率e＝.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设P是椭圆上异于A，B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ的中点，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证：OM⊥MN.
(1)解 依题意，得b＝1.
因为e＝＝，又a2－c2＝b2，所以a2＝4.
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)证明 设点P的坐标为(x0，y0)，x0≠0，
因为P是椭圆上异于A，B的任意一点，所以＋y＝1.
因为PQ⊥y轴，Q为垂足，所以点Q坐标为(0，y0).
因为M为线段PQ的中点，所以M.
又点A的坐标为(0，1)，可得直线AM的方程为y＝x＋1.
因为x0≠0，所以y0≠1，令y＝－1，得C.
因为点B的坐标为(0，－1)，点N为线段BC的中点，
所以N.
所以向量＝.
又＝，
所以·＝＋y0(y0＋1)
＝－＋y＋y0
＝－＋y0
＝1－(1＋y0)＋y0＝0.
所以OM⊥MN.
3.椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E相切于点P且交直线x＝2于点N，△PF1F2的周长为2(＋1).
(1)求椭圆E的方程；
(2)求两焦点F1、F2到切线l的距离之积；
(3)求证：以PN为直径的圆恒过点F2.
(1)解 设F1(－c，0)，F2(c，0)，
则解得a＝，c＝1.
∴b2＝a2－c2＝1，∴椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)解 由⇒(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0.
设直线l与椭圆E相切于点P(x0，y0)，
则Δ＝0，化简2k2＋1＝m2，
焦点F1，F2到直线l的距离d1，d2分别为d1＝，d2＝，
则d1·d2＝＝＝1.
(3)证明 ∵x0＝－＝－，
∴y0＝kx0＋m＝－＋m＝＝，
∴P(－，).
又联立y＝kx＋m与x＝2，得到N(2，2k＋m)，
＝(1＋，－)，＝(1，2k＋m).
∴·＝(1＋，－)·(1，2k＋m)
＝1＋－(2k＋m)
＝1＋－－1＝0.
∴⊥，
∴以PN为直径的圆恒过点F2.
4.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为，过点M(2，0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求·的取值范围；
(3)若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点.
(1)解 由题意知b＝1，e＝＝，
得a2＝2c2＝2a2－2b2，故a2＝2.
故所求椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)解 设l：y＝k(x－2)，与椭圆C的方程联立，消去y得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.
由Δ>0得0≤k2<.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－2)(x2－2)
＝(1＋k2)x1x2－2k2(x1＋x2)＋4k2＝＝5－.
∵0≤k2<，∴<≤7，
故所求范围是[－2，).
(3)证明 由对称性可知N(x2，－y2)，定点在x轴上，
直线AN：y－y1＝(x－x1).
令y＝0得：x＝x1－＝
＝＝
＝＝1，
故直线AN恒过定点(1，0).
压轴大题突破练（二）直线与圆锥曲线(2)
1.(2016·浙江)如图，设椭圆＋y2＝1(a＞1).
(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；
(2)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.
解 (1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，
由
得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，
故x1＝0，x2＝－，
因此|AM|＝|x1－x2|＝·.
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.
记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，
且k1，k2＞0，k1≠k2.
由(1)知，|AP|＝，|AQ|＝，
故＝，
所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0.
由于k1≠k2，k1，k2＞0得1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，
因此＝1＋a2(a2－2). ①
因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，
所以a＞.
因此，任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤，
由e＝＝，得00)交于A，B两点，且·＝－3，其中O为坐标原点.
(1)求p的值；
(2)当|AM|＋4|BM|最小时，求直线l的方程.
解 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l的方程为x＝my＋.
联立
消去x，得y2－2pmy－p2＝0.
∴y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2.
∵·＝－3，
∴x1x2＋y1y2＝－3.
又x1x2＝·＝，
∴－p2＝－3⇒p2＝4.
∵p>0，∴p＝2.
(2)由抛物线定义，得|AM|＝x1＋＝x1＋1，
|BM|＝x2＋＝x2＋1，
∴|AM|＋4|BM|＝x1＋4x2＋5≥2＋5＝9，
当且仅当x1＝4x2时取等号.
将x1＝4x2代入x1x2＝＝1，
得x2＝(负值舍去).
将x2＝代入y2＝4x，
得y2＝±，即点B.
将点B代入x＝my＋1，得m＝±.
∴直线l的方程为x＝±y＋1，即4x±y－4＝0.
3.已知动点S(x，y)到直线l：x＝2的距离是它到点T(，0)的距离的倍.
(1)求动点S的轨迹C的方程；
(2)设轨迹C上一动点P满足：＝λ＋2μ，其中M，N是轨迹C上的点，直线OM与ON的斜率之积为－，若Q(λ，μ)为一动点，E1(－，0)，E2(，0)为两定点，求|QE1|＋|QE2|的值.
解 (1) 点S(x，y)到直线x＝2的距离，
是到点T(，0)的距离的倍，
则|x－2|＝ ，
化简得＋＝1.
所以轨迹C的方程为＋＝1.
(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则＝λ＋2μ，
即x＝λx1＋2μx2，y＝λy1＋2μy2，
因为点P，M，N在椭圆＋＝1上，
所以x＋2y＝4，x＋2y＝4，x2＋2y2＝4，
故x2＋2y2＝λ2(x＋2y)＋4μ2(x＋2y)＋4λμ(x1x2＋2y1y2)
＝4λ2＋16μ2＋4λμ(x1x2＋2y1y2)＝4，
设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，
由题意知，kOM·kON＝＝－，
因此x1x2＋2y1y2＝0，所以λ2＋4μ2＝1，
所以点Q是椭圆λ2＋4μ2＝1上的点，
而E1，E2恰为该椭圆的左，右焦点，
所以由椭圆的定义可得，|QE1|＋|QE2|＝2.
4.已知曲线C上任意一点P到两定点F1(－1，0)与F2(1，0)的距离之和为4.
(1)求曲线C的方程；
(2)设曲线C与x轴负半轴交点为A，过点M(－4，0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点(B在M、C之间)，N为BC中点.
①证明：k·kON为定值；
②是否存在实数k，使得F1N⊥AC？如果存在，求直线l的方程，如果不存在，请说明理由.
(1)解 由已知可得：曲线C是以两定点F1(－1，0)和F2(1，0)为焦点，长轴长为4的椭圆，
所以a＝2，c＝1⇒b＝＝，
故曲线C的方程为＋＝1.
(2)证明 设过点M的直线l的方程为y＝k(x＋4)，
设B(x1， y1)，C(x2， y2)(x2>x1).
①联立方程组
得(4k2＋3)x2＋32k2x＋64k2－12＝0，
则
故xN＝＝，
yN＝k(xN＋4)＝.
所以kON＝－，
所以k·kON＝－为定值.
②解 若F1N⊥AC，则kAC·kF1N＝－1，
因为F1(－1，0)，
kF1N＝＝，
因为A(－2，0)，kAC＝，
故·＝－1，
代入y2＝k(x2＋4)得x2＝－2－8k2，y2＝2k－8k3，
而x2≥－2，
故只能k＝0，显然不成立，
所以这样的直线不存在.
压轴大题突破练（三） 函数与导数(1)
1.已知函数f(x)＝(x2－2ax＋2)ex.
(1)函数f(x)在x＝0处的切线方程为2x＋y＋b＝0，求a，b的值；
(2)当a＞0时，若曲线y＝f(x)上存在三条斜率为k的切线，求实数k的取值范围.
解 (1)f(x)＝(x2－2ax＋2)ex，
f(0)＝2e0＝2，2＋b＝0，得b＝－2.
f′(x)＝(x2－2ax＋2＋2x－2a)ex
＝[x2＋(2－2a)x＋2－2a]ex，
f′(0)＝2－2a＝－2，得a＝2，
∴a＝2，b＝－2.
(2)f′(x)＝[x2＋(2－2a)x＋2－2a]ex，
令h(x)＝f′(x)，依题意知存在k使h(x)＝k有三个不同的实数根，
h′(x)＝(x2－2ax＋2＋2x－2a＋2x－2a＋2)ex
＝[x2＋(4－2a)x＋4－4a]ex，
令h′(x)＝[x2＋(4－2a)x＋4－4a]ex＝0，
得x1＝－2，x2＝2a－2.
由a＞0知x1＜x2，则f′(x)在(－∞，－2)，(2a－2，＋∞)上单调递增，在(－2，2a－2)上单调递减.
当x→－∞时，f′(x)→0，当x→＋∞时，f′(x)→＋∞，
∴f′(x)的极大值为f′(－2)＝e－2(2a＋2)，
f′(x)的极小值为f′(2a－2)＝e2a－2(2－2a)，
∴此时e2a－2(2－2a)＜k＜e－2(2a＋2).
2.(2016·四川)设函数f(x)＝ax2－a－ln x，其中a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)确定a的所有可能取值，使得f(x)>－e1－x在区间(1，＋∞)内恒成立(e＝2.718…为自然对数的底数).
解 (1)f′(x)＝2ax－＝(x>0).
当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减.
当a>0时，由f′(x)＝0，有x＝.
此时，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增.
(2)令g(x)＝－，s(x)＝ex－1－x.
则s′(x)＝ex－1－1.而当x>1时，s′(x)>0，
所以s(x)在区间(1，＋∞)内单调递增.
又由s(1)＝0，有s(x)>0，从而当x>1时，g(x)>0.
当a≤0，x>1时，f(x)＝a(x2－1)－ln x<0.
故当f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a>0.
当01.
由(1)有f0，
所以此时f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立.
当a≥时，令h(x)＝f(x)－g(x)(x≥1).
当x>1时，h′(x)＝2ax－＋－e1－x>x－＋－＝>>0.
因此，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增.
又因为h(1)＝0，所以当x>1时，h(x)＝f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)恒成立.
综上，a∈.
3.已知函数f(x)＝x2－ln x.
(1)求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调递减区间；
(3)设函数g(x)＝f(x)－x2＋ax，a＞0，若x∈(0，e]时，g(x)的最小值是3，求实数a的值(e为自然对数的底数).
解 (1)∵f(x)＝x2－ln x，
∴f′(x)＝2x－.∴f′(1)＝1.
又∵f(1)＝1，
∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝x－1，即x－y＝0.
(2)∵函数f(x)＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，
由f′(x)＝2x－＜0，得0＜x＜.
∴函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间是(0，).
(3)∵g(x)＝ax－ln x，
∴g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝.
①当≥e，即0＜a≤时，
g′(x)＝≤0在(0，e]上恒成立，
则g(x)在(0，e]上单调递减，
g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)；
②当0＜＜e，即a＞时，列表如下：
x
(0，)
(，e)
e
g′(x)
－
0
＋
g(x)
↘
极小值1＋ln a
↗
ae－1
由表知，g(x)min＝g()＝1＋ln a＝3，a＝e2，满足条件.
综上，所求实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时g(x)有最小值3.
4.已知函数f(x)＝＋aln x－2(a>0).
(1)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2垂直，求函数y＝f(x)的单调区间；
(2)若对∀x∈(0，＋∞)都有f(x)>2(a－1)成立，试求实数a的取值范围；
(3)记g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R)，当a＝1时，函数g(x)在区间[e－1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围.
解 (1)直线y＝x＋2的斜率为1，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋，
∴f′(1)＝－＋＝－1，解得a＝1，
∴f(x)＝＋ln x－2，f′(x)＝，
由f′(x)>0得x>2，由f′(x)<0得00)，
由f′(x)>0得x>，由f′(x)<0得02(a－1)成立，
∴f()>2(a－1)，即＋aln －2>2(a－1)，
∴aln >a，ln >1，00)，
g′(x)＝，由g′(x)>0得x>1，
由g′(x)<0得00，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增.
又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b<0且b(b－2)＋a(b－1)2＝a>0，
故f(x)存在两个零点.
③设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a).
若a≥－，则ln(－2a)≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，因此f(x)在(1，＋∞)上单调递增.
又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点.
若a<－，则ln(－2a)>1，故当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0；当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0，因此f(x)在(1，ln(－2a))上单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)上单调递增.
又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点.
综上，a的取值范围为(0，＋∞).
(2)证明 不妨设x1f(2－x2)，即f(2－x2)<0.
由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，
而f(x2)＝(x2－2)ex2＋a(x2－1)2＝0，
所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)ex2.
设g(x)＝－xe2－x－(x－2)ex，则g′(x)＝(x－1)(e2－x－ex)，所以当x>1时，g′(x)<0，而g(1)＝0，故当x>1时，g(x)<0，从而g(x2)＝f(2－x2)<0，故x1＋x2<2.
4.已知函数f(x)＝ln x－ax2 (a∈R).
(1)若f(x)在点(2，f(2))处的切线与直线x－2y＋1＝0垂直，求实数a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)讨论函数f(x)在区间[1，e2]上零点的个数.
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∵f(x)＝ln x－ax2.
∴f′(x)＝－ax＝，
由于直线x－2y＋1＝0的斜率为，
∴×＝－1，∴a＝.
(2)由(1)知f′(x)＝－ax＝.
当a≤0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
当a>0时，由f′(x)>0，得x< ，
由f′(x)<0，得x>，
∴f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减.
综上所述：当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为 (0，＋∞)；当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，＋∞).
(3)由(2)可知，当a<0时，f(x)在区间[1，e2]上单调递增，
∵f(1)＝－a>0，∴ f(x)在区间[1，e2]上没有零点.
当a＝0时，f(x)在区间[1，e2]上单调递增，
∵f(1)＝－a＝0，
∴f(x)在区间[1，e2]上有一个零点.
当a>0时，①若≤1，即a≥1时，f(x)在区间[1，e2]上单调递减，
∵f(1)＝－a<0，∴f(x)在区间[1，e2]上没有零点.
②若1<时，f(x)在区间[1，e2]上没有零点；
若－ln a－＝0，即a＝时，f(x)在区间[1，e2]上有一个零点；
若－ln a－>0，即a<时，由f(e2)＝2－ae4>0得a<，此时f(x)在区间[1，e2]上有一个零点.
由f(e2)＝2－ae4≤0，得a≥ ，此时f(x)在区间[1，e2]上有两个零点.
③若≥e2即00，
∴f(x)在区间[1，e2]上有一个零点.
综上所述，当0≤a<或a＝时，f(x)在区间[1，e2]上有一个零点；
当≤a<时，f(x)在区间[1，e2]上有两个零点；
当a<0或a>时，f(x)在区间[1，e2]上没有零点.
高考大题纵横练（一）
1.已知函数f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在[0，]上的最大值为，当把f(x)的图象上的所有点向右平移φ(0<φ<)个单位后，得到图象对应函数g(x)的图象关于直线x＝对称.
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知g(x)在y轴右侧的第一个零点为C，若c＝4，求△ABC的面积S的最大值.
解 (1)由题意知，函数f(x)在区间[0，]上单调递增，
∴2sin ＝，
∴＝2kπ＋，k∈Z，
得ω＝4k＋，k∈Z.
经验证当k＝0时满足题意，故求得ω＝，
∴g(x)＝2sin(x－)，
故×－φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝－2kπ＋，k∈Z，又0<φ<，
∴φ＝.故g(x)＝2sin(－).
(2)根据题意，得－＝kπ，k∈Z，
∴x＝2kπ＋，k∈Z，∴C＝.
又c＝4，得16＝a2＋b2－2abcos ，
∴a2＋b2＝16＋ab≥2ab，
∴ab≤32＋16，
∴S＝absin C＝ab≤8＋4，
∴S的最大值为8＋4.
2.四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，SB＝SC＝.
(1)设平面SCD与平面SAB的交线为l，求证：l∥AB；
(2)求证：SA⊥BC；
(3)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值.
(1)证明 ∵底面ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD.
∵AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，
∴AB∥平面SCD，
又∵平面SCD与平面SAB的交线为l，
∴l∥AB.
(2)证明 连接AC.
∵∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，
由余弦定理得AC＝2，
∴AC＝AB.
取BC中点G，连接SG，AG，则AG⊥BC.
∵SB＝SC，∴SG⊥BC，
∵SG∩AG＝G，∴BC⊥平面SAG，
∴BC⊥SA.
(3)解 如图，以射线OA为x轴，以射线OB为y轴，以射线OS为z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，
则A(，0，0)，B(0，，0)，S(0，0，1)，D(，－2，0).
∴＝(，－2，0)－(0，0，1)＝(，－2，－1)，
＝(，0，0)－(0，0，1)＝(，0，－1)，
＝(，0，0)－(0，，0)＝(，－，0).
设平面SAB法向量为n＝(x，y，z)，
有
令x＝1，则y＝1，z＝，n＝(1，1，)，
cos〈n，〉＝ ＝＝－.
∴直线SD与平面SAB所成角的正弦值为.
3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n(n∈N*)，数列{an}满足an＝4log2bn＋3(n∈N*).
(1)求an，bn；
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
解 (1)由Sn＝2n2＋n，得a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1.
又a1＝3也适合上式.
所以an＝4n－1，n∈N*，
由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N*.
(2)由(1)知anbn＝(4n－1)2n－1，n∈N*.
所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)2n－1，
所以2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)2n－1＋(4n－1)2n，
所以2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5.
故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.
4.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比.分数没有增加反而减少了.请运用概率与统计的相关知识分析分数减少的原因.
解 (1)X可能的取值为10，20，100，－200.
根据题意，有
P(X＝10)＝C×()1×(1－)2＝，
P(X＝20)＝C×()2×(1－)1＝，
P(X＝100)＝C×()3×(1－)0＝，
P(X＝－200)＝C×()0×(1－)3＝.
所以X的分布列为
X
10
20
100
－200
P
(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1，2，3)，
则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.
所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1－P(A1A2A3)＝1－()3＝1－＝.
(3)X的均值为E(X)＝10×＋20×＋100×－200×＝－.
这表明获得分数X的均值为负，
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大.
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆＋＝1(a>b>0)上不同的三点，A(3，)，B(－3，－3)，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求点C的坐标；
(3)设动点P在椭圆上(异于点A，B，C)且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明·为定值并求出该定值.
解 (1)由已知，得解得
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设点C(m，n)(m<0，n<0)，则BC中点为(，).
由已知，求得直线OA的方程为x－2y＝0，
从而m＝2n－3. ①
又∵点C在椭圆上，∴m2＋2n2＝27. ②
由①②，解得n＝3(舍)，n＝－1，从而m＝－5.
∴点C的坐标为(－5，－1).
(3)设P(x0，y0)，M(2y1，y1)，N(2y2，y2).
∵P，B，M三点共线，∴＝，
整理得y1＝.
∵P，C，N三点共线，∴＝，
整理得y2＝.
∵点P在椭圆上，∴x＋2y＝27，x＝27－2y.
从而y1y2＝＝＝3×＝.
∴·＝5y1y2＝，
∴·为定值，定值为.
6.已知函数f(x)＝x＋aln x在x＝1处的切线与直线x＋2y＝0垂直，函数g(x)＝f(x)＋x2－bx.
(1)求实数a的值；
(2)若函数g(x)存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
(3)设x1，x2 (x10)，
g′(x)＝＋x－(b－1)＝.
设μ(x)＝x2－(b－1)x＋1，则μ(0)＝1>0只需
⇒⇒b>3.
∴b的取值范围为(3，＋∞).
(3)令g′(x)＝0，则x2－(b－1)x＋1＝0，
∴x1＋x2＝b－1，x1x2＝1.
g(x1)－g(x2)＝ln ＋(x－x)－(b－1)(x1－x2)
＝ln ＋(x－x)－(x1＋x2)(x1－x2)
＝ln －＝ln－(－)，
设t＝，
∵0E(δ)，
所以方案乙化验次数的期望值较小，可以尽快查找到感染冷库.
5.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.
(1)求椭圆方程；
(2)若C，D分别是椭圆长轴的左，右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P，证明：·为定值；
(3)在(2)的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP，MQ的交点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
(1)解 ∵a＝2，b＝c，a2＝b2＋c2，∴b2＝2，
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)证明 C(－2，0)，D(2，0)，
设M(2，y0)，P(x1，y1)，
则＝(x1，y1)，＝(2，y0)，
直线CM：＝，
即y＝x＋y0，
代入椭圆x2＋2y2＝4得，
(1＋)x2＋yx＋y－4＝0.
∵x1·(－2)＝，
∴x1＝－，
∴y1＝，
∴＝(－，)，
∴·＝－＋＝＝4(定值).
(3)解 设存在Q(m，0)满足条件，则MQ⊥DP，
＝(m－2，－y0)，＝(－，)，
则由·＝0，
得－(m－2)－＝0.
从而得m＝0，
∴存在Q(0，0)满足条件.
6.已知函数f(x)＝(e是自然对数的底数)，h(x)＝1－x－xln x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求h(x)的最大值；
(3)设g(x)＝xf′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数.
证明：对任意x>0，g(x)<1＋e－2.
(1)解 由f(x)＝，得f(1)＝，
f′(x)＝，
所以k＝f′(1)＝0，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝.
(2)解 因为h(x)＝1－x－xln x(x＞0).
所以h′(x)＝－ln x－2.令h′(x)＝0得，x＝e－2.
因此当x∈(0，e－2)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；
当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减.
所以h(x)在x＝e－2处取得极大值，也是最大值.
h(x)的最大值为h(e－2)＝1＋e－2.
(3)证明 因为g(x)＝xf′(x)，
所以g(x)＝(x>0)，
g(x)<1＋e－2等价于1－x－xln x0时，ex>1成立，这显然成立.
所以1－x－xln x≤1＋e－20，g(x)<1＋e－2.
普通高等学校招生模拟考试理科数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．作答时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）设集合，，则
（A） （B） （C） （D）
（2）设i为虚数单位，若是纯虚数，则a的值是
（A） （B）0 （C）1 （D）2
（3）若θ是第二象限角且sinθ =，则=
（A） （B） （C） （D）
（4）设F是抛物线E：的焦点，直线l过点F且与抛物线E交于A，B两点，若F是AB的中点且，则p的值是
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
（5）为便民惠民，某通信运营商推出“优惠卡活动”．其内容如下：卡号的前7位是固定的，后四位从“0000”到“9999”共10000个号码参与该活动，凡卡号后四位带有“6”或“8”的一律作为优惠卡，则“优惠卡”的个数是
（A）1980 （B）4096 （C）5904 （D）8020
（6）在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的中点，点F在线段AD上并且AF = 2DF，设= a，= b，则=
（A）ab （B）ab
（C）ab （D）ab
（7）设表示m，n中最大值，则关于函数的命题中，真命题的个数是
①函数的周期 ②函数的值域为
③函数是偶函数 ④函数图象与直线x = 2y有3个交点
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（8）更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”右图是该算法的程序框图，如果输入a = 153，b = 119，则输出的a值是
（A）16
（B）17
（C）18
（D）19
（9）设实数，，则下列不等式一定正确的是
（A） （B）
（C） （D）
（10）下列方格纸中每个正方形的边长为1，粗线部分是一个几何体的三视图，则该几何体最长棱的棱长是
（A）3 （B）6 （C） （D）5
（11）设P为双曲线C：，上且在第一象限内的点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，PF2⊥F1F2，x轴上有一点A且AP⊥PF1，E是AP的中点，线段EF1与PF2交于点M．若，则双曲线的离心率是
（A） （B） （C） （D）
（12）设函数= x·ex，，，若对任意的，都有成立，则实数k的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
（13）的展开式中，x5的系数是 ．（用数字填写答案）
（14）若x，y满足约束条件，则的最小值是 ．
（15）下表示意某科技公司2012～2016年年利润y（单位：十万元）与年份代号x之间的关系，如果该公司盈利变化规律保持不变，则第n年（以2012年为第1年）年利润的预报值是y = ．（直接写出代数式即可，不必附加单位）
年份
2012
2013
2014
2015
2016
年份代号x
1
2
3
4
5
年利润/十万元
1
6
15
28
45
（16）在如图所示的直角坐标系xOy中，AC⊥OB，OA⊥AB，|OB| = 3，点C是OB上靠近O点的三等分点，若函数的图象（图中未画出）与△OAB的边界至少有2个交点，则实数k的取值范围是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，D是BC边上靠近点B的三等分点，．
（Ⅰ）若，求C；
（Ⅱ）若c = AD = 3，求△ABC的面积．
（18）（本小题满分12分）
如图，在圆柱中，A，B，C，D是底面圆的四等分点，O是圆心，A1A，B1B，C1C与底面ABCD垂直，底面圆的直径等于圆柱的高．
（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；
（Ⅱ）（ⅰ）求二面角A1 - BB1 - D的大小；
（ⅱ）求异面直线AB1和BD所成角的余弦值．
（19）（本小题满分12分）
王明参加某卫视的闯关活动，该活动共3关．设他通过第一关的概率为0.8，通过第二、第三关的概率分别为p，q，其中，并且是否通过不同关卡相互独立．记ξ为他通过的关卡数，其分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
0.048
a
b
0.192
（Ⅰ）求王明至少通过1个关卡的概率；
（Ⅱ）求p，q的值．
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，设离心率为e，且满足，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点的直线l与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．
（21）（本小题满分12分）
已知函数存在两个极值点．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设和分别是的两个极值点且，证明：．
请考生从（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分．
（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：．
（Ⅰ）求曲线C1和C2的直角坐标方程，并分别指出其曲线类型；
（Ⅱ）试判断：曲线C1和C2是否有公共点？如果有，说明公共点的个数；如果没有，请说明理由；
（Ⅲ）设是曲线C1上任意一点，请直接写出a + 2b的取值范围．
（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数．
（Ⅰ）将函数化为分段函数的形式；
（Ⅱ）写出不等式的解集．
普通高等学校招生模拟考试
理科数学试题答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
A
C
B
B
C
D
C
B
B
D
A
C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
题 号
13
14
15
16
答 案
10
（1），，故．
（2），因为z是纯虚数，所以，故．
（3）由θ是第二象限角且sinθ =知：，．
所以．
（4）设，，则，故=，即p = 4．
（5）不带“6”或“8”的号码个数为84 = 4096，故带有“6”或“8”的有5904个．
（6），故选D．
（7）下图是函数与直线在同一坐标系中的图象，由图知①②④正确，选C.
（8）第一次循环得：；第二次循环得：；第三次循环得：
；同理，第四次循环；第五次循环，此时a = b，输出a = 17，结束．
（9）由于，，A错；，B对；当时，；当时，；当时，，故不一定正确；，，故，D错．
（10）画出立体图（如图）．由图知，该几何体最长棱的棱长是5．
（11）由题设条件知，，，．
在Rt△PF1A中，由射影定理得，所以．
所以，.．
所以EF1的直线方程是，当x = c时．
即，，又，所以，即，同除以a4得，得或．
所以．
（12）由题设恒成立等价于． ①
设函数，则．
1°设k = 0，此时，当时，当时，故时单调递减，时单调递增，故．而当时取得最大值2，并且，故①式不恒成立．
2°设k < 0，注意到，，故①式不恒成立．
3°设k > 0，，此时当时，当时，故时单调递减，时单调递增，故；而当时，故若使①式恒成立，则，得．
（13）由二项式定理得，令r = 5得x5的系数是．
（14）画出可行域（如图）．所求代数式可化为，这表示动点与定点的距离的平方．
由图知，只有C点可能与的距离最短．
于是联立，得，所以．
而，．
故的最小值是10．
（15）考虑数列，，那么，，，，．
所以，，，，
上述各式相加得：
．
（16）当k < 0时显然不成立；当k = 0时，直线y = 0与△OAB边界有无数个交点，成立．
当k > 0时，由题设，，，．若函数与△OAB的边界分别交于OA，AB，则应满足．若函数与△OAB的边界AB交于两点（不含A点），则临界位置为相切．由题设AB的直线方程为．
设切点为，，则，即．将切点代入直线AB
方程得，．综上，．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由及正弦定理得
，因为，所以sinC≠0，所以．
又因为，所以． ………………………………………… 6分
（Ⅱ）由得．
由余弦定理得，即，得，
故．过A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，．
所以△ABC的面积为． ………………………… 12分
（18）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：因为B1B⊥平面ABCD，且BC平面ABCD，所以BC⊥B1B，又因为在底面圆O中，AB⊥BC，AB∩B1B = B，所以BC⊥平面A1B1BA，又因为BA1平面A1B1BA，所以BC⊥AB1． …………………………… 5分
（Ⅱ）（ⅰ）由圆柱性质知CB、CD、CC1两两垂直．以C为原点，以、、为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设圆柱的高为2．
则，，． …………………………… 6分
所以平面A1B1B的一个法向量是．
平面BB1D的一个法向量是．
所以． …………………………… 8分
由图知二面角A1 - BB1 - D是锐二面角，所以它的大小是． …………… 9分
（ⅱ）由题意得，，．
所以，．
所以． …………………… 12分
（19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设事件表示“王明通过第i个关卡”，由题意知，，． …………………… 2分
由于事件“王明至少通过1个关卡”与事件“ξ＝0”是对立的，所以王明至少通过1个关卡的概率是． …………………………… 6分
（Ⅱ）由题意，．
整理得，，又，所以，． ………… 12分
（20）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设椭圆的焦半距为c，则|OF| = c，|OA| = a，|AF| =．
所以，其中，又，联立解得，．
所以椭圆C的方程是． …………………………………………… 4分
（Ⅱ）由题意直线不能与x轴垂直，否则将无法构成三角形． ……………… 5分
当直线l与x轴不垂直时，设其斜率为k，那么l的方程为．
联立l与椭圆C的方程，消去y，得．
于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是Δ=，这显然大于0．
设点，．
由根与系数的关系得，． ……………… 7分
所以，又O到l的距离．
所以△OMN的面积．………… 10分
令，那么，当且仅当t = 3时取等．
所以△OMN面积的最大值是． …………………………………… 12分
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题设函数的定义域为，，故函数有两个极值点等价于其导函数在有两个零点．
当a = 0时，显然只有1个零点． ……………………… 2分
当a≠0时，令，那么．
若a < 0，则当x > 0时，即单调递增，所以无两个零点. … 3分
若a > 0，则当时，单调递增；当时， 单调递减，所以. 又，当x→0时→，故若有两个零点，则，得．
综上得，实数a的取值范围是． ………………………………………… 6分
（Ⅱ）要证，两边同时取自然对数得． ……… 7分
由得，得.
所以原命题等价于证明． …………… 8分
因为，故只需证，即．…… 9分
令，则，设，只需证．… 10分
而，故在单调递增，所以．
综上得．………………………………………………………………… 12分
（22）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由题设知曲线C1的方程是．
所以曲线C1表示以为焦点，中心为原点的椭圆．…………………… 3分
同理曲线C2的方程是．
所以曲线C2表示以为圆心，半径是1的圆． ……………………… 5分
（Ⅱ）联立曲线C1和C2的直角坐标方程，得．
消去x，得，解得或．
由图形对称性知公共点的个数为2． ……………………………………… 8分
（Ⅲ）a + 2b的取值范围是． ……………………………… 10分
（23）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由题设． ……………………………… 6分
（Ⅱ）不等式的解集是． ………………………………………… 10分
高三第一次月考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．在复平面内，复数（是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
2．设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tanα=（ ）
A． B． C． D．
3．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，l⊥m，则l∥α；
②若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β；
③若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m；
④若α∥β，l∥α，m⊂β，则l∥m．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．设φ∈R，则“φ=”是“f（x）=cos（2x+φ）为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（ ）
A．58 B．88 C．143 D．176
6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，且其渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
8．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位后得到函数g（x）=cosωx的图象，则函数f（x）的图象（ ）
A．关于直线x=对称 B．关于直线x=对称
C．关于点（，0）对称 D．关于点（，0）对称
9．若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（ ）
A．0 B．1 C． D．9
10．己知命题“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，3） C．（﹣3，+∞） D．（﹣3，1）
11．已知一个空间几何体的三视图如图所示，这个空间几何体的顶点均在同一个球面上，则此球的体积与表面积之比为（ ）
A．3：1 B．1：3 C．4：1 D．3：2
12．若函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．[0，+∞） B．[0，3] C．（﹣3，0] D．（﹣3，+∞）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知cos（﹣α）=，则sin2α= ．
14． ．
15．设常数 a∈R，若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则 a= ．
16．若数列{an}是正项数列，且++…+=n2+3n（n∈N*），则++…+= ．
三、解答题（本大题共5小题，满分60分．请写出必要的文字说明和解答过程）
17．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且csinA=acosC．
（I）求C的值；
（Ⅱ）若c=2a，b=2，求△ABC的面积．
18．现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
（I）求该射手恰好命中两次的概率；
（II）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点．
（Ⅰ）证明：AB⊥平面BEF；
（Ⅱ）若PA=，求二面角E﹣BD﹣C．
20．设数列{an}满足an=2an﹣1+1（n≥2），且a1=1，bn=log2（an+1）
（1）证明：数列{an+1}为等比数列；
（2）求数列{}的前n项和Sn．
21．已知函数f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）．
（1）当a=﹣1，b=3时，求函数f（x）在[，2]上的最大值和最小值；
（2）当a=0时，是否存在正实数b，当x∈（0，e]（e是自然对数底数）时，函数f（x）的最小值是3，若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．
[选修4-4：极坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线：，（t为参数）与曲线C：（θ为参数）相交于不同的两点A，B．以O为极点，Ox正半轴为极轴，两坐标系取相同的单位长度，建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）若α=，求线段|AB|的长度．
高三第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．在复平面内，复数（是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数的共轭复数对应的点的坐标得答案．
【解答】解：由=，
得，
∴在复平面内，复数的共轭复数对应的点的坐标为（），位于第一象限．
故选：D．
2．设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tanα=（ ）
A． B． C． D．
【考点】同角三角函数间的基本关系；任意角的三角函数的定义．
【分析】根据任意角α的余弦的定义和已知条件可得x的值，再由tanα的定义求得结果．
【解答】解：由题意可得x＜0，r=|OP|=，故 cosα==．
再由 可得 x=﹣3，∴tanα==﹣，
故选D．
3．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，l⊥m，则l∥α；
②若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β；
③若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m；
④若α∥β，l∥α，m⊂β，则l∥m．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】由l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：①若m⊥α，l⊥m，则l∥α或l⊂α；②若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则当m⊂α时，m⊥β．当m⊄α时，m与β相交但不垂直；③若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m；④若α∥β，l∥α，m⊂β，则l∥m或l与m异面．
【解答】解：由l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
①若m⊥α，l⊥m，则l∥α或l⊂α，故①不正确；
②若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则当m⊂α时，m⊥β．
当m⊄α时，m与β相交但不垂直，故②不正确；
③若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m，故③正确；
④若α∥β，l∥α，m⊂β，则l∥m或l与m异面，故④不正确．
故选A．
4．设φ∈R，则“φ=”是“f（x）=cos（2x+φ）为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】利用充分、必要条件性质判断即可．
【解答】解：若φ=，则有f（x）=cos（2x+）=﹣sin2x，为奇函数，充分条件；
若f（x）=cos（2x+φ）为奇函数，则有f（﹣x）=﹣f（x），即cos（﹣2x+φ）=﹣cos（2x+φ），不一定φ=，不必要条件，
则“φ=”是“f（x）=cos（2x+φ）为奇函数”的充分不必要条件，
故选：A．
5．在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（ ）
A．58 B．88 C．143 D．176
【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．
【分析】根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16，再由S11= 运算求得结果．
【解答】解：∵在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，
∴a1+a11=a4+a8=16，
∴S11==88，故选B．
6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，
满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，
由于共有三个小组，则有3种结果，
根据古典概型概率公式得到P=，
故选A．
7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2
=20x的焦点重合，且其渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，根据双曲线的焦点坐标和抛物线的焦点关系，得到c=5，根据双曲线的渐近线方程得到=，联立方程组求出a，b即可．
【解答】解：抛物线的焦点坐标为（5，0），
双曲线焦点在x轴上，且c=5，
∵又渐近线方程为y=±x，可得=，即b=a，
则b2=a2=c2﹣a2=25﹣a2，则a2=9，b2=16，
则双曲线C的方程为﹣=1，故选A
8．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位后得到函数g（x）=cosωx的图象，则函数f（x）的图象（ ）
A．关于直线x=对称 B．关于直线x=对称
C．关于点（，0）对称 D．关于点（，0）对称
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用正弦函数的周期性、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．
【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．
把其图象向左平移个单位后得到函数g（x）=cosωx=sin（2x++φ）的图象，
∴+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（2x﹣）．
由于当x=时，函数f（x）=0，故A不满足条件，而C满足条件；
令x=，求得函数f（x）=sin=，故B、D不满足条件，
故选：C．
9．若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（ ）
A．0 B．1 C． D．9
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．
【解答】解：约束条件对应的平面区域如图示：由图可知当x=0，y=0时，目标函数Z有最小值，
Zmin=3x+2y=30=1
故选B
10．己知命题“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，3） C．（﹣3，+∞） D．（﹣3，1）
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】写出原命题的否命题，据命题p与￢p真假相反，得到恒成立，令判别式小于0，求出a的范围．
【解答】解：∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0”的否定为“∀x∈R， “
∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+”为假命题
∴ “为真命题
即恒成立
∴
解得﹣1＜a＜3
故选B
11．已知一个空间几何体的三视图如图所示，这个空间几何体的顶点均在同一个球面上，则此球的体积与表面积之比为（ ）
A．3：1 B．1：3 C．4：1 D．3：2
【考点】球的体积和表面积．
【分析】由三视图可以看出，几何体是正四棱锥，求出高，设出球心，通过勾股定理求出球的半径，再求球的体积、表面积，即可求出球的体积与表面积之比．
【解答】解：由三视图知几何体是一个正四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为正方形，高为1，
球心在高的延长线上，球心到底面的距离为h，所以（h+1）2﹣h2=1，
所以h=0．
故此几何体外接球的半径为1
球的体积13=π，表面积为4×π×22=4π，
所以球的体积与表面积之比为1：3，
故选：B．
12．若函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．[0，+∞） B．[0，3] C．（﹣3，0] D．（﹣3，+∞）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】可化为a=2x﹣，从而令g（x）=2x﹣，求导g′（x）=2，从而判断函数的单调性，从而作出其图象，利用数形结合求解．
【解答】解：令f（x）=﹣2x3+ax2+1=0，
易知当x=0时上式不成立；
故a==2x﹣，
令g（x）=2x﹣，则g′（x）=2+=2，
故g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，
在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；
故作g（x）=2x﹣的图象如下，
，
g（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3，
故结合图象可知，a＞﹣3时，
方程a=2x﹣有且只有一个解，
即函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知cos（﹣α）=，则sin2α= ．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】先利用差角的余弦公式展开，再两边平方，即可求得sin2α的值．
【解答】解：∵cos（﹣α）=
∴cosα+sinα=
两边平方得：（1+2sinαcosα）=
∴sin2α=
故答案为：．
14． eπ+1 ．
【考点】定积分．
【分析】直接利用积分基本定理进行求解即可得=（eπx+x2），代入可求
【解答】解： =（eπx+x2）=eπ+1
故答案为：eπ+1
15．设常数 a∈R，若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则 a= ﹣2 ．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可．
【解答】解：的展开式的通项为Tr+1=C5rx10﹣2r（）r=C5rx10﹣3rar
令10﹣3r=7得r=1，
∴x7的系数是aC51
∵x7的系数是﹣10，
∴aC51=﹣10，
解得a=﹣2．
故答案为：﹣2．
16．若数列{an}是正项数列，且++…+=n2+3n（n∈N*），则++…+= 2n2+6n ．
【考点】数列的求和．
【分析】根据题意先可求的a1，进而根据题设中的数列递推式求得++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1）与已知式相减即可求得数列{an}的通项公式，进而求得数列{}的通项公式，可知是等差数列，进而根据等差数列的求和公式求得答案．
【解答】解：令n=1，得=4，∴a1=16．
当n≥2时，
++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1）．
与已知式相减，得
=（n2+3n）﹣（n﹣1）2﹣3（n﹣1）=2n+2，
∴an=4（n+1）2，n=1时，a1适合an．
∴an=4（n+1）2，
∴=4n+4，
∴++…+==2n2+6n．
故答案为2n2+6n
三、解答题（本大题共5小题，满分60分．请写出必要的文字说明和解答过程）
17．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且csinA=acosC．
（I）求C的值；
（Ⅱ）若c=2a，b=2，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理．
【分析】（I）由题意和正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，由三角形内角的范围和同角三角函数基本关系可得C=；
（Ⅱ）由余弦定理可得a的方程，解方程代入S=absinC，计算可得．
【解答】解：（I）∵a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且csinA=acosC，
∴sinCsinA=sinAcosC，∴sinCsinA﹣sinAcosC=0，
∴sinC=cosC，∴tanC==，
由三角形内角的范围可得C=；
（Ⅱ）∵c=2a，b=2，C=，
∴由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，
∴4a2=a2+12﹣4a•，解得a=﹣1+，或a=﹣1﹣（舍去）
∴△ABC的面积S=absinC==
18．现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
（I）求该射手恰好命中两次的概率；
（II）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．
【分析】（I）设“该射手恰好命中两次”为事件A，分为两种情况：一种是两次射向甲靶都命中而向乙靶射击一次没有命中，其概率为；另一种是两次射向甲靶只有命中一次而向乙靶射击一次命中，其概率为，相加即可得出．
（II）由题意可得：X=0，1，2，3，4．P（X=0）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；P（X=1）两次射向甲靶只有命中一次而向乙靶射击一次没有命中；P（X=2）一种是两次射向甲靶都命中而向乙靶射击一次没有命中，另一种是两次射向甲靶都没有命中而向乙靶射击一次命中；P（X=3）是两次射向甲靶只有命中一次而向乙靶射击一次命中；P（X=4）表示3次射击都命中．分别利用相互独立事件和互斥事件的概率计算公式计算出概率即可．
【解答】解：（I）设“该射手恰好命中两次”为事件A，则P（A）=+==．
（II）由题意可得：X=0，1，2，3，4．
P（X=0）==；
P（X=1）==；
P（X=2）=+=；
P（X=3）==；
P（X=4）=．
∴E（X）=++=．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点．
（Ⅰ）证明：AB⊥平面BEF；
（Ⅱ）若PA=，求二面角E﹣BD﹣C．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）只需证明AB⊥BF．AB⊥EF即可．
（Ⅱ）以A为原点，以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系，
求出平面CDB的法向量为，平面EDB的法向量为，
设二面角E﹣BD﹣C的大小为θ，则=，
【解答】解：（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且∠DAB为直角，故ABFD是矩形，
从而AB⊥BF．
又PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，
∵AB⊥AD，故AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，
在△PCD内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，∴AB⊥EF．
由此得AB⊥平面BEF…
（Ⅱ）以A为原点，以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系，
则
设平面CDB的法向量为，平面EDB的法向量为，
则 可取
设二面角E﹣BD﹣C的大小为θ，则=，
所以，…
20．设数列{an}满足an=2an﹣1+1（n≥2），且a1=1，bn=log2（an+1）
（1）证明：数列{an+1}为等比数列；
（2）求数列{}的前n项和Sn．
【考点】数列的求和；等比关系的确定．
【分析】（1）根据等比数列的定义证明：由an=2an﹣1+1（n≥2），得an+1=2（an﹣1+1）（n≥2），从而得证；
（2）先求出bn=n，进而得到=，利用裂项相消法即可求出Sn．
【解答】（1）证明：因为an=2an﹣1+1（n≥2），所以an+1=2（an﹣1+1）（n≥2），
所以数列{an+1}是公比为2的等比数列．
（2）因为数列{an+1}是首项为a1+1=2，公比为2的等比数列，
所以an+1=2•2n﹣1=2n，所以bn=log2（an+1）=n．
所以==（）．
所以Sn=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）
=（1+﹣﹣）=．
21．已知函数f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）．
（1）当a=﹣1，b=3时，求函数f（x）在[，2]上的最大值和最小值；
（2）当a=0时，是否存在正实数b，当x∈（0，e]（e是自然对数底数）时，函数f（x）的最小值是3，若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）首先对f（x）求导，利用导数判断函数的单调性与函数最值即可；
（2）当b＞0时，即导函数零点：x=；所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；
再分类讨论与e的关系；
【解答】解：（1）由题意，f（x）=﹣x2+3x﹣lnx，定义域为：x＞0
对f（x）求导：f'（x）=﹣2x+3﹣，令f'（x）=0，则有x1=，x2=1；
当x∈（0，）时，f'（x）＜0，则f（x）在（0，）上单调递减；
当x∈（，1）时，f'（x）＞0，则f（x）在（，1）上单调递增；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，则f（x）在（1，+∞）上单调递减；
所以f（x）max=f（1）=2，f（x）min={f（），f（2）}=f（）=ln2+；
（2）当a=0时，f（x）=bx﹣lnx （x＞0）
对f（x）求导，即f'（x）=b﹣
当b＞0时，令f'（x）=0，即导函数零点：x=；
所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；
（i）当＞e时，即：b＜，f（x）在（0，e]上单调递减，此时最小值为f（e）．
由题意，f（e）=3，即：b=，不合题意；
（ii）当≤e时，即：b≥，f（x）在（0，）上递减，在（，e）上递增；
此时最小值为f（b）．
由题意：f（b）=3，即：b=e2，满足题意．
综上：b=e2．
[选修4-4：极坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线：，（t为参数）与曲线C：
（θ为参数）相交于不同的两点A，B．以O为极点，Ox正半轴为极轴，两坐标系取相同的单位长度，建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）若α=，求线段|AB|的长度．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）利用cos2θ+sin2θ=1可把曲线C的参数方程为普通方程： =1，由极坐标与直角坐标的互化公式得C的极坐标方程．
（2）当时，直线的参数方程为，把直线的参数方程代入椭圆方程化为：13t2+56t+48=0，利用|AB=|t1﹣t2|=即可得出．
【解答】解：（1）曲线C：（θ为参数）的参数方程为普通方程： =1，由极坐标与直角坐标的互化公式得C的极坐标方程为：ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=4，即ρ2=．
（2）当时，直线的参数方程为，
把直线的参数方程代入=1，化为：13t2+56t+48=0，
∴t1+t2=﹣，t1t2=．
∴|AB=|t1﹣t2|==．
