北京市高考数学联考试题分类大汇编数列试题解析

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北京市高考数学联考试题分类大汇编数列试题解析

北京市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编 一、选择题:‎ ‎(2)(2012年4月北京市海淀区高三一模理科)在等比数列中,,则=‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【答案】B ‎7.(北京市西城区2012年4月高三第一次模拟文)设等比数列的前项和为.则“”是“”的( C )‎ ‎(A)充分而不必要条件 ‎(B)必要而不充分条件 ‎(C)充要条件 ‎(D)既不充分又不必要条件 ‎【答案】C ‎7.(2012年3月北京市丰台区高三一模文科)设为等比数列的前项和,若a1=1,且,,成等差数列,则数列的前5项和为 ‎(A) 341‎ ‎(B) ‎ ‎(C) 1023‎ ‎(D) 1024‎ ‎【答案】A 二、填空题:‎ ‎(12)(北京市东城区2012年1月高三考试文科)在等差数列中,若 ‎,则数列的公差等于 ; ‎ ‎ 其前项和的最大值为 .‎ ‎【答案】57‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ 8 个.‎ 三、解答题:‎ ‎(16)(北京市东城区2012年1月高三考试文科)(本小题共13分)‎ 在等差数列中,,其前项和为,等比数列的各项均为正数,,公比为,且, .‎ ‎(Ⅰ)求与;‎ ‎(Ⅱ)数列满足,求的前项和.‎ 法”.特征二:,数列的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积,一般用“错位相减法”.特征三:,数列的通项公式是一个分式结构,一般采用“裂项相消法”.特征四:,数列的通项公式是一个组合数和等差数列通项公式组成,一般采用“倒序相加法”.本题第二问采用裂项相消法求和。‎ 解:(Ⅰ)设的公差为,‎ 因为所以 ‎ 解得 或(舍),.‎ ‎ 故 ,. ……………6分 ‎20. (北京市西城区2012年1月高三期末考试理科)(本小题满分13分)‎ 已知数列.如果数列满足,,‎ 其中,则称为的“衍生数列”.‎ ‎(Ⅰ)若数列的“衍生数列”是,求;‎ ‎(Ⅱ)若为偶数,且的“衍生数列”是,证明:的“衍生数列”是;‎ ‎(Ⅲ)若为奇数,且的“衍生数列”是,的“衍生数列”是,….依次将数列,,,…的第项取出,构成数列.‎ 证明:是等差数列.‎ 因此,猜想. ………………4分 ‎① 当时,,猜想成立;‎ ‎② 假设时,.‎ 故当时猜想也成立.‎ 由 ①、② 可知,对于任意正整数,有. ………………7分 设数列的“衍生数列”为,则由以上结论可知 ‎,其中.‎ 由于为偶数,所以,‎ 所以 ,其中.‎ 因此,数列即是数列. ………………9分 证法二:‎ 因为 ,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎……‎ ‎,‎ ‎ 根据“衍生数列”的定义知,数列是的“衍生数列”. ………………9分 ‎(Ⅲ)证法一:‎ 证明:设数列,,中后者是前者的“衍生数列”.欲证成等差数列,只需证明成等差数列,即只要证明即可. ……10分 由(Ⅱ)中结论可知 ,‎ 所以,,即成等差数列,‎ 所以是等差数列. ………………13分 证法二:‎ 因为 ,‎ 所以 .‎ ‎ 由于为奇数,将上述个等式中的第这个式子都乘以,‎ 相加得 ‎ 即.‎ ‎20. (2012年3月北京市朝阳区高三一模文科)(本题满分13分)‎ 已知各项均为非负整数的数列(),满足,.若存在最小的正整数,使得,则可定义变换,变换将数列变为.设,.‎ ‎(Ⅰ)若数列,试写出数列;若数列,试写出数列 ‎;‎ ‎(Ⅱ)证明存在数列,经过有限次变换,可将数列变为数列;‎ 若,则 ; ; ; . .……….………………4分 ‎ (Ⅱ)若数列满足及,则定义变换,变换将数列变为数列:.易知和是互逆变换.‎ 对于数列连续实施变换(一直不能再作变换为止)得 ‎,‎ 变,或者减少,由于数列经有限次变换,变为数列时,有,‎ ‎,‎ 所以为整数,于是,,‎ 所以为除以后所得的余数,即.………13分 若对于正整数,表示的最大奇数因数,例如,.设. ‎ ‎(Ⅰ)求,的值;‎ ‎(Ⅱ)求,,的值; .‎ ‎ …………6分 ‎(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)不难发现对, 有. …………8分 ‎ ‎ ‎ …………11分 于是,.‎ 所以 ‎ ‎,. …………13分 ‎ 又,满足上式,‎ ‎ 所以对,. ………14分 请说明理由.‎ ‎ ‎ 即. ‎ 所以 是首项为=1,公差为2的等差数列. ‎ 所以 ,‎ 所以 . ……………………9分 ‎(Ⅲ)存在常数使得不等式恒成立.‎ 因为 ①‎ 所以 ‎ 所以当=1时,的最大值为 ,所以只需;‎ ‎(2)当为偶数时,,‎ 所以 ,‎ 所以当=2时,的最小值为 ,所以只需;‎ 由(1)(2)可知存在,使得不等式恒成立.‎ ‎……………………13分 ‎;‎ ‎(III)设,等差数列的任一项,其中是中的最大数,,求的通项公式.‎ ‎20.(本小题共13分)‎ 当时,‎ ‎ ‎
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