2011年全国高考理科数学试题及答案-广东

2011年全国高考理科数学试题及答案-广东

试卷类型：A ‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数学（理科）‎ 本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。‎ 参考公式：柱体的体积公式 V=Sh其中S为柱体的底面积，h为柱体的高 线性回归方程中系数计算公式 ‎ 其中表示样本均值。‎ N是正整数，则…）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 设复数满足，其中为虚数单位，则=‎ A． B. C. Ｄ．‎ ‎2．已知集合 ∣为实数，且，为实数，且，则的元素个数为 Ａ．0　　　　Ｂ．1　　　　Ｃ．2　　　　　Ｄ．3‎ ‎3. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则 Ａ．4　　　　Ｂ．3　　　　　Ｃ．2　　　　　　Ｄ．0‎ ‎4. 设函数和分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 Ａ．是偶函数　　　　　　　　Ｂ．是奇函数 Ｃ．是偶函数　　　　　　　　Ｄ．是奇函数 ‎5. 在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为 A．　　　　 B．　　　　　　　C．4　　　　　 D．3‎ ‎6. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A．　　　　 B．　　　　　　　C．　　　　　 D．‎ ‎7. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.设S是整数集Z的非空子集，如果有，则称S关于数的乘法是封闭的. 若T,V是Z的两个不相交的非空子集，且有有，则下列结论恒成立的是 A. 中至少有一个关于乘法是封闭的 B. 中至多有一个关于乘法是封闭的 C. 中有且只有一个关于乘法是封闭的 ‎ D. 中每一个关于乘法都是封闭的 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。‎ ‎ （一）必做题（9-13题）‎ ‎9. 不等式的解集是 .‎ ‎10. 的展开式中，的系数是 （用数字作答）‎ ‎11. 等差数列前9项的和等于前4项的和. 若，则k=____________.‎ ‎12. 函数在x=____________处取得极小值。‎ ‎13. 某数学老师身高‎176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是‎173cm、‎170cm和‎182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.‎ （二） 选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14.（坐标系与参数方程选做题）已知两面线参数方程分别为 和，它们的交点坐标为___________.‎ ‎15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆外一点分别作圆的切线 和割线交圆于,，且=7，是圆上一点使得=5，‎ ‎∠=∠, 则= 。‎ 三． 解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16.（本小题满分12分）‎ 已知函数 （1） 求的值；‎ ‎（2）设求的值.‎ ‎17.‎ ‎ 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ x ‎169‎ ‎178‎ ‎166‎ ‎175‎ ‎180‎ y ‎75‎ ‎80‎ ‎77‎ ‎70‎ ‎81‎ （1） 已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；‎ （2） 当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；‎ （3） 从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列极其均值（即数学期望）。‎ ‎18.(本小题满分13分)‎ ‎ 如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，‎ 且∠DAB=60，,PB=2, ‎ E,F分别是BC,PC的中点.‎ ‎ (1) 证明：AD 平面DEF;‎ ‎ (2) 求二面角P-AD-B的余弦值.‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。‎ ‎（1）求圆C的圆心轨迹L的方程;‎ ‎（2）已知点M，且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标.‎ ‎20.（本小题共14分）‎ 设b>0,数列满足a1=b，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：对于一切正整数n，‎ ‎21.（本小题满分14分）‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:.实数p，q满足，x1，x2是方程的两根，记。‎ ‎ （1）过点作L的切线教y轴于点B. 证明：对线段AB上任一点Q(p，q)有 ‎ （2）设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2-4b>0,a≠0. 过M(a，b)作L的两条切线，切点分别为，与y轴分别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集记为X.证明：M(a,b) X;‎ ‎（3）设D={ (x,y)|y≤x-1,y≥(x+1)2-}.当点(p,q)取遍D时，求的最小值 （记为）和最大值（记为）.‎ ‎2011年广东高考理科数学参考答案 一、选择题 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答 案 B C D A C D B A 二、填空题 ‎９.　； 10.　84； 11.　10； 12.　2； 13.　185；‎ ‎14.　； 15.　；‎ 三、解答题 ‎16．解：(1);‎ ‎(2)，，又，，‎ ‎，，‎ 又，，‎ ‎.‎ ‎17．解：（1）乙厂生产的产品总数为；‎ ‎（2）样品中优等品的频率为，乙厂生产的优等品的数量为；‎ ‎（3）， ，的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P AＳ BＳ CＳ DＳ F G P AＳ BＳ CＳ DＳ F E 均值.‎ ‎18.解：(1) 取AD的中点G，又PA=PD，，‎ 由题意知ΔABC是等边三角形，，‎ 又PG, BG是平面PGB的两条相交直线，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎(2) 由（1）知为二面角的平面角，‎ 在中，；在中，；‎ 在中，.‎ ‎19．解：（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为、，‎ 由题意得或，‎ ‎，‎ 可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为，则 ‎，所以轨迹L的方程为．‎ ‎（２）∵，仅当时，取＂＝＂，‎ 由知直线，联立并整理得解得或，此时 所以最大值等于2，此时．‎ ‎20．解（１）法一：，得，‎ 设，则，‎ ‎（ⅰ）当时，是以为首项，为公差的等差数列，‎ 即，∴‎ ‎（ⅱ）当时，设，则，‎ 令，得，，‎ 知是等比数列，，又，‎ ‎，．‎ 法二：（ⅰ）当时，是以为首项，为公差的等差数列，‎ 即，∴‎ ‎（ⅱ）当时，，，，‎ 猜想，下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，猜想显然成立；‎ ‎②假设当时，，则 ‎，‎ 所以当时，猜想成立，‎ 由①②知，，．‎ ‎（２）（ⅰ）当时， ，故时，命题成立；‎ ‎（ⅱ）当时，，‎ ‎，‎ ‎，以上n个式子相加得 ‎，‎ ‎．故当时，命题成立；‎ 综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立．‎ ‎21．解：（１），‎ 直线AB的方程为，即，‎ ‎，方程的判别式，‎ 两根或，‎ ‎，，又，‎ ‎，得，‎ ‎．‎ ‎（２）由知点在抛物线L的下方，‎ ‎①当时，作图可知，若，则，得；‎ 若，显然有点； ．‎ ‎②当时，点在第二象限，‎ 作图可知，若，则，且；‎ 若，显然有点； ‎ ‎．‎ 根据曲线的对称性可知，当时，，‎ 综上所述，（*）；‎ 由（１）知点M在直线EF上，方程的两根或，‎ 同理点M在直线上，方程的两根或，‎ 若，则不比、、小，‎ ‎，又，‎ ‎；又由（１）知，；‎ ‎，综合（*）式，得证．‎ ‎（３）联立，得交点，可知，‎ 过点作抛物线L的切线，设切点为，则，‎ 得，解得，‎ 又，即，‎ ‎，设，，‎ ‎，又，；‎ ‎，，‎ ‎．‎