洛必达法则详述与其在高考中的实际运用

洛必达法则详述与其在高考中的实际运用

一．L’Hospital法则（洛必达法则） ‎ ‎ 法则1 设函数和在点a的某个去心邻域内有定义，且满足：‎ ‎ (1) 及； 　　 (2) 和在内可导，且； 　　 (3) （A为常数，或为∞）‎ ‎ 则有 =。 ‎ ‎ 法则2 设函数和在点a的某个去心邻域内有定义，且满足：‎ ‎ (1)； 　　 (2) 和在内可导,且； 　　 (3) （A为常数，或为∞）‎ ‎ 则有 =‎ 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，，洛必达法则也成立。‎ ‎2.洛必达法则可处理，，，，，，型。‎ ‎3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。‎ ‎4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。‎ 型： =(化为型)‎ ‎ =(化为型，但无法求解)‎ 型：===0(通分后化为型)‎ 型： ===(化为型) ‎ 型： ====1(化为型)‎ 型： ===1(化为型)‎ 变形举例: ==-1(不变形求导无法求出)‎ 二．高考题处理 ‎1.(2010年全国新课标理)设函数。‎ （1） 若，求的单调区间；‎ （2） 若当时，求的取值范围 原解：（1）时，，.‎ ‎ 当时，；当时，.故在 ‎ 单调减，在单调增 ‎（II）‎ ‎ 由（I）知，当且仅当时等号成立.故，‎ ‎ 从而当，即时，，而，‎ ‎ 于是当时，.‎ ‎ 由可得.从而当时，‎ ‎ ，‎ ‎ 故当时，，而，于是当时，‎ ‎ .‎ ‎ 综合得的取值范围为 原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：‎ 另解:（II）当时，，对任意实数a,均在；‎ ‎ 当时，等价于 ‎ 令(x>0),则，‎ ‎ 令，‎ ‎ 则，，‎ ‎ 知在上为增函数，；‎ ‎ 知在上为增函数，；‎ ‎ ，g(x)在上为增函数。‎ ‎ 由洛必达法则知，，‎ ‎ 故 ‎ 综上，知a的取值范围为。‎ ‎ ‎