高考数学解析几何应用题

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高考数学解析几何应用题

‎ 专题9.5:解析几何应用题 ‎【拓展探究】‎ ‎1. 某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域)”其中是过抛物线焦点且互相垂直的两条弦,该抛物线的对称轴为,通径长为4.记,为锐角.(通径:经过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦)‎ ‎(1)用表示的长;‎ ‎(2)试建立“蝴蝶形图案”的面积关于的 函数关系式,并设计的大小,使“蝴蝶形图案”‎ 的面积最小.‎ ‎【解】(1)由抛物线的定义知,,解得,.‎ ‎(2)据(1)同理可得,‎ ‎,.‎ 所以“蝴蝶形图案”的面积 ‎, 即,. ‎ 令,则,所以当,即时,的最小值为8. ‎ 答:当时,可使“蝴蝶形图案”的面积最小. ‎ ‎2. 如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽22米,要求通行车辆限高4.5米,隧道全长2.5千米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.‎ ‎(1)若最大拱高h为6米,则隧道设计的拱宽l是多少?‎ ‎(2)若最大拱高h不小于6米,则应如何设计拱高h和拱宽l,才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最小?(半个椭圆的面积公式为)‎ ‎【解】(1)如图建立直角坐标系,则点,椭圆方程为.‎ 将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程,得此时.因此隧道的拱宽约为33.3米.‎ ‎(2)由椭圆方程,得因为即且所以当取最小值时,有得此时 故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时,土方工程量最小.‎ ‎3. 如图所示,有两条道路与,,现要铺设三条下水管道,,(其中,分别在,上),若下水管道的总长度为,设,.‎ ‎(1)求关于的函数表达式,并指出的取值范围;‎ ‎(2)已知点处有一个污水总管的接口,点到的距离为,到点的距离为,问下水管道能否经过污水总管的接口点?若能,求出的值,若不能,请说明理由.‎ ‎5. 如图,为了保护河上古桥,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求: 新桥BC与河岸AB垂直; 保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于‎80m. 经测量,点A位于点O正北方向‎60m处, 点C位于点O正东方向‎170m处(OC为河岸),‎ ‎.‎ ‎(1)求新桥BC的长;‎ ‎(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?‎ ‎【解法探究】‎ ‎(1)解法1:(两角差的正切)连结,由题意知,则由两角差的正切公式可得:,故 答:新桥的长度为m.‎ 解法2:(解析法)由题意可知;由 可知直线的斜率,则直线所在直线的方程为;又由可知,所在的直线方程为;联立方程组,解得;‎ 即点,那么. 答:新桥的长度为m.‎ 解法3:(初中解法)延长交所在直线于点,‎ 由可得,,,,故 ‎,在中,由 勾股定理得,故 答:新桥的长度为m.‎ ‎(2)解法1:(解析法) 由题意设,圆的方程为,且由题意可知. 又古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m,那么,解得;由函数为区间上的减函数,故当时,半径取到最大值为.‎ 综上可知,当时,圆形保护区的面积最大,且最大值为.‎ 解法2:(初中解法)设与圆切于点,连接 ‎,过点作交于点.‎ 设,则,由古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m,那么,解得. 由,可得,由(1)解法3可得,所以,故即圆的半径的最大值为130,当且仅当时取得半径的最大值. 综上可知,当时,圆形保护区的面积最大. ‎ ‎6. 如图,O为总信号源点,A,B,C是三个居民区,已知A,B都在O的正东方向上,‎ OA = 10 ,OB = 20 ,C在O的北偏西45° 方向上,CO =.‎ ‎(1)求居民区A与C的距离;‎ ‎ ‎ ‎(2)现要经过点O铺设一条总光缆直线EF(E在直线OA的上方),并从A,B,C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF.假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比,比例系数为m(m为常数).设∠AOE = θ(0≤θ <),铺设三条分光缆的总费用为w(元).‎ ‎① 求w关于θ的函数表达式;‎ ‎② 求w的最小值及此时的值.‎ ‎【专题反思】你学到了什么?还想继续研究什么?‎
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