新题精选题高考数学文走出题海之黄金题系列

新题精选题高考数学文走出题海之黄金题系列

‎ ‎ ‎1．（几何概型的创新题）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用面积公式以及梯形的面积公式，以及几何概型能求出在邪田内随机种植一株茶树，该株茶树恰好种在圭田内的概率.‎ ‎2．（辗转相除法与程序框图相结合的创新题）程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“ MOD ”表示除以的余数）， 若输入的，分别为72， 15，则输出的=（ ） ‎ ‎ ‎ A. 12 B. 3 C. 15 D. 45‎ ‎【答案】B ‎【解析】辗转相除法求的是最大公约数，的最大公约数为.‎ ‎3．（推理的创新题）一次猜奖游戏中，1,2,3,4四扇门里摆放了四件奖品（每扇门里仅放一件）. 甲同学说：1号门里是，3号门里是；乙同学说：2号门里是，3号门里是；丙同学说：4号门里是，2号门里是；丁同学说：4号门里是，3号门里是.如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ 4．（三角函数图像与性质中的创新题）已知函数, 其图象与直线相邻两个交点的距离为若对恒成立，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意可得函数的周期为 求得．再根据当时， 恒成立， ，由此求得的取值范围．‎ 详解：函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为， 故函数的周期为 若对恒成立，即当时， 恒成立，， 故有，求得 ‎ 结合所给的选项， 故选D．‎ ‎5．（立体几何体积问题中的创新题）《九章算术》卷第五《商功》中有记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”现有一个刍甍，如图，四边形为正方形，四边形、为两个全等的等腰梯形，，，若这个刍甍的体积为，则的长为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：结合几何体的性质首先将几何体分成一个棱柱和一个棱柱，据此求得E到平面ABCD的距离为2，且点E，F在平画ABCD内的射影恰好是DN与CN的中点，结合勾股定理可得的长为3.‎ 详解：取CD，AB的中点分别为M，N，连接FM，FN，MN，‎ 则多面体分割为棱柱与棱锥部分，设E到平面ABCD的距离为h，‎ 则×4×h×2+×4×2×h，解得h=2.‎ 依题意可知，点E，F在平画ABCD内的射影恰好是DN与CN的中点，‎ 又.‎ 本题选择C选项.‎ ‎6．（函数的极值点与函数的零点相结合的创新题）已知是实数，1和是函数的两个极值点，设，其中，函数的零点个数为（ ）‎ A. 8 B. 11 C. 10 D. 9‎ ‎【答案】D ‎ 7．（线性规划的创新题）某颜料公司生产 两种产品，其中生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一条之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨，160吨和200吨，如果产品的利润为300元/吨， 产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天之内可获得最大利润为（ ）‎ A. 14000元 B. 16000元 C. 18000元 D. 20000元 ‎【答案】A ‎【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示：‎ 设该公司一天内安排生产产品吨， 产品吨，所获利润为元.依据题意得目标函数为，约束条件为欲求目标函数的最大值，‎ ‎ 8．（立体几何中数学文化与几何体体积的创新题）祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出祖暅：“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等. 祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积，其示意图如图所示，其中图(1)是一个半径为R的半球体，图(2)是从圆柱中挖去一个圆锥所得到的几何体. (圆柱和圆锥的底面半径和高均为R)‎ 利用类似的方法，可以计算抛物体的体积：在x-O-y坐标系中，设抛物线C的方程为y=1－x2 (－1x1)，将曲线C围绕y轴旋转，得到的旋转体称为抛物体. 利用祖暅原理可计算得该抛物体的体积为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：构造直三棱柱，证明二者截面面积相等，从而求出三棱柱体积，即可得到抛物体的体积.‎ 详解：构造如图所示的直三棱柱，高设为x，底面两个直边长为2,1‎ 若底面积相等得到：，‎ ‎9．（直线与圆的创新题）已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方)且AB=2,过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M、N两点,下列三个结论: ①; ②； ③2，其中正确结论的序号是（ ）‎ A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：第一步，取的中点，通过圆与轴相切与点，利用弦心距、半弦长、圆的半径 详解：根据题意，利用圆中的特殊三角形，求得圆心及半径，即得圆的方程为 ‎，并且可以求得，，因为在圆 上，所以可设，所以 ， ，所以，同理可得，所以，，，故①②③都正确.‎ ‎10．（解三角形与等差数列相结合的创新题）已知三角形的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为（ ）‎ A. 15 B. 18 C. 21 D. 24‎ ‎【答案】A ‎ 11．（充要条件与复合命题相结合的创新题）甲：、是互斥事件；乙：、是对立事件，那么（ ）‎ A. 甲是乙的充要条件 B. 甲是乙的充分但不必要条件 C. 甲是乙的必要但不充分条件 D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】分析:根据互斥事件和对立事件的概念，根据充分条件和必要条件的概念分析解答.‎ 详解：当、是互斥事件时，、不一定是对立事件，所以甲是乙的非充分条件.‎ 当、是对立事件时，、一定是互斥事件，所以甲是乙的必要条件.‎ 所以甲是乙的必要非充分条件.‎ 故选C.‎ ‎12．（集合与命题相结合的创新题）设集合，，现有下面四个命题：‎ ‎；若，则；‎ ‎：若，则；：若，则.‎ 其中所有的真命题为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎13．（数列通项与求和的创新题）已知数列中，，定义，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先通过已知求出，再利用裂项相消求和.‎ 详解：∵，‎ ‎∴，‎ 所以，‎ 因为=(n+1)n,‎ 所以，‎ 所以故选C.‎ ‎14．（切线的创新题）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎15．（复数的新定义的创新题）欧拉公式 (为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明的,将指数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的联系,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知, 表示的复数的模为( )‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，所以，故选B.‎ ‎16．将容量为的样本中得数据分成5组，绘制频率分布直方图，若第1至第5个长方形得面积之比为3：3：6：2：1，且最后两组数据的频数之和等于20，则的值等于__________．‎ ‎【答案】100‎ ‎【解析】分析：利用频率分布直方图的实际意义、进行求解．‎ 详解：由题意，得，‎ 即．‎ ‎17．（向量的创新题）已知向量，，若向量，的夹角为，则实数__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，根据数量积定义，解得.‎ ‎18．（函数性质应用的创新题）若函数的最大值和最小值分别为、，则函数图像的一个对称中心是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎19．（分段函数与不等式相结合的创新题）已知函数，若，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为函数，所以总有，， 等价于 ，当 时 当 时， 因此实数的取值范围为，故答案为.‎ ‎20．（数列与类比归纳中的创新题）设，利用求出数列的前项和，设，类比这种方法可以求得数列的前项和_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：结合题中所给的代数式类比推理后进行合理裂项，然后利用裂项求和的方法即可求得数列的前n项和.‎ 详解：类比题中的方法裂项可得：‎ ‎，‎ 则数列的前n项和：.‎ ‎21．（球与三棱锥相结合的创新题）已知一个三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的内切球的体积为 ‎__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎22．（函数的零点与三角函数相结合的创新题）已知非零常数是函数的一个零点，则的值为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎ 23．（双曲线与圆相结合的创新题）点在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为、，直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则该双曲线的渐近线的斜率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图， 是切点， 是的中点，因为，所以，又，所以， ，又，根据双曲线的定义，有，即 ‎，两边平方并化简得，所以，因此.‎ ‎24．（函数的性质与数列相结合的创新题）已知定义在上的奇函数满足， 为数列的前项和，且，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎ 25．（解三角形的创新题）如图：某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速20公里小时，送快件到处，已知（公里），，是等腰三角形，．‎ ‎（1） 试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？‎ ‎（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里小时，问，汽车能否先到达处？‎ 试题解析：（1）（公里），‎ 中，由，得（公里）‎ 于是，由知，‎ 快递小哥不能在50分钟内将快件送到处． ‎ ‎（2）在中，由，‎ 得（公里），‎ 在中，，由，‎ 得（公里），- ‎ 由（分钟）‎ 知，汽车能先到达处．‎ ‎26．（数列的创新题）已知等比数列的公比为，前项和为，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎【解析】分析：(Ⅰ)由题意可得，则，解得，所以.‎ ‎ (Ⅱ) ，‎ 所以，‎ ‎，‎ 两式相减得，‎ ‎ ，‎ 所以.‎ ‎ 27．（立体几何的创新题）如图，为边长为2的正三角形，，且平面，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求三棱锥的高.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎（2）过做，垂足为，因为平面，‎ 所以平面，且 所以 ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 因为，，所以，又 所以 ‎ 设所求的高为，则由等体积法得 ‎ 所以 ‎28．（圆锥曲线的创新题）设点是轴上的一个定点，其横坐标为（），已知当时，动圆过点且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，若直线与曲线相切于点（），且与以定点为圆心的动圆也相切，当动圆的面积最小时，证明： 、两点的横坐标之差为定值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）因为圆与直线相切，所以点到直线的距离等于圆的半径，‎ 所以，点到点的距离与到直线的距离相等.‎ 所以，点的轨迹为以点为焦点，直线为准线的抛物线，‎ 所以圆心的轨迹方程，即曲线的方程为．‎ ‎（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，‎ 由得，‎ 又，所以，‎ ‎ ‎ ‎29．（统计案例的创新题）十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用电商进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分别在， ， ， ， ， （单位：克）中，其频率分布直方图如图所示.‎ ‎（1）按分层抽样的方法从质量落在， ‎ 的蜜柚中抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；‎ ‎（2）以各组数据的中间数代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚等待出售，某电商提出两种收购方案：‎ A.所有蜜柚均以40元/千克收购；‎ B．低于2250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250克的以80元/个收购.‎ 请你通过计算为该村选择收益最好的方案.‎ ‎【解析】【试题分析】(1) 在， 的蜜柚中各抽取个和个.利用列举法求得基本时间的总数为种,其中符合题意的有种,故概率为.(2)首先计算出各组数据对应的频率,然后分别计算方案的总收益和方案的总收益,得出方案点的总收益高于方案的总收益,所以选择方案.‎ ‎（2）方案好，理由如下：‎ 由频率分布直方图可知，蜜柚质量在的频率为，同理，蜜柚质量在， ， ， 的频率依次为0.1，0.15，0.4，0.2，0.05.‎ 若按方案收购：‎ 根据题意各段蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250，‎ 于是总收益为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（元）‎ 若按方案收购：‎ ‎∵蜜柚质量低于2250克的个数为，‎ 蜜柚质量低于2250克的个数为,‎ ‎∴收益为 元.‎ ‎∴方案的收益比方案的收益高，应该选择方案.‎ ‎30．（函数与导数的创新题）已知函数.‎ ‎（1）时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）设，使不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. ‎ ‎【解析】分析：（1）求出函数的定义域和导数，讨论与1的关系确定导函数的符号变化，进而确定函数的单调性；（2）先求出，将问题等价转化，再分离参数，将不等式恒成立转化为求函数的最值问题．‎ ‎（2）由（1）知，当时，在上递减，‎ 当时，，‎ ‎，‎ 原问题等价于：对任意的，恒有成立，‎ 即，‎ 当时，取得最大值，‎ ‎∴．‎