高考物理电磁感应中的动力学问题习题

高考物理电磁感应中的动力学问题习题

第61课时　电磁感应中的动力学问题(题型研究课)‎ ‎[命题者说]　电磁感应动力学问题是历年高考的一个热点，这类题型的特点一般是单棒或双棒在磁场中切割磁感线，产生感应电动势和感应电流。感应电流受安培力而影响导体棒的运动，构成了电磁感应的综合问题，它将电磁感应中的力和运动综合到一起，其难点是感应电流安培力的分析，且安培力常常是变力。这类问题能很好地提高学生的综合分析能力。‎ ‎(一)　运动切割类动力学问题 考法1　单杆模型　‎ ‎[例1]　(2016·全国甲卷)　水平面(纸面)内间距为l的平行金属导轨间接一电阻，质量为m、长度为l的金属杆置于导轨上。t＝0时，金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动。t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动。杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ。重力加速度大小为g。求 ‎(1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；‎ ‎(2)电阻的阻值。‎ 单杆模型的分析方法 ‎(1)电路分析：导体棒相当于电源，感应电动势E＝BLv，电流I＝。‎ ‎(2)受力分析：导体棒中的感应电流在磁场中受安培力F安＝BIL，I＝，F安＝。‎ ‎(3)动力学分析：安培力是变力，导体棒在导轨上做变加速运动，临界条件是安培力和其他力达到平衡，这时导体棒开始匀速运动。‎ 考法2　双杆模型　‎ ‎[例2]　(1)如图1所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度为B的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计，导轨间的距离为l，两根质量均为m、电阻均为R的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直。在t＝0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行，大小恒为F的力作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动，试分析金属杆甲、乙的收尾运动情况。‎ ‎(2)如图2所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，导轨上横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行。开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度。若两导体棒在运动中始终不接触，试定性分析两棒的收尾运动情况。‎ 两类双杆模型对比 类型 模型 运动图像 运动过程 分析方法 不受外力 杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动；稳定时，两杆以相等的速度匀速运动 将两杆视为整体，不受外力，最后a＝0‎ 受到恒力 开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动 将两杆视为整体，只受外力F，最后a＝ 考法3　含电容器问题　‎ ‎[例3]　(2013·全国卷Ⅰ)如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：‎ ‎(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；‎ ‎(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系。‎ 这类题目易出现的错误是忽视电容器充电电流，漏掉导体棒所受的安培力，影响加速度的计算和导体棒运动情况的判断。‎ ‎[集训冲关]‎ ‎1.如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L。一质量为m的导体棒cd垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道和导体棒的电阻均不计。‎ ‎(1)如图1所示，若轨道左端M、P间接一阻值为R的电阻，导体棒在拉力F的作用下以速度v沿轨道做匀速运动。请通过公式推导证明：在任意一段时间Δt内，拉力F所做的功与电路获得的电能相等。‎ ‎(2)如图2所示，若轨道左端接一电动势为E、内阻为r的电源和一阻值未知的电阻。闭合开关S，导体棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度vm，求此时电源的输出功率。‎ ‎(3)如图3所示，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为C，导体棒在水平拉力的作用下从静止开始向右运动。电容器两极板间电势差随时间变化的图像如图4所示，已知t1时刻电容器两极板间的电势差为U1。求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小。‎ ‎2.(2017·上海松江区期末)如图所示，两根粗细均匀的金属杆AB和CD的长度均为L，电阻均为R，质量分别为‎3m和m，用两根等长的、质量和电阻均不计的、不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路，悬跨在绝缘的、水平光滑的圆棒两侧，AB和CD处于水平。在金属杆AB的下方有高度为H的水平匀强磁场，磁感强度的大小为B，方向与回路平面垂直，此时CD处于磁场中。现从静止开始释放金属杆AB，经过一段时间(AB、CD始终水平)，在AB即将进入磁场的上边界时，其加速度为零，此时金属杆CD还处于磁场中，在此过程中金属杆AB上产生的焦耳热为Q。重力加速度为g，试求：‎ ‎(1)金属杆AB即将进入磁场上边界时的速度v1；‎ ‎(2)在此过程中金属杆CD移动的距离h和通过导线截面的电量q；‎ ‎(3)设金属杆AB在磁场中运动的速度为v2，通过计算说明v2大小的可能范围。‎ ‎ (二)　变化磁场类动力学问题 ‎ [典例]　电磁弹射是我国最新研究的重大科技项目，原理可用下述模型说明。如图甲所示，虚线MN右侧存在一个竖直向上的匀强磁场，一边长为L的正方形单匝金属线框abcd放在光滑水平面上，电阻为R，质量为m，ab边在磁场外侧紧靠 MN虚线边界。t＝0时起磁感应强度B随时间t的变化规律是B＝B0＋kt(k为大于零的常数)，空气阻力忽略不计。‎ ‎(1)求t＝0时刻，线框中感应电流的功率P；‎ ‎(2)若线框cd边穿出磁场时速率为v，求线框穿出磁场过程中，安培力对线框所做的功W及通过导线截面的电荷量q；‎ ‎(3)若用相同的金属线绕制相同大小的n匝线框，如图乙所示，在线框上加一质量为M的负载物，证明：载物线框匝数越多，t＝0时线框加速度越大。‎ 磁场变化类电磁感应问题的解题方法 ‎(1)用法拉第电磁感应定律计算感应电动势，用楞次定律判断方向。‎ ‎(2)用闭合电路欧姆定律计算回路中电流。‎ ‎(3)分析计算感应电流所受安培力，研究导体受力情况和运动情况。‎ ‎(4)根据牛顿第二定律或平衡条件列出方程。‎ ‎[集训冲关]‎ 如图所示，粗糙斜面的倾角θ＝37°，半径r＝‎0.5 m的圆形区域内存在着垂直于斜面向下的匀强磁场。一个匝数n＝10匝的刚性正方形线框abcd，通过松弛的柔软导线与一个额定功率P＝1.25 W的小灯泡A相连，圆形磁场的一条直径恰好过线框bc边。已知线框质量m＝‎2 kg，总电阻R0＝1.25 Ω，边长L＞2r，与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5。从t＝0时起，磁场的磁感应强度按B＝2－t(T)的规律变化。开始时线框静止在斜面上，在线框运动前，灯泡始终正常发光。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取‎10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：‎ ‎(1)小灯泡正常发光时的电阻R；‎ ‎(2)线框保持不动的时间内，小灯泡产生的热量Q。‎ 一、选择题 ‎1.如图所示，有两根和水平方向成α角的光滑平行金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B，一根质量为m的金属杆(电阻忽略不计)从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm，则(　　)‎ A.如果B增大，vm将变大 B.如果α增大，vm将变大 C.如果R变小，vm将变大 D.如果m变小，vm将变大 ‎2.如图所示，两光滑平行金属导轨间距为L，直导线MN垂直跨在导轨上，且与导轨接触良好，整个装置处在垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B。电容器的电容为C，除电阻R外，导轨和导线的电阻均不计。现给导线MN一初速度，使导线MN向右运动，当电路稳定后，MN以速度v向右做匀速运动时(　　)‎ A.电容器两端的电压为零 B.电阻两端的电压为BLv C.电容器所带电荷量为CBLv D.为保持MN匀速运动，需对其施加的拉力大小为 ‎3.(多选)(2017·中山二模)如图所示，在水平桌面上放置两条相距为l的平行光滑导轨ab与cd，阻值为R的电阻与导轨的a、c端相连。质量为m、电阻也为R的导体棒垂直于导轨放置并可沿导轨自由滑动。整个装置放于匀强磁场中，磁场的方向竖直向上，磁感应强度的大小为B ‎。导体棒的中点系一不可伸长的轻绳，绳绕过固定在桌边的光滑轻滑轮后，与一个质量也为m的物块相连，绳处于拉直状态。现若从静止开始释放物块，用h表示物块下落的高度(物块不会触地)，g表示重力加速度，其他电阻不计，则(　　)‎ A.电阻R中的感应电流方向由c到a B.物块下落的最大加速度为g C.若h足够大，物块下落的最大速度为 D.通过电阻R的电荷量为 ‎4.(多选)如图所示，两足够长平行金属导轨固定在水平面上，匀强磁场方向垂直导轨平面向下，金属棒ab、cd与导轨构成闭合回路且都可沿导轨无摩擦滑动，两金属棒ab、cd的质量之比为2∶1。用一沿导轨方向的恒力F水平向右拉金属棒cd，经过足够长时间以后(　　)‎ A.金属棒ab、cd都做匀速运动 B.金属棒ab上的电流方向是由b向a C.金属棒cd所受安培力的大小等于 D.两金属棒间距离保持不变 二、计算题 ‎5.如图所示，L1＝‎0.5 m，L2＝‎0.8 m，回路总电阻为R＝0.2 Ω，M＝‎0.04 kg，导轨光滑，开始时磁场B0＝1 T。现使磁感应强度以＝0.2 T/s的变化率均匀地增大。试求：当t为多少时，M刚好离开地面？(g取‎10 m/s2)‎ ‎6.如图所示，在水平平行放置的两根光滑长直导电轨道MN与PQ上，放着一根直导线ab，ab与导轨垂直，它在导轨间的长度为‎20 cm，这部分的电阻r＝0.02 Ω。导轨部分处于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度B＝0.20 T，电阻R＝0.08 Ω，其他电阻不计，ab的质量为‎0.02 kg。‎ ‎(1)打开开关S，ab在水平恒力F＝0.01 N的作用下，由静止沿轨道滑动，求经过多长时间速度才能达到‎10 m/s？‎ ‎(2)当ab的速度达到‎10 m/s时，闭合开关S，为了保持ab仍能以‎10 m/s的速度匀速运动，水平拉力应变为多少？‎ ‎7.平行水平长直导轨间的距离为L，左端接一耐高压的电容器C。轻质导体杆cd与导轨接触良好，如图所示，在水平力作用下以加速度a从静止到匀加速运动，匀强磁场B竖直向下，不计摩擦与电阻，求：‎ ‎(1)所加水平外力F与时间t的关系；‎ ‎(2)在时间t内有多少能量转化为电场能？‎ ‎8.(2017·北京东城期末)如图所示，两根足够长平行金属导轨MN、PQ固定在倾角θ＝37°的绝缘斜面上，顶部接有一阻值R＝3 Ω的定值电阻，下端开口，轨道间距L＝‎1 m。整个装置处于磁感应强度B＝2 T的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上。质量m＝‎1 kg的金属棒ab置于导轨上，ab在导轨之间的电阻r＝1 Ω，电路中其余电阻不计。金属棒ab由静止释放后沿导轨运动时始终垂直于导轨，且与导轨接触良好。不计空气阻力影响。已知金属棒ab与导轨间动摩擦因数μ＝0.5，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝‎10 m/s2。‎ ‎(1)求金属棒ab沿导轨向下运动的最大速度vm；‎ ‎(2)求金属棒ab沿导轨向下运动过程中，电阻R上的最大电功率PR；‎ ‎(3)若从金属棒ab开始运动至达到最大速度过程中，电阻R上产生的焦耳热总共为1.5 J，求流过电阻R的总电荷量q。‎