高考文科数学专题一集合题型总结含解析
第一章 集合
第一节 集合的含义、表示及基本关系
练习一组
1．已知A＝{1，2}，B＝，则集合A与B的关系为________．
解析：由集合B＝知，B＝{1，2}．答案：A＝B
2．若，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知，有解，故．答案：
3．已知集合A＝，集合B＝，则集合A与B的关系是________．
解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴BA．
答案：BA
4．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝关系的韦恩(Venn)图是________．
解析：由N=，得N={-1，0}，则NM．答案：②
5知集合A＝，集合B＝，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
解析：命题“x∈A”是命题“x∈B” 的充分不必要条件，∴AB，∴a<5．
答案：a<5
6．已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？
解：∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2(a1＋a2)＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B．
练习二组
1．设a，b都是非零实数，y＝＋＋可能取的值组成的集合是________．
解析：分四种情况：(1)a>0且b>0；(2)a>0且b<0；(3)a<0且b>0；(4)a<0且b<0，讨论得y＝3或y＝－1．答案：{3，－1}
2．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________．
解析：∵B⊆A，显然m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴m＝1．
答案：1
3．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则P＋Q中元素的个数是________个．
解析：依次分别取a＝0，2，5；b＝1，2，6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P＋Q＝{1，2，6，3，4，8，7，11}．答案：8
4．已知集合M＝{x|x2＝1}，集合N＝{x|ax＝1}，若NM，那么a的值是________．
解析：M＝{x|x＝1或x＝－1}，NM，所以N＝∅时，a＝0；当a≠0时，x＝＝1或－1，∴a＝1或－1．答案：0，1，－1
5．满足{1}A⊆{1，2，3}的集合A的个数是________个．
解析：A中一定有元素1，所以A有{1，2}，{1，3}，{1，2，3}．答案：3
6．已知集合A＝{x|x＝a＋，a∈Z}，B＝{x|x＝－，b∈Z}，C＝{x|x＝＋，c∈Z}，则A、B、C之间的关系是________．
解析：用列举法寻找规律．答案：AB＝C
7．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x
5”的________．
解析：结合数轴若A⊆B⇔a≥4，故“A⊆B”是“a>5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件
8．设集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m<500}，则M中所有元素的和为________．
解析：∵2n<500，∴n＝0，1，2，3，4，5，6，7，8．∴M中所有元素的和S＝1＋2＋22＋…＋28＝511．答案：511
9．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．
解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：6
10．已知A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，试求x，y的值．
解：由lg(xy)知，xy>0，故x≠0，xy≠0，于是由A＝B得lg(xy)＝0，xy＝1．
∴A＝{x，1，0}，B＝{0，|x|，}．
于是必有|x|＝1，＝x≠1，故x＝－1，从而y＝－1．
11．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，
(1)若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；
(2)若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；
(3)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．
解：由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，
(1)∵B⊆A，∴①若B＝∅，则m＋1>2m－1，即m<2，此时满足B⊆A．
②若B≠∅，则解得2≤m≤3．
由①②得，m的取值范围是(－∞，3]．
(2)若A⊆B，则依题意应有解得故3≤m≤4，
∴m的取值范围是[3，4]．
(3)若A＝B，则必有解得m∈∅．，即不存在m值使得A＝B．
12．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}．
(1)若A是B的真子集，求a的取值范围；
(2)若B是A的子集，求a的取值范围；
(3)若A＝B，求a的取值范围．
解：由x2－3x＋2≤0，即(x－1)(x－2)≤0，得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}，
而集合B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，
(1)若A是B的真子集，即AB，则此时B＝{x|1≤x ≤ a}，故a>2．
(2)若B是A的子集，即B⊆A，由数轴可知1≤a≤2．
(3)若A=B，则必有a=2
第二节 集合的基本运算
练习一组
1．设U＝R，A＝，B＝，则A∩∁UB＝____．
解析：∁UB＝{x|x≤1}，∴A∩∁UB＝{x|01}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．
(1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B；
(2)若B⊆A，求m的取值范围．
解：(1)当时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|13}＝{x|－2≤x<0}．答案：{x|－2≤x<0}
4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________．
解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2，3，4}．
答案：{2，3，4}
5．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．
解析：U＝A∪B中有m个元素，
∵(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：m－n
6．设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________．
解析：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5，7}，B＝{3，6}，∴A∪B＝{1，3，5，6，7}，
得∁U(A∪B)＝{2，4，8}．答案：{2，4，8}
7．定义A⊗B＝{z|z＝xy＋，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}，C＝{1}，则集合(A⊗B)⊗C的所有元素之和为________．
解析：由题意可求(A⊗B)中所含的元素有0，4，5，则(A⊗B)⊗C中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和为18．答案：18
8．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________．
解析：由⇒点(0，2)在y＝3x＋b上，∴b＝2．
9．设全集I＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{2，|a＋1|}，∁IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M的所有子集是________．
解析：∵A∪(∁IA)＝I，∴{2，3，a2＋2a－3}＝{2，5，|a＋1|}，∴|a＋1|＝3，且a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2，∴M＝{log22，log2|－4|}＝{1，2}．
答案：∅，{1}，{2}，{1，2}
10．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1，2}．
(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3；当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a的值为－1或－3．
(2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．∵A∪B＝A，∴B⊆A，
①当Δ<0，即a<－3时，B＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系得
⇒矛盾．综上，a的取值范围是a≤－3．
11．已知函数f(x)＝ 的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B．
(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；
(2)若A∩B＝{x|－1．
综上可知，若A＝∅，则a的取值范围应为a>．
(2)当a＝0时，方程ax2－3x＋2＝0只有一根x＝，A＝{}符合题意．
当a≠0时，则Δ＝9－8a＝0，即a＝时，
方程有两个相等的实数根x＝，则A＝{}．
综上可知，当a＝0时，A＝{}；当a＝时，A＝{}．
(3)当a＝0时，A＝{}≠∅．当a≠0时，要使方程有实数根，
则Δ＝9－8a≥0，即a≤．
综上可知，a的取值范围是a≤，即M＝{a∈R|A≠∅}＝{a|a≤}
