2020-2021学年高考数学(理)考点:函数的单调性与最值

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2020-2021学年高考数学(理)考点:函数的单调性与最值

‎2020-2021学年高考数学(理)考点:函数的单调性与最值 ‎ ‎1.函数的单调性 ‎(1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f (x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2‎ 当x1f (x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 ‎(2)单调区间的定义 如果函数y=f (x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f (x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f (x)的单调区间.‎ ‎2.函数的最值 前提 设函数y=f (x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件 ‎(1)对于任意的x∈I,都有f (x)≤M;‎ ‎(2)存在x0∈I,使得f (x0)=M ‎(1)对于任意的x∈I,都有f (x)≥M;‎ ‎(2)存在x0∈I,使得f (x0)=M 结论 M为最大值 M为最小值 概念方法微思考 ‎1.在判断函数的单调性时,你还知道哪些等价结论?‎ 提示 对∀x1,x2∈D,x1≠x2,>0⇔f (x)在D上是增函数;对∀x1,x2∈D,x1≠x2,(x1-x2)·[f (x1)-f (x2)]>0⇔f (x)在D上是增函数.减函数类似.‎ ‎2.写出函数y=x+(a>0)的增区间.‎ 提示 (-∞,-]和[,+∞).‎ ‎1.(2020·新课标Ⅱ)设函数,则f(x)( )‎ A. 是偶函数,且在单调递增 B. 是奇函数,且在单调递减 C. 是偶函数,且在单调递增 D. 是奇函数,且在单调递减 ‎【答案】D ‎【解析】由得定义域为,关于坐标原点对称,‎ 又,‎ 为定义域上的奇函数,可排除AC;‎ 当时,,‎ 在上单调递增,在上单调递减,‎ 在上单调递增,排除B;‎ 当时,,‎ 在上单调递减,在定义域内单调递增,‎ 根据复合函数单调性可知:在上单调递减,D正确.‎ ‎2.(2018·北京卷)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________.‎ ‎【答案】 (答案不唯一)‎ ‎【解析】对于,其图象的对称轴为,‎ 则f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,‎ 但f(x)在[0,2]上不是单调函数.‎ ‎1.(2019•平谷区一模)下列函数中,在区间上为增函数的是  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意,依次分析选项:‎ 对于,,为反比例函数,在上为减函数,不符合题意;‎ 对于,,为指数函数,在区间上为增函数,符合题意;‎ 对于,,为正弦函数,在上不是单调函数,不符合题意;‎ 对于,,是指数函数,在上为减函数,不符合题意;‎ 故选.‎ ‎2.(2019•西城区一模)下列函数中,值域为且在区间上单调递增的是  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意,依次分析选项:‎ 对于,,其值域为,,不符合题意;‎ 对于,,其值域为,不符合题意;‎ 对于,,值域为且在区间上单调递增,符合题意;‎ 对于,,在区间上为减函数,不符合题意;‎ 故选.‎ ‎3.(2016•安庆三模)若函数,在区间,和,上均为增函数,则实数的取值范围是  ‎ A., B., C., D.,‎ ‎【答案】B ‎【解析】,‎ ‎,‎ 为实数集上的偶函数,由在区间,和,上均为增函数,‎ 知在,上为增函数,在,上为减函数,‎ 函数的对称轴,得,.‎ 故选.‎ ‎4.(2016•天津二模)若,在定义域上是单调函数,则的取值范围是  ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】在定义域上是单调函数时,‎ ‎①函数的单调性是增函数时,可得当时,,‎ 即,解之得 时,是增函数,‎ 又时,是增函数,,得或 因此,实数的取值范围是:‎ ‎②函数的单调性是减函数时,可得当时,,‎ 即,解之得或.‎ 时,是减函数,‎ 又时,是减函数,,得或 因此,实数的取值范围是:‎ 综上所述,得 故选.‎ ‎5.(2020春•天津期末)下列函数中,在上为增函数的是  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意,依次分析选项:‎ 对于,为一次函数,在上为减函数,不符合题意;‎ 对于,为二次函数,在上为减函数,不符合题意;‎ 对于,为反比例函数,在上为增函数,符合题意;‎ 对于,,当时,,则函数在上为减函数,不符合题意;‎ 故选.‎ ‎6.(2019秋•武昌区期末)下列函数在上是增函数的是  ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于,函数在递减,不合题意;‎ 对于,函数在递减,不合题意;‎ 对于,函数在递减,不合题意;‎ 对于,函数在递增,符合题意;‎ 故选.‎ ‎7.(2020春•郑州期末)函数的单调减区间是  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数的导数为 ‎,‎ 令,解得.‎ 即有单调减区间为.‎ 故选.‎ ‎8.(2020•北京模拟)下列函数中,在内单调递增,并且是偶函数的是  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】.的对称轴为,为非奇非偶函数,不满足条件.‎ ‎.是偶函数,但在内不是单调函数,不满足条件.‎ ‎.为偶函数,在内单调递增,满足条件,‎ ‎.,内单调递增,为非奇非偶函数,不满足条件.‎ 故选.‎ ‎9.(2019春•武邑县校级期中)函数在区间上单调递增,那么实数的取值范围是  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意,函数,其导数,‎ 若在区间上单调递增,则在上恒成立,‎ 则有在上恒成立,‎ 必有,‎ 故选.‎ ‎10.(2019秋•东海县期中)函数的单调减区间是  ‎ A. B. ‎ C.,, D.和 ‎【答案】D ‎【解析】根据题意,函数,其定义域为其导数,‎ 分析可得:当时,,即函数在上为减函数,‎ 当时,,即函数在上为减函数;‎ 综合可得:函数的单调减区间是和;‎ 故选.‎ ‎11.(2019秋•钟祥市校级期中)函数的单调递减区间为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时,,此时函数为增函数,‎ 当时,,此时函数为减函数,‎ 即函数的单调递减区间为,‎ 故选.‎ ‎12.(2019秋•金凤区校级期中)下列函数在上单调递增的是  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意,依次分析选项:‎ 对于,,在上单调递增,符合题意;‎ 对于,,为反比例函数,在上单调递减,不符合题意;‎ 对于,,为指数函数,在上单调递减,不符合题意;‎ 对于,,为二次函数,在上单调递减,不符合题意;‎ 故选.‎ ‎13.(2019秋•赫章县期中)下列函数在,上单调递减的是  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意,依次分析选项:‎ 对于,,为二次函数,其开口向下且对称轴为,在,上单调递减,符合题意;‎ 对于,,在上为增函数,不符合题意;‎ 对于,,在上为增函数,不符合题意;‎ 对于,,在上为增函数,不符合题意;‎ 故选.‎ ‎14.(2019秋•香坊区校级月考)已知函数,则函数的单调增区间是  ‎ A. B. ‎ C.,, D.和.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意,函数,其导数,‎ 易得在区间和上,,‎ 即函数在区间和.为增函数,‎ 故选.‎ ‎15.(2019春•温州期中)函数在上是减函数.则  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意,函数在上是减函数,‎ 则有,解可得,‎ 故选.‎ ‎16.(2019•湖南模拟)定义在的函数与函数在,‎ 上具有相同的单调性,则的取值范围是  ‎ A., B., ‎ C., D.,,‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意,函数,其定义域为,则上为减函数,‎ 在,上为减函数,‎ 必有,解可得,‎ 即的取值范围为,;‎ 故选.‎ ‎17.(2019秋•金台区期中)函数的单调递增区间是  ‎ A., B., C., D.,‎ ‎【答案】C ‎【解析】令,‎ 则,‎ 由的对称轴为,‎ 可得函数在递增,,递减,‎ 而在上递减,‎ 由复合函数的单调性:同增异减,‎ 可得函数的单调递增区间是,,‎ 故选.‎ ‎18.(2019秋•天津期中)函数的单调递增区间是  ‎ A. B. C., D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】令,‎ 解得:或,‎ 而函数的对称轴是:,‎ 由复合函数同增异减的原则,‎ 故函数的单调递增区间是,,‎ 故选.‎ ‎19.(2019秋•项城市校级月考)下列函数中,在区间上是递增函数的是  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】.时,,该函数在上是递增函数,;所以该选项正确 ‎.是一次函数,在上是递减函数,所以该选项错误;‎ ‎.是反比例函数,在上是递减函数,所以该选项错误;‎ ‎.是二次函数,在上是递减函数,所以该选项错误.‎ 故选.‎ ‎20.(2019•西湖区校级模拟)函数的定义域为___________;单调递减区间是___________.‎ ‎【答案】;,‎ ‎【解析】函数的定义域为;,‎ 令,得,‎ 函数的单调递减区间为,.‎ 故答案为:;单调递减区间为,.‎ ‎21.(2019•西湖区校级模拟)函数的单调递增区间为___________,值域为___________.‎ ‎【答案】和,,,,‎ ‎【解析】,解得或,函数的单调递增区间为 和,,单调递减区间为,,,,‎ 即函数在处有极大值,在处有极小值,‎ 所以函数的值域为,,.‎ 故答案为:和,,,,.‎ ‎22.(2018•浙江模拟)已知函数已知函数,则(4)___________;函数的单调递减区间是___________.‎ ‎【答案】1,,‎ ‎【解析】(4);‎ ‎(4)(1);‎ 时,,对称轴为;‎ 在,上单调递减;‎ 的单调递减区间为,.‎ 故答案为:1,,.‎ ‎23.(2017•河东区一模)已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知,,‎ 则,‎ 在上是单调函数,‎ 在上恒成立,‎ 则△,解得,‎ 实数的取值范围是,‎ 故答案为:.‎ ‎24.(2016•永康市模拟)设函数,若(1),则实数___________,函数的单调增区间为___________.‎ ‎【答案】2,‎ ‎【解析】函数,‎ 可得(1),(1)(2),‎ 解得;‎ 的增区间为,‎ ‎.‎ 故答案为:2,‎ ‎25.(2019秋•徐汇区校级期中)函数的单调递增区间为___________.‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】根据题意,,是开口向下的二次函数,其对称轴为,‎ 故的单调递增区间为,;‎ 故答案为:,.‎ ‎26.(2019秋•香坊区校级月考)函数的值域是___________,单调递增区间是___________.‎ ‎【答案】,;,‎ ‎【解析】根据题意,函数,‎ 设,必有,解可得,‎ 必有,则,则有,即函数的值域为,;‎ 又由,必在区间,上为增函数,则,上为减函数,则函数的递增区间为,;‎ 故答案为:,;,.‎ ‎27.(2019春•江阴市期中)已知在,上是单调函数,则实数的取值范围为___________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】根据题意,为二次函数,其对称轴为,‎ 若在,上是单调函数,则有或,‎ 解可得或,‎ 即的取值范围为或;‎ 故答案为:或.‎ ‎28.(2018秋•驻马店期末)已知是定义在,上的单调递增函数,则不等式的解集是___________.‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】根据题意,是定义在,上的单调递增函数,‎ 则,‎ 解可得:,‎ 即不等式的解集为,;‎ 故答案为:,.‎ ‎29.(2019秋•秦州区校级月考)已知函数,则的单调递增区间是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】;‎ 在上单调递增;‎ 即的单调递增区间为.‎ 故答案为:.‎ ‎30.(2019秋•思明区校级期中)函数的单调减区间为___________.‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】当时,,‎ 当时,,‎ 这样就得到一个分段函数.‎ 的对称轴为:,开口向上,时是增函数;‎ ‎,开口向下,对称轴为,‎ 则时函数是增函数,时函数是减函数.‎ 即有函数的单调减区间是,.‎ 故答案为:,.‎ ‎31.(2018秋•定远县期末)若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数 函数的增区间为和,减区间是.‎ 在区间上单调递减,‎ ‎,,,得,解之得 故答案为:.‎ ‎32.(2019•西湖区校级模拟)已知函数 ‎(1)若,求函数的最小值.‎ ‎(2)求函数的单调区间.‎ ‎【解析】(1),在区间上单调递增,‎ 所以在,上是增函数,‎ 所以 ‎(2)‎ 当时,在,上是增函数 当时,在上递减,在递增,所以 ‎①当时,在,上是增函数;‎ ‎②当时,在上是减函数,在上是增函数;‎ 综上所述,当时,在,上是增函数 当时,在上是减函数,在上是增函数.‎ ‎33.(2019秋•秦淮区校级期中)(1)求函数的值域;‎ ‎(2)求函数的单调区间.‎ ‎【解析】(1),则,‎ 所以,‎ 因为抛物线开口向上,对称轴为直线,‎ 所以当时,取得最小值为,无最大值,‎ 所以函数的值域为.‎ ‎(2)设.令,解得,‎ 所以函数的定义域为,,‎ ‎,对称轴方程为,‎ 在,上为单调增函数,而在上为单调减函数,‎ 因为为单调减函数,‎ 函数的单调增区间为,单调减区间为,.‎ ‎34.(2018秋•合肥期末)已知函数.‎ ‎(1)判断在其定义域上的单调性,并用单调性的定义证明你的结论;‎ ‎(2)解关于的不等式(1).‎ ‎【解析】(1),则函数是奇函数,‎ 则当时,设,‎ 则 ‎,‎ ‎,‎ ‎,即,,‎ 则,即,‎ 则在,上是增函数,‎ 是上的奇函数,‎ 在上是增函数.‎ ‎(2)在上是增函数,‎ 不等式(1)等价为不等式,‎ 即.‎ 即不等式的解集为.‎
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