江苏高考数学试卷及解析

江苏高考数学试卷及解析

‎ 2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学Ⅰ试题 参考公式：‎ 锥体的体积公式: V锥体=Sh，其中S是锥体的底面积，h是高。‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.‎ ‎1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲_____.‎ ‎[解析] 考查集合的运算推理。3B, a+2=3, a=1.‎ ‎2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲_____.‎ ‎[解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。‎ ‎3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ ▲__.‎ ‎[解析]考查古典概型知识。2‎ ‎4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于‎20mm。‎ ‎[解析]考查频率分布直方图的知识。‎ ‎100×（0.001+0.001+0.004）×5=30‎ ‎5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=_______▲_________‎ ‎[解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。‎ ‎6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______‎ ‎[解析]考查双曲线的定义。，为点M到右准线的距离，=2，MF=4。‎ ‎7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______‎ ‎[解析]考查流程图理解。输出。‎ ‎8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____‎ ‎[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。 ‎ 在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，‎ 所以。‎ ‎9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____[来源 ‎[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2，‎ 圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，，的取值范围是（-13，13）。‎ ‎10、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____。‎ ‎[解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值，‎ 且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=。线段P1P2的长为 ‎11、已知函数,则满足不等式的x的范围是__▲___。‎ ‎[解析] 考查分段函数的单调性。‎ ‎12、设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是 ▲ 。。来源 ‎[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。‎ ‎，，，的最大值是27。‎ ‎13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则=____▲_____。‎ ‎[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。‎ ‎（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。‎ 当A=B或a=b时满足题意，此时有：，，，‎ ‎，= 4。‎ ‎（方法二），‎ 由正弦定理，得：上式=‎ ‎14、将边长为‎1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是____▲____。‎ ‎[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。‎ 设剪成的小正三角形的边长为，则：‎ ‎（方法一）利用导数求函数最小值。‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，递减；当时，递增；‎ 故当时，S的最小值是。‎ ‎（方法二）利用函数的方法求最小值。‎ 令，则：‎ 故当时，S的最小值是。‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.‎ ‎15、（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。‎ (1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；‎ (2) 设实数t满足()·=0，求t的值。‎ ‎[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。‎ ‎（1）（方法一）由题设知，则 所以 故所求的两条对角线的长分别为、。‎ ‎（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:‎ E为B、C的中点，E（0，1）‎ 又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）‎ ‎ 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；‎ ‎（2）由题设知：=(－2,－1)，。‎ 由()·=0，得：，‎ 从而所以。‎ 或者：，‎ ‎16、（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。‎ (1) 求证：PC⊥BC；‎ (1) 求点A到平面PBC的距离。‎ ‎[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。‎ ‎（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。‎ 由∠BCD=900，得CD⊥BC，‎ 又PDDC=D，PD、DC平面PCD，‎ 所以BC⊥平面PCD。‎ 因为PC平面PCD，故PC⊥BC。‎ ‎（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：‎ 易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。‎ 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。‎ 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，‎ 因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。‎ 易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。‎ ‎（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。‎ 因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。‎ 从而AB=2，BC=1，得的面积。‎ 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。‎ 因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。‎ 又PD=DC=1，所以。‎ 由PC⊥BC，BC=1，得的面积。‎ 由，，得，‎ 故点A到平面PBC的距离等于。‎ 17、 ‎（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=‎4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β (1) 该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值 (2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为‎125m，问d为多少时，α-β最大 分析：此题关键要找出C点的位置，清楚α-β最大时tan(α-β)也最大 解：（1）因为： ，‎ 则：，，‎ 因为 所以 带入tanα=1.24,tanβ=1.20‎ 得，所以H=‎‎124m ‎（2）由题意知：，‎ 因为所以则 ‎=‎ ‎=（）当且仅当时，即m时最大，因为，所以也取最大值 所以，m时，取最大值 小结：此题主要考察学生对直角三角形角边关系的应用，第二问还考察学生对两角差的正切公式和基本不等式的熟练运用，第一问属于简单题，第二问属于中等题。‎ 总结：这两题充分体现了高考是以基础性题型为主的宗旨，对学生具有扎实基础的重视。虽说第二题与别章有结合，但都属于基本知识的结合，只要学生对各章都有一个坚实的基础，解决这些题目都不会有问题。所以，在以后解三角形的复习中，我们一定要强化三角形基本定理的熟练应用，扎实基础，注重与别章基础知识综合时的灵活运用。‎ ‎18、（本小题满分16分）‎ 在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。‎ ‎（1）设动点P满足,求点P的轨迹；‎ ‎（2）设，求点T的坐标；‎ ‎（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。‎ ‎[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。‎ ‎（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。‎ 由，得 化简得。‎ 故所求点P的轨迹为直线。‎ ‎（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）‎ 直线MTA方程为：，即，‎ 直线NTB 方程为：，即。‎ 联立方程组，解得：，‎ 所以点T的坐标为。‎ ‎（3）点T的坐标为 直线MTA方程为：，即，‎ 直线NTB 方程为：，即。‎ 分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，‎ 解得：、。‎ ‎（方法一）当时，直线MN方程为：‎ ‎ 令，解得：。此时必过点D（1，0）；‎ 当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。‎ 所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。‎ ‎（方法二）若，则由及，得，‎ 此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。‎ 若，则，直线MD的斜率，‎ 直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。‎ 因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。‎ ‎19、（本小题满分16分）‎ 设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。‎ ‎（1）求数列的通项公式（用表示）；‎ ‎（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。‎ ‎[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。‎ ‎（1）由题意知：， ‎ ‎，‎ 化简，得：‎ ‎，‎ 当时，，适合情形。‎ 故所求 ‎（2）（方法一）‎ ‎， 恒成立。‎ ‎ 又，，‎ 故，即的最大值为。‎ ‎（方法二）由及，得，。‎ 于是，对满足题设的，，有 ‎。‎ 所以的最大值。‎ 另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，且。‎ 于是，只要，即当时，。‎ 所以满足条件的，从而。‎ 因此的最大值为。‎ ‎20、（本小题满分16分）‎ 设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。‎ ‎(1)设函数，其中为实数。‎ ‎(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。‎ ‎(2)已知函数具有性质。给定设为实数，‎ ‎，，且，‎ 若||<||，求的取值范围。‎ ‎[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。‎ ‎（1）(i)‎ ‎∵时，恒成立，‎ ‎∴函数具有性质；‎ ‎(ii)（方法一）设，与的符号相同。‎ 当时，，，故此时在区间上递增；‎ 当时，对于，有，所以此时在区间上递增；‎ 当时，图像开口向上，对称轴，而，‎ 对于，总有，，故此时在区间上递增；‎ ‎（方法二）当时，对于，‎ ‎ 所以，故此时在区间上递增；‎ 当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而 ‎ 当时，，，故此时在区间 上递减；同理得：在区间上递增。‎ 综上所述，当时，在区间上递增；‎ ‎ 当时，在上递减；在上递增。‎ ‎(2)（方法一）由题意，得：‎ 又对任意的都有>0，‎ 所以对任意的都有，在上递增。‎ 又。‎ 当时，，且，‎ ‎ ‎ 综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。‎ ‎（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。‎ ‎①当时，有，‎ ‎，得，同理可得，所以由的单调性知、，‎ 从而有||<||，符合题设。‎ ‎②当时，，‎ ‎，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。‎ ‎③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。‎ 因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）。‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ A． 选修4-1：几何证明选讲 ‎（本小题满分10分）‎ AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。‎ ‎[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。‎ ‎（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC， ‎ 又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO， ‎ ‎∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，‎ 所以∠DCO=300，∠DOC=600，‎ 所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。‎ ‎（方法二）证明：连结OD、BD。‎ 因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。‎ 因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=900。‎ 又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，‎ 于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。‎ 即2OB=OB+BC，得OB=BC。‎ 故AB=2BC。‎ B． 选修4-2：矩阵与变换 ‎（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=,N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B‎1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。‎ ‎[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。‎ 解：由题设得 由，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（，-2）。‎ 计算得△ABC面积的面积是1，△A1B‎1C1的面积是，则由题设知：。‎ 所以k的值为2或-2。‎ A． 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎（本小题满分10分）‎ 在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。‎ ‎[解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。‎ 解：，圆ρ=2cosθ的普通方程为：，‎ 直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：，‎ 又圆与直线相切，所以解得：，或。‎ B． 选修4-5：不等式选讲 ‎（本小题满分10分）‎ 设a、b是非负实数，求证：。‎ ‎[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。‎ ‎（方法一）证明：‎ 因为实数a、b≥0，‎ 所以上式≥0。即有。‎ ‎（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得 当时，，从而，得；‎ 当时，，从而，得；‎ 所以。‎ ‎[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ 22、 ‎（本小题满分10分）‎ 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。‎ （1） 记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；‎ （2） 求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。‎ ‎[解析] 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。‎ 解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且 ‎ P（X=10）=0.8×0.9=0.72， P（X=5）=0.2×0.9=0.18，‎ ‎ P（X=2）=0.8×0.1=0.08， P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。‎ ‎ 由此得X的分布列为：‎ X ‎10‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎-3‎ P ‎0.72‎ ‎0.18‎ ‎0.08‎ ‎0.02‎ ‎（2）设生产的4件甲产品中一等品有件，则二等品有件。‎ ‎ 由题设知，解得，‎ ‎ 又，得，或。‎ 所求概率为 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。‎ 23、 ‎（本小题满分10分）‎ 已知△ABC的三边长都是有理数。‎ （1） 求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。‎ ‎[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。‎ ‎（方法一）（1）证明：设三边长分别为，，∵是有理数，‎ 是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，‎ ‎∴必为有理数，∴cosA是有理数。‎ ‎（2）①当时，显然cosA是有理数；‎ 当时，∵，因为cosA是有理数， ∴也是有理数；‎ ‎②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。‎ 当时，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得：‎ ‎∵cosA，，均是有理数，∴是有理数，‎ ‎∴是有理数。‎ 即当时，结论成立。‎ 综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。‎ ‎（方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知 是有理数。‎ ‎（2）用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。‎ ‎①当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数。‎ ‎②假设当时，和都是有理数。‎ 当时，由，‎ ‎，‎ 及①和归纳假设，知和都是有理数。‎ 即当时，结论成立。‎ 综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。‎