2015年北京市高考数学试卷(文科)

2015年北京市高考数学试卷(文科)

‎2015年北京市高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分,共40分）‎ ‎1．若集合，，则A∩B=（　　）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎2．圆心为且过原点的圆的方程是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．下列函数中为偶函数的是（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有人，则该样本的老年教师人数为（　　）‎ 类别 人数 老年教师 中年教师 青年教师 合计 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．执行如图所示的程序框图，输出的值为（　　）‎ 第21页（共21页）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设是非零向量，“”是“”的（　　）‎ ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况 加油时间 加油量（升）‎ 加油时的累计里程（千米）‎ 第21页（共21页）‎ 年月日 ‎ 年月日 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每千米平均耗油量为 （　　）‎ ‎ A．升 B．升 C．升 D．升 ‎　‎ 二、填空题 ‎9．复数的实部为　　．‎ ‎10．三个数中最大数的是　　．‎ ‎11．在中，，则=　　．‎ ‎12．已知是双曲线的一个焦点，则=　　．‎ ‎13．如图，及其内部的点组成的集合记为，为中任意一点，则的最大值为　　．‎ ‎14．高三年级位学生参加期末考试，某班位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．‎ 从这次考试成绩看，‎ ‎①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是　　；‎ ‎②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是　　．‎ 第21页（共21页）‎ ‎　‎ 三、解答题（共分）‎ ‎15．已知函数．‎ ‎（）求的最小正周期；‎ ‎（）求在区间上的最小值．‎ ‎16．已知等差数列满足.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设等比数列满足，问：与数列的第几项相等？‎ ‎17．某超市随机选取位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买． ‎ 甲 乙 丙 丁 ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；‎ 第21页（共21页）‎ ‎（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率；‎ ‎（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？‎ ‎18．如图，在三棱锥中，平面⊥平面，为等边三角形，⊥且 ，，分别为，的中点．‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）求证：平面⊥平面 ‎（3）求三棱锥的体积．‎ ‎19．设函数．‎ ‎（1）求 的单调区间和极值；‎ ‎（2）证明：若 存在零点，则 在区间上仅有一个零点．‎ ‎20．已知椭圆:，过点且不过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若垂直于轴，求直线的斜率；‎ ‎（3）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．‎ ‎　‎ 第21页（共21页）‎ ‎2015年北京市高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分,共40分）‎ ‎1．（2015•北京）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（　　）‎ A．{x|﹣3＜x＜2} B．{x|﹣5＜x＜2} C．{x|﹣3＜x＜3} D．{x|﹣5＜x＜3}‎ ‎【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可．‎ ‎【解答】解：集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，‎ 则A∩B={x|﹣3＜x＜2}．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（2015•北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（　　）‎ A．（x﹣1）^^^2+（y﹣1）^^^2=1 B．（x+1）^^^2+（y+1）^^^2=1 C．（x+1）^^^2+（y+1）^^^2=2 D．（x﹣1）^^^2+（y﹣1）^^^2=2‎ ‎【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．‎ ‎【解答】解：由题意知圆半径r=，‎ ‎∴圆的方程为（x﹣1）^^^2+（y﹣1）^^^2=2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．（2015•北京）下列函数中为偶函数的是（　　）‎ A．y=x^^^2sinx B．y=x^^^2cosx C．y=|lnx| D．y=2﹣^^^x ‎【分析】首先从定义域上排除选项C，然后在其他选项中判断﹣x与x的函数值关系，相等的就是偶函数．‎ ‎【解答】解：对于A，（﹣x）^^^2sin（﹣x）=﹣x^^^2sinx；是奇函数；‎ 对于B，（﹣x）^^^2cos（﹣x）=x^^^2cosx；是偶函数；‎ 第21页（共21页）‎ 对于C，定义域为（0，+∞），是非奇非偶的函数；‎ 对于D，定义域为R，但是2﹣（﹣^^^x）=2^^^x≠2﹣^^^x，2^^^x≠﹣2﹣^^^x；是非奇非偶的函数；‎ 故选B ‎　‎ ‎4．（2015•北京）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（　　）‎ 类别 人数 老年教师 ‎900‎ 中年教师 ‎1800‎ 青年教师 ‎1600‎ 合计 ‎4300‎ A．90 B．100 C．180 D．300‎ ‎【分析】由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，‎ 因为青年教师有320人，所以老年教师有180人，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（　　）‎ 第21页（共21页）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，k的值，当a=时满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，可得 k=0，a=3，q=‎ a=，k=1‎ 不满足条件a＜，a=，k=2‎ 不满足条件a＜，a=，k=3‎ 不满足条件a＜，a=，k=4‎ 满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（2015•北京）设，是非零向量，“=||||”是“”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 第21页（共21页）‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】由便可得到夹角为0，从而得到∥，而∥并不能得到夹角为0，从而得不到，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．‎ ‎【解答】解：（1）；‎ ‎∴时，cos=1；‎ ‎∴；‎ ‎∴∥；‎ ‎∴“”是“∥”的充分条件；‎ ‎（2）∥时，的夹角为0或π；‎ ‎∴，或﹣；‎ 即∥得不到；‎ ‎∴“”不是“∥”的必要条件；‎ ‎∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．（2015•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（　　）‎ 第21页（共21页）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【分析】几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案 ‎【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，‎ 底面为正方形如图：‎ 其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形 ‎∴PB=1，AB=1，AD=1，‎ ‎∴BD=，PD==．‎ PC==‎ 该几何体最长棱的棱长为：‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况 加油时间 加油量（升）‎ 加油时的累计里程（千米）‎ ‎2015年5月1日 ‎12‎ ‎35000‎ ‎2015年5月15日 ‎48‎ ‎35600‎ 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 （　　）‎ A．6升 B．8升 C．10升 D．12升 ‎【分析】由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，由此得到该车每100千米平均耗油量．‎ ‎【解答】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 第21页（共21页）‎ 二、填空题 ‎9．（2015•北京）复数i（1+i）的实部为　﹣1　．‎ ‎【分析】直接利用复数的乘法运算法则，求解即可．‎ ‎【解答】解：复数i（1+i）=﹣1+i，‎ 所求复数的实部为：﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ ‎10．（2015•北京）2﹣^^^3，，log_____25三个数中最大数的是　log_____25　．‎ ‎【分析】运用指数函数和对数函数的单调性，可得0＜2﹣^^^3＜1，1＜＜2，log_____25＞log24=2，即可得到最大数．‎ ‎【解答】解：由于0＜2﹣^^^3＜1，1＜＜2，‎ log_____25＞log24=2，‎ 则三个数中最大的数为log_____25．‎ 故答案为：log_____25．‎ ‎　‎ ‎11．（2015•北京）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=　　．‎ ‎【分析】由正弦定理可得sinB，再由三角形的边角关系，即可得到角B．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可得，‎ ‎=，‎ 即有sinB===，‎ 由b＜a，则B＜A，‎ 可得B=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 第21页（共21页）‎ ‎12．（2015•北京）已知（2，0）是双曲线x^^^2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b=　　．‎ ‎【分析】求得双曲线x^^^2﹣=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0），可得b的方程，即可得到b的值．‎ ‎【解答】解：双曲线x^^^2﹣=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0），‎ 由题意可得=2，‎ 解得b=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎13．（2015•北京）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为　7　．‎ ‎【分析】利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．‎ ‎【解答】解：由z=2x+3y，得y=，‎ 平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大．‎ 即A（2，1）．‎ 此时z的最大值为z=2×2+3×1=7，‎ 故答案为：7．‎ 第21页（共21页）‎ ‎　‎ ‎14．（2015•北京）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．‎ 从这次考试成绩看，‎ ‎①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是　乙　；‎ ‎②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是　数学　．‎ ‎【分析】（1）根据散点图1分析甲乙两人所在的位置的纵坐标确定总成绩名次；‎ ‎（2）根据散点图2，观察丙的对应的坐标，如果横坐标大于纵坐标，说明总成绩名次大于数学成绩名次，反之小于．‎ ‎【解答】解：由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知 ‎①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙；‎ ‎②观察散点图，作出对角线y=x，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成绩的名次小于总成绩名次，所以在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学；‎ 故答案为：乙；数学．‎ ‎　‎ 第21页（共21页）‎ 三、解答题（共80分）‎ ‎15．（2015•北京）已知函数f（x）=sinx﹣2sin^^^2．‎ ‎（1）求f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．‎ ‎【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+）﹣，由三角函数的周期性及其求法即可得解；‎ ‎（2）由x∈[0，]，可求范围x+∈[，π]，即可求得f（x）的取值范围，即可得解．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin^^^2‎ ‎=sinx﹣2×‎ ‎=sinx+cosx﹣‎ ‎=2sin（x+）﹣‎ ‎∴f（x）的最小正周期T==2π；‎ ‎（2）∵x∈[0，]，‎ ‎∴x+∈[，π]，‎ ‎∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈[﹣，2﹣]，‎ ‎∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：﹣．‎ ‎　‎ ‎16．（2015•北京）已知等差数列{an}满足a_____1+a_____2=10，a_____4﹣a_____3=2‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设等比数列{bn}满足b_____2=a_____3，b_____3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？‎ ‎【分析】（I）由a_____4﹣a_____3=2，可求公差d，然后由a_____1+a_____2=10，可求a_____1，结合等差数列的通项公式可求 第21页（共21页）‎ ‎（II）由b_____2=a_____3=8，b_____3=a7=16，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求b6，结合（I）可求 ‎【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d．‎ ‎∵a_____4﹣a_____3=2，所以d=2‎ ‎∵a_____1+a_____2=10，所以2a_____1+d=10‎ ‎∴a_____1=4，‎ ‎∴an=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）‎ ‎（II）设等比数列{bn}的公比为q，‎ ‎∵b_____2=a_____3=8，b_____3=a7=16，‎ ‎∴‎ ‎∴q=2，b_____1=4‎ ‎∴=128，而128=2n+2‎ ‎∴n=63‎ ‎∴b6与数列{an}中的第63项相等 ‎　‎ ‎17．（2015•北京）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买． ‎ 甲 乙 丙 丁 ‎100‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎217‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎200‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎300‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎85‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎ 98‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；‎ ‎（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；‎ ‎（3‎ 第21页（共21页）‎ ‎）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？‎ ‎【分析】（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，从而求得顾客同时购买乙和丙的概率．‎ ‎（2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人，求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．‎ ‎（3）在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，‎ 故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2．‎ ‎（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300（人），‎ 故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3．‎ ‎（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为=0.2，‎ 同时购买甲和丙的概率为=0.6，‎ 同时购买甲和丁的概率为=0.1，‎ 故同时购买甲和丙的概率最大．‎ ‎　‎ ‎18．（2015•北京）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．‎ ‎（1）求证：VB∥平面MOC；‎ ‎（2）求证：平面MOC⊥平面VAB ‎（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．‎ 第21页（共21页）‎ ‎【分析】（1）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC；‎ ‎（2）证明：OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB ‎（3）利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积．‎ ‎【解答】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，‎ ‎∴OM∥VB，‎ ‎∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，‎ ‎∴VB∥平面MOC；‎ ‎（2）∵AC=BC，O为AB的中点，‎ ‎∴OC⊥AB，‎ ‎∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，‎ ‎∴OC⊥平面VAB，‎ ‎∵OC⊂平面MOC，‎ ‎∴平面MOC⊥平面VAB ‎（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，‎ ‎∴S△VAB=，‎ ‎∵OC⊥平面VAB，‎ ‎∴VC﹣VAB=•S△VAB=，‎ ‎∴VV﹣ABC=VC﹣VAB=．‎ ‎　‎ ‎19．（2015•北京）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．‎ 第21页（共21页）‎ ‎【分析】（1）利用f'（x）≥0或f'（x）≤0求得函数的单调区间并能求出极值；‎ ‎（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况．‎ ‎【解答】解：（1）由f（x）=‎ f'（x）=x﹣‎ 由f'（x）=0解得x=‎ f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：‎ X ‎ （0，）‎ ‎ （）‎ ‎ f'（x）‎ ‎﹣‎ ‎ 0‎ ‎+‎ ‎ f（x）‎ ‎↓‎ ‎↑‎ 所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；‎ f（x）在x=处的极小值为f（）=，无极大值．‎ ‎（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）=．‎ 因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e 当k=e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）=0‎ 所以x=是f（x）在区间（1，）上唯一零点．‎ 当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，‎ 所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．‎ 综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．‎ ‎　‎ ‎20．（2015•北京）已知椭圆C：x^^^2+3y^^^2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；‎ ‎（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．‎ 第21页（共21页）‎ ‎【分析】（1）通过将椭圆C的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；‎ ‎（2）通过令直线AE的方程中x=3，得点M坐标，即得直线BM的斜率；‎ ‎（3）分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆C：x^^^2+3y^^^2=3，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为：+y^^^2=1，‎ ‎∴a=，b=1，c=，‎ ‎∴椭圆C的离心率e==；‎ ‎（2）∵AB过点D（1，0）且垂直于x轴，‎ ‎∴可设A（1，y_____1），B（1，﹣y_____1），‎ ‎∵E（2，1），∴直线AE的方程为：y﹣1=（1﹣y_____1）（x﹣2），‎ 令x=3，得M（3，2﹣y_____1），‎ ‎∴直线BM的斜率kBM==1；‎ ‎（3）结论：直线BM与直线DE平行．‎ 证明如下：‎ 当直线AB的斜率不存在时，由（2）知kBM=1，‎ 又∵直线DE的斜率kDE==1，∴BM∥DE；‎ 当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠1），‎ 设A（x_____1，y_____1），B（x_____2，y_____2），‎ 则直线AE的方程为y﹣1=（x﹣2），‎ 令x=3，则点M（3，），‎ ‎∴直线BM的斜率kBM=，‎ 联立，得（1+3k^^^2）x^^^2﹣6k2x+3k^^^2﹣3=0，‎ 第21页（共21页）‎ 由韦达定理，得x_____1+x_____2=，x_____1x_____2=，‎ ‎∵kBM﹣1=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=0，‎ ‎∴kBM=1=kDE，即BM∥DE；‎ 综上所述，直线BM与直线DE平行．‎ ‎　‎ 第21页（共21页）‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；刘长柏；changq；w3239003；wkl197822；sdpyqzh；双曲线；maths；吕静；caoqz；雪狼王；cst（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2017年2月3日 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