备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题02 充分条件与必要条件

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题02 充分条件与必要条件

专题02 充分条件与必要条件 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要有三个：一是以函数、方程、三角函数、数列、不等式、立体几何线面关系、平面解析几何等为背景的充分条件和必要条件的判定与探求；二是考查等价转化与化归思想；三是由充分条件和必要条件探求参数的取值范围．‎ ‎1、定义：‎ ‎（1）对于两个条件，如果命题“若则”是真命题，则称条件能够推出条件，记为，‎ ‎（2）充分条件与必要条件：如果条件满足，则称条件是条件的充分条件；称条件是条件的必要条件 ‎2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判断时既要判断“若则”的真假，也要判断“若则”真假 ‎3、两个条件之间可能的充分必要关系：‎ ‎（1）能推出，但推不出，则称是的充分不必要条件 ‎（2）推不出，但能推出，则称是的必要不充分条件 ‎（3）能推出，且能推出，记为，则称是的充要条件，也称等价 ‎（4）推不出，且推不出，则称是的既不充分也不必要条件 ‎4、如何判断两个条件的充分必要关系 ‎ (1)定义法：若 ，则是的充分而不必要条件；若 ，则是的必要而不充分条件；若，则是的充要条件； 若 ，则是的既不充分也不必要条件。‎ ‎(2)等价法：即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．‎ ‎(3) 充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件.‎ ‎4、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：‎ 10‎ ‎(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．‎ ‎(2)要注意区间端点值的检验．‎ ‎5、对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性.此时应注意分清楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）.‎ ‎【经典例题】‎ 例1【2017天津，理4】设，则“”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ，但，不满足 ，所以是充分不必要条件，选A.‎ 例2【2019届山东省天成大联考高三第二次考试】已知，，，，则是（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D 例3【2019届江西省高三监测】已知命题： ；命题： ，且的一个必要不充分条件是，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，故p：－3≤x≤1；命题q： ，故q： ‎ 10‎ ‎。 由q的一个必要不充分条件是p，可知q是p的充分不必要条件，故得.‎ 故选A.‎ 例4【2019届东北三省三校高三第二次模拟】设，则使成立的必要不充分条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 例5【2019届河北省保定市高三第一次模拟】已知非向量，则或是向量与夹角为锐角的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】向量与夹角为锐角充要条件为且向量与不共线，即，故或是向量与夹角为锐角的必要不充分条件，选B.‎ 例6. “”是“直线与圆有公共点”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】.将直线方程代入圆的方程,化简得,判别式,解得.故为充分必要条件,选C.‎ 例7【2019届天津市十二重点中学高三联考一】设条件：函数在 10‎ 上单调递增，条件：存在使得不等式成立，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】条件：函数在上单调递增，则；条件：存在使得不等式成立，则，则是的充要条件.‎ 故选C.‎ 例8【2019届四川省棠湖中学高三3月月考】“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】由可得．‎ 当时， 不一定成立；反之，当时，必有．‎ ‎∴“”是“”的必要不充分条件．选C．‎ 例9【2019届北京市西城区156中学高三上学期期中】设，，是两个不同的平面，则“”是“”的（ ）．‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】A 例10.已知，当“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是__________‎ ‎【答案】‎ 10‎ ‎【解析】思路：为两个不等式的解集，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集。考虑解出两个不等式的解集，然后利用数轴求出的范围即可 解：‎ ‎ ‎ 由是的真子集可得： ‎ ‎【名师点睛】：1、熟悉充分必要条件与集合的联系：是的充分不必要条件对应集合是对应集合的真子集.‎ ‎2、处理含参问题时，秉承“先常数再参数”的顺序分析，往往可利用所得条件对参数范围加以限制，减少分类讨论的情况.例如在本题中，若先处理，则解不等式面临着分类讨论的问题.但先处理之后，结合数轴会发现何种情况符合，省去了无谓的讨论.‎ ‎【精选精练】‎ ‎1．【2019届河南省濮阳市高三二模】对于实数，，“”是“方程对应的曲线是椭圆”的（ ）‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎2．【2019届河北省衡水中学高三十五模】已知等差数列的前项和为，“， 是方程 10‎ 的两根”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】∵， 是方程的两根 ‎∴，∴+‎ ‎∴‎ ‎∴充分性具备；‎ 反之，不一定成立.‎ ‎∴“， 是方程的两根”是“”的充分不必要条件 故选：A.‎ ‎3．【2019届上海市黄浦区高三4月模拟（二模）】在空间中，“直线 平面”是“直线与平面内无穷多条直线都垂直 ”的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 ‎【答案】A ‎4．【2019届上海市杨浦区高三二模】已知， ，则“”是“直线与 平行”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 ‎【答案】B 10‎ ‎【解析】， ，则“”化为 ‎，即 直线与平行”可推出：‎ ‎， ‎ ‎， ，则“”是“直线与 平行”的必要不充分条件 故选 ‎5．【2019届重庆市高三4月二诊】“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】 由，可得或，‎ 即或，‎ 所以是成立的必要不充分条件，故选B．‎ ‎6．【2019届吉林省四平市高三质量检测】是“函数的最小正周期为”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎7．【2019届北京东城五中2019学年高三上期中】已知向量、为非零向量，则“”是“、‎ 10‎ 的夹角为锐角”的（ ）．‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】∵等价于， 的夹角是锐角或，∴“ ”是“， 的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.‎ ‎8．【2019届江西省上饶市高三下学期二模】“”是“直线与直线垂直”的 （ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由直线与直线垂直可得， ，解得或，所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎9．【2019届山东省聊城市高三一模】设等比数列的各项均为正数，其前项和为，则“”是“数列是递增数列”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎10．【2019届河南省八市学评高三下学期第一次】设等差数列的首项大于0，公差为,则“”是“为递减数列”的( )‎ A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】 由题意，当时， ，所以，‎ 10‎ 即数列为递减数列；‎ 若数列为递减数列，则，因为，所以，‎ 所以是数列为递减数列的充要条件，故选A．‎ ‎11．设命题实数使曲线表示一个圆；命题实数使曲线表示双曲线.若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎ ， ‎ 故实数的取值范围 .‎ ‎12．已知命题： ，命题： .‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)2;(2) 实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式的解法把集合化简后，由，借助于数轴列方程组可解的值；（2）把是的充分条件转化为集合和集合之间的包含关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解的取值范围.‎ 10‎ 10‎