2018版高考数学(文)(人教)大一轮复习文档讲义:第九章9-8第3课时定点、定值、探索性问题

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2018版高考数学(文)(人教)大一轮复习文档讲义:第九章9-8第3课时定点、定值、探索性问题

第 3 课时 定点、定值、探索性问题 题型一 定点问题 例 1 (2017·长沙联考)已知椭圆 x2 a2+y2 b2=1(a>0,b>0)过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的 平方依次成等差数列.直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于点 Q、P,与椭圆分别交于点 M、 N,各点均不重合且满足PM → =λ1MQ → ,PN → =λ2NQ → . (1)求椭圆的标准方程; (2)若 λ1+λ2=-3,试证明:直线 l 过定点并求此定点. (1)解 设椭圆的焦距为 2c,由题意知 b=1,且(2a)2+(2b)2=2(2c)2, 又 a2=b2+c2,∴a2=3. ∴椭圆的方程为x2 3+y2=1. (2)证明 由题意设 P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1), N(x2,y2),设 l 方程为 x=t(y-m), 由PM → =λ1 MQ → 知(x1,y1-m)=λ1(x0-x1,-y1), ∴y1-m=-y1λ1,由题意 y1≠0,∴λ1=m y1-1. 同理由PN → =λ2 NQ → 知 λ2=m y2-1. ∵λ1+λ2=-3,∴y1y2+m(y1+y2)=0, ① 联立Error!得(t2+3)y2-2mt2y+t2m2-3=0, ∴由题意知 Δ=4m2t4-4(t2+3)(t2m2-3)>0, ② 且有 y1+y2=2mt2 t2+3,y1y2=t2m2-3 t2+3 , ③ ③代入①得 t2m2-3+2m2t2=0, ∴(mt)2=1, 由题意 mt<0,∴mt=-1,满足②, 得直线 l 方程为 x=ty+1,过定点(1,0),即 Q 为定点. 思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何 时没有关系,找到定点. (2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.  (2016·河北衡水中学调研)如图,已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离 心率 e= 2 2 ,F 是右焦点,A 是右顶点,B 是椭圆上一点,BF⊥x 轴,|BF|= 2 2 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l:x=ty+λ 是椭圆 C 的一条切线,点 M(- 2,y1),点 N( 2,y2)是切线 l 上两个点, 证明:当 t,λ 变化时,以 MN 为直径的圆过 x 轴上的定点,并求出定点坐标. 解 (1)由题意设椭圆方程为x2 a2+y2 b2=1(a>b>0), ① 焦点 F(c,0),因为c a= 2 2 , ② 将点 B(c, 2 2 )的坐标代入方程①得c2 a2+ 1 2b2=1. ③ 由②③结合 a2=b2+c2,得 a= 2,b=1. 故所求椭圆方程为x2 2+y2=1. (2)由Error!得(2+t2)y2+2tλy+λ2-2=0. 因为 l 为切线,所以 Δ=(2tλ)2-4(t2+2)(λ2-2)=0, 即 t2-λ2+2=0. ④ 设圆与 x 轴的交点为 T(x0,0), 则TM → =(- 2-x0,y1),TN → =( 2-x0,y2). 因为 MN 为圆的直径, 故TM → ·TN → =x20-2+y1y2=0. ⑤ 当 t=0 时,不符合题意,故 t≠0. 因为 y1= - 2-λ t ,y2= 2-λ t , 所以 y1y2=λ2-2 t2 ,代入⑤结合④得 TM → ·TN → = (x20-2)t2+λ2-2 t2 = (x20-1)t2 t2 , 要使上式为零,当且仅当 x20=1,解得 x0=±1. 所以 T 为定点,故动圆过 x 轴上的定点(-1,0)与(1,0), 即椭圆的两个焦点. 题型二 定值问题 例 2 (2016·广西柳州铁路一中月考)如图,椭圆有两顶点 A(-1,0),B(1,0),过其焦点 F(0,1) 的直线 l 与椭圆交于 C,D 两点,并与 x 轴交于点 P.直线 AC 与直线 BD 交于点 Q. (1)当|CD|=3 2 2时,求直线 l 的方程; (2)当点 P 异于 A,B 两点时,求证:OP → ·OQ → 为定值. (1)解 ∵椭圆的焦点在 y 轴上, 故设椭圆的标准方程为y2 a2+x2 b2=1(a>b>0), 由已知得 b=1,c=1,∴a= 2, ∴椭圆的方程为y2 2+x2=1. 当直线 l 的斜率不存在时,|CD|=2 2,与题意不符; 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx+1, C(x1,y1),D(x2,y2). 联立Error!化简得(k2+2)x2+2kx-1=0, 则 x1+x2=- 2k k2+2,x1·x2=- 1 k2+2. ∴|CD|= 1+k2 (x1+x2)2-4x1x2 = 1+k2· (- 2k k2+2 )2+4· 1 k2+2 =2 2(k2+1) k2+2 =3 2 2, 解得 k=± 2. ∴直线 l 的方程为 2x-y+1=0 或 2x+y-1=0. (2)证明 当直线 l 的斜率不存在时,与题意不符. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx+1(k≠0,k≠±1),C(x1,y1),D(x2,y2), ∴点 P 的坐标为(-1 k,0). 由(1)知 x1+x2=- 2k k2+2,x1x2=- 1 k2+2, 且直线 AC 的方程为 y= y1 x1+1(x+1), 直线 BD 的方程为 y= y2 x2-1(x-1), 将两直线方程联立,消去 y, 得x+1 x-1=y2(x1+1) y1(x2-1). ∵-1b>0)的离心率是1 2,其左,右顶点分 别为 A1,A2,B 为短轴的一个端点,△A1BA2 的面积为 2 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l:x=2 2与 x 轴交于 D,P 是椭圆 C 上异于 A1,A2 的动点,直线 A1P,A2P 分别交 直线 l 于 E,F 两点,求证:|DE|·|DF|为定值. (1)解 由已知,可得Error! 解得 a=2,b= 3. 故所求椭圆方程为x2 4+y2 3=1. (2)证明 由题意可得 A1(-2,0),A2(2,0). 设 P(x0,y0),由题意可得-21 4时,S△OPQ=8(4k2+1 4k2-1)=8(1+ 2 4k2-1)>8; 当 0≤k2<1 4时, S△OPQ=8(4k2+1 1-4k2)=8(-1+ 2 1-4k2). 因为 0≤k2<1 4,则 0<1-4k2≤1, 2 1-4k2≥2, 所以 S△OPQ=8(-1+ 2 1-4k2)≥8, 当且仅当 k=0 时取等号. 所以当 k=0 时,S△OPQ 的最小值为 8. 综合①②可知,当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值 8. 20.设而不求,整体代换 典例 (12 分)椭圆 C:x2 a2+y2 b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,离心率为 3 2 ,过 F1 且 垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1,PF2,设∠F1PF2 的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M(m,0),求 m 的取值范围; (3)在(2)的条件下,过点 P 作斜率为 k 的直线 l,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,设直 线 PF1、PF2 的斜率分别为 k1、k2,若 k2≠0,证明 1 kk1+ 1 kk2为定值,并求出这个定值. 思想方法指导 对题目涉及的变量巧妙地引进参数(如设动点坐标、动直线方程等),利用题 目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组,再化为一元二次方程,从而利用根与系数的 关系进行整体代换,达到“设而不求,减少计算”的效果,直接得定值. 规范解答 解 (1)由于 c2=a2-b2,将 x=-c 代入椭圆方程x2 a2+y2 b2=1,得 y=±b2 a . 由题意知2b2 a =1,即 a=2b2. 又 e=c a= 3 2 ,所以 a=2,b=1. 所以椭圆 C 的方程为x2 4+y2=1. [2 分] (2)设 P(x0,y0)(y0≠0), 又 F1(- 3,0),F2( 3,0), 所以直线 PF1,PF2 的方程分别为 :y0x-(x0+ 3)y+ 3y0=0, :y0x-(x0- 3)y- 3y0=0. 由题意知 |my0+ 3y0| y20+(x0+ 3)2 = |my0- 3y0| y20+(x0- 3)2 . 由于点 P 在椭圆上,所以x20 4+y20=1. 所以 |m+ 3| ( 3 2 x0+2)2 = |m- 3| ( 3 2 x0-2)2 . [4 分] 因为- 3b>0)的离心率 e= 2 2 ,短轴长为 2 2. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)如图,椭圆左顶点为 A,过原点 O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆 C 交于 P,Q 两点,直 线 PA,QA 分别与 y 轴交于 M,N 两点.试问以 MN 为直径的圆是否经过定点(与直线 PQ 的 斜率无关)?请证明你的结论. 解 (1)由短轴长为 2 2,得 b= 2, 由 e=c a= a2-b2 a = 2 2 , 得 a2=4,b2=2. 所以椭圆 C 的标准方程为x2 4+y2 2=1. (2)以 MN 为直径的圆过定点 F(± 2,0). 证明如下: 设 P(x0,y0),则 Q(-x0,-y0), 且x20 4+y20 2=1,即 x20+2y20=4, 因为 A(-2,0),所以直线 PA 方程为 y= y0 x0+2(x+2), 所以 M(0, 2y0 x0+2),直线 QA 方程为 y= y0 x0-2(x+2), 所以 N(0, 2y0 x0-2),以 MN 为直径的圆为(x-0)(x-0)+(y- 2y0 x0+2)(y- 2y0 x0-2)=0, 即 x2+y2-4x0y0 x20-4y+ 4y20 x20-4 =0, 因为 x20-4=-2y20,所以 x2+y2+2x0 y0y-2=0, 令 y=0,则 x2-2=0,解得 x=± 2. 所以以 MN 为直径的圆过定点 F(± 2,0). 2.(2016·安徽芜湖、马鞍山第一次质量检测)椭圆 E: x2 a2+y2 b2=1(a>b>0)的离心率为 3 3 ,点 ( 3, 2)为椭圆上的一点. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)若斜率为 k 的直线 l 过点 A(0,1),且与椭圆 E 交于 C,D 两点,B 为椭圆 E 的下顶点,求 证:对于任意的 k,直线 BC,BD 的斜率之积为定值. (1)解 因为 e= 3 3 ,所以 c= 3 3 a,a2=b2+( 3 3 a)2. ① 又椭圆过点( 3, 2),所以 3 a2+ 2 b2=1. ② 由①②,解得 a2=6,b2=4, 所以椭圆 E 的标准方程为x2 6+y2 4=1. (2)证明 设直线 l:y=kx+1, 联立Error! 得(3k2+2)x2+6kx-9=0. 设 C(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2=- 6k 3k2+2,x1x2=- 9 3k2+2, 易知 B(0,-2), 故 kBC·kBD=y1+2 x1 ·y2+2 x2 =kx1+3 x1 ·kx2+3 x2 =k2x1x2+3k(x1+x2)+9 x1x2 =k2+3k(x1+x2) x1x2 + 9 x1x2 =k2+3k·2k 3 -(3k2+2) =-2. 所以对于任意的 k,直线 BC,BD 的斜率之积为定值. 3.(2016·赣州一模)已知椭圆 C: x2 a2+y2 b2=1(a>b>0)与双曲线 x2 4-v + y2 1-v =1(1b>0), 把点(-2,0),( 2, 2 2 )代入得Error! 解得Error!所以 C1 的标准方程为x2 4+y2=1. (2)容易验证当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意. 当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y=k(x-1), 与 C1 的交点为 M(x1,y1),N(x2,y2). 由Error! 消去 y 并整理得(1+4k2)x2-8k2x+4(k2-1)=0, 于是 x1+x2= 8k2 1+4k2,① x1x2=4(k2-1) 1+4k2 .② 所以 y1y2=k2(x1-1)(x2-1) =k2[x1x2-(x1+x2)+1] =k2[4(k2-1) 1+4k2 - 8k2 1+4k2+1] =- 3k2 1+4k2,③ 由OM → ⊥ON → ,即OM → ·ON → =0, 得 x1x2+y1y2=0.(*) 将②③代入(*)式,得4(k2-1) 1+4k2 - 3k2 1+4k2 = k2-4 1+4k2=0, 解得 k=±2,所以存在直线 l 满足条件, 且直线 l 的方程为 2x-y-2=0 或 2x+y-2=0.
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