上海市徐汇区高考数学二模试卷

上海市徐汇区高考数学二模试卷

‎2017年上海市徐汇区高考数学二模试卷 一、填空题（满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）‎ ‎1．（4分）设全集U={1，2，3，4}，集合A={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，则∁UA=　　．‎ ‎2．（4分）参数方程为（t为参数）的曲线的焦点坐标为　　．‎ ‎3．（4分）已知复数z满足|z|=1，则|z﹣2i|的取值范围为　　．‎ ‎4．（4分）设数列{an}的前n项和为Sn，若（n∈N*），则=　　．‎ ‎5．（4分）若（n≥4，n∈N*）的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n=　　．‎ ‎6．（4分）把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为　　．（结果用最简分数表示）‎ ‎7．（5分）若行列式中元素4的代数余子式的值为，则实数x的取值集合为　　．‎ ‎8．（5分）满足约束条件|x|+2|y|≤2的目标函数z=y﹣x的最小值是　　．‎ ‎9．（5分）已知函数．若函数g（x）=f（x）﹣k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是　　．‎ ‎10．（5分）某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为　　元．‎ ‎11．（5分）如图，在△ABC中，M为BC上不同于B，C的任意一点，点N满足．若，则x2+9y2的最小值为　　．‎ ‎12．（5分）设单调函数y=p（x）的定义域为D，值域为A，如果单调函数y=q（x）使得函数y=p（q（x））的置于也是A，则称函数y=q（x）是函数y=p（x）的一个“保值域函数”．已知定义域为[a，b]的函数，函数f（x）与g（x）互为反函数，且h（x）是f（x）的一个“保值域函数”，g（x）是h（x）的一个“保值域函数”，则b﹣a=　　．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.‎ ‎13．（5分）“x＞1”是“”成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎14．（5分）《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（　　）‎ A．21斛 B．34斛 C．55斛 D．63斛 ‎15．（5分）函数y=﹣的图象按向量=（1，0）平移之后得到的函数图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的橫坐标之和等于（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎16．（5分）过椭圆（m＞4）右焦点F的圆与圆O：x2+y2=1外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹是（　　）‎ A．一条射线 B．两条射线 C．双曲线的一支 D．抛物线 ‎　‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）‎ ‎17．（15分）如图：在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AD=2．‎ ‎（1）求异面直线PC与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；‎ ‎（2）求点E、F分别是棱AD和PC的中点，求证：EF⊥平面PBC．‎ ‎18．（15分）已知函数是偶函数．‎ ‎（1）求实数m的值；‎ ‎（2）若关于x的不等式2k•f（x）＞3k2+1在（﹣∞，0）上恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎19．（15分）如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间B点处，丙船在最后面的C点处，且BC：AB=3：1．一架无人机在空中的P点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得∠APB=30°，∠BPC=90°．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）‎ ‎（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；‎ ‎（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）‎ ‎20．（15分）如图：椭圆=1与双曲线=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F1、F2，它们在y轴右侧有两个交点A、B，满足=0．将直线AB左侧的椭圆部分（含A，B两点）记为曲线W1，直线AB右侧的双曲线部分（不含A，B两点）记为曲线W2．以F1为端点作一条射线，分别交W1于点P（xP，yP），交W2于点M（xM，yM）（点M在第一象限），设此时．‎ ‎（1）求W2的方程；‎ ‎（2）证明：xP=，并探索直线MF2与PF2斜率之间的关系；‎ ‎（3）设直线MF2交W1于点N，求△MF1N的面积S的取值范围．‎ ‎21．（16分）现有正整数构成的数表如下：‎ 第一行：1‎ 第二行：12‎ 第三行：1123‎ 第四行：11211234‎ 第五行：1121123112112345‎ ‎…‎ 第k行：先抄写第1行，接着按原序抄写第2行，然后按原序抄写第3行，…，直至按原序抄写第k﹣1行，最后添上数k．（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）．‎ 将按照上述方式写下的第n个数记作an（如a1=1，a2=1，a3=2，a4=1，…，a7=3，…，a14=3，a15=4，…）‎ ‎（1）用tk表示数表第k行的数的个数，求数列{tk}的前k项和Tk；‎ ‎（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用表示第8行中的第73个数，试求n0和的值；若不是，请说明理由；‎ ‎（3）令Sn=a1+a2+a3+…+an，求S2017的值．‎ ‎　‎ ‎2017年上海市徐汇区高考数学二模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.‎ ‎1．（4分）（2017•徐汇区二模）设全集U={1，2，3，4}，集合A={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，则∁UA=　{1，4}　．‎ ‎【分析】求出集合A中的元素，从而求出A的补集即可．‎ ‎【解答】解：U={1，2，3，4}，‎ A={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}={x|1＜x＜4，x∈Z}={2，3}，‎ 则∁UA={1，4}，‎ 故答案为：{1，4}．‎ ‎【点评】本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）（2017•徐汇区二模）参数方程为（t为参数）的曲线的焦点坐标为　（1，0）　．‎ ‎【分析】根据题意，将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得该曲线为抛物线，其焦点在x轴上，且p=2，由抛物线焦点坐标公式，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，曲线的参数方程为（t为参数），‎ 则其普通方程为：y2=4x，‎ 即该曲线为抛物线，其焦点在x轴上，且p=2；‎ 则其焦点坐标为（1，0）；‎ 故答案为：（1，0）‎ ‎【点评】本题考查抛物线的参数方程，关键是将抛物线的参数方程转化为标准方程．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）（2017•徐汇区二模）已知复数z满足|z|=1，则|z﹣2i|的取值范围为　[1，3]　．‎ ‎【分析】利用公式：||z1|﹣|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|‎ ‎，以及条件中对应的复数的模进行求解．‎ ‎【解答】解：根据复数模的性质：||z1|﹣|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|，‎ ‎∵|z|=1，|z﹣2i|，∴z2=﹣2i，∴|z2|=2，‎ ‎∴1≤|z﹣2i|≤3，即|z﹣2i|的取值范围为[1，3]，‎ 故答案为：[1，3]．‎ ‎【点评】本题考查了复数模的性质应用，即根据条件求出对应的复数模，代入公式进行求解．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）（2017•徐汇区二模）设数列{an}的前n项和为Sn，若（n∈N*），则=　1　．‎ ‎【分析】利用数列递推关系、等比数列的求和公式、极限运算性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵（n∈N*），∴n=1时，，解得a1=．‎ n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=1﹣﹣，化为：=．‎ ‎∴数列{an}是等比数列，首项为，公比为．‎ ‎∴==1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）（2017•徐汇区二模）若（n≥4，n∈N*）的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n=　8　．‎ ‎【分析】（n≥4，n∈N*）的二项展开式中前三项的系数依次为：1，，，由于此三个数成等差数列，可得2×=1+，解出即可得出．‎ ‎【解答】解：（n≥4，n∈N*）的二项展开式中前三项的系数依次为：1，，，‎ 由于此三个数成等差数列，∴2×=1+，‎ 化为：n2﹣9n+8=0，解得n=8或1（舍去）．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点评】本题考查了二项式定理的应用、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）（2017•徐汇区二模）把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为　　．（结果用最简分数表示）‎ ‎【分析】先求出基本事件总数，再求出抽到写着偶数或大于6的数的卡片包含的基本事件个数，由此能求出抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率．‎ ‎【解答】解：把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10张形状大小一样的卡片上，‎ 随机抽取一张卡片，‎ 基本事件总数n=10，‎ 抽到写着偶数或大于6的数的卡片包含的基本事件个数为7，‎ 则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2017•徐汇区二模）若行列式中元素4的代数余子式的值为，则实数x的取值集合为　　．‎ ‎【分析】求得元素4的代数余子式，展开，利用二倍角公式，及特殊角的三角函数值，即可求得实数x的取值集合．‎ ‎【解答】解：行列式中元素4的代数余子式A13==，‎ 则cos2﹣sin2=，则cosx=，‎ 解得：x=2kπ±，k∈Z，‎ 实数x的取值集合，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查行列式的代数余子式求法，行列式的展开，二倍角公式，特殊角的三角形函数值，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2012•上海）满足约束条件|x|+2|y|≤2的目标函数z=y﹣x的最小值是　﹣2　．‎ ‎【分析】作出约束条件对应的平面区域，由z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y轴上的截距，解决越小，z越小，结合图形可求 ‎【解答】解：作出约束条件对应的平面区域，如图所示 由于z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y轴上的截距，截距越小，z越小 结合图形可知，当直线y=x+z过C时z最小，由可得C（2，0），此时Z=﹣2最小 故答案为：﹣2‎ ‎【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2017•徐汇区二模）已知函数．若函数g（x）=f（x）﹣k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是　　．‎ ‎【分析】由题意可得函数f（x）的图象与直线y=k有二个不同的交点，结合图象求出实数k的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象与直线y=k有二个不同的交点，如图所示：‎ 故实数k的取值范围是，‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2017•徐汇区二模）某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为　8800　元．‎ ‎【分析】由题意知这8位员工月工资的中位数取最大值时，两人的月工资一个大于9100，另一个小于8500，由此能求出这8位员工月工资的中位数的最大值．‎ ‎【解答】解：由题意知这8位员工月工资的中位数取最大值时，‎ 两人的月工资一个大于9100，另一个小于8500，‎ 此时这8位员工月工资的中位数取最大值为：=8800．‎ 故答案为：8800．‎ ‎【点评】本题考查中位数的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2017•徐汇区二模）如图，在△ABC中，M为BC上不同于B，C的任意一点，点N满足．若，则x2+9y2的最小值为　　．‎ ‎【分析】不妨设=λ，0＜λ＜1，根据向量的加减的几何意义可得x=，y=，代入得到x2+9y2=（λ﹣）2+，即可求出最值．‎ ‎【解答】解：不妨设=λ，0＜λ＜1，‎ ‎∴==（+）=+=+（﹣）=+，‎ ‎∵，‎ ‎∴x=，y=，‎ ‎∴x2+9y2=+4λ2=λ2﹣+=（λ﹣）2+，‎ 当λ=时，x2+9y2有最小值，最小值为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了向量的加减的几何意义以及二次函数的性质，属于中档题 ‎　‎ ‎12．（5分）（2017•徐汇区二模）设单调函数y=p（x）的定义域为D，值域为A，如果单调函数y=q（x）使得函数y=p（q（x））的置于也是A，则称函数y=q（x）是函数y=p（x）的一个“保值域函数”．已知定义域为[a，b]的函数，函数f（x）与g（x）互为反函数，且h（x）是f（x）的一个“保值域函数”，g（x）是h（x）的一个“保值域函数”，则b﹣a=　1　．‎ ‎【分析】由定义可知y=q（x）的值域为y=p（x）的定义域，根据h（x）单调性得出a，b的范围，求出h（x）的值域，从而得出f（x）的定义域和g（x）的值域，再根据反函数的性质列方程即可解出a，b．‎ ‎【解答】解：由“保值域函数”的定义可知y=q（x）的值域为y=p（x）的定义域，‎ ‎∵h（x）是定义在[a，b]上的单调函数，∴a＞3或b＜3．‎ ‎（1）若a＞3，则h（x）单调递减，∴h（x）的值域为[，]，‎ ‎∵h（x）是f（x）的一个“保值域函数”，g（x）是h（x）的一个“保值域函数”，‎ ‎∴f（x）的定义域为[，]，g（x）的值域为[a，b]，‎ ‎∵函数f（x）与g（x）互为反函数，‎ ‎∴，整理得a=b，与b＞a矛盾（舍）．‎ ‎（2）若b＜3，则h（x）单调递增，∴h（x）的值域为[，]，‎ 同（1）可得，解得a=1，b=2．‎ ‎∴b﹣a=1．‎ 故答案为1．‎ ‎【点评】本题考查了对新定义的理解，函数定义域与值域的计算，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.‎ ‎13．（5分）（2017•徐汇区二模）“x＞1”是“”成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：若x＞1，则0＜，则成立，即充分性成立，‎ 若当x＜0时，成立，但x＞1不成立，即必要性不成立，‎ 即“x＞1”是“”成立的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2017•徐汇区二模）《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（　　）‎ A．21斛 B．34斛 C．55斛 D．63斛 ‎【分析】根据米堆的底部的弧度即底面圆周的四分之一为8尺，可求出圆锥的底面半径，从而计算出米堆的体积，用体积除以每斛的体积即可求得斛数．‎ ‎【解答】解：设米堆所在圆锥的底面半径为r尺，‎ 则×2πr=8，解得：r=，‎ 所以米堆的体积为V=×πr2×5=≈35.56，‎ 所以米堆的斛数是≈21，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】考查了圆锥的计算及弧长的计算，解题的关键是从实际问题中抽象出圆锥的知识，难度不大．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2017•徐汇区二模）函数y=﹣的图象按向量=（1，0）平移之后得到的函数图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的橫坐标之和等于（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【分析】y1=的图象由奇函数y=﹣的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．‎ ‎【解答】解：函数y=﹣的图象按向量=（1，0）平移之后得到函数y1=，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图：‎ 当1＜x≤4时，y1＜0，‎ 而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，‎ 在（1，）和（，）上是减函数；‎ 在（，）和（，4）上是增函数．‎ ‎∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H，‎ 相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D，‎ 且：xA+xH=xB+xG═xC+xF=xD+xE=2，故所求的横坐标之和为8，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2017•徐汇区二模）过椭圆（m＞4）右焦点F的圆与圆O：x2+y2=1外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹是（　　）‎ A．一条射线 B．两条射线 C．双曲线的一支 D．抛物线 ‎【分析】由题意可知：丨QF1丨=2丨OC丨，丨QF丨=2丨CF丨，丨QF1丨﹣丨QF丨=2＜丨FF1丨=4，则Q的轨迹为以F，F1为焦点的双曲线的右支．‎ ‎【解答】解：椭圆（m＞4）右焦点F（2，0），左焦点F1（﹣2，0）‎ 椭圆右焦点F的圆，圆心C，连接OC，则OC为△FQF1中位线，‎ 由丨QF1丨=2丨OC丨，丨QF丨=2丨CF丨，‎ 则丨QF1丨﹣丨QF丨=2（丨OC丨﹣丨CF丨）=2＜丨FF1丨=4，‎ 则Q的轨迹为以F，F1为焦点的双曲线的右支，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的性质，考查双曲线的定义，考查数形结合思想，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.‎ ‎17．（15分）（2017•徐汇区二模）如图：在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥‎ 平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AD=2．‎ ‎（1）求异面直线PC与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；‎ ‎（2）求点E、F分别是棱AD和PC的中点，求证：EF⊥平面PBC．‎ ‎【分析】（1）以点A为原点，以AB方向为x轴正方向，AD方向为y轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC与AB所成角的大小．‎ ‎（2）求出，，，利用向量法能证明EF⊥平面PBC．‎ ‎【解答】解：（1）以点A为原点，以AB方向为x轴正方向，AD方向为y轴正方向，建立空间直角坐标系，‎ 则P（0，0，2），A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）‎ 所以，，，‎ 设，的夹角为α，‎ 则，‎ 所以，的夹角为，‎ 即异面直线PC与AB所成角的大小为．‎ 证明：（2）因为点E、F分别是棱AD和PC的中点，‎ 可得E（0，1，0），F（1，1，1），所以，‎ 又，，‎ 计算可得，，‎ 所以，EF⊥PC，EF⊥BC，又PC∩BC=C，‎ 所以EF⊥平面PBC．‎ ‎【点评】本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查化归转化思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（15分）（2017•徐汇区二模）已知函数是偶函数．‎ ‎（1）求实数m的值；‎ ‎（2）若关于x的不等式2k•f（x）＞3k2+1在（﹣∞，0）上恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎【分析】（1）运用偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），化简整理可得m的值；‎ ‎（2）由题意可得在（﹣∞，0）上恒成立，求出右边函数的取值范围，可得k的不等式，解不等式即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：（1）因为函数即f（x）=m•2x+2﹣x是定义域为R的偶函数，‎ 所以有f（﹣x）=f（x），‎ 即m•2﹣x+2x=m•2x+2﹣x，‎ 即（m﹣1）（2x﹣2﹣x）=0恒成立，‎ 故m=1．‎ ‎（2），‎ 且2k•f（x）＞3k2+1在（﹣∞，0）上恒成立，‎ 故原不等式等价于在（﹣∞，0）上恒成立，‎ 又x∈（﹣∞，0），所以f（x）∈（2，+∞），‎ 所以，‎ 从而≥，即有3k2﹣4k+1≤0，‎ 因此，．‎ ‎【点评】本题考查函数的性质，注意定义法的运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离，以及基本不等式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（15分）（2017•徐汇区二模）如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间B点处，丙船在最后面的C点处，且BC：AB=3：1．一架无人机在空中的P点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得∠APB=30°，∠BPC=90°．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）‎ ‎（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；‎ ‎（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）‎ ‎【分析】（1）利用正弦定理，即可求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；‎ ‎（2）若此时甲、乙两船相距100米，由余弦定理求无人机到丙船的距离．‎ ‎【解答】解：（1）在△APB中，由正弦定理，得，，‎ 在△BPC中，由正弦定理，得，‎ 又，sin∠ABP=sin∠CBP，‎ 故．即无人机到甲、丙两船的距离之比为．‎ ‎（2）由BC：AB=3：1得AC=400，且∠APC=120°，‎ 由（1），可设AP=2x，则CP=3x，‎ 在△APC中，由余弦定理，得160000=（2x）2+（3x）2﹣2（2x）（3x）cos120°，‎ 解得，‎ 即无人机到丙船的距离为≈275米．‎ ‎【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（15分）（2017•徐汇区二模）如图：椭圆=1与双曲线=1（a＞0，b＞‎ ‎0）有相同的焦点F1、F2，它们在y轴右侧有两个交点A、B，满足=0．将直线AB左侧的椭圆部分（含A，B两点）记为曲线W1，直线AB右侧的双曲线部分（不含A，B两点）记为曲线W2．以F1为端点作一条射线，分别交W1于点P（xP，yP），交W2于点M（xM，yM）（点M在第一象限），设此时．‎ ‎（1）求W2的方程；‎ ‎（2）证明：xP=，并探索直线MF2与PF2斜率之间的关系；‎ ‎（3）设直线MF2交W1于点N，求△MF1N的面积S的取值范围．‎ ‎【分析】（1）由条件，得F2（1，0），根据知，F2、A、B三点共线，且由椭圆与双曲线的对称性知，A、B关于x轴对称，故AB所在直线为x=1，从而得A，B坐标．可得，又因为F2为双曲线的焦点，可得a2+b2=1，解出即可得出．‎ ‎（2）由P（xP，yP）M（xM，yM），得，，利用．可得xM，yM．由P（xP，yP），M（xM，yM）分别在曲线W1和W2上，代入消去yP得：（*），将代入方程（*），可得xP．从而得到P点坐标．再利用斜率计算公式即可证明．‎ ‎（3）由（2）知直线PF2与NF2关于x轴对称，结合椭圆的对称性知点P与点N关于x轴对称，可得N坐标．可得，即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由条件，得F2（1，0），根据知，F2、A、B三点共线，‎ 且由椭圆与双曲线的对称性知，A、B关于x轴对称，‎ 故AB所在直线为x=1，从而得，．‎ 所以，，又因为F2为双曲线的焦点，所以a2+b2=1，‎ 解得．‎ 因此，W2的方程为．‎ ‎（2）证明：由P（xP，yP）M（xM，yM），得，，‎ 由条件，得，即，‎ 由P（xP，yP）M（xM，yM）分别在曲线W1和W2上，有，，消去yP，得，（*），‎ 将代入方程（*），成立，因此（*）有一根，结合韦达定理得另一根为，因为m＞1，所以，舍去．‎ 所以，．‎ 从而P点坐标为．‎ 所以，直线PF2的斜率，‎ 由xM=mxP+m﹣1=m，得．‎ 所以，直线MF2的斜率．‎ 因此，MF2与PF2斜率之和为零．‎ ‎（3）由（2）知直线PF2与NF2关于x轴对称，结合椭圆的对称性知点P与点N关于x轴对称，故，‎ 因此，=，=，‎ 因为S在（1，+∞）上单调递增，‎ 所以S的取值范围是．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、斜率计算公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎21．（16分）（2017•徐汇区二模）现有正整数构成的数表如下：‎ 第一行：1‎ 第二行：12‎ 第三行：1123‎ 第四行：11211234‎ 第五行：1121123112112345‎ ‎…‎ 第k行：先抄写第1行，接着按原序抄写第2行，然后按原序抄写第3行，…，直至按原序抄写第k﹣1行，最后添上数k．（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）．‎ 将按照上述方式写下的第n个数记作an（如a1=1，a2=1，a3=2，a4=1，…，a7=3，…，a14=3，a15=4，…）‎ ‎（1）用tk表示数表第k行的数的个数，求数列{tk}的前k项和Tk；‎ ‎（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用表示第8行中的第73个数，试求n0和的值；若不是，请说明理由；‎ ‎（3）令Sn=a1+a2+a3+…+an，求S2017的值．‎ ‎【分析】（1）根据题意先求出{tk}的通项公式，再根据等比数列的求和公式计算即可，‎ ‎（2）由得第8行中共有27=128个数，得到第8行中的数超过73个，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73﹣63=10个数，同上过程知a73=a10=2，即可求出答案，‎ ‎（3）根据错位相减法求出得=2n+1﹣n﹣2，再逐一展开得到S2017=（211﹣12）+（210﹣11）+（29﹣10）+（28﹣9）+（27﹣8）+（26﹣7）+（24﹣5），即可求出．‎ ‎【解答】解：（1）当k≥2时，tk=t1+t2+…+tk﹣1+1，tk+1=t1+t2+…+tk+1，‎ 于是tk+1﹣tk=t1，即tk+1=2tk，又t2=2t1，t1=1‎ 所以，‎ 故．‎ ‎（2）由得第8行中共有27=128个数，‎ 所以，第8行中的数超过73个，‎ ‎，‎ 从而，，‎ 由26﹣2=63＜73，27﹣1=127＞73，‎ 所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73﹣63=10个数，同上过程知a73=a10=2，‎ 所以，．‎ ‎（3）由于数表的前n行共有2n﹣1个数，于是，先计算．‎ 在前2n﹣1个数中，共有1个n，2个n﹣1，22个n﹣2，…，2n﹣k个k，…，2n﹣1个1，‎ 因此…+2×2n﹣2+1×2n﹣1，‎ 则+k×2k+1+…+2×2n﹣1﹣n﹣2，‎ 两式相减，得=2n+1﹣n﹣2．‎ ‎∴S2017=+S994，‎ ‎=++S483，‎ ‎=+++S228，‎ ‎=++++S101，‎ ‎=+++++S38，‎ ‎=++++++S7，‎ ‎=（211﹣12）+（210﹣11）+（29﹣10）+（28﹣9）+（27﹣8）+（26﹣7）+（24﹣5）‎ ‎=3986‎ ‎【点评】本题考查新定义的应用，以及等比数列的通项公式公式和求和公式，以及错位相减法，考查了学生的运算能力和转化能力，属于难题．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：刘老师；danbo7801；gongjy；沂蒙松；zlzhan；铭灏2016；邢新丽；lcb001；whgcn；zhczcb；maths；w3239003；双曲线（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2017年5月27日