高考真题分类汇编——统计与概率

高考真题分类汇编——统计与概率

‎2019年普通高等学校招生全国统一考试试题 分类汇编———统计与概率 ‎6.（全国卷Ⅰ理6）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有个阳爻的概率是（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ 答案：‎ A 解答：‎ 每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有种，在个位置上恰有个是阳爻的情况有种，所以.‎ ‎15. （全国卷Ⅰ理15）甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛相互独立，则甲队以获胜的概率是 .‎ 答案：‎ 解答：‎ 甲队要以，则甲队在前4场比赛中输一场，第5场甲获胜，由于在前4场比赛中甲有2个主场2个客场，于是分两种情况：‎ ‎.‎ ‎21．（全国卷Ⅰ理21）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮实验中甲药的得分记为．‎ ‎（1）求的分布列；‎ ‎（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．‎ ‎（i）证明：为等比数列；‎ ‎（ii）求，并根据的值解释这种实验方案的合理性．‎ 答案：‎ ‎（1）略；（2）略 解答：‎ ‎（1）一轮实验中甲药的得分有三种情况：、、．‎ 得分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则；‎ 得分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则；‎ 得分时是都治愈或都未治愈，则．‎ 则的分布列为：‎ ‎（2）（i）因为，，‎ 则，，．‎ 可得，则，‎ 则，则，‎ 所以为等比数列．‎ ‎（ii）的首项为，那么可得：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎………………‎ ‎，‎ 以上7个式子相加，得到，‎ 则，则，‎ 再把后面三个式子相加，得，‎ 则．‎ 表示“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”，因为，，，则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”这种情况的概率是非常小的，而的确非常小，说明这种实验方案是合理的．‎ ‎6. （全国卷Ⅰ文6）某学校为了解名新生的身体素质，将这些学生编号为，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取名学生进行体质测验，若号学生被抽到，则下面名学生中被抽到的是（ ）. ‎ A.号学生 B.号学生 C.号学生 D.号学生 答案：‎ C 解答：‎ 从名学生中抽取名，每人抽一个，号学生被抽到，则抽取的号数就为，可得出号学生被抽到.‎ ‎17. （全国卷Ⅰ文17）某商场为提高服务质量，随机调查了名男顾客和名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： ‎ 满 意 不 满 意 ‎ 男 顾 客 女 顾 客 （1） 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；‎ （2） 能否有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？‎ 附：‎ 答案：‎ ‎(1)男顾客的的满意概率为 女顾客的的满意概率为 ‎(2) 有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.‎ 解答： (1)男顾客的的满意概率为 女顾客的的满意概率为.‎ ‎(2) ‎ 有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.‎ ‎5. （全国卷Ⅱ理5）演讲比赛共有9位评委分别给出某位选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分。7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）‎ A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 答案：‎ A 解答：‎ 由于共9个评委，将评委所给分数从小到大排列，中位数是第5个，假设为，去掉一头一尾的最低和最高分后，中位数还是，所以不变的是数字特征是中位数。其它的数字特征都会改变。‎ ‎13. （全国卷Ⅱ理13）我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20 个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .‎ 答案：‎ ‎0.98‎ 解答：‎ 经停该站的列出共有40个车次，所有车次的平均正点率的估计值为。‎ ‎18. （全国卷Ⅱ理18）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)求事件“且甲获胜”的概率.‎ 答案：‎ （1） ‎；（2） ‎ 解析：‎ ‎(1)时，有两种可能：‎ ‎①甲连赢两局结束比赛，此时；‎ ‎②乙连赢两局结束比赛，此时，‎ ‎∴；‎ ‎(2)且甲获胜，即只有第二局乙获胜，其他都是甲获胜，‎ 此时.‎ ‎4. （全国卷Ⅱ文4）生物实验室有只兔子，其中只有只测量过某项指标.若从这只兔子中随机取出只，则恰有只测量过该指标的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 答案：‎ B 解答：‎ 计测量过的3只兔子为、、，设测量过的只兔子为、则3只兔子的种类有,则恰好有两只测量过的有种，所以其概率为.‎ ‎14. （全国卷Ⅱ文14）我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有个车次的正点率为，有个车次的正点率为，有个车次的正点率为，则经停该站的高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .‎ 答案：‎ 解答：‎ 平均正点率的估计值.‎ ‎19. （全国卷Ⅱ文19）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率的频数分布表.‎ 的分组 企业数 ‎（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；‎ ‎（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）‎ 附：.‎ 答案：‎ 详见解析 解答:‎ ‎（1）这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例是，‎ 这类企业中产值负增长的企业比例是.‎ ‎（2）这类企业产值增长率的平均数是 这类企业产值增长率的方差是 所以这类企业产值增长率的标准差是.‎ ‎3. （全国卷Ⅲ理3文4）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 答案：‎ C 解答：‎ ‎17. （全国卷Ⅲ理17文17）为了解甲，乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同，摩尔溶度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据实验数据分别得到如下直方图：‎ 记为事件“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.70.‎ （1） 求乙离子残留百分比直方图中的值；‎ （2） 分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.‎ 答案：‎ 见解析 解答:‎ （1） 依题意得，解得.‎ （2） ‎ ‎ 得到甲离子残留百分比的平均值为4.05,，乙离子残留百分比的平均值为5.7.‎ ‎17.（北京卷理17）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：‎ 交付金额（元）‎ 支付方式 ‎（0,1000]‎ ‎（1000,2000]‎ 大于2000‎ 仅使用A ‎18人 ‎9人 ‎3人 仅使用B ‎10人 ‎14人 ‎1人 ‎（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；‎ ‎（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2‎ 人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；‎ ‎(Ⅱ)见解析；‎ ‎(Ⅲ)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值；‎ ‎(Ⅱ)首先确定X可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后求解数学期望即可.‎ ‎(Ⅲ)由题意结合概率的定义给出结论即可.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：人，则：‎ 该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率.‎ ‎(Ⅱ)由题意可知，‎ 仅使用A支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占，‎ 仅使用B支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占，‎ 且X可能的取值为0,1,2.‎ ‎，，，‎ X分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 其数学期望：.‎ ‎(Ⅲ)我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下：‎ 随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率。‎ 学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”.‎ ‎【点睛】本题以支付方式相关调查来设置问题，考查概率统计在生活中的应用，考查概率的定义和分布列的应用，使学生体会到数学与现实生活息息相关.‎ ‎17. （北京卷文17）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：‎ 支付金额 支付方式 不大于2000元 大于2000元 仅使用A ‎27人 ‎3人 仅使用B ‎24人 ‎1人 ‎（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；‎ ‎（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；‎ ‎（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）400人；‎ ‎（Ⅱ）；‎ ‎（Ⅲ）见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意利用频率近似概率可得满足题意的人数；‎ ‎(Ⅱ)利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于2000元的概率；‎ ‎(Ⅲ)结合概率统计相关定义给出结论即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由图表可知仅使用A的人数有30人，仅使用B的人数有25人，‎ 由题意知A,B两种支付方式都不使用的有5人，‎ 所以样本中两种支付方式都使用的有，‎ 所以全校学生中两种支付方式都使用的有（人）.‎ ‎（Ⅱ）因为样本中仅使用B的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元，‎ 所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知支付金额大于2000元的概率为，‎ 因为从仅使用B的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，‎ 依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多.‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎16.（天津卷理16）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.‎ ‎（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.‎ ‎16.本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.‎ ‎（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而.‎ 所以，随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 随机变量的数学期望.‎ ‎（Ⅱ）解：设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，则，且 ‎.由题意知事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，从而由（Ⅰ）知 ‎ .‎ ‎15.（天津卷文15）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况.‎ ‎（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？‎ ‎（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如右表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.‎ 员工 项目 A B C D E F 子女教育 ‎○‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎○‎ 继续教育 ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎○‎ 大病医疗 ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ 住房贷款利息 ‎○‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎○‎ 住房租金 ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ 赡养老人 ‎○‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；‎ ‎（ⅱ）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率.‎ ‎15.本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，满分13分.‎ 解：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员中分别抽取6人，9人，10人.‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为 ‎，共15种.‎ ‎（ⅱ）由表格知，符合题意的所有可能结果为 ‎，共11种.‎ 所以，事件发生的概率 ‎7.（浙江卷7）设，则随机变量的分布列是：‎ 则当在内增大时（ ）‎ A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.‎ ‎【详解】方法1：由分布列得，则 ‎，则当在内增大时，先减小后增大.‎ 方法2：则 故选D.‎ ‎【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.‎ ‎5.（江苏卷5）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.‎ ‎【详解】由题意，该组数据的平均数为，‎ 所以该组数据的方差是.‎ ‎【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.‎ ‎6. （江苏卷6）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.‎ ‎【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有种情况.‎ 若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况，‎ 若选出的2名学生都是女生，有种情况，‎ 所以所求的概率为.‎ ‎【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.‎ ‎25. （江苏卷25）在平面直角坐标系xOy中，设点集，令.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.‎ ‎（1）当n=1时，求X的概率分布；‎ ‎（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.‎ ‎【答案】（1）见解析；‎ ‎（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意首先确定X可能的取值，然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列；‎ ‎(2)将原问题转化为对立事件的问题求解的值，据此分类讨论①.，②.，③.，④.四种情况确定满足的所有可能的取值，然后求解相应的概率值即可确定的值.‎ ‎【详解】（1）当时，X的所有可能取值是．‎ X的概率分布为，‎ ‎．‎ ‎（2）设和是从中取出的两个点．‎ 因为，所以仅需考虑的情况．‎ ‎①若，则，不存在的取法；‎ ‎②若，则，所以当且仅当，此时或，有2种取法；‎ ‎③若，则，因为当时，，所以当且仅当，此时或，有2种取法；‎ ‎④若，则，所以当且仅当，此时或，有2种取法．‎ 综上，当时，X的所有可能取值是和，且 ‎．‎ 因此，．‎ ‎【点睛】本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．‎