2008年天津市高考数学试卷(理科)

2008年天津市高考数学试卷(理科)

‎2008年天津市高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1．（5分）i是虚数单位，=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i ‎2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎3．（5分）设函数，则函数f（x）是（　　）‎ A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 ‎4．（5分）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（　　）‎ A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β ‎5．（5分）设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为（　　）‎ A．6 B．2 C． D．‎ ‎6．（5分）设集合S={x||x﹣2|＞3}，T={x|a＜x＜a+8}，S∪T=R，则a的取值范围是（　　）‎ A．﹣3＜a＜﹣1 B．﹣3≤a≤﹣1 C．a≤﹣3或a≥﹣1 D．a＜﹣3或a＞﹣1‎ ‎7．（5分）设函数的反函数为f﹣1（x），则（　　）‎ A．f﹣1（x）在其定义域上是增函数且最大值为1‎ B．f﹣1（x）在其定义域上是减函数且最小值为0‎ C．f﹣1（x）在其定义域上是减函数且最大值为1‎ D．f﹣1（x）在其定义域上是增函数且最小值为0‎ ‎8．（5分）已知函数，则不等式x+（x+1）f（x+1）≤1的解集是（　　）‎ A． B．{x|x≤1} C． D．‎ ‎9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数．令a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则（　　）‎ A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c ‎10．（5分）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（　　）‎ A．1344种 B．1248种 C．1056种 D．960种 ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎11．（4分）在（x﹣）5的二次展开式中，x2的系数为　　（用数字作答）．‎ ‎12．（4分）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为　　．‎ ‎13．（4分）已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．直线4x﹣3y﹣2=0与圆C相交于A、B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为　　．‎ ‎14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，，则=　　．‎ ‎15．（4分）已知数列{an}中，，则=　　．‎ ‎16．（4分）设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax+logay=c，这时a的取值的集合为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分76分）‎ ‎17．（12分）已知cos（x﹣）=，x∈（，）．‎ ‎（1）求sinx的值；‎ ‎（2）求sin（2x）的值．‎ ‎18．（12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．‎ ‎（Ⅰ）求乙投球的命中率p；‎ ‎（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．‎ ‎（Ⅰ）证明AD⊥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求二面角P﹣BD﹣A的大小．‎ ‎20．（12分）已知函数，其中a，b∈R．‎ ‎（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅲ）若对于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，求b的取值范围．‎ ‎21．（14分）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（﹣3，0），一条渐近线的方程是．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若以k（k≠0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．‎ ‎22．（14分）在数列{an}与{bn}中，a1=1，b1=4，数列{an}的前n项和Sn满足nSn+1﹣（n+3）Sn=0，2an+1为bn与bn+1的等比中项，n∈N*．‎ ‎（Ⅰ）求a2，b2的值；‎ ‎（Ⅱ）求数列{an}与{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）设．证明|Tn|＜2n2，n≥3．‎ ‎　‎ ‎2008年天津市高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1．（5分）（2008•天津）i是虚数单位，=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i ‎【分析】复数的分子复杂，先化简，然后再化简整个复数，可得到结果．‎ ‎【解答】解：，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2008•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=5x+y的最小值．‎ ‎【解答】解：满足约束条件的可行域如图，‎ 由图象可知：‎ 目标函数z=5x+y过点A（1，0）时 z取得最大值，zmax=5，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2008•天津）设函数，则函数f（x）是（　　）‎ A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 ‎【分析】首先利用余弦的二倍角公式把原函数转化为y=Asinωx的形式，然后由y=Asinωx的性质得出相应的结论．‎ ‎【解答】解：f（x）=‎ ‎=﹣‎ ‎=﹣sin2x 所以T=π，且为奇函数．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2008•天津）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（　　）‎ A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β ‎【分析】根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．‎ ‎【解答】解：A、B、D的反例如图．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2008•天津）设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为（　　）‎ A．6 B．2 C． D．‎ ‎【分析】根据椭圆定义，求出m，利用第二定义求出到右准线的距离，注意右焦点右准线的对应关系．‎ ‎【解答】解：由椭圆第一定义知a=2，所以m2=4，‎ 椭圆方程为 所以d=2，故选B ‎　‎ ‎6．（5分）（2008•天津）设集合S={x||x﹣2|＞3}，T={x|a＜x＜a+8}，S∪T=R，则a的取值范围是（　　）‎ A．﹣3＜a＜﹣1 B．﹣3≤a≤﹣1 C．a≤﹣3或a≥﹣1 D．a＜﹣3或a＞﹣1‎ ‎【分析】根据题意，易得S={x|x＜﹣1或x＞5}，又有S∪T=R，可得不等式组，解可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，S={x||x﹣2|＞3}={x|x＜﹣1或x＞5}，‎ 又有S∪T=R，‎ 所以，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2008•天津）设函数的反函数为f﹣1（x），则（　　）‎ A．f﹣1（x）在其定义域上是增函数且最大值为1‎ B．f﹣1（x）在其定义域上是减函数且最小值为0‎ C．f﹣1（x）在其定义域上是减函数且最大值为1‎ D．f﹣1（x）在其定义域上是增函数且最小值为0‎ ‎【分析】根据本题所给出的选项，利用排除法比较方便，这样可以简化直接求解带来的繁琐．‎ ‎【解答】解：∵为减函数，‎ 由复合函数单调性知f（x）为增函数，‎ ‎∴f﹣1（x）单调递增，排除B、C；‎ 又f﹣1（x）的值域为f（x）的定义域，‎ ‎∴f﹣1（x）最小值为0‎ 故选D ‎　‎ ‎8．（5分）（2008•天津）已知函数，则不等式x+（x+1）f（x+1）≤1的解集是（　　）‎ A． B．{x|x≤1} C． D．‎ ‎【分析】对f（x+1）中的x分两类，即当x+1＜0，和x+1≥0时分别解不等式可得结果．‎ ‎【解答】解：依题意得 所以 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2008•天津）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数．令a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则（　　）‎ A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c ‎【分析】通过奇偶性将自变量调整到同一单调区间内，根据单调性比较a、b、c的大小．‎ ‎【解答】解：，‎ 因为，又由函数在区间[0，+∞）上是增函数，‎ 所以，所以b＜a＜c，‎ 故选A ‎　‎ ‎10．（5分）（2008•天津）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（　　）‎ A．1344种 B．1248种 C．1056种 D．960种 ‎【分析】根据题意，分2步进行，首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，然后确定其余4个数字的排法数，使用排除法，用总数减去不合题意的情况数，可得其情况数目，由乘法原理计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则中间行的数字只能为1，4或2，3，共有C21A22=4种排法，‎ 然后确定其余4个数字，其排法总数为A64=360，‎ 其中不合题意的有：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，‎ 余下两个数字有A42=12种排法，‎ 所以此时余下的这4个数字共有360﹣4×12=312种方法；‎ 由乘法原理可知共有4×312=1248种不同的排法，‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎11．（4分）（2008•天津）在（x﹣）5的二次展开式中，x2的系数为　40　（用数字作答）．‎ ‎【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2求出x2的系数．‎ ‎【解答】解：，‎ 令 所以r=2，‎ 所以x2的系数为（﹣2）2C52=40．‎ 故答案为40‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2008•天津）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为　24　．‎ ‎【分析】由题意球的直径等于正方体的体对角线的长，求出球的半径，再求正方体的棱长，然后求正方体的表面积．‎ ‎【解答】解：设球的半径为R，由得，‎ 所以a=2，表面积为6a2=24．‎ 故答案为：24‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2008•天津）已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．直线4x﹣3y﹣2=0与圆C相交于A、B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为　x2+（y﹣1）2=10　．‎ ‎【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而求得圆心，进而求得圆心到直线4x﹣3y﹣2=0的距离，根据勾股定理求得圆的半径．则圆的方程可得．‎ ‎【解答】解：依题意可知抛物线的焦点为（1，0），‎ ‎∵圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．‎ 所以圆心坐标为（0，1），‎ ‎∴，‎ 圆C的方程为x2+（y﹣1）2=10‎ 故答案为x2+（y﹣1）2=10‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2008•天津）如图，在平行四边形ABCD中，，则=　3　．‎ ‎【分析】选一对不共线的向量做基底，在平行四边形中一般选择以最左下角定点为起点的一对边做基底，把基底的坐标求出来，代入数量积的坐标公式进行运算，得到结果．‎ ‎【解答】解：令，，‎ 则 ‎∴．‎ 故答案为：3‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2008•天津）已知数列{an}中，，则=　　．‎ ‎【分析】首先由求an可以猜想到用错位相加法把中间项消去，即可得到an的表达式，再求极限即可．‎ ‎【解答】解：因为 所以an是一个等比数列的前n项和，所以，且q=2．代入，‎ 所以．‎ 所以答案为 ‎　‎ ‎16．（4分）（2008•天津）设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax+logay=c，这时a的取值的集合为　{2}　．‎ ‎【分析】由logax+logay=c可以用x表达出y，转化为函数的值域问题求解．‎ ‎【解答】解：∵logax+logay=c，‎ ‎∴=c ‎∴xy=ac 得，单调递减，所以当x∈[a，2a]时，‎ 所以，因为有且只有一个常数c符合题意，所以2+loga2=3，解得a=2，所以a的取值的集合为{2}．‎ 故答案为：{2}‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分76分）‎ ‎17．（12分）（2008•天津）已知cos（x﹣）=，x∈（，）．‎ ‎（1）求sinx的值；‎ ‎（2）求sin（2x）的值．‎ ‎【分析】（1）利用x的范围确定x﹣的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得sin（x﹣）的值，进而根据sinx=sin[（x﹣）+]利用两角和公式求得答案 ‎（2）利用x的范围和（1）中sinx的值，利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，进而根据二倍角公式求得sin2x和cos2x的值，‎ 最后代入正弦的两角和公式求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）因为x∈（，），‎ 所以x﹣∈（），‎ sin（x﹣）==．‎ sinx=sin[（x﹣）+]‎ ‎=sin（x﹣）cos+cos（x﹣）sin ‎=×+×=．‎ ‎（2）因为x∈（，），‎ 故cosx=﹣=﹣=﹣．‎ sin2x=2sinxcosx=﹣，‎ cos2x=2cos2x﹣1=﹣．‎ 所以sin（2x+）=sin2xcos+cos2xsin ‎=﹣．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2008•天津）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．‎ ‎（Ⅰ）求乙投球的命中率p；‎ ‎（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据乙投球2次均未命中的概率为，两次是否投中相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率公式写出乙两次都未投中的概率，列出方程，解方程即可．‎ ‎（II）做出甲投球命中的概率和乙投球命中的概率，因为两人共命中的次数记为ξ，得到变量可能的取值，看清楚变量对应的事件，做出事件的概率，写出分布列和期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据乙投球2次均未命中的概率为，两次是否投中相互之间没有影响，‎ 设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B 由题意得 解得或（舍去），‎ ‎∴乙投球的命中率为．‎ ‎（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知 ξ可能的取值为0，1，2，3，‎ P（ξ=1）=P（A）P（）+•P（B）P（）P（）=‎ ‎∴ξ的分布列为 ‎∴ξ的数学期望．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2008•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．‎ ‎（Ⅰ）证明AD⊥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求二面角P﹣BD﹣A的大小．‎ ‎【分析】（I）由题意在△PAD中，利用所给的线段长度计算出AD⊥PA，在利用矩形ABCD及线面垂直的判定定理及、此问得证；‎ ‎（II）利用条件借助图形，利用异面直线所称角的定义找到共面得两相交线，并在三角形中解出即可；‎ ‎（III）由题中的条件及三垂线定理找到二面角的平面角，然后再在三角形中解出角的大小即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：在△PAD中，由题设PA=2，PD=2，‎ 可得PA2+AD2=PD2于是AD⊥PA．‎ 在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，‎ 所以AD⊥平面PAB．‎ ‎（Ⅱ）解：由题设，BC∥AD，‎ 所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．‎ 在△PAB中，由余弦定理得 PB=‎ 由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，‎ 所以AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故tanPCB=．‎ 所以异面直线PC与AD所成的角的大小为arctan．‎ ‎（Ⅲ）解：过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连接PE 因为AD⊥平面PAB，PH⊂平面PAB，所以AD⊥PH．又AD∩AB=A，‎ 因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE在平面ABCD内的射影．‎ 由三垂线定理可知，BD⊥PE，从而∠PEH是二面角P﹣BD﹣A的平面角．‎ 由题设可得，‎ PH=PA•sin60°=，AH=PA•cos60°=1，‎ BH=AB﹣AH=2，BD=，‎ HE=‎ 于是在RT△PHE中，tanPEH=‎ 所以二面角P﹣BD﹣A的大小为arctan．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2008•天津）已知函数，其中a，b∈R．‎ ‎（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅲ）若对于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，求b的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即为点的斜率，再根据f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，解出a值；‎ ‎（Ⅱ）由题意先对函数y进行求导，解出极值点，因极值点含a，需要分类讨论它的单调性；‎ ‎（Ⅲ）已知，恒成立的问题，要根据（Ⅱ）的单调区间，求出f（x）的最大值，让f（x）的最大值小于10就可以了，从而解出b值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）解：‎ ‎，由导数的几何意义得f'（2）=3，于是a=﹣8．‎ 由切点P（2，f（2））在直线y=3x+1上可得﹣2+b=7，解得b=9．‎ 所以函数f（x）的解析式为．‎ ‎（Ⅱ）解：．‎ 当a≤0时，显然f'（x）＞0（x≠0）．这时f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上内是增函数．‎ 当a＞0时，令f'（x）=0，解得．‎ 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：‎ x f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎↗‎ ‎ 极大值 ‎↘‎ ‎↘‎ ‎ 极小值 ‎↗‎ 所以f（x）在，内是增函数，在，（0，）内是减函数．‎ 综上，当a≤0时，f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上内是增函数；‎ 当a＞0时，f（x）在，内是增函数，在，（0，）内是减函数．‎ ‎（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，f（x）在上的最大值为与f（1）的较大者，对于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，当且仅当，‎ 即，对任意的成立．‎ 从而得，所以满足条件的b的取值范围是．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2008•天津）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1‎ ‎（﹣3，0），一条渐近线的方程是．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若以k（k≠0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．‎ ‎【分析】（1）设出双曲线方程，根据焦点坐标及渐近线方程求出待定系数，即得双曲线C的方程．‎ ‎（2）设出直线l的方程，代入双曲线C的方程，利用判别式及根与系数的关系求出MN的中点坐标，从而得到线段MN的垂直平分线方程，通过求出直平分线与坐标轴的交点，计算围城的三角形面积，由判别式大于0，求得k的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）解：设双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）．‎ 由题设得，解得，所以双曲线方程为．‎ ‎（Ⅱ）解：设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）．‎ 点M（x1，y1），N（x2，y2）的坐标满足方程组 将①式代入②式，得，整理得（5﹣4k2）x2﹣8kmx﹣4m2﹣20=0．‎ 此方程有两个不等实根，于是5﹣4k2≠0，且△=（﹣8km）2+4（5﹣4k2）（4m2+20）＞0．‎ 整理得m2+5﹣4k2＞0． ③‎ 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x0，y0）满足，‎ ‎．‎ 从而线段MN的垂直平分线方程为．‎ 此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为，．‎ 由题设可得．‎ 整理得，k≠0．‎ 将上式代入③式得，整理得（4k2﹣5）（4k2﹣|k|﹣5）＞0，k≠0．‎ 解得或．‎ 所以k的取值范围是．‎ ‎　‎ ‎22．（14分）（2008•天津）在数列{an}与{bn}中，a1=1，b1=4，数列{an}的前n项和Sn满足nSn+1﹣（n+3）Sn=0，2an+1为bn与bn+1的等比中项，n∈N*．‎ ‎（Ⅰ）求a2，b2的值；‎ ‎（Ⅱ）求数列{an}与{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）设．证明|Tn|＜2n2，n≥3．‎ ‎【分析】（Ⅰ）解：题设有a1+a2﹣4a1=0，a1=1，4a22=b2b1，b1=4，由此可求出a2，b2的值．‎ ‎（Ⅱ）由题设条件猜想，bn=（n+1）2，n∈N*．再用数学归纳法进行证明．‎ ‎（Ⅲ）由题设条件知．由此可以导出|Tn|＜2n2．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）解：由题设有a1+a2﹣4a1=0，a1=1，解得a2=3．由题设又有4a22=b2b1，b1=4，解得b2=9．‎ ‎（Ⅱ）解：由题设nSn+1﹣（n+3）Sn=0，a1=1，b1=4，及a2=3，b2=9，进一步可得a3=6，b3=16，a4=10，b4=25，猜想，bn=（n+1）2，n∈N*．‎ 先证，n∈N*．‎ 当n=1时，，等式成立．当n≥2时用数学归纳法证明如下：‎ ‎（1）当n=2时，，等式成立．‎ ‎（2）假设n=k时等式成立，即，k≥2．‎ 由题设，kSk+1=（k+3）Sk（k﹣1）Sk=（k+2）Sk﹣1‎ ‎①的两边分别减去②的两边，整理得kak+1=（k+2）ak，从而．‎ 这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的n≥2成立．‎ 综上所述，等式对任何的n∈N*都成立 再用数学归纳法证明bn=（n+1）2，n∈N*．‎ ‎（1）当n=1时，b1=（1+1）2，等式成立．‎ ‎（2）假设当n=k时等式成立，即bk=（k+1）2，那么．‎ 这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式bn=（n+1）2对任何的n∈N*都成立．‎ ‎（Ⅲ）证明：当n=4k，k∈N*时，Tn=﹣22﹣32+42+52﹣﹣（4k﹣2）2﹣（4k﹣1）2+（4k）2+（4k+1）2．‎ 注意到﹣（4k﹣2）2﹣（4k﹣1）2+（4k）2+（4k+1）2=32k﹣4，故4k（4k+4）﹣4k=（4k）2+3×4k=n2+3n．‎ 当n=4k﹣1，k∈N*时，Tn=（4k）2+3×4k﹣（4k+1）2=（n+1）2+3（n+1）﹣（n+2）2=n 当n=4k﹣2，k∈N*时，Tn=（4k）2+3×4k﹣（4k+1）2﹣（4k）2=3（n+2）﹣（n+3）2=﹣n2﹣3n﹣3．‎ 当n=4k﹣3，k∈N*时，Tn=3×4k﹣（4k+1）2+（4k﹣1）2=3（n+3）﹣（n+4）2+（n+2）2=﹣n﹣3．‎ 所以．‎ 从而n≥3时，有 总之，当n≥3时有，即|Tn|＜2n2．‎ ‎　‎