高考数学高考必会题型专题8概率与统计第36练概率的两类模型

高考数学高考必会题型专题8概率与统计第36练概率的两类模型

第36练　概率的两类模型 题型一　古典概型问题 例1　某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率：‎ ‎(1)选取的2位学生都是男生；‎ ‎(2)选取的2位学生一位是男生，另一位是女生．‎ 破题切入点　先求出任取2位学生的基本事件的总数，然后分别求出所求的两个事件含有的基本事件数，再利用古典概型概率公式求解．‎ 解　(1)设4位男生的编号分别为1,2,3,4,2位女生的编号分别为5,6.从6位学生中任取2位学生的所有可能结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．‎ 从6位学生中任取2位学生，所取的2位全是男生的方法数，即从4位男生中任取2个的方法数，共有6种，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．‎ 所以选取的2位学生全是男生的概率为P1＝＝.‎ ‎(2)从6位学生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．‎ 所以选取的2位学生一位是男生，另一位是女生的概率为P2＝.‎ 题型二　几何概型问题 例2　(2013·四川改编)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________．‎ 破题切入点　由几何概型的特点，利用数形结合即可求解．‎ 答案　 解析　‎ 设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、y，x、y相互独立，由题意可知，如图所示．∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x－y|≤2)＝ ‎＝＝＝.‎ 题型三　古典概型与几何概型的综合问题 例3　已知关于x的一元二次方程9x2＋6ax－b2＋4＝0，a，b∈R.‎ - 6 -‎ ‎ (1)若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；‎ ‎(2)若a是从区间[0,3]内任取的一个数，b是从区间[0,2]内任取的一个数，求已知方程有实数根的概率．‎ 破题切入点　本题中含有两个参数，显然要将问题转化为含参数的一元二次方程有解的条件问题．‎ 第(1)问利用列举法将基本事件罗列出来，再结合题意求解．‎ 第(2)问将a，b满足的不等式转化为可行域——平面区域问题，从而利用几何概型的概率公式求解．‎ 解　设事件A为“方程9x2＋6ax－b2＋4＝0有两个不相等的实数根”；事件B为“方程9x2＋6ax－b2＋4＝0有实数根”．‎ ‎(1)由题意，知基本事件共9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．‎ 由Δ＝‎36a2－36(－b2＋4)＝‎36a2＋36b2－36×4>0，得a2＋b2>4.‎ 事件A要求a，b满足条件a2＋b2>4，可知包含6个基本事件：(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，‎ 所以方程有两个不相同实根的概率P(A)＝＝.‎ ‎(2)由题意，方程有实根的区域为图中阴影部分，‎ 故所求概率为：‎ P(B)＝＝1－.‎ 总结提高　(1)求解古典概型问题的三个步骤 ‎①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求事件A.‎ ‎②分别计算基本事件的总数n和所求事件A所包含的基本事件的个数m.‎ ‎③利用古典概型的概率公式P(A)＝求出事件A的概率．若直接求解比较困难，则可以利用间接的方法，如逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．‎ ‎(2)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决．‎ ‎(3)几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题．在转化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区域．几何概型的试验中事件A的概率P(A)只与其所表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关，而与区域的位置和形状无关．‎ - 6 -‎ ‎1．从标有1,2,3，…，7的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数相加得和，则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是________．‎ 答案　 ‎2．已知实数a，b满足x1，x2是关于x的方程x2－2x＋b－a＋3＝0的两个实根，则不等式00，f(1)<0，即建立平面直角坐标系如图．‎ 满足题意的区域为图中阴影部分，故所求概率P＝＝.‎ ‎3．(2014·陕西改编)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．‎ 答案　 解析　取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为＝.‎ ‎4．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．‎ 答案　 解析　设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何概型，则P1＝＝＝，故点P到点O的距离大于1的概率P＝1－＝.‎ ‎5．在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则△PBC的面积小于的概率是________．‎ 答案　 解析　‎ - 6 -‎ 如图，M，N分别为AB，CD中点，‎ 当点P位于阴影部分时，‎ ‎△PBC的面积小于，根据几何概型，其概率为P＝＝.‎ ‎6．已知点A在坐标原点，点B在直线y＝1上，点C(3,4)，若AB≤，则△ABC的面积大于5的概率是________．‎ 答案　 解析　设B(x,1)，根据题意知点D(，1)，‎ 若△ABC的面积小于或等于5，则×DB×4≤5，即DB≤，‎ 所以点B的横坐标x∈[－，]，而AB≤，‎ 所以点B的横坐标x∈[－3,3]，所以△ABC的面积小于或等于5的概率为 P＝＝，‎ 所以△ABC的面积大于5的概率是1－P＝.‎ ‎7．(2013·湖北)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.‎ 答案　3‎ 解析　由|x|≤m，得－m≤x≤m.‎ 当m≤2时，由题意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去．‎ 当2n.‎ 如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，‎ ‎∴所求的概率为P＝.‎ ‎9．(2013·江苏)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为______．‎ 答案　 解析　P＝＝.‎ ‎10．平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为‎3 cm，把一枚半径为‎1 cm的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________．‎ 答案　 解析　如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为.‎ ‎11．已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．‎ ‎(1)若x、y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；‎ ‎(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率．‎ 解　(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；‎ 由a·b＝－1有－2x＋y＝－1，‎ 所以满足a·b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；‎ 故满足a·b＝－1的概率为＝.‎ ‎(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}；‎ 满足a·b<0的基本事件的结果为 A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}；‎ 画出图形如图，‎ - 6 -‎ 矩形的面积为S矩形＝25，‎ 阴影部分的面积为S阴影＝25－×2×4＝21，‎ 故满足a·b<0的概率为.‎ ‎12．某同学参加省学业水平测试，物理、化学、生物成绩获得等级A和获得等级不是A的机会相等，且三个学科成绩获得等级A的事件分别记为W1，W2，W3，获得等级不是A的事件分别记为，，.‎ ‎(1)试列举该同学在这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A的所有可能结果(如三科成绩均为A记为(W1，W2，W3))；‎ ‎(2)求该同学参加这次水平测试获得两个A的概率；‎ ‎(3)试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件，使该事件的概率大于85%，并说明理由．‎ 解　(1)该同学在这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A的可能结果有8种，分别为(W1，W2，W3)，(，W2，W3)，(W1，，W3)，(W1，W2，)，(，，W3)，(，W2，)，(W1，，)，(，，)．‎ ‎(2)由(1)，知有两个A的情况为(，W2，W3)，(W1，，W3)，(W1，W2，)，共3种，从而所求概率为P＝.‎ ‎(3)方法一　该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩不全为A的事件概率大于85%.‎ 理由如下：该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩不全为A的事件有如下7种情况：(，W2，W3)，(W1，，W3)，(W1，W2，)，(，，W3)，(，W2，)，(W1，，)，(，，，)，‎ 故物理、化学、生物成绩不全为A的概率是P1＝＝0.875>85%.‎ 方法二　该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩至少一个为A的事件概率大于85%.‎ 理由如下：该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩全不为A的事件有1种情况，即(，，)，其概率为，则物理、化学、生物成绩至少一个为A的概率为P2＝1－＝>85%.‎ - 6 -‎