高考全国Ⅰ理科数学试题及答案word解析版

高考全国Ⅰ理科数学试题及答案word解析版

2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ） 数学（理科） 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2014 年全国Ⅰ，理 1，5 分】已知集合 ， ，则 =（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】∵ ， ，∴ ，故选 A． （2）【2014 年全国Ⅰ，理 2，5 分】 （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】∵ ，故选 D． （3）【2014 年全国Ⅰ，理 3，5 分】设函数 ， 的定义域为 ，且 是奇函数， 是偶函 数，则下列结论中正确的是（ ） （A） 是偶函数 （B） 是奇函数 （C） 是奇函数 （D） 是奇函 数 【答案】C 【解析】∵ 是奇函数， 是偶函数，∴ 为偶函数， 为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函 数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得 为奇函数， 故选 C． （4）【2014 年全国Ⅰ，理 4，5 分】已知 是双曲线 ： 的一个焦点，则点 到 的一条 渐近线的距离为（ ） （A） （B）3 （C） （D） 【答案】A 【解析】由 ： ，得 ， ，设 ，一条渐近线 ，即 ，则点 到 的一条渐近线的距离 ，故选 A． （5）【2014 年全国Ⅰ，理 5，5 分】4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都 有同学参加公益活动的概率（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】由题知 ， 且 ，所以 ，解得 ，故选 D． （6）【2014 年全国Ⅰ，理 6，5 分】如图，圆 的半径为 1， 是圆上的定点， 是圆上的动点， 角 的始边为射线 ，终边为射线 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，将点 到直 线 的距离表示为 的函数 ，则 在 上的图像大致为（ ） { }2 2 3 0A x x x= − − ≥ { }2 2B x x= − ≤ < A B [ ]2, 1− − [ )1,2− [ ]1,1− [ )1,2 { } { }2 2 3 0 1 3A x x x x x x= − − ≥ = ≤ − ≥或 { }2 2B x x= − ≤ < { }2 1A B x x= − ≤ ≤ − ( ) ( ) 3 2 1 i 1 i + = − 1 i+ 1 i− 1 i− + 1 i− − 3 2 (1 i) 2i(1 i) 1 i(1 i) 2i + += = − −− − ( )f x ( )g x R ( )f x ( )g x ( ) ( )f x g x ( ) ( )f x g x ( ) | ( ) |f x g x | ( ) ( ) |f x g x ( )f x ( )g x ( )f x ( )g x ( ) | ( ) |f x g x F C 2 2 3 ( 0)x my m m− = > F C 3 3m 3m C 2 2 3 ( 0)x my m m− = > 2 2 13 3 x y m − = 2 3 3, 3 3c m c m= + = + ( )3 3,0F m + 3 3 y x m = 0x my− = F C 3 3 3 1 md m += = + 1 8 3 8 5 8 7 8 ( )1 3,0F − ( )2 3,0F 2 20 0 12 x y− = ( ) ( )1 2 0 0 0 03 , 3 ,MF MF x y x y⋅ = − − − ⋅ − −  2 2 2 0 0 03 3 1 0x y y= + − = − < 0 3 3 3 3y− < < O A P x OA OP P OA M M OP x ( )f x ( )y f x= [ ]0,π （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】如图：过 作 于 ，则 ， ,在 中， ，∴ ， 故选 B． （7）【2014 年全国Ⅰ，理 7，5 分】执行下图的程序框图，若输入的 分别为 1,2,3，则输出 的 （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】输入 ； 时： ； 时： ； 时： ； 时：输出 ，故选 D． （8）【2014 年全国Ⅰ，理 8，5 分】设 ， ，且 ，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】∵ ，∴ ， ， ，∴ ，即 ，故选 B． （9）【2014 年全国Ⅰ，理 9，5 分】不等式组 的解集记为 ．有下面四个命题： ： ， ： , ： ， ： ．其中真命题是（ ） （A） ， （B） ， （C） ， （D） ， 【答案】C 【解析】作出可行域如图：设 ，即 ，当直线过 时， ， ∴ ，∴命题 、 真命题，故选 C． （10）【2014 年全国Ⅰ，理 10，5 分】已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直 线 与 的一个交点，若 ，则 （ ） （A） （B） （C）3 （D）2 【答案】C 【解析】过 作 于 ，∵ ，∴ ，又 ，∴ ， 由抛物线定义知 ，故选 C． D M MD OP⊥ D sinPM x= cosOM x= Rt OMP∆ cos sin 1cos sin sin 21 2 x xOM PMMD x x xOP ⋅⋅= = = ⋅ = ( ) 1 sin 2 (0 )2f x x x π= ≤ ≤ , ,a b k M = 20 3 16 5 7 2 15 8 1, 2, 3a b k= = = 1n = 1 3 31 , 2,2 2 2M a b= + = = = 2n = 2 8 3 82 , ,3 3 2 3M a b= + = = = 3n = 3 3 15 8 15, ,2 8 8 3 8M a b= + = = = 4n = 15 8M = (0, )2 πα ∈ (0, )2 πβ ∈ 1 sintan cos βα β += 3 2 πα β− = 2 2 πα β− = 3 2 πα β+ = 2 2 πα β+ = sin 1 sintan cos cos α βα α β += = sin cos cos cos sinα β α α β= + ( )sin cos sin 2 πα β α α − = = −   ,02 2 2 2 π π π πα β α− < − < < − < 2 πα β α− = − 2 2 πα β− = 1 2 4 x y x y + ≥  − ≤ 1p ( , ) , 2 2x y D x y∀ ∈ + ≥ − 2p ( , ) , 2 2x y D x y∃ ∈ + ≥ 3P ( , ) , 2 3x y D x y∀ ∈ + ≤ 4p ( , ) , 2 1x y D x y∃ ∈ + ≤ − 2p 3p 1p 4p 1p 2p 1p 3p 2x y z+ = 1 2 2 zy x= − + ( )2, 1A − min 2 2 0z = − + = 0z ≥ 1p 2p C 2 8y x= F l P l Q PF C 4FP FQ=  | |QF = 7 2 5 2 Q QM l⊥ M 4FP FQ=  3 4 PQ PF = 3 4 4 QM PQ PF = = 3QM = 3QF QM= = （11）【2014 年全国Ⅰ，理 11，5 分】已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ， 则 的取值范围为（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】解法一： 由已知 ， ，令 ，得 或 ， 当 时， ； 且 ， 有小于零的零点，不符合题意． 当 时， 要使 有唯一的零点 且 ，只需 ，即 ， ，故选 B． 解法二： 由已知 ， 有唯一的正零点，等价于 有唯一的正零根，令 ，则 问题又等价于 有唯一的正零根，即 与 有唯一的交点且交点在在 轴右侧记 ， ，由 ， ， ， ，要使 有唯一的正零根，只需 ，故选 B． （12）【2014 年全国Ⅰ，理 12，5 分】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面 体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ） （A） （B） （C）6 （D）4 【答案】C 【解析】如图所示，原几何体为三棱锥 ，其中 ， ，故最长的棱的长度为 ，故选 C． 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 （22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 （13）【2014 年全国Ⅰ，理 13，5 分】 的展开式中 的系数为 ．（用数字填写答案） 【答案】 【解析】 展开式的通项为 ，∴ ， ， ∴ 的展开式中 的项为 ，故系数为 ． （14）【2014 年全国Ⅰ，理 14，5 分】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 、 、 三个城市时，甲 说：我去过的城市比乙多，但没去过 城市；乙说：我没去过 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由 此可判断乙去过的城市为 ． 【答案】 【解析】由乙说：我没去过 城市，则乙可能去过 城市或 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 城市，则乙只能是去过 ， 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的 城市为 ． （15）【2014 年全国Ⅰ，理 15，5 分】已知 ， ， 是圆 上的三点，若 ，则 与 的 夹角为 ． 【答案】 【解析】∵ ，∴ 为线段 中点，故 为 的直径，∴ ，∴ 与 的夹 角为 ． ( ) 3 23 1f x ax x= − + ( )f x 0x 0 0x > a ( )2,+∞ ( ), 2−∞ − ( )1,+∞ ( ), 1−∞ − 0a ≠ 2( ) 3 6f x ax x′ = − ( ) 0f x′ = 0x = 2x a = 0a > ( ) 2 2,0 , ( ) 0; 0, , ( ) 0; , , ( ) 0x f x x f x x f xa a    ′ ′ ′∈ −∞ > ∈ < ∈ +∞ >       (0) 1 0f = > ( )f x 0a < ( )2 2, , ( ) 0; ,0 , ( ) 0; 0, , ( ) 0x f x x f x x f xa a    ′ ′ ′∈ −∞ < ∈ > ∈ +∞ <       ( )f x 0x 0 0x > 2( ) 0f a > 2 4a > 2a < − 0a ≠ ( ) 3 23 1f x ax x= − + 3 1 13a x x = ⋅ − 1t x = 3 3a t t= − + y a= 3 3y t t= − + y 3( ) 3f t t t= − + 2( ) 3 3f t t′ = − + ( ) 0f t′ = 1t = ± ( ) ( ), 1 , ( ) 0; 1,1 , ( ) 0;t f t t f t′ ′∈ −∞ − < ∈ − > ( )1, , ( ) 0t f t′∈ +∞ < 3 3a t t= − + ( 1) 2a f< − = − 6 2 4 2 D ABC− 4, 4 2, 2 5AB BC AC DB DC= = = = = ( )2 4 2 4 6DA = + = 6DA = 8( )( )x y x y− + 2 2x y 20− 8( )x y+ 8 1 8 ( 0,1, ,8)r r r rT C x y r− + = =  7 7 7 8 8 8T C xy xy= = 6 2 6 2 6 7 8 28T C x y x y= = 8( )( )x y x y− + 2 7x y 7 2 6 2 78 28 20x xy y x y x y⋅ − ⋅ = − 20− A B C B C A C A B B A B A A B C O 1 ( )2AO AB AC= +   AB AC 090 1 ( )2AO AB AC= +   O BC BC O 090BAC∠ = AB AC 090 （16 ）【2014 年全国Ⅰ ，理 16 ，5 分】已知 分别为 的三个内角 的对边， ，且 ，则 面积的最大值为 ． 【答案】 【解析】由 且 ，即 ，由及正弦定理得： ，∴ ，故 ，∴ ，∴ ， ，∴ ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）【2014 年全国Ⅰ，理 17，12 分】已知数列 的前 项和为 ， ， ， ，其中 为常数． （1）证明： ； （2）是否存在 ，使得 为等差数列？并说明理由． 解：（1）由题设 ， ，两式相减 ，由于 ， 所以 ． ……6 分 （2）由题设 ， ，可得 ，由（1）知 假设 为等差数列，则 成等差数列，∴ ，解得 ； 证明 时， 为等差数列：由 知：数列奇数项构成的数列 是首项为 1，公差为 4 的等差数列 ，令 则 ，∴ 数列偶数项构成的数列 是首项为 3，公差为 4 的等差数列 ，令 则 ， ∴ ，∴ （ ）， 因此，存在存在 ，使得 为等差数列． ……12 分 （18）【2014 年全国Ⅰ，理 18，12 分】从某企业的某种产品中抽取 500 件，测 量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： （1）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 （同一组 数据用该区间的中点值作代表）； （2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 服从正态分 布 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 ． （i）利用该正态分布，求 ； （ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 表示 100 件产品中质量指标值为区间 （187.8,212.2） 的产品件数，利用（i）的结果，求 ． 附： ．若 ，则 ， =0.9544． 解：（1）抽取产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 分别为： ． ……6 分 （2）（ⅰ）由（1）知 ，从而 ． ……9 分 （ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为 0.6826 依题意知 ，所以 ． ……12 分 （19）【2014 年全国Ⅰ，理 19，12 分】如图三棱柱 中，侧面 为菱 形， ． （1）证明： ； , ,a b c ABC∆ , ,A B C 2a = (2 )(sin sin ) ( )sinb A B c b C+ − = − ABC∆ 3 2a = (2 )(sin sin ) ( )sinb A B c b C+ − = − ( )(sin sin ) ( )sina b A B c b C+ − = − ( )( ) ( )a b a b c b c+ − = − 2 2 2b c a bc+ − = 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc + −= = 060A∠ = 2 2 4b c bc+ − = 2 24 b c bc bc= + − ≥ 1 sin 32ABCS bc A∆ = ≤ { }na n nS 1 1a = 0na ≠ 1 1n n na a Sλ+ = − λ 2n na a λ+ − = λ { }na 1 1n n na a Sλ+ = − 1 2 1 1n n na a Sλ+ + += − ( )1 2 1n n n na a a aλ+ + +− = 0na ≠ 2n na a λ+ − = 1 1a = 1 2 1 1a a Sλ= − 2 1 1a λ= − 3 1a λ= + { }na 1 2 3, ,a a a 1 3 22a a a+ = 4λ = 4λ = { }na 2 4n na a+ − = { }2 1ma − 2 1 4 3ma m− = − 2 1,n m= − 1 2 nm += 2 1na n= − ( 2 1)n m= − { }2ma 2 4 1ma m= − 2 ,n m= 2 nm = 2 1na n= − ( 2 )n m= 2 1na n= − *n N∈ 1 2n na a+ − = 4λ = { }na x 2s Z 2( , )N µ δ µ x 2δ 2s (187.8 212.2)P Z< < X EX 150 12.2≈ 2( , )Z N µ δ ( ) 0.6826P Zµ δ µ δ− < < + = ( 2 2 )P Zµ δ µ δ− < < + x 2s 170 0.02 180 0.09 190 0.22 200 0.33 210 0.24 220 0.08 230 0.02 200x = × + × + × + × + × + × + × = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 30 0.02 20 0.09 10 0.22 0 0.33 10 0.24 20 0.08 30 0.02 150s = − × + − × + − × + × + × + × + × = (200,150)Z N (187.8 212.2)P Z< < = (200 12.2 200 12.2) 0.6826P Z− < < + = (100,0.6826)X B 100 0.6826 68.26EX = × = 1 1 1ABC A B C− 1 1BB C C 1AB B C⊥ 1AC AB= （2）若 ， ， ，求二面角 的余弦值． 解：（1）连结 ，交 于 ，连结 ．因为侧面 为菱形，所以 ， 且 为 与 的中点．又 ，所以 平面 ，故 又 ，故 ． ……6 分 （2）因为 且 为 的中点，所以 ，又因为 ，所以 ，故 ，从而 ， ， 两两互相垂直． 以 为坐标原点， 的方向 为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系 ． 因为 ，所以 为等边三角形．又 ，则 ， ， ， ， ， ， ，设 是平面的 法向量，则 ，即 所以可取 ，设 是平面的法向量，则 ，同理可取 ，则 ，所以二面角 的余弦值 为 ． ……12 分 （20）【2014 年全国Ⅰ，理 20，12 分】已知点 ，椭圆 ： 的离心率为 ， 是 椭圆的焦点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点． （1）求 的方程； （2）设过点 的直线 与 相交于 两点，当 的面积最大时，求 的方程． 解：（1）设 ，由条件知 ，得 ，又 ， 所以 ， ，故 的方程 ． ……6 分 （ 2 ） 依 题 意 当 轴 不 合 题 意 ， 故 设 直 线 ： ， 设 ， 将 代 入 ， 得 ，当 ，即 时， 从而 ，又点 到直线 的距离 ，所以 的 面积 ，设 ，则 ， ， 当且仅当 ， 等号成立，且满足 ，所以当 的面积最大时， 的方程为： 或 ． .……12 分 F 1AC AB⊥ o 1 60CBB∠ = AB BC= 1 1 1A A B C− − 1BC 1B C O AO 1 1BB C C 1 1B C BC⊥ O 1B C 1BC 1AB B C⊥ 1B C ⊥ ABO 1B C AO⊥ 1B O CO= 1AC AB= 1AC AB⊥ O 1B C AO CO= AB BC= BOA BOC∆ ≅ ∆ OA OB⊥ OA OB 1OB O OB x OB O xyz− 0 1 60CBB∠ = 1CBB∆ AB BC= 30,0, 3A       ( )1,0,0B 1 30, ,03B       30, ,03C  −    1 3 30, ,3 3AB  = −     1 1 31,0, 3A B AB  = = −      1 1 31, ,03B C BC  = = − −      ( ), ,n x y z= 1 1 1 0 0 n AB n A B  = =       3 3 03 3 3 03 y z x z  − =  − = ( )1, 3, 3n = m 1 1 1 1 0 0 m A B n B C  = =       ( )1, 3, 3m = − 1cos , 7 n mn m n m = =       1 1 1A A B C− − 1 7 ( )0, 2A − E 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 3 2 AF 2 3 3 O E A l E ,P Q OPQ∆ l ( ),0F c 2 2 3 3c = 3c = 3 2 c a = 2a = 2 2 2 1b a c= − = E 2 2 14 x y+ = l x⊥ l 2y kx= − ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y 2y kx= − 2 2 14 x y+ = ( )2 21 4 16 12 0k x kx+ − + = 216(4 3) 0k∆ = − > 2 3 4k > 2 1,2 2 8 2 4 3 1 4 k kx k ± −= + 2 2 2 1 2 2 4 1 4 31 1 4 k kPQ k x x k + −= + − = +  O PQ 2 2 1 d k = + OPQ∆ 2 2 1 4 4 3 2 1 4OPQ kS d PQ k∆ −= = + 24 3k t− = 0t > 2 4 4 144OPQ tS t t t ∆ = = ≤+ + 2t = 7 2k = ± 0∆ > OPQ∆ l 7 22y x= − 7 22y x= − − （21）【2014 年全国Ⅰ，理 21，12 分】设函数 ，曲线 在点 处的切线为 ． （1）求 ； （2）证明： ． 解：（1）函数 的定义域为 ， 由题意可得 ，故 ． ……6 分 （2）由（1）知， ，从而 等价于 ，设函数 ，则 ，所以当 时， ，当 时， ，故 在 单调减， 在 单调递增，从而 在 的最小值为 ． ……8 分 设函数 ，则 ，所以当 时， ，当 时， ， 故 在 单调递增，在 单调递减，从而 在 的最小值为 ． 综上：当 时， ，即 .……12 分 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个 题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． （22）【2014 年全国Ⅰ，理 22，10 分】（选修 4-1：几何证明选讲）如图，四边形 是 的内 接四边形， 的延长线与 的延长线交于点 ，且 ． （1）证明： ； （2）设 不是 的直径， 的中点为 ，且 ，证明： 为等边三角 形． 解：（1）由题设得， ， ， ， 四点共圆，所以， 又 ， ，所以 ……5 分 （2）设 的中点为 ，连结 ，则由 知 ，故 在直线 上， 又 不是 的直径， 为 的中点，故 ，即 ， 所以 ，故 ，又 ，故 ， 由（1）知， ，所以 为等边三角形． ……10 分 （23）【2014 年全国Ⅰ，理 23，10 分】（选修 4-4：坐标系与参数方程）已知曲线 ，直线 （ 为参数）． （1）写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程； （2）过曲线 上任意一点 作与 夹角为 30°的直线，交 于点 ，求 的最大值与最小值． 解：（1）曲线 的参数方程为 （ 为参数）直线 的普通方程为 ． ……5 分 （2）曲线 上任意一点 到 的距离为 ， 则 ，其中 为锐角，且 ， 当 时， 取得最大值，最大值为 ( ) 1 ln x x bef x ae x x − = + ( )y f x= ( )( )1, 1f ( 1) 2y e x= − + ,a b ( ) 1f x > ( )f x ( )0,+∞ 1 1 2( ) lnx x x xa b bf x ae x e e ex x x − −′ = + − + (1) 2, (1)f f e′= = 1, 2a b= = 12( ) ln x x ef x e x x − = + ( ) 1f x > 2ln xx x xe e −> − ( ) lng x x x= ( ) lng x x x′ = + 10,x e  ∈   ( ) 0g x′ < 1,x e  ∈ +∞   ( ) 0g x′ > ( )g x 10, e      1,e  +∞   ( )g x ( )0,+∞ 1 1( )g e e = − 2( ) xh x xe e −= − ( )( ) 1xh x e x−′ = − ( )0,1x∈ ( ) 0h x′ > ( )1,x∈ +∞ ( ) 0h x′ < ( )h x ( )0,1 ( )1,+∞ ( )h x ( )g x ( )0,+∞ 1(1)h e = − 0x > ( ) ( )g x h x> ( ) 1f x > ABCD O AB DC E CB CE= D E∠ = ∠ AD O AD M MB MC= ABC∆ A B C D D CBE∠ = ∠ CB CE= CBE E∴∠ = ∠ D E∠ = ∠ BC N MN MB MC= MN BC⊥ O MN AD O M AD OM AD⊥ MN AD⊥ / /AD BC A CBE∠ = ∠ CBE E∠ = ∠ A E∠ = ∠ D E∠ = ∠ ADE∆ 2 2 : 14 9 x yC + = 2: 2 2 x tl y t = +  = − t C l C P l l A PA C 2cos 3sin x y θ θ =  = θ l 2 6 0x y+ − = C (2cos ,3sin )P θ θ l 5 | 4cos 3sin 6 |5d θ θ= + − 2 5| | | 5sin( ) 6 |sin30 5 dPA θ α= = + −  α 4tan 3 α = sin( ) 1θ α+ = − | |PA 22 5 5 当 时， 取得最小值，最小值为 ． ……10 分 （24）【2014 年全国Ⅰ，理 24，10 分】（选修 4-5：不等式选讲）若 ， 且 ． （1）求 的最小值； （2）是否存在 ，使得 ？并说明理由． 解：（1）由 ，得 ，且当 时等号成立． 故 ，且当 时等号成立，所以 的最小值为 ． ……5 分 （2）由（1）知， ，由于 ，从而不存在 ，使得 ． ……10 分 sin( ) 1θ α+ = | |PA 2 5 5 0a > 0b > 1 1 aba b + = 3 3a b+ ,a b 2 3 6a b+ = 1 1 2ab a b ab = + ≥ 2ab ≥ 2a b= = 3 3 3 32 4 2a b a b+ ≥ ≥ 2a b= = 3 3a b+ 4 2 2 3 2 6 4 3a b ab+ ≥ ≥ 4 3 6> ,a b 2 3 6a b+ =