高考备考精品:数学解题能力快速提升

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高考备考精品:数学解题能力快速提升

高考备考精品:数学解题能力快速提升 一.不等式解题方法 一、从与的大小说起 ‎【引例】 正实数中,对任意a,b,m,都有 这就是“分数的基本性质”:分数的分子和分母乘以同一个正数,其值不变.‎ 这,连小学生都知道. 但, 我们的话题却要从这儿开始.‎ ‎【问题】对以上“性质”,如果将冒号后的文字改变一个字,将“乘”改成“加”,即变成    这里的等号还能成立吗?请看下例.‎ ‎【例1】若b>a>0,m>0,则有 A.      B.     C.      D.‎ ‎【解答】 (淘汰法)令a=1,b=2,m=3  淘汰B,C,D,答案为A.‎ ‎【例2】(变例1为解答题)若b>a>0,m>0,试比较和的大小.‎ ‎【解1】 (比较法  作差—变形—判定符号)‎ 因为  ‎ ‎ ‎ ‎【解2】 (综合法 由因推果  由整式推出分式)‎ a)‎ ‎【说明】a放大为b,则缩小为,结果是分值缩小.‎ 将缩成,目标是“约”去m.‎ ‎ ‎ ‎【解5】 (放缩法  从左到右)‎ ‎( <)‎ ‎【说明】 “最后”令kb=m的合理性来自正数k的任意性.事实上,我们可以提前设置m=kb.‎ 将放成,目标是“添”上m.这里的第二步利用了连比定理.‎ 放缩法实为对比较法、分析法、综合法等基本方法所得简单结果的一种整合运用.‎ ‎ ‎ ‎【小结】 证不等式,比较法是基础,放缩法是整合,方法网络图如下:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【练习】 正实数中,求证 ≥‎ ‎(Ⅰ)用比较法证明;  (Ⅱ)用综合法证明;‎ ‎(Ⅲ)用分析法证明;  (Ⅳ)用放缩法证明.‎ ‎ ‎ 二、比大小 从方程、函数到不等式 还是那个题目 b>a>0,m>0,求证 ‎【法1】 (等式法  不等式变为方程)‎ ‎       设  ‎ ‎       得  ‎ ‎       即 x>0,故有  .‎ ‎【说明】 这种等式法实为比较法的一种变式. 即作差法的另种形式.‎ ‎ ‎ ‎【法2】 (等式法 未知数论设作因子)设  ‎ ‎       则        所以 ‎ ‎【说明】 这种等式法为比较法的另一种形式. 即作商法的另种形式.‎ ‎ ‎ ‎【法3】 (函数法 视m为x,)‎ ‎      ‎ 设有函数   ‎ ‎      函数在[0,m]上是减函数,故 是[0,m]上的增函数.(图右,其中a=1,b=2)‎ f(0)0)是 ‎(0,+∞)上的减函数.‎ ‎【法4】 (不等式法  把证不等式化为解不等式)‎ ‎     解不等式 ‎ 即 x=m为正数时,原不等式真.‎ ‎【说明】 证不等式可视为一种特殊形式的解不等式.如证a2-a+1>0,即x2-x+1>0的解为R,视参数为变量. 解出的参数值域符合题设的取值范围即可.‎ ‎【法5】 (极限法 把参数m作极端处理)‎ ‎  &nbs,p;      当m→0时,‎ ‎         当m→∞时,‎ ‎        故有  ‎ ‎【说明】 对于解答题来讲,这种解法的理由不充分,因为对于函数f (m)=的单调性并没讲清楚,没有交待f(m)是上的增函数.‎ 如果是确定性的选择题例1,即与的大小关系是确定的,不需要讨论m的范围时,则这种极限法是很简便的.‎ ‎【小结】 真分数的“放大性”:真分数的分子和分母加上同一个正数,其值变大.‎ 以这种“放大性”为基础,可推出许多重要的分式不等式,如 ‎(1)|a+b|≤|a|+|b|≤≤‎ ‎(2)数列an=是增数列;而数bn=是减数列.‎ ‎【练习】 1.正数中,再证≥.分别用函数法、方法程和解不等式法.‎ ‎2.用不同的方法证明≥.‎ ‎3.用不同的方法证明≥.‎ 三、千方百法  会战高考不等式 ‎【考题1】 (2006年赣卷第5题)‎ 对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f¢(x)³0,则必有(   )‎ A.  f(0)+f(2)<‎2f(1)            B.  f(0)+f(2)£‎2 f(1)‎ C. f(0)+f(2)³‎2f(1)            D. f(0)+f(2)>‎2f(1)‎ ‎ ‎ ‎【分析】 从已知条件(x-1)f ¢ (x)≥0出发,可得如下的不等式组 或. 因此f(x)有两种可能:其一,f (x)为常数;其二,f(x)在区间上为减函数,在上为增函数.‎ ‎ ‎ ‎【解答】 (综合法)依题意,当x³1时,f¢(x)³0,函数f(x)在[1,+¥上是增函数;当x<1时,f¢(x)£0,f(x)在(-¥,1)上是减函数.‎ 所以 f(0)³f(1),f(2)³f(1),所以f(0)+f (2)≥‎2f (1),‎ 当f (x)为常数函数时即f (x)=a(常数),f ¢(x)=0,满足不等式(x-1) f¢(x)≥0成立.‎ 此时f (0)+f (2)=‎2f(1),所以f(0)+f(2)≥‎2f(1).故选C.‎ ‎【说明】 本题如用分析法,即各选项反推,显然麻烦.‎ ‎ ‎ ‎【考题2】 (2002年苏卷第22题 不等式与函数综合  不等式为主)‎ 已知a>0,函数f(x)=ax-bx2.‎ ‎(Ⅰ)当b>0时,若对任意x∈R都有f(x)≤1,证明a≤;‎ ‎(Ⅱ)当b>1时,证明:对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤;‎ ‎(Ⅲ)当00,b>0,∴a≤.‎ ‎【解Ⅱ】 先证必要性:‎ 对任意x∈[0,1],|f (x)|≤1-1≤f(x),据此可以推出-1≤f (1),即a-b≥-1,∴a≥b-1;‎ 对任意x∈[0,1],|f (x)|≤‎1‎f (x)≤1,因为b>1,可以推出≤1,‎ 即  a·-1≤1,∴ a≤;∴ b-1≤a≤.‎ 再证充分性:因为b>1,a≥b-1,对任意x∈[0,1],可以推出ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1.‎ 即  ax-bx2≥1;‎ 因为b>1,a≤,对任意x∈[0,1],可以推出ax-bx2≤≤1,即 ax-bx2≤1.‎ ‎∴-1≤f(x)≤1.‎ 综上,当b>1时,对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤.‎ ‎【解Ⅲ】因为a>0,00,0N时,对任意b>0,都有 ‎【分析】 ①本题的第(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)小题之间成梯式结构,(Ⅰ)是(Ⅱ)和(Ⅲ)的基础.从策略上看,如在(Ⅰ)上遇着困难,可承认(Ⅰ)的结论,并利用它迅速地解出(Ⅱ ‎)和(Ⅲ)来.此题恰恰是第(Ⅰ)难,而(Ⅱ)、(Ⅲ)容易.‎ ‎②对于(Ⅰ),已知为两个不等式,而求证一个不等式.其基本思路是,对已知不等式用综合法“下推”,对求证不等式用分析法“上追”. 如:‎ 欲使  ‎ 只须  = 此时,“综合下推”的方向就清楚了.‎ ‎【解Ⅰ】 ∵当n≥2时,,‎ ‎∴,即,‎ 于是有,,…,,‎ 所有不等式两边相加可得 ‎ 由已知不等式知,当n≥3时有 ‎∵,∴‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎【解Ⅱ】 ≤ 又an>0. 故有=0.‎ ‎【解Ⅲ】 (放大为了化简) 令,‎ 则有,‎ 故取N=1024,可使当n>N时,都有 ‎ ‎ ‎【说明】‎ ‎ 本小题是条件不等式的证明,已知2个不等式,求证1个不等式.在分析——综合——放缩三法联合证明综合大题时,优先考虑分析法.随时思考待证的不等式需要什么,需要的东西如何从已知的不等式中得到.‎ ‎ ‎ ‎【练习】 对考题3,已知条件不变,对设问作如下改写 ‎(Ⅰ)设,利用数学归纳法证不等式 ‎(Ⅱ)利用上述结果,证明不等式 二.函数最值的求解方法 一、二次函数最值寻根 初中生研究二次函数的最值,是从配方法开始的.‎ 设a>0,f(x)=ax2+bx+c=‎ 初三学生已知,二次函数f(x),在a>0时,有最小值;a<0时,有最大值.‎ 到了高中,学生更关心二次函数得到最值的条件,即上述不等式中等号成立的条件:.这个条件——自变量x的取值,称作二次函数最值对应的“最值点”(以下简称“最点”),俗称函数“最值的根”.‎ 对于高一学生,老师把二次函数的“最值”与二次函数的“单调区间”相捆绑,要求用比较法探索“最点”.‎ ‎ ‎ ‎【例1】 已知a>0,探索二次函数y = ax2+bx+c的单调区间.并指出函数的最值点.‎ ‎【解答】 任取 x10 ) 有减区间和增区间.‎ 显然,二次函数的最值点为,函数有最小值.‎ ‎【评说】 从这里看到,二次函数的最点,就是两个“异性”单调区间的交接点.‎ ‎ ‎ ‎【练1】  试研究一次函数没有最点,从而没有最值.‎ ‎【解】  任取,则有 ‎(1)时,,函数在R上为增函数.‎ 时,;时,.‎ ‎(2)时,,函数在R上为减函数.‎ 时,;时,.‎ 所以,一次函数在R上没有最点,从而一次函数无最值(既无最大值,也无最小值).‎ ‎【说明】  一次函数定义在R上,定义域内找不到这样的“点”,使得该点两边邻域是异性的两个单调区间.本例从反面看到:最点是单调区间的“变性”的“转折点”.‎ ‎ ‎ 二、从到 高中生将“最点”变形为,并由此得到一个一次函数.‎ 精明的学生发现,这个一次函数与对应的二次函数有某种“关系”,甚至有学生在偷偷地利用这种“关系”.‎ 这种“关系”到了高三才彻底解决:函数正是函数的导函数,即.‎ 函数求“最根”的问题,正好是的导函数的“求根”问题.‎ 导函数的根,就是的驻点.很清楚,二次函数的驻点就是二次函数的最点.‎ 问题变得这么明朗:求的最点,就是求的根.俗说中“最根”,真的与“根”字巧合了.‎ ‎【例2】  设,在同一坐标系中,分别作得和的图象(如右).‎ 试说明的正负性与单调性的对应关系.‎ ‎【解析】  与相交于.‎ ‎ ‎ ‎(1)时,,递减;‎ ‎ ‎ ‎(2)时,,递增;‎ ‎(3)时,,得到最小值.‎ 故对应关系为:(1)负区与的减区对应;‎ ‎             (2<, SPAN style="COLOR: black; FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: Times New Roman; mso-hansi-font-family: Times New Roman">)正区与的增区对应;‎ ‎             (3)零点与的最值对应.‎ ‎【练2】  已知二次函数的导函数图象如右图的直线,则有 ‎ ‎ ‎(1)=(   ),增区间为(    ),减区间为(    );‎ ‎ ‎ ‎(2)的最(    )值为(     );‎ ‎(3)若,求的解析式.‎ ‎【解答】  从右图上看到 ‎(1)的根为,故有=1;‎ ‎(2)时,>0,故的增区间为;‎ ‎     时,<0,故的减区间为;‎ ‎(3)有最大值,最大值为.‎ ‎(4)‎ 令,图上知;‎ 令,得.‎ 故有.‎ ‎【说明】  注意与并非一一对应,每一个这样的都对应着一个确定的,反过来,每一个这样的却对应着无穷个 ‎,它们只是相差一个常数c.这就是本题中,为什么已经知道了的图象后,还要给出时才能确定的解析式.‎ ‎ ‎ 三、三次函数的驻点、极点和最点 一次函数没有驻点,自然没有最点.‎ 二次函数有一个驻点,这个驻点就是二次函数的最点.‎ 三次函数呢?‎ 三次函数的导函数是二次函数,这个二次函数根的情况有3种:(1)有2个相异的根,(2)有2个相同的根;(3)无根.‎ 如果三次函数的导函数无根,则无驻点,自然也无最点,也无最值.‎ 如果有根呢?自然一定有驻点.‎ 那么,这些驻点是否为其最点呢?‎ ‎ ‎ ‎【例3】  研究函数的驻点、极点和最点.‎ ‎【解析】  令,得,为的2个驻点.‎ ‎(1)时,>0,函数递增;‎ ‎(2)时,<0,函数递减;‎ ‎(3)时,>0,函数递增.‎ 故在有极大值,在上有极小值.‎ 故,是的2个极点,前者为极大点,后者为极小点.‎ 又时,,故函数既无最大值,也无最小值.从而无最点.‎ ‎【说明】  这是三次函数有2个驻点,且都为极点的例子.而三次函数无驻点或有驻点但不是极点的例子如下(练3).‎ ‎【练3】  研究下列三次函数的驻点、极点、最点和单调区间.‎ ‎(1)         (2)‎ ‎【解析】  (1),函数无驻点,无极点,无最点. 是上的增函数.‎ ‎(2),‎ 有2个重合的驻点.‎ ‎(1)当时,,函数递增,‎ ‎(2)当时,,函数也递增.‎ 因此,驻点不能分出两个“相异”的单调区间,故不是的极点,无极点,当然也无最点.‎ 是R上的增函数.‎ ‎【说明】  函数相重合的两驻点不成为极点,可理解为它们消去了“中间”的一个“相异”的单调区间后,将两边的“同性”的单调区进行了链接而成为一个单调区间.‎ 经过以上的讨论得知,定义在R上的三次函数,不管它有无驻点或极点,它是不会有最点的。‎ ‎ ‎ 四、极点何时为最点 不重合的2个驻点可以分别成为极点.那么,在什么条件下极点成为最点呢?‎ 驻点是极点的必要不充分条件,那么极点是最点的什么条件呢?‎ 我们研究,极点何时成为最点.‎ ‎【例4】  已知的导函数,试探究的极点和最点.‎ ‎【解析】  .‎ 有3个相异的根:它们都是的极点.‎ 易知原函数  (R)‎ 易知为的减区间,为的增区间,为的减区间,为的增区间.‎ 的4个单调区间依次成“减——增——减——增”的顺序,使得首、尾两个区间的单调性相异,从而使得在“两次探底”中得到最(小)点.‎ 比较三个极值的大小:‎ 得的最小值为,对应两个最小点和1.‎ ‎【说明】  定义在一个开区间上的可导函数如果有n个极点:x1‎ 杨辉三角形本来就是二项式展开式的算图. 对杨辉三角形熟悉的考生,比如他熟悉到了它的第6行:‎ ‎1,6,15,20,15,6,1‎ 那么他可以心算不动笔,对本题做到一望而答.‎ 杨辉三角形在3年内考了5个(相关的)题目,这正是高考改革强调“多想少算”、“逻辑思维与直觉思维并重”的结果. 这5个考题都与二项式展开式的系数相关,说明数形结合思想正在高考命题中进行深层次地渗透.‎ 四.函数周期性的求解 ‎1、正弦函数的周期 三角函数,以正弦函数 y = sin x为代表,是典型的周期函数.‎ 幂函数 y = xα 无周期性,指数函数 y = ax 无周期性,对数函数 y =logax无周期,‎ 一次函数 y = kx+b、二次函数 y = ax2+bx+c、三次函数 y = ax3+bx2 + cx+d 无周期性.‎ 周期性是三角函数独有的特性.‎ ‎ ‎ ‎(1)正弦函数 y=sin x 的最小正周期 在单位圆中,设任意角α的正弦线为有向线 段MP.‎ 正弦函数的周期性 动点P每旋转一周,正弦线MP的即时位置 和变化方向重现一次.‎ 同时还看到,当P的旋转量不到一周时,正 弦线的即时位置包括变化方向不会重现.‎ 因此,正弦函数y=sinx的最小正周期2π.‎ ‎ ‎ ‎(2)y=sin(ωx)的最小正周期 设ω>0,y =sin(ωx)的最小正周期设为L .‎ 按定义 y = sin ω(x+L) = sin(ωx+ ωL) = sinωx .‎ 令ωx = x    则有 sin (x + ωL) = sin x 因为sinx最小正周期是2π,所以有 例如 sin2x的最小正周期为 sin的最小正周期为 ‎ ‎ ‎(3)正弦函数 y=sin(ωx+φ) 的周期性 对正弦函数sinx的自变量作“一次替代”后,成形式y = sin (ωx+φ).‎ 它的最小正周期与y = sinωx的最小正周期相同,都是.‎ 如的最小周期与 y = sin(3x)相同,都是.‎ 于是,余弦函数的最小正周期与sinx的 最小正周期相同,都是2π.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2、复合函数的周期性 将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x→ωx,sinx →sinωx 后者周期变为 而在以下的各种变换中,如 ‎(1)初相变换sinωx → sin( ωx+φ);‎ ‎(2)振幅变换sin(ωx +φ)→ Asin( ωx+φ);‎ ‎(3)纵移变换  Asin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)+m;‎ 后者周期都不变,亦即 Asin( ωx +φ) +m与sin(ωx)的周期相同,都是.‎ 而对复合函数 f (sinx)的周期性,由具体问题确定.‎ ‎ ‎ ‎(1)复合函数 f(sinx) 的周期性 ‎【例题】 研究以下函数的周期性:‎ ‎(1)2 sinx;       (2)‎ ‎(2)的定义域为[2kπ,2kπ+π],值域为[0,1],作图可知, 它是最小正周期为 ‎2π的周期函数.‎ ‎【解答】 (1)2sinx 的定义域为R,值域为,作图可知,它是最小正周期为2π的周期函数.‎ ‎【说明】 从基本函数的定义域,值域和单调性出发,通过作图,还可确定,loga x,sinx,,‎ sin(sinx)都是最小正周期2π的周期函数.‎ ‎ ‎ ‎(2)y= sin3 x 的周期性 对于y = sin3x =(sinx)3,L=2π肯定是它的周期,但它是否还有更小的周期呢?‎ 我们可以通过作图判断,分别列表作图如下.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 图上看到,y = sin3x 没有比2π更小的周期,故最小正周期为2π.‎ ‎ ‎ ‎(3)y= sin2 x 的周期性 对于y = sin2x = (sinx)2,L=2π肯定是它的周期,但它的最小正周期是否为2π?‎ 可以通过作图判定,分别列表作图如下.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 图上看到,y = sin2x 的最小正周期为π,不是2π.‎ ‎ ‎ ‎(4)sin2n x 和sin2n-1 x 的周期性 y = sin2x 的最小正周期为π,还可通过另外一种复合方式得到.‎ 因为 cos2x 的周期是π,故 sin2x的周期也是π.‎ sin2x的周期,由cosx的2π变为sin2x的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.‎ 因此,正弦函数sinx的幂符合函数sinmx,当m=2n时,sinm x的最小正周期为π;m = 2n–1时,‎ sinmx的最小正周期是2π.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(5)幂复合函数举例 ‎【例1】 求 y =|sinx|的最小正周期.‎ ‎ ‎ ‎【解答】 最小正周期为π.‎ ‎ ‎ ‎【例2】 求的最小正周期.‎ ‎【解答】 最小正周期为2π.‎ ‎ ‎ ‎【例3】 求的最小正周期.‎ ‎【解答】 最小正周期为π.‎ ‎【说明】 正弦函数sinx的幂复合函数.‎ 当q为奇数时,周期为2π;q为偶数时,周期为π.‎ ‎3、周期函数的和函数 两个周期函数,如 sin x 和 cosx ,它们最小正周期相同,都是 2π. 那么它们的和函数,‎ 即 sinx + cos x的最小正周期如何?‎ 和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.‎ 对于另一种情况,当相加的两个函数的最小正周期不相同,情况将会如何?‎ ‎ ‎ ‎(1)函数 sinx + sin2 x 的周期性 sin x的最小正周期为2π,sin2x的最小正周期是π,它们之间谁依赖谁,或依赖一个第三者?‎ 列表如下.‎ ‎ ‎ 表上看到函数sinx+sin2x的最小正周期是2π.‎ ‎ ‎ ‎(2)函数 sinx + sin2x 的周期性 依据上表,作sinx+sin2x 的图像如右.‎ 从图上看到,函数的最小正周期为2π. 由sinx,‎ sin2x的最小正周期中的大者决定,因为前者是后 者的2倍.从图上看到,sinx+sin2x仍然是个“振动 函数”,但振幅已经不是常数了.‎ ‎ ‎ ‎(3)函数sinx+sinx的周期性 sinx的最小正周期为2π,sinx的最小正周期是3π.‎ 们之间的和sinx + sinx的最小正周期也由“较大的”决定吗?即“和函数”的周期为3π吗?‎ 不妨按周期定义进行检验. 设 则x0 +3π=‎ 因此3π不是sinx + sinx的最小正周期.‎ 通过作图、直观看到,sinx+sinx的最小正周期为6π,即sinx和sinx最小正周期的最小倍数.‎ ‎4、周期函数在高考中 三角函数是高考命题的重要板块之一,小题考,大题也考,比分约占高考总分的七分之一,与立体几何相当. 与立几不同的是,它还与函数、方程、不等式、数列、向量等内容综合.‎ 正弦函数是三角函数的代表,而周期性又是正弦函数的特性.‎ 关系到正弦函数的试题,有2种形式.‎ ‎(1)直接考,求正弦函数的最小正周期.‎ ‎(2)间接考,考周期在正弦函数性质中的应用. 求单调区间,求最值,简单方程的通解等.‎ ‎ ‎ ‎(1)求正弦函数的周期 ‎【例1】 函数 y =|sin |的最小正周期为 ‎(A)          (B)π           (C)2π            (D)4π ‎【解答】‎ 最小正周期是 最小正周期的一半,即2π. 答案为(C)‎ ‎【说明】 图象法判定最简便,|sin x|的图象是将sin x的图象在x轴下方部分折到x轴上方去.‎ 倍角法定判定最麻烦 ‎【解答】 (1)y = 2cos2x + 1的最小正周期由cos2x决定 ‎ ‎ ‎(2)求正弦函数的周期 ‎【例2】 (1)y =2cos2x+1的最小正周期为                         .‎ ‎(2)y =|sinx + cosx|的最小正周期为                       .‎ ‎【解答】 (1)y = 2cos2x + 1的最小正周期由cos2x决定,故答案为π.‎ ‎(2)   故答案为π.‎ ‎【说明】 都可看作sinx的幂函数的复合函数.‎ ‎ ‎ ‎(3)函数周期性应用于求值 ‎    【例题】 f (x)是R上的偶函数,且是最小正周期为π的周期函数.‎ ‎【解答】‎ ‎【说明】 周期性应用于区域转化. 将“无解析式”的区域函数转化到“有解析式”的区间上求值.‎ 若               时 f (x) = sinx    试求           的值.‎ ‎ ‎ ‎(4)函数周期性应用于求单调区间 ‎【例题】 x∈R,求函数 y =sin2x + sinx cosx+2cos2x 的单调增区间.‎ ‎    【解答】‎ 函数的最小正周期为π.‎ ‎    令       得 ‎ 因为函数周期为π,故函数的单调增区间为 .‎ ‎【说明】 先求包含零点的增区间,再用最小正周期求单调增区间的集合.‎ 周期函数在高考中 ‎ ‎ ‎(5)周期性应用于求函数零点 ‎【例题】 已知函数 .‎ ‎【解答】  ‎ ‎           令            得 ‎ ‎    故交点横坐标的值的集合为 .‎ ‎【说明】 先求绝对值最小的解,再利用最小正周期求“通解”.‎ ‎ ‎ ‎5、高考史上的周期大难题 高考史上第一次“周期大难题”出现在恢复高考后的第3年,即1980年的理科数学卷上.‎ 本题排在该卷的第六大题上. 在有十个大题的试卷上,这是个中间位置,然而,从当年的得分情况来看,本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目. 这点为命题人事先未能预料.‎ 后来分析,该题的难点有三 .‎ ‎(1)函数抽象,导致周期中含有参数;(2)求参数范围,与解不等式综合;(3)求最小正整数解,连命题人自拟的“标答”都含糊不清. 20多年来数学界质疑不断.‎ ‎ ‎ ‎【考题】设三角函数 ,其中k≠0.‎ ‎(1)写出 f (x)极大值M、极小值m与最小正周期;‎ ‎(2)试求最小的正整数k,使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数 f (x)至少有一个值是M与一个值是m.‎ ‎【解答】 (1) M=1,m = -1, .‎ ‎ ‎ ‎(2)f (x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m .‎ 而任意两个整数间的距离都≥1因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m,必须且只须使f (x)的周期≤1即:k=32就是这样的最小正整数.‎ ‎ ‎ ‎6、高考史上的周期大错题 中学教材上的周期函数,一般都是简单和具体的函数. 关于最小正周期的求法,也是一些感性的结果;没有系统和完整“最小正周期”的系统研究.‎ 然而,随着“抽象函数”的不断升温,对周期函数周期的考点要求越来越高.‎ ‎2006年福建理数卷出现的“周期大错题”正是这种盲目拔高的必然结果.‎ ‎ ‎ ‎【例题】 f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是 A.2                 B.3                C.4                  D.5‎ ‎【说明】  这是2005年福建卷(理)第12题,命题组提供的答案是D,即答案为5. 答案D从何而来?以下,就是“D”的一种解法.‎ ‎【解答】 f (x)周期为3,由  f (2)=0,得  f (5) = f (2)=0,得 ‎ f (-1)= f (2-3) = f (2)=0,得  f (-4) = f (2-6) = f (2)=0‎ ‎ f (x)为奇函数,得  f (1) = - f (-1) =0       f (4)= - f (-4)=0,得 ‎ f (-0)= - f (0),得  f (0)=0       f (3)= f (3+0)= f (0)=0‎ 于是,求得 f (x)=0的解为:1、2、3、4、5. 共5个解,答案为D.‎ ‎【讨论】 除了上述解法得  f (x)=0的5个解外,还有如下的解.‎ 根据方程  f (x)=0的定义, x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解,证明如下:‎ 由  f (x)的周期性,知  f (-1.5)= f (1.5)       (1)‎ 由  f (x)的奇偶性,知  f (-1.5) = - f (1.5)     (2)‎ 从而有    f (1.5)=0,f (4.5) = f (1.5)=0.‎ 所以,1.5和4.5也是方程 f (x)=0的解.于是,方程的解共有7个:即是1、1.5、2、3、4、4.5、5.‎ ‎【思考】 按上面讨论的结果,方程 f (x) = 0的解至少有7个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案D是错的.‎ 高考史上的周期大错题 ‎ ‎ ‎【实验检验】 f (x)同时满足4个条件:(1)定义在R上;(2)奇函数;(3)周期为3;(4)f (2) =0. 据此,我们找到  f (x)的一个具体例子:‎ 并在区间(0,6)上找到 f (x)=0的7个解,列表如下:‎ ‎ ‎ 这7个解即是1,1.5,2,3,4,4.5,5.‎ ‎ ‎ 函数 在一个周期[0,3]上的图像如右. 图像与 x 轴有5个交点,故在[0,6]有9个交点,从而在(0,6)上有7个交点.‎ ‎【反思】 命题人的错误自然出在疏忽二字上. 实在地,本题较难,首先难倒了命题人自己.‎ 严格地讲,试题“超纲”. 对两个周期函数的和函数,其最小正周期是它们的“最小公倍数”——这本身就没有进行过证明,对某些具体函数可以具体分析,但对抽象函数来讲,却没有理论依据. 而本题,又恰恰是个抽象函数,而且是个综合问题. 命题出错似乎是必然的.‎
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