高考备考精品：数学解题能力快速提升
高考备考精品：数学解题能力快速提升
一．不等式解题方法
一、从与的大小说起
【引例】 正实数中，对任意a，b，m，都有
这就是“分数的基本性质”：分数的分子和分母乘以同一个正数，其值不变.
这，连小学生都知道. 但， 我们的话题却要从这儿开始.
【问题】对以上“性质”，如果将冒号后的文字改变一个字，将“乘”改成“加”，即变成 这里的等号还能成立吗？请看下例.
【例1】若b>a>0，m>0，则有
A. B. C. D.
【解答】 （淘汰法）令a=1，b=2，m=3 淘汰B，C，D，答案为A.
【例2】（变例1为解答题）若b>a>0，m>0，试比较和的大小.
【解1】 （比较法 作差—变形—判定符号）
因为
【解2】 （综合法 由因推果 由整式推出分式）
a
）
【说明】a放大为b，则缩小为，结果是分值缩小.
将缩成，目标是“约”去m.
【解5】 （放缩法 从左到右）
（ <）
【说明】 “最后”令kb=m的合理性来自正数k的任意性.事实上，我们可以提前设置m=kb.
将放成，目标是“添”上m.这里的第二步利用了连比定理.
放缩法实为对比较法、分析法、综合法等基本方法所得简单结果的一种整合运用.
【小结】 证不等式，比较法是基础，放缩法是整合，方法网络图如下：
【练习】 正实数中，求证 ≥
（Ⅰ）用比较法证明； （Ⅱ）用综合法证明；
（Ⅲ）用分析法证明； （Ⅳ）用放缩法证明.
二、比大小 从方程、函数到不等式
还是那个题目 b>a>0，m>0，求证
【法1】 （等式法 不等式变为方程）
设
得
即 x>0，故有 .
【说明】 这种等式法实为比较法的一种变式. 即作差法的另种形式.
【法2】 （等式法 未知数论设作因子）设
则 所以
【说明】 这种等式法为比较法的另一种形式. 即作商法的另种形式.
【法3】 （函数法 视m为x，）
设有函数
函数在［0，m］上是减函数，故
是［0，m］上的增函数.（图右，其中a=1，b=2）
f（0）0）是
（0，+∞）上的减函数.
【法4】 （不等式法 把证不等式化为解不等式）
解不等式
即 x=m为正数时，原不等式真.
【说明】 证不等式可视为一种特殊形式的解不等式.如证a2-a+1>0，即x2-x+1>0的解为R，视参数为变量. 解出的参数值域符合题设的取值范围即可.
【法5】 （极限法 把参数m作极端处理）
&nbs,p; 当m→0时，
当m→∞时，
故有
【说明】 对于解答题来讲，这种解法的理由不充分，因为对于函数f (m)=的单调性并没讲清楚，没有交待f(m)是上的增函数.
如果是确定性的选择题例1，即与的大小关系是确定的，不需要讨论m的范围时，则这种极限法是很简便的.
【小结】 真分数的“放大性”：真分数的分子和分母加上同一个正数，其值变大.
以这种“放大性”为基础，可推出许多重要的分式不等式，如
（1）|a+b|≤|a|+|b|≤≤
（2）数列an=是增数列；而数bn=是减数列.
【练习】 1.正数中，再证≥.分别用函数法、方法程和解不等式法.
2.用不同的方法证明≥.
3.用不同的方法证明≥.
三、千方百法 会战高考不等式
【考题1】 （2006年赣卷第5题）
对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f¢（x）³0，则必有（ ）
A． f（0）＋f（2）<2f（1） B. f（0）＋f（2）£2 f（1）
C. f（0）＋f（2）³2f（1） D. f（0）＋f（2）>2f（1）
【分析】 从已知条件（x-1）f ¢ (x)≥0出发，可得如下的不等式组
或. 因此f(x)有两种可能：其一，f (x)为常数；其二，f(x)在区间上为减函数，在上为增函数.
【解答】 （综合法）依题意，当x³1时，f¢（x）³0，函数f（x）在[1，＋¥上是增函数；当x<1时，f¢（x）£0，f（x）在（－¥，1）上是减函数．
所以 f（0）³f（1），f（2）³f（1），所以f(0)+f (2)≥2f (1),
当f (x)为常数函数时即f (x)=a(常数)，f ¢（x）=0，满足不等式(x-1) f¢（x）≥0成立.
此时f (0)+f (2)=2f(1)，所以f（0）＋f（2）≥2f（1）.故选C.
【说明】 本题如用分析法，即各选项反推，显然麻烦.
【考题2】 （2002年苏卷第22题 不等式与函数综合 不等式为主）
已知a>0，函数f(x)=ax-bx2.
（Ⅰ）当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明a≤；
（Ⅱ）当b>1时，证明：对任意x∈［0,1］，|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤；
（Ⅲ）当00，b>0，∴a≤.
【解Ⅱ】 先证必要性：
对任意x∈［0,1］，|f (x)|≤1-1≤f(x)，据此可以推出-1≤f (1)，即a-b≥-1，∴a≥b-1；
对任意x∈［0,1］，|f (x)|≤1f (x)≤1，因为b>1，可以推出≤1，
即 a·-1≤1，∴ a≤；∴ b-1≤a≤.
再证充分性：因为b>1，a≥b-1，对任意x∈［0,1］，可以推出ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1.
即 ax-bx2≥1；
因为b>1，a≤，对任意x∈［0,1］，可以推出ax-bx2≤≤1，即 ax-bx2≤1.
∴-1≤f(x)≤1.
综上，当b>1时，对任意x∈［0,1］，|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤.
【解Ⅲ】因为a>0，00，0N时，对任意b>0，都有
【分析】 ①本题的第（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）小题之间成梯式结构，（Ⅰ）是（Ⅱ）和（Ⅲ）的基础.从策略上看，如在（Ⅰ）上遇着困难，可承认（Ⅰ）的结论，并利用它迅速地解出（Ⅱ
）和（Ⅲ）来.此题恰恰是第（Ⅰ）难，而（Ⅱ）、（Ⅲ）容易.
②对于（Ⅰ），已知为两个不等式，而求证一个不等式.其基本思路是，对已知不等式用综合法“下推”，对求证不等式用分析法“上追”. 如：
欲使
只须 = 此时，“综合下推”的方向就清楚了.
【解Ⅰ】 ∵当n≥2时，，
∴，即，
于是有，，…，，
所有不等式两边相加可得
由已知不等式知，当n≥3时有
∵，∴
∴
【解Ⅱ】 ≤ 又an>0. 故有=0.
【解Ⅲ】 （放大为了化简） 令，
则有，
故取N=1024，可使当n>N时，都有
【说明】
本小题是条件不等式的证明，已知2个不等式，求证1个不等式.在分析——综合——放缩三法联合证明综合大题时，优先考虑分析法.随时思考待证的不等式需要什么，需要的东西如何从已知的不等式中得到.
【练习】 对考题3，已知条件不变，对设问作如下改写
（Ⅰ）设，利用数学归纳法证不等式
（Ⅱ）利用上述结果，证明不等式
二．函数最值的求解方法
一、二次函数最值寻根
初中生研究二次函数的最值，是从配方法开始的.
设a>0，f(x)=ax2+bx+c=
初三学生已知，二次函数f(x)，在a>0时，有最小值；a<0时，有最大值.
到了高中，学生更关心二次函数得到最值的条件，即上述不等式中等号成立的条件：.这个条件——自变量x的取值，称作二次函数最值对应的“最值点”（以下简称“最点”），俗称函数“最值的根”.
对于高一学生，老师把二次函数的“最值”与二次函数的“单调区间”相捆绑，要求用比较法探索“最点”.
【例1】 已知a>0，探索二次函数y = ax2+bx+c的单调区间.并指出函数的最值点.
【解答】 任取 x10 ) 有减区间和增区间.
显然，二次函数的最值点为，函数有最小值.
【评说】 从这里看到，二次函数的最点，就是两个“异性”单调区间的交接点.
【练1】 试研究一次函数没有最点，从而没有最值.
【解】 任取，则有
（1）时，，函数在R上为增函数.
时，;时，.
（2）时，，函数在R上为减函数.
时，;时，.
所以，一次函数在R上没有最点，从而一次函数无最值（既无最大值，也无最小值）.
【说明】 一次函数定义在R上，定义域内找不到这样的“点”，使得该点两边邻域是异性的两个单调区间.本例从反面看到：最点是单调区间的“变性”的“转折点”.
二、从到
高中生将“最点”变形为，并由此得到一个一次函数.
精明的学生发现，这个一次函数与对应的二次函数有某种“关系”，甚至有学生在偷偷地利用这种“关系”.
这种“关系”到了高三才彻底解决：函数正是函数的导函数，即.
函数求“最根”的问题，正好是的导函数的“求根”问题.
导函数的根，就是的驻点.很清楚，二次函数的驻点就是二次函数的最点.
问题变得这么明朗：求的最点，就是求的根.俗说中“最根”，真的与“根”字巧合了.
【例2】 设，在同一坐标系中，分别作得和的图象（如右）.
试说明的正负性与单调性的对应关系.
【解析】 与相交于.
（1）时，,递减；
（2）时，,递增；
（3）时，,得到最小值.
故对应关系为：（1）负区与的减区对应；
（2<, SPAN style="COLOR: black; FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: Times New Roman; mso-hansi-font-family: Times New Roman">）正区与的增区对应；
（3）零点与的最值对应.
【练2】 已知二次函数的导函数图象如右图的直线，则有
（1）=（ ），增区间为（ ），减区间为（ ）；
（2）的最（ ）值为（ ）；
（3）若，求的解析式.
【解答】 从右图上看到
（1）的根为，故有=1；
（2）时，>0，故的增区间为；
时，<0，故的减区间为；
（3）有最大值，最大值为.
（4）
令，图上知；
令，得.
故有.
【说明】 注意与并非一一对应，每一个这样的都对应着一个确定的，反过来，每一个这样的却对应着无穷个
，它们只是相差一个常数c.这就是本题中，为什么已经知道了的图象后，还要给出时才能确定的解析式.
三、三次函数的驻点、极点和最点
一次函数没有驻点，自然没有最点.
二次函数有一个驻点，这个驻点就是二次函数的最点.
三次函数呢？
三次函数的导函数是二次函数，这个二次函数根的情况有3种：（1）有2个相异的根，（2）有2个相同的根；（3）无根.
如果三次函数的导函数无根，则无驻点，自然也无最点，也无最值.
如果有根呢？自然一定有驻点.
那么，这些驻点是否为其最点呢？
【例3】 研究函数的驻点、极点和最点.
【解析】 令，得，为的2个驻点.
（1）时，>0，函数递增；
（2）时，<0，函数递减；
（3）时，>0，函数递增.
故在有极大值，在上有极小值.
故，是的2个极点，前者为极大点，后者为极小点.
又时，，故函数既无最大值，也无最小值.从而无最点.
【说明】 这是三次函数有2个驻点，且都为极点的例子.而三次函数无驻点或有驻点但不是极点的例子如下（练3）.
【练3】 研究下列三次函数的驻点、极点、最点和单调区间.
（1） （2）
【解析】 （1）,函数无驻点，无极点，无最点. 是上的增函数.
（2）,
有2个重合的驻点.
（1）当时，，函数递增，
（2）当时，，函数也递增.
因此，驻点不能分出两个“相异”的单调区间，故不是的极点，无极点，当然也无最点.
是R上的增函数.
【说明】 函数相重合的两驻点不成为极点，可理解为它们消去了“中间”的一个“相异”的单调区间后，将两边的“同性”的单调区进行了链接而成为一个单调区间.
经过以上的讨论得知，定义在R上的三次函数，不管它有无驻点或极点，它是不会有最点的。
四、极点何时为最点
不重合的2个驻点可以分别成为极点.那么，在什么条件下极点成为最点呢？
驻点是极点的必要不充分条件，那么极点是最点的什么条件呢？
我们研究，极点何时成为最点.
【例4】 已知的导函数，试探究的极点和最点.
【解析】 .
有3个相异的根：它们都是的极点.
易知原函数 （R）
易知为的减区间，为的增区间，为的减区间，为的增区间.
的4个单调区间依次成“减——增——减——增”的顺序，使得首、尾两个区间的单调性相异，从而使得在“两次探底”中得到最（小）点.
比较三个极值的大小：
得的最小值为，对应两个最小点和1.
【说明】 定义在一个开区间上的可导函数如果有n个极点：x1
杨辉三角形本来就是二项式展开式的算图. 对杨辉三角形熟悉的考生，比如他熟悉到了它的第6行：
1，6，15，20，15，6，1
那么他可以心算不动笔，对本题做到一望而答.
杨辉三角形在3年内考了5个（相关的）题目，这正是高考改革强调“多想少算”、“逻辑思维与直觉思维并重”的结果. 这5个考题都与二项式展开式的系数相关，说明数形结合思想正在高考命题中进行深层次地渗透.
四．函数周期性的求解
1、正弦函数的周期
三角函数，以正弦函数 y = sin x为代表，是典型的周期函数.
幂函数 y = xα 无周期性，指数函数 y = ax 无周期性，对数函数 y =logax无周期，
一次函数 y = kx+b、二次函数 y = ax2+bx+c、三次函数 y = ax3+bx2 + cx+d
无周期性.
周期性是三角函数独有的特性.
（1）正弦函数 y=sin x 的最小正周期
在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线
段MP.
正弦函数的周期性
动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位置
和变化方向重现一次.
同时还看到，当P的旋转量不到一周时，正
弦线的即时位置包括变化方向不会重现.
因此，正弦函数y=sinx的最小正周期2π.
（2）y=sin（ωx）的最小正周期
设ω>0，y =sin（ωx）的最小正周期设为L .
按定义 y = sin ω（x+L） = sin（ωx+ ωL） = sinωx .
令ωx = x 则有 sin （x + ωL） = sin x
因为sinx最小正周期是2π，所以有
例如 sin2x的最小正周期为
sin的最小正周期为
（3）正弦函数 y=sin（ωx+φ） 的周期性
对正弦函数sinx的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx+φ）.
它的最小正周期与y = sinωx的最小正周期相同，都是.
如的最小周期与 y = sin（3x）相同，都是.
于是，余弦函数的最小正周期与sinx的
最小正周期相同，都是2π.
2、复合函数的周期性
将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x→ωx，sinx →sinωx
后者周期变为
而在以下的各种变换中，如
（1）初相变换sinωx → sin（ ωx+φ）；
（2）振幅变换sin（ωx +φ）→ Asin（ ωx+φ）；
（3）纵移变换 Asin（ ωx +φ） → Asin（ ωx+φ）+m；
后者周期都不变，亦即 Asin（ ωx +φ） +m与sin（ωx）的周期相同，都是.
而对复合函数 f （sinx）的周期性，由具体问题确定.
（1）复合函数 f（sinx） 的周期性
【例题】 研究以下函数的周期性：
（1）2 sinx； （2）
（2）的定义域为［2kπ，2kπ+π］，值域为［0，1］，作图可知， 它是最小正周期为
2π的周期函数.
【解答】 （1）2sinx 的定义域为R，值域为，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数.
【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，loga x，sinx，，
sin（sinx）都是最小正周期2π的周期函数.
（2）y= sin3 x 的周期性
对于y = sin3x =(sinx)3，L=2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？
我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.
图上看到，y = sin3x 没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.
（3）y= sin2 x 的周期性
对于y = sin2x = (sinx)2，L=2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？
可以通过作图判定，分别列表作图如下.
图上看到，y = sin2x 的最小正周期为π，不是2π.
（4）sin2n x 和sin2n-1 x 的周期性
y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到.
因为 cos2x 的周期是π，故 sin2x的周期也是π.
sin2x的周期，由cosx的2π变为sin2x的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.
因此，正弦函数sinx的幂符合函数sinmx，当m=2n时，sinm x的最小正周期为π；m = 2n–1时，
sinmx的最小正周期是2π.
（5）幂复合函数举例
【例1】 求 y =|sinx|的最小正周期.
【解答】 最小正周期为π.
【例2】 求的最小正周期.
【解答】 最小正周期为2π.
【例3】 求的最小正周期.
【解答】 最小正周期为π.
【说明】 正弦函数sinx的幂复合函数.
当q为奇数时，周期为2π；q为偶数时，周期为π.
3、周期函数的和函数
两个周期函数，如 sin x 和 cosx ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，
即 sinx + cos x的最小正周期如何？
和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.
对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？
（1）函数 sinx + sin2 x 的周期性
sin x的最小正周期为2π，sin2x的最小正周期是π，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？
列表如下.
表上看到函数sinx+sin2x的最小正周期是2π.
（2）函数 sinx + sin2x 的周期性
依据上表，作sinx+sin2x 的图像如右.
从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由sinx，
sin2x的最小正周期中的大者决定，因为前者是后
者的2倍.从图上看到，sinx+sin2x仍然是个“振动
函数”，但振幅已经不是常数了.
（3）函数sinx+sinx的周期性
sinx的最小正周期为2π，sinx的最小正周期是3π.
们之间的和sinx + sinx的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3π吗？
不妨按周期定义进行检验. 设
则x0 +3π=
因此3π不是sinx + sinx的最小正周期.
通过作图、直观看到，sinx+sinx的最小正周期为6π，即sinx和sinx最小正周期的最小倍数.
4、周期函数在高考中
三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比分约占高考总分的七分之一，与立体几何相当. 与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数列、向量等内容综合.
正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性.
关系到正弦函数的试题，有2种形式.
（1）直接考，求正弦函数的最小正周期.
（2）间接考，考周期在正弦函数性质中的应用. 求单调区间，求最值，简单方程的通解等.
（1）求正弦函数的周期
【例1】 函数 y =|sin |的最小正周期为
（A） （B）π （C）2π （D）4π
【解答】
最小正周期是 最小正周期的一半，即2π. 答案为（C）
【说明】 图象法判定最简便，|sin x|的图象是将sin x的图象在x轴下方部分折到x轴上方去.
倍角法定判定最麻烦
【解答】 （1）y = 2cos2x + 1的最小正周期由cos2x决定
（2）求正弦函数的周期
【例2】 （1）y =2cos2x+1的最小正周期为 .
（2）y =|sinx + cosx|的最小正周期为 .
【解答】 （1）y = 2cos2x + 1的最小正周期由cos2x决定，故答案为π.
（2） 故答案为π.
【说明】 都可看作sinx的幂函数的复合函数.
（3）函数周期性应用于求值
【例题】 f (x)是R上的偶函数，且是最小正周期为π的周期函数.
【解答】
【说明】 周期性应用于区域转化. 将“无解析式”的区域函数转化到“有解析式”的区间上求值.
若 时 f (x) = sinx 试求 的值.
（4）函数周期性应用于求单调区间
【例题】 x∈R，求函数 y =sin2x + sinx cosx+2cos2x 的单调增区间.
【解答】
函数的最小正周期为π.
令 得
因为函数周期为π，故函数的单调增区间为 .
【说明】 先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合.
周期函数在高考中
（5）周期性应用于求函数零点
【例题】 已知函数 .
【解答】
令 得
故交点横坐标的值的集合为 .
【说明】 先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求“通解”.
5、高考史上的周期大难题
高考史上第一次“周期大难题”出现在恢复高考后的第3年，即1980年的理科数学卷上.
本题排在该卷的第六大题上. 在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目. 这点为命题人事先未能预料.
后来分析，该题的难点有三 .
（1）函数抽象，导致周期中含有参数；（2）求参数范围，与解不等式综合；（3）求最小正整数解，连命题人自拟的“标答”都含糊不清. 20多年来数学界质疑不断.
【考题】设三角函数 ，其中k≠0.
（1）写出 f (x)极大值M、极小值m与最小正周期;
（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f (x)至少有一个值是M与一个值是m.
【解答】 （1） M=1，m = -1， .
（2）f (x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m .
而任意两个整数间的距离都≥1因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m，必须且只须使f (x)的周期≤1即：k=32就是这样的最小正整数.
6、高考史上的周期大错题
中学教材上的周期函数，一般都是简单和具体的函数. 关于最小正周期的求法，也是一些感性的结果；没有系统和完整“最小正周期”的系统研究.
然而，随着“抽象函数”的不断升温，对周期函数周期的考点要求越来越高.
2006年福建理数卷出现的“周期大错题”正是这种盲目拔高的必然结果.
【例题】 f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是
A.2 B.3 C.4 D.5
【说明】 这是2005年福建卷（理）第12题，命题组提供的答案是D，即答案为5. 答案D从何而来？以下，就是“D”的一种解法.
【解答】 f (x)周期为3，由 f (2)=0，得 f (5) = f (2)=0，得
f (-1)= f (2-3) = f (2)=0，得 f (-4) = f (2-6) = f (2)=0
f (x)为奇函数，得 f (1) = - f (-1) =0 f (4)= - f (-4)=0，得
f (-0)= - f (0)，得 f (0)=0 f (3)= f (3+0)= f (0)=0
于是，求得 f (x)=0的解为：1、2、3、4、5. 共5个解，答案为D.
【讨论】 除了上述解法得 f (x)=0的5个解外，还有如下的解.
根据方程 f (x)=0的定义， x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解，证明如下：
由 f (x)的周期性，知 f (-1.5)= f (1.5) （1）
由 f (x)的奇偶性，知 f (-1.5) = - f (1.5) （2）
从而有 f (1.5)=0，f (4.5) = f (1.5)=0.
所以，1.5和4.5也是方程 f (x)=0的解.于是，方程的解共有7个：即是1、1.5、2、3、4、4.5、5.
【思考】 按上面讨论的结果，方程 f (x) = 0的解至少有7个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案D是错的.
高考史上的周期大错题
【实验检验】 f (x)同时满足4个条件：（1）定义在R上；（2）奇函数；（3）周期为3；（4）f (2) =0. 据此，我们找到 f (x)的一个具体例子：
并在区间（0，6）上找到 f (x)=0的7个解，列表如下：
这7个解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5.
函数 在一个周期［0，3］上的图像如右. 图像与 x 轴有5个交点，故在［0，6］有9个交点，从而在（0，6）上有7个交点.
【反思】 命题人的错误自然出在疏忽二字上. 实在地，本题较难，首先难倒了命题人自己.
严格地讲，试题“超纲”. 对两个周期函数的和函数，其最小正周期是它们的“最小公倍数”——这本身就没有进行过证明，对某些具体函数可以具体分析，但对抽象函数来讲，却没有理论依据. 而本题，又恰恰是个抽象函数，而且是个综合问题. 命题出错似乎是必然的.
