2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章专题探究课二三角函数问题
高考导航 从近几年的高考试题看，全国卷交替考查三角函数、解三角形．该部分解答题是高考得分的基本组成部分，不能掉以轻心．该部分的解答题考查的热点题型有：一考查三角函数的图像变换以及单调性、最值等；二考查解三角形问题；三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题，在解题过程中抓住平面向量作为解决问题的工具，要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化．
热点一 三角函数的图像和性质(规范解答)
注意对基本三角函数y＝sin x，y＝cos x的图像与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图像的平移、由图像求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解．
【例1】 (满分13分)(2015·北京卷)已知函数f(x)＝sin x－2sin2.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最小值．
满分解答 (1)因为f(x)＝sin x＋cos x－.2分
＝2sin－.4分
所以f(x)的最小正周期为2π.6分
(2)因为0≤x≤，
所以≤x＋≤π.8分
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值.11分
所以f(x)在区间上的最小值为f＝－.13分
❶将f(x)化为asin x＋bcos x＋c形式得…………2分；
❷将f(x)化为Asin(ωx＋φ)＋h形式得…………2分；
❸求出最小正周期得…………2分．
❹写出ωx＋φ的取值范围得…………2分．
❺利用单调性分析最值得…………3分．
❻求出最值得…………2分．
求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B周期与最值的模板
第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h或y＝Acos(ωx＋φ)＋h的形式；
第二步：由T＝求最小正周期；
第三步：确定f(x)的单调性；
第四步：确定各单调区间端点处的函数值；
第五步：明确规范地表达结论．
【训练1】 设函数f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)的图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解 (1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx
＝－·－sin 2ωx
＝cos 2ωx－sin 2ωx＝－sin.
因为y＝f(x)的图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，故该函数的周期T＝4×＝π.又ω＞0，所以＝π，因此ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝－sin.设t＝2x－，则函数f(x)可转化为y＝－sin t.
当π≤x≤时，≤t＝2x－≤ ，
如图所示，作出函数y＝sin t在 上的图像，
由图像可知，当t∈时，sin t∈，
故－1≤－sin t≤，因此－1≤f(x)＝－sin≤.
故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.
热点二 解三角形
高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题．
【例2】 (2017·咸阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(x)＝2sin(x－A)cos x＋sin(B＋C)(x∈R)，函数f(x)的图像关于点对称．
(1)当x∈时，求函数f(x)的值域；
(2)若a＝7，且sin B＋sin C＝，求△ABC的面积．
解 (1)∵f(x)＝2sin(x－A)cos x＋sin(B＋C)
＝2(sin xcos A－cos xsin A)cos x＋sin A
＝2sin xcos Acos x－2cos2xsin A＋sin A
＝sin 2xcos A－cos 2xsin A＝sin(2x－A)，
又函数f(x)的图像关于点对称，
则f＝0，即sin＝0，
又A∈(0，π)，则A＝，
则f(x)＝sin.
由于x∈，
则2x－∈，
即－
b＝，∴a＋c∈(，2]．
即a＋c的取值范围是(，2].
探究提高 向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．
【训练3】 已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图像过点和点.
(1)求m，n的值；
(2)将y＝f(x)的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．
解 (1)由题意知f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x.
因为y＝f(x)的图像过点和，
所以
即解得
(2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin.
设y＝g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0,2)，
由题意知x＋1＝1，所以x0＝0，
即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．
将其代入y＝g(x)得sin＝1，
因为0<φ<π，所以φ＝，
因此g(x)＝2sin＝2cos 2x.
由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z.
所以函数y＝g(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(建议用时：70分钟)
1．(2017·南昌调研)函数f(x)＝3sin的部分图像如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
(2)求f(x)在区间上最大值和最小值．
解 (1)由题得，f(x)的最小正周期为π，y0＝3.
当y0＝3时，sin＝1，
由题干图像可得2x0＋＝2π＋，
解得x0＝.
(2)因为x∈，
所以2x＋∈.
于是：当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.
2．(2017·郑州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知asin 2B＝bsin A.
(1)求B；
(2)若cos A＝，求sin C的值．
解 (1)在△ABC中，
由＝，
可得asin B＝bsin A，
又由asin 2B＝bsin A，
得2asin Bcos B＝bsin A＝asin B，
又B∈(0，π)，所以sin B≠0，
所以cos B＝，
得B＝.
(2)由cos A＝，A∈(0，π)，得sin A＝，
则sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)，
所以sin C＝sin
＝sin A＋cos A＝.
3．(2017·西安调研)设函数f(x)＝sin＋2sin2(ω＞0)，已知函数f(x)的图像的相邻两对称轴间的距离为π.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(其中b＜c)，且f(A)＝，△ABC的面积为S＝6，a＝2，求b，c的值．
解 (1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋1－cos ωx
＝sin ωx－cos ωx＋1＝sin＋1.
∵函数f(x)的图像的相邻两对称轴间的距离为π，
∴函数f(x)的周期为2π.∴ω＝1.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝sin＋1.
(2)由f(A)＝，得sin＝.
又∵A∈(0，π)，∴A＝.
∵S＝bcsin A＝6，∴bcsin ＝6，bc＝24，
由余弦定理，得a2＝(2)2＝b2＋c2－2bccos ＝b2＋c2－24.
∴b2＋c2＝52，又∵b＜c，解得b＝4，c＝6.
4．(2016·济南名校联考)已知函数f(x)＝sin ωx＋2cos2＋1－(ω＞0)的周期为π.
(1)求f(x)的解析式并求其单调递增区间；
(2)将f(x)的图像先向下平移1个单位长度，再向左平移φ(φ＞0)个单位长度得到函数h(x)的图像，若h(x)为奇函数，求φ的最小值．
解 (1)f(x)＝sin ωx＋2cos2＋1－＝
sin ωx＋2×＋1－
＝sin ωx＋cos ωx＋1＝2sin(ωx＋)＋1.
又函数f(x)的周期为π，因此 ＝π，∴ω＝2.
故f(x)＝2sin＋1.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，即函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由题意可知h(x)＝2sin，
又h(x)为奇函数，则2φ＋＝kπ，
∴φ＝－(k∈Z)．∵φ＞0，∴当k＝1时，φ取最小值.
5．已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝
(2sin B，－)，n＝(cos 2B,2cos2－1)，且m∥n.
(1)求锐角B的大小；
(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值．
解 (1)∵m∥n，
∴2sin B＝－cos 2B，
∴sin 2B＝－cos 2B，即tan 2B＝－.
又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)，
∴2B＝，∴B＝.
(2)∵B＝，b＝2，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得a2＋c2－ac－4＝0.
又a2＋c2≥2ac，代入上式，得ac≤4，
当且仅当a＝c＝2时等号成立．
故S△ABC＝acsin B＝ac≤，
当且仅当a＝c＝2时等号成立，
即S△ABC的最大值为.
6．(2017·合肥模拟)已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R.
(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．
解 (1)f(x)＝2 cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos，
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数y＝f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1，
∴cos＝－1，又＜2A＋＜，
∴2A＋＝π，即A＝.
∵a＝，∴由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7.①
∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，
∴2sin B＝3sin C，由正弦定理得2b＝3c，②
由①②得b＝3，c＝2.
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