1962年全国高考数学试题及其解析

1962年全国高考数学试题及其解析

‎1962年全国高考数学试题及其解析 试卷上不必抄题,但须写明题号,例如1,5(1)等 ‎1．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长21％.问平均每年比上一年增长百分之几?又第一年的产量是第三年的产量的百分之几?(精确到1％)‎ ‎2．求(1-2i)5的实部.‎ ‎3．解方程:log(x-5)+log(x+3)-2log2=log(2x-9).‎ ‎4.‎ ‎5．.求证:(1)圆内接平行四边形是矩形;‎ ‎(2)圆外切平行四边形是菱形.‎ ‎6．解方程组:‎ 并讨论:a取哪些实数值时,这个方程组 ‎(1) 有不同的两组实数解;‎ ‎(2) 有相同的两组实数解;‎ ‎(3) 没有实数解.‎ ‎7．如图,ABCD和ABCD都是正方形,而A、B、C、D顺次分AB、BC、CD、DA成m:n,并设AB=1.‎ ‎(1) 求正方形ABCD的面积;‎ ‎8 ．D是△ABC内的一点,已知 AB=AC=1, ∠CAB=63°,‎ ‎∠DAB=33°, ∠DBA=27°,‎ 求CD.(sin27°=0.4540.最后结果计算到小数点后两位.)‎ ‎9．由正方体ABCD-A1B‎1C1D1的顶点A作这个正方体的对角线A‎1C的垂线,垂足为E.证明:‎ A1E:EC=1:2.‎ ‎(要求画图)‎ ‎10．求证:两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面内.‎ ‎ ‎ ‎1962年试题参考答案 ‎1.解(1)设每年平均增长x％,则 ‎∴ x=10.‎ 答:每年平均增长10％.‎ 答:第一年产量是第三年的83％.‎ ‎∴(1-2i)5的实部是 ‎1+10(2i)2+5(2i)4=1-40+80=41.‎ ‎3.解原方程可以写成 或者 (x-5)(x+3)=4(2x-9).‎ 化简,得 x2-10x+21=0,‎ 或 (x-3)(x-7)=0.‎ ‎∴ x1=3,x2=7.‎ 当x=3时,x-5<0,而log(x-5)无意义,所以3不是原方程的解,经检验,x=7是原方程的解.‎ ‎5.证明(1)设ABCD为圆内接平行四边形,因为平行四边形的对角相等,‎ 所以 ‎∠A=∠C.‎ 又因圆内接四边形的对角互补,得 ‎∠A+∠C=180°,‎ ‎∴ ∠A=∠C=90°,‎ ‎∴ ABCD是矩形. ‎ ‎(2)设平行四边形ABCD切圆于E、F、G、H(如图),则因从圆外一点所作的两条切线等长,得 四式相加,得 AB+CD=AD+BC.‎ 又因平行四边形的对边相等,得 AB=CD, AD=BC.‎ ‎∴ AB=BC ‎∴ ABCD是菱形.‎ ‎6.解:‎ 由(2), x=y-a, (3)‎ 代入(1),得 y2-4(y-a)-2y+1=0,‎ 即 y2-6y+‎4a+1=0.‎ 代入(3),得 方程组的解为:‎ 讨论:‎ ‎(1)当a<2时,方程组有不同的两组实数解;‎ ‎(2)当a=2时,方程组有相同的两组实数解;‎ ‎(3)当a>2时,方程组没有实数解.‎ ‎7.解:(1)由于AB=1,AA:AB=m:n,得知 又知BAB为直角三角形,‎ 故正方形ABCD的面积为 ‎8.解:在△ABD内,‎ 故根据正弦定理,‎ 又 ∠DAC=63°-33°=30°,‎ 故根据余弦定理,在△ADC内,‎ CD2=1+AD2-2ADcos30°‎ ‎=1+0.9080×(0.3027-1)‎ ‎=1-0.9080×0.6973‎ ‎=1-0.6331‎ ‎=0.3669.‎ ‎∴ CD=0.60. ‎ ‎9.证明;‎ 作AC,则A‎1A⊥AC.‎ 故△A‎1AC为直角三角形.‎ 设正方体的棱长为1,则 在直角三角形A‎1AC中,AE⊥A‎1C,‎ ‎∴A‎1A2=A1E·A‎1C, 即1=AE·A‎1C.‎ 同理,AC2=EC·A‎1C, 即2=EC·A‎1C.‎ 由此得 A1E:EC=1:2. ‎ ‎10.证明:在这四条直线中,任取两条直线a、b,设其交点为P.因为四条直线不通过同一点,所以在另外两条直线中,至少有一条直线c不通过P,直线c必与a、b分别交于不同的两点.因此,c必在a、b所决定的平面内.‎ 第四条直线d与a、b、c至少交于两个不同的点,所以d也在a、b所决定的平面内.‎