2010年全国高考数学试题及答案-全国2卷

2010年全国高考数学试题及答案-全国2卷

绝密★启用前 ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）‎ 文科数学 第Ⅰ卷 （选择题）‎ 本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 参考公式：‎ 如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 ‎ S=4πR2‎ 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 ‎ 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么 ‎ n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 一、选择题 ‎（1）设全集，集合,则（　　）‎ ‎（Ａ）　　　　（Ｂ）　　　（Ｃ）　 （Ｄ）‎ ‎（２）不等式的解集为（　　）‎ ‎（Ａ）　　　　　　　（Ｂ）‎ ‎（Ｃ）　　　　 （Ｄ）‎ ‎（3）已知，则 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎（4）函数的反函数是 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎(5) 若变量满足约束条件，则的最大值为 ‎(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4‎ ‎（6）如果等差数列中，++=12，那么 ++…+=‎ ‎(A) 14 (B) 21 (C) 28 (D)35‎ ‎（7）若曲线在点处的切线方程式，则 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（8）已知三棱锥中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（9）将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有 ‎（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种 ‎（10）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若，，，则=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点 ‎（A）有且只有1个 （B）有且只有2个 ‎（C）有且只有3个 （D）有无数个 ‎（12）已知椭圆C：+=1的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k ‎＞0）的直线与C相交于A、B两点，若=3，则k=‎ ‎（A）1 （B） （C） （D）2‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎（13）已知是第二象限的角，，则___________.‎ ‎(14) 的展开式中的系数是__________‎ ‎ (15) 已知抛物线的准线为，过M(1,0)且斜率为的直线与相交于点A,与C的一个交点为B,若，，则等于_________.‎ ‎（16）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆Ｍ与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=________________.‎ 三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分10分）‎ ‎△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33, ,.求AD.‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 已知是各项均为正数的等比例数列，且 ‎，.‎ ‎ (Ⅰ) 求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设,求数列的前项和.‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，直三棱柱ABC-A1B‎1C1中，AC＝BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1.‎ ‎（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；‎ ‎（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45o,求二面角A1-AC1-B1的大小.‎ ‎ ‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立.已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）设，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设在区间（2,3）中至少有一个极值点，求的取值范围.‎ ‎（22）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知斜率为1的直线与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为.‎ ‎（Ⅰ）求C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：过A、B、D三点的圆与轴相切.‎ ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案和评分参考 一、选择题 ‎1. C 2. A 3. B 4. D 5. C 6. C 7. A 8. D 9. B ‎10. B 11. D 12. B 二、填空题 ‎ 13. 14. 84 15. 2 16. 3‎ 三、解答题 ‎（17）解：‎ ‎ 由 ‎ 由已知得，‎ ‎ 从而 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎ 由正弦定理得 ‎ ,‎ ‎ 所以 ‎ .‎ ‎（18）解：‎ ‎（Ⅰ）设公比为q，则.由已知有 化简得 又，故 所以 ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 因此 ‎（19）解法一：‎ ‎（Ⅰ）连结,记与的交点为F.因为面为正方形，故，且.又，所以，又D为的中点，故.‎ 作,G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.‎ 又由底面面，得.‎ 连结DG，则，故,由三垂线定理，得.‎ 所以DE为异面直线与CD的公垂线.‎ ‎（Ⅱ）因为，故为异面直线与的夹角，.‎ 设AB=2，则，，,.‎ 作,H为垂足，因为底面,故，‎ 又作，K为垂足，连结,由三垂线定理，得，因此为二面角的平面角 所以二面角的大小为 解法二：‎ ‎（Ⅰ）以B为坐标原点，射线BA为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设AB=2，则A（2,0,0,），，D（0,1,0），，‎ 又设C（1,0,c）,则.‎ 于是.‎ 故,‎ 所以DE为异面直线与CD的公垂线.‎ ‎（Ⅱ）因为等于异面直线与CD的夹角，‎ 故 ，‎ 即 ，‎ 解得 ，故，‎ 又，‎ 所以，‎ 设平面的法向量为，‎ 则 即 令，则，故 令平面的法向量为 则，即 令，则，故 所以 .‎ 由于等于二面角的平面角，‎ 所以二面角的大小为.‎ ‎（20）解：‎ 记表示事件：电流能通过 A表示事件：中至少有一个能通过电流，‎ B表示事件：电流能在M与N之间通过，‎ ‎（Ⅰ）相互独立，‎ ‎ ,‎ 又 ，‎ 故 ，‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ =0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9‎ ‎ =0.9891‎ ‎（21）解：‎ ‎（Ⅰ）当a=2时，‎ 当时在单调增加；‎ 当时在单调减少；‎ 当时在单调增加；‎ 综上所述，的单调递增区间是和，‎ 的单调递减区间是 ‎（Ⅱ），‎ 当时，为增函数，故无极值点；‎ 当时，有两个根 由题意知，‎ ‎①式无解，②式的解为，‎ 因此的取值范围是.‎ ‎（22）解：‎ ‎（Ⅰ）由题设知，的方程为：，‎ 代入C的方程，并化简，得，‎ 设 ，‎ 则 ①‎ 由为BD的中点知，故 即， ②‎ 故 所以C的离心率 ‎（Ⅱ）由①②知，C的方程为：，‎ 故不妨设，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 又 ，‎ 故 ，‎ 解得，或（舍去），‎ 故，‎ 连结MA，则由，知，从而,且轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与轴相切，所以过A、B、D三点的圆与轴相切. ‎