高考数学参数方程和普通方程的互化练习题

高考数学参数方程和普通方程的互化练习题

‎【参数方程和普通方程的互化】‎ 例1 求曲线（为参数）与曲线（为参数）的交点．‎ ‎    解：把代入 ‎    得：两式平方相加可得 ‎    ∴ （舍去）‎ ‎    于是即所求二曲线的交点是（.－）．‎ ‎    说明：在求由参数方程所确定的两曲线的交点时.最好由参数方程组求解.如果化为普通方程求交点时要注意等价性．如该例若化为普通方程求解时要注意点（－.）是增解．‎ 例2化直线的普通方程为参数方程（其中倾斜角满足且）‎ 解法一：因..故 ‎∴ ‎ 设。取为参数.则得所求参数方程 ‎    解法二：如图.（）为直线上的定点.为直线上的动点．因动点M与的数量一一对应（当M在的向上方向或正右方时.；当M在的下方或正左方时.；当M与重合时.）.故取为参数．‎ 过点M作y轴的平行线.过点作轴的平行线.两直线相交于点Q（如图）．则有 ‎∴ ‎ 即为所求的参数方程。‎ ‎    说明：①在解法二中.不必限定..即不必限定.．由此可知.无论中任意值时.所得方程都是经过（）.倾斜角为的直线的参数方程．可称它是直线参数方程的“点角式”或“标准式”．‎ ‎    ②要充分理解解法二所示的参数的几何意义.这对解决某些问题较为方便．‎ ‎③如果取为参数.则得直线参数方程 ‎    一般地.直线的参数方程的一般形式是 ‎     （.为参数）‎ 但只有当且仅当.且时.这个一般式才是标准式.参数才具有上述的几何意义．‎ 例3 求椭圆的参数方程．‎ ‎    分析一：把与对比.不难发现.可设.也可设 解法一：设（为参数）.则 ‎∴ ‎ ‎    故 ‎    因此.所得参数方程是 ‎   （Ⅰ）或  （Ⅱ）‎ ‎    由于曲线（Ⅱ）上的点（.）.就是曲线（Ⅰ）上的点（.）.所以曲线（Ⅱ）上的点都是曲线（Ⅰ）上的点．‎ 显然．椭圆的参数方程是 分析二：借助于椭圆的辅助圆.可明确椭圆参数方程中的几何意义．‎ 解法二：以原点O为圆心.为半径作圆.如图．设以轴正半轴为始边.以动半径OA为终边的变角为.过点A作轴于N.交椭圆于M.取为参数.则点M（）的横坐标（以下同解法一）．‎ ‎    由解法二知.参数是点M所对应的圆半径OA的转角.而不是OM的转角.因而称为椭圆的离角．（如果以O为圆心.为半径作圆.过M作.交圆于B.由可知也是半径OB的转角）．‎ ‎    例4  用圆上任一点的半径与x轴正方向的夹角为参数.把圆化为参数方程。‎ 分析：由圆的性质及三角函数的定义可把圆上任意一点化为的参数形式。‎ 解：如图所示.圆方程化为.设圆与x轴正半轴交于A.为圆上任一点.过P作轴于B.OP与x轴正半轴所成角为..则：‎ 又中.‎ ‎∴‎ ‎∴此圆的参数方程为 例5  设（为参数）把普通方程化为以为参数的参数方程。‎ 解：把代入原方程.得.‎ 解得  ‎ ‎∴参数方程为  （为参数）‎ ‎∵与表示的是同一曲线.所以它们是等价的.可以省略一个。‎ ‎∴所求参数方程 例6  化双曲线为参数方程。‎ 解：设.代入为.得 ‎∴的参数方程为（为参数.）‎ 这是同学中较为常见的解法.这种解法是错误的.那么错在哪里呢？请你找出来。‎ 错误在于.双曲线上x的取值范围是不等于零的一切实数.错解中得到的参数方程中x的取值范围仅仅.故错解中得到的参数方程只表示双曲线上一部分.不符合普通方程与参数方程的等价性要求.普通方程化为参数方程时关键是选择适当的参数.注意使所得参数方程与原普通方程中变量x、y的允许值范围要保持一致。‎ 下面给出正确解法：设.代入得。‎ ‎∴的参数方程为：（为参数.）‎ 例7 化参数方程 ‎（为参数）为普通方程。‎ 分析一：用代入消元法.从已知方程中解出参数.代入后消去参数。‎ 解法一：∵‎ ‎∴  即 将它代入（1）.并化简得 ‎（）‎ 分析二：用整体消参法。注意表达式的分母相同.而分子的平方和恰为原来相同的分母。‎ 解法二：得 又∵   ∴ ‎ 于是得所求普通方程为 即 分析三：因为.所以。从表达式可联想万能公式。于是可用三角变换.然后利用三角公式再消参。‎ 解法三：∵.‎ ‎∴ 可令（.）‎ 又∵‎ 于是得 得  ‎ 即 ‎∵.（）‎ ‎∴（）‎ 即.∴‎ ‎∴普通方程是（）‎ 说明：解法一是用代入法消参.解法二是整体消参法.解法三是运用万能公式.三角变换消参.三种解法中都应注意的限制条件.使参数方程化为普通方程时保持等价性。‎ 例8将下列参数方程（其中.为参数）化为普通方程。‎ ‎（1）    （2）   （3）‎ 解：（1）∵‎ ‎∴ （）为所求。‎ ‎（2）由.得（）‎ 将它代入.并化简得（）‎ 另解：∵‎ 并整理得 ‎（）‎ ‎（3）∵‎ 且 ‎∴所求普通方程为 说明：（1）小题是用三角公式变形后用代入法消参.（2）是用代入（消元）法消参变形后整体消参.（3）小题是通过代数变换法消参。但都应特别注意等价性。‎ 例9  对于方程（a.b为常数）‎ ‎（1）当t为常数.为参数时.方程表示何种曲线；‎ ‎（2）当t为参数.为常数时.方程表示何种曲线 解：（1）当t为常数.原方程可变形为 ‎    两式平方相加得 即 这是以（a.b）为圆心.为半径的圆。‎ ‎（2）当为常数时.‎ 由第一式得代入第二式得 即 这是过点（a.b）.斜率为的一条直线 小结：同一参数方程.由于参数不同.所表示的曲线也不同.消去参数化为普通方程后.曲线的类型也就显现出来。‎ 例10 已知直线过点P（2.0）.斜率为。直线和抛物线相交于A、B两点.线段AB的中点为M。求：‎ ‎（1）线段PM的长；‎ ‎（2）M点的坐标；‎ ‎（3）线段AB的长 解：如图。‎ ‎（1）由直线过点P（2.0）.斜率为。设其倾斜角为.则有 可得直线的标准参数方程为：‎ ‎（其中为参数）‎ 设直线上两点A、B分别对应参数、.‎ 由方程组：‎ 消去可得：‎ 有 .‎ 由M为AB的中点.‎ ‎∴ ‎ ‎（2）设M点对应参数为.则有 ‎∴ M点坐标为：‎ ‎∴M点坐标为（.）‎ ‎（3）由 分别代入.‎ 可得 ‎ 点拨：利用直线的标准参数方程中参数的几何含义.在解决诸如直线上的两点距离、某两点的中点以及与此相关的一些问题时.显得很方便和简捷。‎ 例11 已知椭圆上的一个点P（）.求的最值。‎ 解：设椭圆的参数方程为：‎ ‎（为参数.）‎ ‎∴‎ ‎    ‎ ‎    .（其中）‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ 即的最大值是.最小值是－。‎ ‎    点拨：这个题虽然很简单.但它说明了一个道理：曲线的参数方程不仅表示了曲线.同时也表示了曲线上的点的坐标．当曲线的参数方程表示曲线上的点的坐标时.实际上起到了消元的作用.即用一个参数表示了    、.因此.在求某些几何量的最值时.参数方程可以起到一元化即消元的作用．‎ 例12 过点M（2.1）作曲线（为参数）的弦AB.若M为AB的三等分点.求AB直线方程。‎ 解：设AB的方程为（t为参数）.将x.y代入曲线（为参数）即.‎ 整理、化简得.‎ ‎           ①‎ ‎             ②‎ ‎∵点M在AB的内部        ∴‎ ‎∴。‎ 将①、②代入上式有。‎ 解得.‎ 则AB的方程为 小结：本题是首先设出过定点的参数方程.然后和椭圆方程联立.再利用韦达定理及直线参数方程中t的意义.求得斜率.用点斜式写出直线方程。‎ 例13   圆O内一定点A.过A任作两互相垂直的弦.求证这两弦长的平方和为定值。‎ 证明：以圆心O为原点.OA所在的直线为x轴建立直角坐标系.‎ 设圆的方程.过定点互相垂直的两弦PQ、RS的方程分别为即 分别代入圆方程.得.其二根为、.‎ ‎.其二根为、.故有 ‎∴两弦平方和为定值 小结：涉及圆的弦长问题.可利用直线参数方程来解。‎ 例14 已知是抛物线的一动弦.O为原点。当恒为直角时.如图求弦的中点P的轨迹方程。‎ 分析 点P是的中点.点P的坐标与.的坐标..、相关.如果选取..、作为参数.则要列出...、有关的五个方程.最后消去参数..、就可以得到P点的轨迹方程。‎ 解 设P（）.（.）.（.）‎ ‎∵P是的中点 ‎∴①‎ ‎  ②‎ ‎∵.在抛物上 ‎∴③‎ ‎④‎ 又∵恒为直角.即 ‎∴⑤‎ 由③×④：‎ ‎∴‎ 由③＋④：‎ ‎∴‎ 把①、②式代入得：‎ ‎∴ P点的轨迹方程是 ‎    说明  此题的解法是利用参数求点的轨迹方程.参数的个数可以是一个.也可以是几个.所列出的参数与点的坐标之间的方程的个数要比参数个数多一个.最后消去参数.得出轨迹方程．解决这类问题的关键是如何选取参数．此题还有一种选取参数的方法．‎ 设直线的斜率为.根据 则的方程是.‎ 的方程是。‎ 由解得 由解得 设.根据P是的中点 ‎∴（1）‎ ‎（2）‎ 由 把（1）代入：‎ ‎∴P点的轨迹方程是：‎ 宁可累死在路上，也不能闲死在家里！宁可去碰壁，也不能面壁。是狼就要练好牙，是羊就要练好腿。什么是奋斗？奋斗就是每天很难，可一年一年却越来越容易。不奋斗就是每天都很容易，可一年一年越来越难。能干的人，不在情绪上计较，只在做事上认真；无能的人！不在做事上认真，只在情绪上计较。拼一个春夏秋冬！赢一个无悔人生！早安！—————献给所有努力的人.‎