北京市高考数学模拟题分类汇编解析几何

北京市高考数学模拟题分类汇编解析几何

解析几何题汇总2（2013年北京模拟-理科）‎ ‎19．（14分）（2013•海淀区一模）已知圆M：（x﹣）2+y2=r2=r2（r＞0）．若椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右顶点为圆M的圆心，离心率为．‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）若存在直线l：y=kx，使得直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点，点G在线段AB上，且|AG|=|BH|，求圆M半径r的取值范围．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．803738 ‎ 专题：‎ 综合题；分类讨论；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ ‎（I）设椭圆的焦距为2c，由椭圆右顶点为圆心可得a值，进而由离心率可得c值，根据平方关系可得b值；‎ ‎（II）由点G在线段AB上，且|AG|=|BH|及对称性知点H不在线段AB上，所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，利用韦达定理及弦长公式可得|AB|，在圆中利用弦心距及勾股定理可得|GH|，根据|AB|=|GH|得r，k的方程，分离出r后按k是否为0进行讨论，借助基本函数的范围即可求得r范围；‎ 解答：‎ 解：（I）设椭圆的焦距为2c，‎ 由椭圆右顶点为圆M的圆心（，0），得a=，‎ 又，所以c=1，b=1．‎ 所以椭圆C的方程为：．‎ ‎（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由直线l与椭圆C交于两点A，B，则，‎ 所以（1+2k2）x2﹣2=0，则x1+x2=0，，‎ 所以=，‎ 点M（，0）到直线l的距离d=，‎ 则|GH|=2，‎ 显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y=kx就是y轴，矛盾，‎ 所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|，‎ 所以=4，‎ ‎==2，‎ 当k=0时，r=，‎ 当k≠0时，＜2（1+）=3，‎ 又显然＞2，所以，‎ 综上，．‎ 点评：‎ 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，弦长公式、韦达定理是解决该类问题的基础知识，要熟练掌握．‎ ‎19．（14分）（2013•海淀区二模）已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆M的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线l与椭圆M交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．1119409‎ 专题：‎ 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）依题意，可求得a=，b=1，从而可得椭圆M的方程；‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），依题意，直线AB有斜率，可分直线AB的斜率k=0与直线AB的斜率k≠0讨论，利用弦长公式，再结合基本不等式即可求得各自情况下S△AOB的最大值．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）因为椭圆+=1（a＞b＞0）的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点，‎ ‎∴a=，b=1，椭圆M的方程为：+y2=1…4分 ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB的垂直平分线经过点（0，﹣），显然直线AB有斜率，‎ 当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线为y轴，则x1=﹣x2，y1=y2，‎ 所以S△AOB=|2x1||y1|=|x1||y1|=|x1|•==，‎ ‎∵≤=，‎ ‎∴S△AOB≤，当且仅不当|x1|=时，S△AOB取得最大值为…7分 当直线AB的斜率不为0时，则设AB的方程为y=kx+t，‎ 所以，代入得到（3k2+1）x2+6ktx+3t2﹣3=0，‎ 当△=4（9k2+3﹣3t2）＞0，即3k2+1＞t2①，方程有两个不同的实数解；‎ 又x1+x2=，=…8分 所以=，又=﹣，化简得到3k2+1=4t②‎ 代入①，得到0＜t＜4，…10分 又原点到直线的距离为d=，‎ ‎|AB|=|x1﹣x2|=•，‎ 所以S△AOB=|AB||d|=••，‎ 化简得：S△AOB=…12分 ‎∵0＜t＜4，所以当t=2时，即k=±时，S△AOB取得最大值为．‎ 综上，S△AOB取得最大值为…14分 点评：‎ 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查椭圆的标准方程，着重考查方程思想分类讨论思想与弦长公式，基本不等式的综合运用，考查求解与运算能力，属于难题．‎ ‎19．（14分）（2013•西城区一模）如图，椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点．当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°．‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记△GFD的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2，求的取值范围．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．803738 ‎ 专题：‎ 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）由题意知当直线AB经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为60°，设 F（﹣c，0），由直线斜率可求得b，c关系式，再与a2=b2+c2联立可得a，c关系，由此即可求得离心率；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）椭圆方程可化为，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意直线AB不能与x，y轴垂直，故设直线AB的方程为y=k（x+c），将其代入椭圆方程消掉y变为关于x的二次方程，由韦达定理及中点坐标公式可用k，c表示出中点G的坐标，由GD⊥AB得kGD•k=﹣1，则D点横坐标也可表示出来，易知△GFD∽△OED，故=，用两点间距离公式即可表示出来，根据式子结构特点可求得的范围；‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）依题意，当直线AB经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为60°．‎ 设 F（﹣c，0），则 ．‎ 将 代入a2=b2+c2，得a=2c．‎ 所以椭圆的离心率为 ．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），椭圆的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 依题意，直线AB不能与x，y轴垂直，故设直线AB的方程为y=k（x+c），将其代入3x2+4y2=12c2，‎ 整理得 （4k2+3）x2+8ck2x+4k2c2﹣12c2=0．‎ 则 ，，所以．‎ 因为 GD⊥AB，所以 ，．‎ 因为△GFD∽△OED，‎ 所以 =‎ ‎．‎ 所以的取值范围是（9，+∞）．‎ 点评：‎ 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆的简单性质，考查学生分析解决问题的能力，运算量大，综合性强，对能力要求较高．‎ ‎18．（13分）（2013•西城区二模，石景山区二模）如图，椭圆的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．‎ ‎（Ⅰ）若点P的坐标为，求m的值；‎ ‎（Ⅱ）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．803738 ‎ 专题：‎ 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）由题意知M是线段AP的中点，由中点坐标公式可得M坐标，代入椭圆方程即可得到m值；‎ ‎（Ⅱ）设M（x0，y0）（﹣1＜x0＜1），则 ，①由中点坐标公式可用M坐标表示P点坐标，由OP⊥OM得②，联立 ①②消去y0，分离出m用基本不等式即可求得m的范围；‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）依题意，M是线段AP的中点，‎ 因为A（﹣1，0），，‎ 所以 点M的坐标为．‎ 由于点M在椭圆C上，‎ 所以 ，解得 ．‎ ‎（Ⅱ）设M（x0，y0）（﹣1＜x0＜1），则 ，①‎ 因为 M是线段AP的中点，所以 P（2x0+1，2y0）．‎ 因为 OP⊥OM，所以，‎ 所以，即 ．②‎ 由 ①，②消去y0，整理得 ．‎ 所以 ，‎ 当且仅当 时，上式等号成立．‎ 所以m的取值范围是．‎ 点评：‎ 本题考查直线与圆锥曲线位置关系、椭圆的简单性质，属中档题，垂直问题转化为向量的数量积为0是常用手段，要灵活运用．‎ ‎19．（13分）（2013•东城区一模）已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求出这个定值．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．1119409‎ 专题：‎ 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）由△MNF2的周长为8，得4a=8，由，得，从而可求得b；‎ ‎（Ⅱ）分情况进行讨论：由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，﹣x0），再由A、B在椭圆上可求x0，此时易求点O到直线AB的距离；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，知△＞0，由OA⊥OB，得x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，整理后代入韦达定理即可得m，k关系式，由点到直线的距离公式可求得点O到直线AB的距离，综合两种情况可得结论，注意检验△＞0．‎ 解答：‎ 解：（I）由题意知，4a=8，所以a=2．‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以b2=3．‎ 所以椭圆C的方程为．‎ ‎（II）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，﹣x0）．‎ 又A，B两点在椭圆C上，‎ 所以，．‎ 所以点O到直线AB的距离．‎ 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m．‎ 由消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．‎ 由已知△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 所以，．‎ 因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0．‎ 所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即．‎ 所以．‎ 整理得7m2=12（k2+1），满足△＞0．‎ 所以点O到直线AB的距离为定值．‎ 点评：‎ 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查学生分析解决问题的能力，弦长公式、韦达定理是解决该类问题的常用知识，要熟练掌握．‎ ‎19．（13分）（2013•东城区二模）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e=，原点到过点A（a，0），B（0，b）的直线的距离是．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若椭圆C上一动点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为P1（x1，y1），求x12+y12的取值范围．‎ ‎（3）如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的值．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．1119409‎ 专题：‎ 圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ 分析：‎ ‎（1）利用椭圆的离心率，a2=b2+c2，及其点到直线的距离公式即可得到a，b；‎ ‎（2）利用轴对称即可得到点P（x0，y0）与其对称点P1（x1，y1）的坐标之间的关系，再利用点P（x0，y0）满足椭圆C的方程：得到关系式，进而即可求出；‎ ‎（3）设E（x2，y2），F（x3，y3），EF的中点是M（xM，yM），则BM⊥EF得到关系式，把直线EF的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵，a2=b2+c2，‎ ‎∴a=2b．‎ ‎∵原点到直线AB：的距离，‎ 解得a=4，b=2．‎ 故所求椭圆C的方程为．‎ ‎（2）∵点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为点P1（x1，y1），‎ ‎∴‎ 解得 ，．‎ ‎∴．‎ ‎∵点P（x0，y0）在椭圆C：上，‎ ‎∴．‎ ‎∵﹣4≤x0≤4，∴．‎ ‎∴的取值范围为[4，16]．‎ ‎（3）由题意消去y，整理得（1+4k2）x2+8kx﹣12=0．‎ 可知△＞0．‎ 设E（x2，y2），F（x3，y3），EF的中点是M（xM，yM），‎ 则，‎ 则，yM=kxM+1=．‎ ‎∴．‎ ‎∴xM+kyM+2k=0．‎ 即．‎ 又∵k≠0，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 点评：‎ 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式等知识与方法，熟悉解题模式是解题的关键．‎ ‎19．（14分）（2013•朝阳区一模）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C过点，离心率为，点A为其右顶点．过点B（1，0）作直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF与直线x=3分别交于点M，N．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围．‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．803738 ‎ 专题：‎ 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）设椭圆的方程为，依题意可得a、b、c的方程组，解之可得方程；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点A的坐标为（2，0）．（1）当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，可得；（2）当直线l的斜率存在时，写直线的方程，联立方程组，消y并整理得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．进而由根与系数的关系表示出向量的数量积为，由k的范围可得其范围，综合可得．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）由题意，设椭圆的方程为，‎ 依题意得解之可得a2=4，b2=1．‎ 所以椭圆C的方程为．…（4分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点A的坐标为（2，0）．‎ ‎（1）当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，‎ 易得，，所以．…（6分）‎ ‎（2）当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为y=k（x﹣1），显然k=0时，不符合题意．‎ 由消y并整理得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．‎ 设E（x1，y1），F（x2，y2），则．‎ 直线AE，AF的方程分别为：，‎ 令x=3，则．‎ 所以，．…（10分）‎ 所以 ‎==‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎==．…（12分）‎ 因为k2＞0，所以16k2+4＞4，所以，即．‎ 综上所述，的取值范围是．…（14分）‎ 点评：‎ 本题考查平面向量数量积的运算，涉及椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系的应用，属中档题．‎ ‎19．（14分）（2013•朝阳区二模）已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），短轴的端点分别为B1，B2，且=﹣a．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于M，N两点，弦MN的垂直平分线与x轴相交于点D．设弦MN的中点为P，试求的取值范围．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．803738 ‎ 专题：‎ 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）利用数量积即可得到1﹣b2=﹣a，又a2﹣b2=1，即可解得a、b；‎ ‎（Ⅱ）把直线l的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系即可得到线段MN的中点P的坐标，利用弦长公式即可得到|MN|，利用点斜式即可得到线段MN的垂直平分线DP的方程，利用两点间的距离公式或点到直线的距离公式即可得到|DP|，进而得出的关于斜率k的表达式，即可得到其取值范围．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）由题意不妨设B1（0，﹣b），B2（0，b），则，．‎ ‎∵=﹣a，∴1﹣b2=﹣a，又∵a2﹣b2=1，解得a=2，．‎ ‎∴椭圆C的方程为；‎ ‎（Ⅱ）由题意得直线l的方程为y=k（x﹣1）．‎ 联立得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．‎ ‎∴弦MN的中点P．‎ ‎∴|MN|===．‎ 直线PD的方程为．‎ ‎∴|DP|=．‎ ‎∴===．‎ 又∵k2+1＞1，∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴的取值范围是．‎ 点评：‎ 熟练掌握直线与椭圆的相交问题转化为一元二次方程根与系数的关系、线段MN的中点坐标公式、弦长公式、点斜式、线段的垂直平分线的方程、两点间的距离公式或点到直线的距离公式、不等式的性质是解题的关键..‎ ‎18．（14分）（2013•通州区一模）已知椭圆的中心在原点O，短半轴的端点到其右焦点F（2，0）的距离为，过焦点F作直线l，交椭圆于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若椭圆上有一点C，使四边形AOBC恰好为平行四边形，求直线l的斜率．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．1119456‎ 专题：‎ 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）设椭圆方程为，由焦点坐标可得c，由短轴端点到焦点距离可得a，根据a2=b2+c2可得b；‎ ‎（Ⅱ）可判断直线l⊥x轴时，不符合题意；设直线l的方程为y=k（x﹣2），点A（x1，y1），B（x2，y2），把l方程代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，由四边形AOBC为平行四边形，得，根据韦达定理可得点C的坐标，代入椭圆方程即可求得k值；‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为，‎ 则a=，c=2．‎ 所以b===，‎ 所以椭圆方程为．‎ ‎（Ⅱ）若直线l⊥x轴，则平行四边形AOBC中，点C与点O关于直线l对称，此时点C坐标为（2c，0）．‎ 因为2c＞a，所以点C在椭圆外，所以直线l与x轴不垂直． ‎ 于是，设直线l的方程为y=k（x﹣2），点A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则，整理得，（3+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣30=0，‎ ‎，所以．‎ 因为四边形AOBC为平行四边形，所以，‎ 所以点C的坐标为，‎ 所以，解得k2=1，‎ 所以k=±1．‎ 点评：‎ 本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系，考查向量的运算，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论思想，属中档题．‎ ‎19．（14分）（2013•顺义区一模）已知椭圆C：+y2=1（a＞1）的上顶点为A，左焦点为F，直线AF与圆M：x2+y2+6x﹣2y+7=0相切．过点（0，﹣）的直线与椭圆C交于P，Q两点．‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）当△APQ的面积达到最大时，求直线的方程．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程；椭圆的标准方程．1119456‎ 专题：‎ 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ ‎（I）写出直线AF的方程，由直线AF与圆M相切得关于c的方程，解出c再由a2=c2+b2即可求得a值；‎ ‎（II）易判断直线PQ的斜率存在，设出其点斜式方程，根据弦长公式表示出PQ，根据点到直线的距离公式表示出点A（0，1）到直线PQ的距离，由三角形面积公式可表示出△APQ的面积，根据该函数的结构特点转化为二次函数即可求得面积最大时k的值；‎ 解答：‎ 解：（I）将圆M的一般方程x2+y2+6x﹣2y+7=0化为标准方程（x+3）2+（y﹣1）2=3，则圆M的圆心M（﹣3，1），半径．‎ 由得直线AF的方程为x﹣cy+c=0．‎ 由直线AF与圆M相切，得，‎ 解得或（舍去）．‎ 当时，a2=c2+1=3，‎ 故椭圆C的方程为．‎ ‎（II）由题意可知，直线PQ的斜率存在，设直线的斜率为k，则直线PQ的方程为．‎ 因为点在椭圆内，所以对任意k∈R，直线都与椭圆C交于不同的两点．‎ 由得．‎ 设点P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，‎ 所以==．‎ 又因为点A（0，1）到直线的距离，‎ 所以△APQ的面积为．‎ 设，则0＜t≤1且，．‎ 因为0＜t≤1，所以当t=1时，△APQ的面积S达到最大，‎ 此时，即k=0．‎ 故当△APQ的面积达到最大时，直线的方程为．‎ 点评：‎ 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及直线与圆方程的求解，考查学生综合运用知识解决问题的能力，有关的基本公式、常用方程是解决问题的基础．‎ ‎19．（14分）（2013•顺义区二模）已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为6．‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）若点P的坐标为（2，1），不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，点P到直线l的距离为d，且M，O，P三点共线．求的最大值．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．1119456‎ 专题：‎ 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ ‎（I）利用椭圆的定义和焦距的定义可得2c=2，2a+2c=6．解得a，c，再利用b2=a2﹣c2解出即可；‎ ‎（II）设直线l的方程为y=kx+m（m≠0）．与椭圆的方程联立，得到判别式△＞0及根与系数的关系，由中点坐标公式得到中点M的坐标，利用M，O，P三点共线，得到kOM=kOP，解得k，再利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到|AB|2及d2，利用二次函数的单调性即可得出最值 解答：‎ 解：（I）由题意得2c=2，2a+2c=6．‎ 解得a=2，c=1，‎ 又b2=a2﹣c2=3，‎ 所以椭圆C的方程为．‎ ‎（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 当直线l与x轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点M在x轴上，且与O点不重合，‎ 显然M，O，P三点不共线，不符合题设条件．‎ 故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0）．‎ 由消去y整理得 ‎（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．①‎ 则△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，‎ ‎∴，．‎ 所以点M的坐标为．‎ ‎∵M，O，P三点共线，‎ ‎∴kOM=kOP，∴，‎ ‎∵m≠0，∴．‎ 此时方程①为3x2﹣3mx+m2﹣3=0，‎ 则△=3（12﹣m2）＞0，得．‎ x1+x2=m，．‎ ‎∴|AB|2=‎ ‎=，‎ 又=，‎ ‎∴==，‎ 故当时，的最大值为．‎ 点评：‎ 熟练掌握椭圆的定义和焦距的定义及b2=a2﹣c2、直线与椭圆相交问题转化为把直线l的方程与椭圆的方程联立得到判别式△＞0及根与系数的关系、中点坐标公式、三点共线得到kOM=kOP、弦长公式和点到直线的距离公式、二次函数的单调性是解题的关键．本题需要较强的计算能力．‎ ‎19．（14分）（2013•石景山一模）设椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且AB⊥AF2．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程； ‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，若点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，求的取值范围．‎ 考点：‎ 圆与圆锥曲线的综合；直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质．1119435‎ 专题：‎ 综合题．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）由题意知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，b），由知F1为BF2的中点，由AB⊥AF2，知Rt△ABF2中，BF22=AB2+AF22，由此能求出椭圆的离心率．‎ ‎（Ⅱ）由，知，，，Rt△ABF2的外接圆圆心为（﹣，0），半径r=a，所以，由此能求出椭圆方程．‎ ‎（Ⅲ）由F2（1，0），l：y=k（x﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），由，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此能求出m的取值范围．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）由题意知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，b）‎ ‎∵知F1为BF2的中点，‎ AB⊥AF2‎ ‎∴Rt△ABF2中，BF22=AB2+AF22，‎ 又a2=b2+c2‎ ‎∴a=2c 故椭圆的离心率…（3分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知得，‎ 于是，，‎ Rt△ABF2的外接圆圆心为（﹣，0），半径r=a，‎ 所以，解得a=2，‎ ‎∴c=1，，‎ 所求椭圆方程为…（6分）‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知F2（1，0），l：y=k（x﹣1），‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 由，代入得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0‎ 则，‎ y1+y2=k（x1+x2﹣2）…（8分）‎ 由于菱形对角线垂直，‎ 则 故x1+x2﹣2m+k（y1+y2）=0‎ 即x1+x2﹣2m+k2（x1+x2﹣2）=0，‎ ‎…（10分）‎ 由已知条件知k≠0，‎ ‎∴‎ ‎∴故m的取值范围是．…（12分）‎ 点评：‎ 本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．‎ ‎19．（13分）（2013•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线l：x=2的距离是到点F（1，0）的距离的倍．‎ ‎（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线FP与（Ⅰ）中曲线交于点Q，与l交于点A，分别过点P和Q作l的垂线，垂足为M，N，问：是否存在点P使得△APM的面积是△AQN面积的9倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ 考点：‎ 轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．803738 ‎ 专题：‎ 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ ‎（I）设点P的坐标为（x，y），根据点到直线的距离公式和两点间的距离公式，结合题意建立关于x、y的等式，化简整理可得x2+2y2=2，所以动点P的轨迹方程为椭圆+y2=1；‎ ‎（II）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）．将直线FP方程x=ty+1与椭圆消去x，得到关于y的一元二次方程，结合根与系数的关系得到y1+y2和y1y2关于t的表达式．若△APM的面积是△AQN面积的9倍，由平几知识可得△AQN∽△APM，则PM=3QN，结合椭圆的性质得PF=3QF．因此得到y1=﹣3y2结合前面的等式，解出t=﹣1，从而得到存在点P（0，±1）使得△APM的面积是△AQN面积的9倍．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y）．‎ 由题意知•=|2﹣x|…（3分）‎ 化简得x2+2y2=2，‎ ‎∴动点P的轨迹方程为x2+2y2=2，即+y2=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）‎ ‎（Ⅱ）设直线FP的方程为x=ty+1，点P（x1，y1），Q（x2，y2）‎ 因为△AQN∽△APM，所以PM=3QN，‎ 由已知得PF=3QF，所以有y1=﹣3y2…（1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）‎ 由，消去x得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，‎ ‎∴△＞0且y1+y2=﹣…（2），y1y2=﹣…（3）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）‎ 联解（1）（2）（3），得t=﹣1，y1=1，y2=﹣或t=1，y1=﹣1，y2=‎ ‎∴存在点P（0，±1）使得△APM的面积是△AQN面积的9倍．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）‎ 点评：‎ 本题给出动点P的轨迹是椭圆，探索椭圆的焦点弦所在直线与准线相交构成三角形的面积问题．着重考查了椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系和三角形相似等知识，属于中档题．‎ ‎19．（13分）（2013•丰台区一模）已知以原点为对称中心、F（2，0）为右焦点的椭圆C过P（2，），直线l：y=kx+m（k≠0）交椭圆C于不同的两点A，B．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0，3）？若存在求出 k的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．1119456‎ 专题：‎ 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）设出椭圆方程，由给出的椭圆焦点和椭圆过点P（2，），联立列出关于a，b的方程组，求解后则椭圆方程可求；‎ ‎（Ⅱ）存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0，3），由给出的椭圆方程和直线AB方程联立，化为关于x的方程后有根与系数关系写出AB中点坐标，由AB的中点和Q（0，3）的连线和直线AB垂直得到直线AB的斜率和截距的关系，代入判别时候不满足判别式大于0，说明假设不成立，得到结论．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），‎ ‎∵c=2，且椭圆过点P（2，），所以，解得a2=8，b2=4，‎ 所以椭圆C的方程为；‎ ‎（Ⅱ）假设存在斜率为k的直线，其垂直平分线经过点Q（0，3），‎ 设A（x1，y1）、B（x2，y2），AB的中点为N（x0，y0），‎ 由，得（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣8=0，‎ 则△=16m2k2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=64k2﹣8m2+32＞0，所以8k2﹣m2+4＞0，‎ 又，∴，，‎ ‎∵线段AB的垂直平分线过点Q（0，3），∴kNQ•k=﹣1，即，∴﹣m=3+6k2，‎ 代入△＞0整理，得36k4+28k2+5＜0，此式显然不成立．‎ ‎∴不存在满足题意的k的值．‎ 点评：‎ 本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了设而不求的解题方法，属中档题．‎ ‎19．（14分）（2013•丰台区二模）已知椭圆C：的短轴的端点分别为A，B，直线AM，BM分别与椭圆C交于E，F两点，其中点M （m，） 满足m≠0，且．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的离心率e；‎ ‎（Ⅱ）用m表示点E，F的坐标；‎ ‎（Ⅲ）若△BME面积是△AMF面积的5倍，求m的值．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．1119456‎ 专题：‎ 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）利用椭圆的离心率计算公式；‎ ‎（Ⅱ）利用点斜式分别写出直线AM、BM的方程，与椭圆的方程联立即可得到点E、F的坐标；‎ ‎（Ⅲ）利用三角形的面积公式及其关系得到，再利用坐标表示出即可得到m的值．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）依题意知a=2，，∴； ‎ ‎（Ⅱ）∵A（0，1），B（0，﹣1），M （m，），且m≠0，‎ ‎∴直线AM的斜率为k1=，直线BM斜率为k2=，‎ ‎∴直线AM的方程为y=，直线BM的方程为y=，‎ 由得（m2+1）x2﹣4mx=0，‎ ‎∴，∴，‎ 由得（9+m2）x2﹣12mx=0，‎ ‎∴，∴； ‎ ‎（Ⅲ）∵，，∠AMF=∠BME，5S△AMF=S△BME，‎ ‎∴5|MA||MF|=|MB||ME|，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵m≠0，∴整理方程得，即（m2﹣3）（m2﹣1）=0，‎ 又∵，∴m2﹣3≠0，∴m2=1，∴m=±1为所求．‎ 点评：‎ 熟练掌握椭圆的离心率、点斜式、直线与椭圆的相交问题的解题模式、三角形的面积计算公式、比例式如何用坐标表示是解题的关键．‎ ‎19．（14分）（2013•房山区一模）已知抛物线C：y2=2px的焦点坐标为F（1，0），过F的直线l交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x=﹣2相交于M，N两点．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）证明△ABO与△MNO的面积之比为定值．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．803738 ‎ 专题：‎ 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ ‎（I）根据焦点的坐标，求得P即可；‎ ‎（II）根据直线L与x轴是否垂直，分两种情况求解△ABO与△MNO的面积之比，验证即可．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）由焦点坐标为（1，0）可知，p=2‎ ‎∴抛物线C的方程为y2=4x ‎（Ⅱ）当直线l垂直于x轴时，△ABO与△MNO相似，‎ ‎∴．‎ 当直线l与x轴不垂直时，设直线AB方程为y=k（x﹣1），‎ 设M（﹣2，yM），N（﹣2，yN），A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 解 整理得 k2x2﹣（4+2k2）x+k2=0，‎ ‎∴x1•x2=1．∴．‎ 综上 ‎ 点评：‎ 本题考查直线与圆锥曲线的关系及抛物线的标准方程．‎ ‎19．（14分）（2013•房山区二模）已知椭圆C：的离心率为，且过点．直线交椭圆C于B，D（不与点A重合）两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．803738 ‎ 专题：‎ 圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）利用椭圆的标准方程、离心率及a2=b2+c2即可得出；‎ ‎（2）把直线BD的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式即可得到|BD|，利用点到直线的距离公式即可得到点A到直线BD的距离，利用三角形的面积公式得到△ABD的面积，再利用基本不等式的性质即可得出其最大值．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）由题意可得，解得，‎ ‎∴椭圆C的方程为；‎ ‎（Ⅱ）设B（x1，y1），D（x2，y2）．‎ 由消去y得到，‎ ‎∵直线与椭圆有两个不同的交点，∴△=8﹣2m2＞0，解得﹣2＜m＜2．‎ ‎∴，．‎ ‎∴=‎ ‎=．‎ 点A到直线BD的距离d==．‎ ‎∴===．‎ 当且仅当m=∈（﹣2，2）时取等号．‎ ‎∴当时，△ABD的面积取得最大值．‎ 点评：‎ 熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题的解题模式、根与系数的关系、判别式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积公式、基本不等式的性质是解题的关键．‎ ‎19．（14分）（2013•大兴区一模）已知动点P到点A（﹣2，0）与点B（2，0）的斜率之积为﹣，点P的轨迹为曲线C．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x=4分别交于M、N两点，直线BM与椭圆的交点为D．求证：A、D、N三点共线．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．1119456‎ 专题：‎ 圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ 分析：‎ ‎（I）设P点坐标（x，y），利用斜率计算公式即可得到，化简即可得到曲线C的方程；‎ ‎（II）由已知直线AQ的斜率存在且不等于0，设方程为y=k（x+2），与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到D，N的坐标，证明kAD=kAN．即可得到A、D、N三点共线．‎ 解答：‎ 解：（I）设P点坐标（x，y），则（x≠﹣2），（x≠2），‎ 由已知，化简得：．‎ 所求曲线C的方程为（x≠±2）．‎ ‎（II）由已知直线AQ的斜率存在且不等于0，‎ 设方程为y=k（x+2），‎ 由，消去y得：（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0…（1）．‎ 因为﹣2，xQ是方程（1）的两个根，‎ 所以，得，‎ 又，所以．‎ 当x=4，得yM=6k，即M（4，6k）．‎ 又直线BQ的斜率为，方程为，当x=4时，得，即．‎ 直线BM的斜率为3k，方程为y=3k（x﹣2）．‎ 由，消去y得：（1+36k2）x2﹣144k2x+144k2﹣4=0…（2）．‎ 因为2，xD是方程（2）的两个根，所以，‎ 得，又，即．‎ 由上述计算：A（﹣2，0），，．‎ 因为，，所以kAD=kAN．‎ 所以A、D、N三点共线．‎ 点评：‎ 本题主要考查椭圆的方程与性质、直线的方程、直线与椭圆的位置关系、利用斜率线段证明三点共线等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．‎ ‎19．（13分）（2013•昌平区一模）已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且抛物线的焦点是椭圆M的一个焦点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆M的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点．求点O到直线l的距离的最小值．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．1119456‎ 专题：‎ 分类讨论；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）设椭圆方程为，易求椭圆的焦点，从而可得c值，由离心率可得a，由b2=a2﹣c2可求得b值；‎ ‎（Ⅱ）分情况进行讨论：当直线l存在斜率时设直线方程为y=kx+m，与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程，有△＞0①，设A、B、P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），‎ 由四边形OAPB为平行四边形及韦达定理可把x0，y0表示为k，m的式子，代入椭圆方程关于k，m的方程，从而利用点到直线的距离公式点O到直线l的距离为k的函数，根据函数结构特点即可求得其最小值；当直线l不存在斜率时点O到直线l的距离易求，综上即可得到答案．‎ 解答：‎ 解：（I）设椭圆方程为，‎ 由已知抛物线的焦点为（，0），则c=，由e=，得a=2，∴b2=2，‎ 所以椭圆M的方程为；‎ ‎（II）当直线l斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，‎ 则由消去y得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，‎ ‎△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣4）=8（2+4k2﹣m2）＞0，①‎ 设A、B、P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），‎ 则：x0=x1+x2=﹣，y0=y1+y2=k（x1+x2）+2m=，‎ 由于点P在椭圆M上，所以．‎ 从而，化简得2m2=1+2k2，经检验满足①式．‎ 又点O到直线l的距离为：‎ d===≥=，当且仅当k=0时等号成立，‎ 当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，‎ 从而点P的坐标为（﹣2，0）或（2，0），直线l的方程为x=±1，所以点O到直线l的距离为1．‎ 所以点O到直线l的距离最小值为．‎ 点评：‎ 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查分类讨论思想、函数思想，韦达定理、判别式解决该类题目的基础，要熟练掌握．‎ ‎19．（13分）（2013•昌平区二模）如图．已知椭圆的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直，椭圆的离心率，F1为椭圆的左焦点且=1．‎ ‎（I）求椭圆的标准方程；‎ ‎（II）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ．连接AQ并延长交直线l于点M，N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．1119456‎ 专题：‎ 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ ‎（I）写出A，B，F1的坐标，进而得到，的坐标，代入=1并化简得b2=1，由，得，解出得a2，从而得椭圆方程；‎ ‎（II）可根据圆心O到直线QN的距离d与圆的半径的大小关系判断：设P（x0，y0），则Q（x0，2y0）（x0≠±2），由点斜式写出直线AQ方程，与直线BM方程联立可得M坐标，进而得N点坐标，由点斜式可得直线QN方程，根据点到直线距离公式可得圆心O到直线QN的距离，与半径a比较即可，注意点P坐标满足椭圆方程；‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）易知A（﹣a，0），B（a，0），F1（﹣c，0），‎ ‎∴，∴a2﹣c2=b2=1，‎ 又，∴，解得a2=4，‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅱ）设P（x0，y0），则Q（x0，2y0）（x0≠±2），‎ ‎∴，所以直线AQ方程，‎ ‎∴，则，‎ ‎∴，‎ 又点P的坐标满足椭圆方程，则，‎ 所以 ，∴，‎ ‎∴直线QN的方程：，‎ 化简整理得到：，即x0x+2y0y=4，‎ 所以点O到直线QN的距离，‎ 故直线QN与AB为直径的圆O相切．‎ 点评：‎ 本题考查直线、椭圆方程及其位置关系，考查学生的运算能力，本题中动点较多，设点坐标时应尽量减少未知量的个数．‎