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20122013高考数学应试训练六圆锥曲线
第 0 页 共 22 页 2012---2013 阜阳淮上陌客高考数学应试训练（六） ---解答题专项（2012.12.16） 三、解答题： 20. (安徽省合肥市 2011 年高三第一次教学质量检测理科) (本小题满分 13 分) 已知抛物线 ，过点 的直线 与抛物线交于 、 两点，且直线 与 交 于点 . (1)求证: ， 、 成等比数列； (2)设 ， ，试问 是否为定值，若是，求出此定值；若不 是，请说明理由． 20. 【解析】(1)设直线 的方程为： ， 联立方程可得 得: ① 设 ， ， ，则 ， ② ， 而 ，∴ ， 即 ， 、 成等比数列 …………7 分 (2)由 ， 得， ， 即得： ， ，则 由(1)中②代入得 ， 故 为定值且定值为 …………13 分 20. (安徽省合肥市 2011 年高三第一次教学质量检测文科) (本小题满分 13 分) 椭圆的两焦点坐标分别为 和 ，且椭圆过点 . 2 4y x= (0,2)M l A B l x C | |MA | |MC | |MB MA ACα= MB BCα= α β+ l 2y kx= + ( 0)k ≠ 2 2 4 y kx y x = + = 2 2 (4 4) 4 0k x k x+ − + = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2( ,0)C k − 1 2 2 4 4kx x k −+ = − 1 2 2 4x x k ⋅ = 2 2 2 1 2 2 4(1 )| | | | 1 | 0 | 1 | 0 | kMA MB k x k x k +⋅ = + − ⋅ + − = 2 2 2 2 2 2 4(1 )| | ( 1 | 0 |) kMC k k k += + − − = 2| | | | | | 0MC MA MB= ⋅ ≠ | |MA | |MC | |MB MA ACα= MB BCα= 1 1 1 1 2( , 2) ( , )x y x yk α− = − − − 2 2 2 2 2( , 2) ( , )x y x yk β− = − − − 1 1 2 kx kx α −= + 2 2 2 kx kx β −= + 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 ( ) 2 ( ) 4 k x x k x x k x x k x x α β − − ++ = + + + 1α β+ = − α β+ 1− 1( 3,0)F − 2 ( 3,0)F 3(1, )2 − 第 1 页 共 22 页 (1)求椭圆方程； (2)过点 作不与 轴垂直的直线 交该椭圆于 、 两点， 为椭圆的左顶 点，试判断 的大小是否为定值，并说明理由． 20. 【解析】(1)由题意，即可得到 …………5 分 (2)设直线 的方程为： ， 联立直线 和曲线 的方程可得： 得 ， 设 ， ， ， 则 ， 则 即可得 . …………13 分 19．(安 徽 省 2 0 1 1 年 “ 江 南 十 校 ” 高 三 联 考 理 科 ) （本小题满分 12 分） 已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为 ，右焦 点 F（5，0），双曲线的实轴为 A 1A2，P 为双曲线上一点（不同于 A1，A2），直线 A1P、A2P 分别与直线 ： 交于 M、N 两点. （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）求证： 为定值. 6( ,0)5 − y l M N A MAN∠ 2 2 14 x y+ = MN 6 5x ky= − MN C 2 2 6 5 14 x ky x y = − + = 2 2 12 64( 4) 05 25k y ky+ − − = 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y ( 2,0)A − 1 2 2 12 5( 4) ky y k + = + 1 2 2 64 25( 4)y y k ⋅ = − + 2 1 1 2 2 1 2 1 2 4 16( 2, ) ( 2, ) ( 1) ( ) 05 25AM AN x y x y k y y k y y⋅ = + ⋅ + = + + + + = 2MAN π∠ = 4 3y x= l 9 5x = FM FN⋅ 第 2 页 共 22 页 ∵ ∴ ∴ ，即 （定值）……12 分 21．(安 徽 省 2 0 1 1 年 “ 江 南 十 校 ” 高 三 联 考 文 科 ) （本小题满分 13 分） 已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程 ，右焦点 F（5， 0），双曲线的实轴为 A1A2，P 为双曲线上一点（不同于 A1，A2），直线 A1P、A2P 分别与 直线 ： 交于 M、N 两点. （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）求证： 为定值. 21．（Ⅰ）依题意可设双曲线方程为： ，则 ∴ 所求双曲线方程为 …………6 分] （Ⅱ）A1（－3，0）、A2（3，0）、F（5，0），设 P（ ），M（ ）， ， ∵ A1、P、M 三点共线， 2 2 19 16 x y− = 2 2 16 9 9 y x =− 256 144 16 256 256 025 25 9 25 25FM FN⋅ = − ⋅ = − = 0FM FN⋅ = 4 3y x= l 9 5x = FM FN⋅ 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 2 4 3 5 b a c c a b = = = + 3 4 a b =⇒ = 2 2 19 16 x y− = ,x y 0 9 ,5 y 1 ( 3, )A P x y= + 1 0 24( , )5A M y= 第 3 页 共 22 页 ∴ ∴ 即 ………8 分 同理得 ……………………………………9 分 ， ， ∵ ∴ ………………………………11 分 ∴ ，即 （定值）……13 分 20. (安徽省安庆市 2011 年高三第二次模拟考试理科)（本小题满分 13 分） 已知椭圆 C： ＝1(a＞b＞0)，F 为其焦点，离心率为 e。 （Ⅰ）若抛物线 x＝ y2 的准线经过 F 点且椭圆 C 经过 P(2,3)，求此时椭圆 C 的方程； （Ⅱ）若过 A(0, a)的直线与椭圆 C 相切于 M，交 x 轴于 B，且 ＝ ， 求证：μ＋c2＝0。 20.（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）依题意知 (-2，0)，即 ，………2 分 由椭圆定义知： ,……3 分 所以 ,即椭圆 的方程为： .………5 分 (Ⅱ)证明：由题意可设直线的方程为： 根据过 的直线与椭圆 相切 可得： ………8 分 ………10 分 易知 设 , 则由上知 ………11 分 0 24( 3) 05x y y+ − = 0 24 5( 3) yy x = + 9 24( , )5 5( 3) yM x + 9 6( , )5 5( 3) yN x − − 16 24( , )5 5( 3) yFM x = − + 16 6( , )5 5( 3) yFN x = − − − 2 2 256 144 25 25 9 yFM FN x ⋅ = − ⋅ − 2 2 19 16 x y− = 2 2 16 9 9 y x =− 256 144 16 256 256 025 25 9 25 25FM FN⋅ = − ⋅ = − = 0FM FN⋅ = 2 2 2 2 b y a x + 8 1 AM BAµ F 2=c 483)22(3)22(2 2222 ==+−+++= aa ，即 122 =b C 11216 22 =+ yx akxy += ),0( aA 12 2 2 2 =+ b y a x 02)( 2232222 =+++ cakxaxbka 2222222222226 )(0)(44 bccakabkacaka =−⇒=+−=∆ 22 ek =⇒ ，，)0( k aB − 0(xM )0y 222 3 0 bka kax +−= 第 4 页 共 22 页 由 知 ， ………13 分 (其它做法请参照标准给分) 18. (安徽省 2011 年 2 月皖北高三大联考理科)（本小题满分 12 分） 试问能否找到一条斜率为 的直线 与椭圆 交于两个不同点 且使 且使 M，N 到点 的距离相等，若存在，试求出 的取值范围；若不存在，请 说明理由 。 18.设直线 ： 为满足条件的直线，再设 为 的中点，欲满足条件，只要 即可 由 得 . 设 则 ， 故 . 由 ， 得 ，且 . 故当 时，存在满足条件的直线 . BAAMak aBAayxAM µ==−= ，，， )(),( 00 k a bka ka k ax ⋅=+−⇒⋅= µµ 222 3 0 µµ =+−⇒=+−⇒ 22 2 222 22 bc c bka ka 02 =+⇒ eµ ( 0)k k ≠ l 2 2 13 x y+ = , ,M N , ,M N (0,1)A k l y kx m= + P MN AP MN⊥ 2 2 , 1,3 y kx m x y = + + = 2 2 2(1 3 ) 6 3 3 0k x mkx m+ + + − = 1 1 2 2( , ), ( , ),M x y N x y 1 2 2 2 3 , ,2 1 3 1 3p p p x x mk mx y kx mk k += = − = + =+ + 23 1.3AP k mk mk − +∴ = AP MN⊥ ∴ 23 1 3 k m mk − + 1 ( 0)kk = − ≠ 23 1 2 km += − 2 2 2 2 2 236 4(1 3 )(3 3) 9(1 3 ).(1 ) 0m k k m k k∆ = − + − = + − > 1 1k− < < 0k ≠ ( 1,0) (0,1)k ∈ − l 第 5 页 共 22 页 18. (安徽省 2011 年 2 月皖北高三大联考文科)（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 的原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距 离分别是 7 和 1. （1）求椭圆方程 （2）若 P 为椭圆 C 上的动点，M 为过 P 且垂直于 轴的直线上的点， （e 为椭圆 C 的离心率），求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 18.（1）设椭圆 的方程为 ， 由题设得 解得 . 由此得 ， 故椭圆 的方程为 . （2）由（1）得 ， 设 ， 由 得 故 . 由点 在椭圆 上得 代入 式并化简得 . 故点 的轨迹方程为 轨迹是两条平行于 轴的线段. 21、(安徽省淮南市 2011 届高三第一次模拟考试理科)（本小题 13 分）已知抛物线的顶点 在 原 点 ， 焦 点 在 轴 的 负 半 轴 上 ， 过 其 上 一 点 的 切 线 方 程 为 为常数）. xoy x OP OM e= C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 7, 1, a c a c + = − = 4, 3a c= = 2 7b = C 2 2 116 7 x y+ = 3 4e = [ ]0( , ), ( , ), 4,4M x y P x y x∈ − OP eOM = 2 2 20 2 2 9 ,16 x y ex y + = =+ 2 2 016( )x y+ 2 29( )x y= + ( )* P C 2 2 0 112 7 ,16 xy −= ( )* 29 112y = M 4 7 ( 4 4),3y x= ± − ≤ ≤ x y )0)(,( 000 ≠xyxP axxaxyy )((2 000 −=− 第 6 页 共 22 页 （Ⅰ）求抛物线方程； （Ⅱ）斜率为 的直线 与抛物线的另一交点为 ，斜率为 的直线 与抛物线的另 一交点为 （ 、 两点不同），且满足 ， 求证:线段 的中点在 轴上； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当 时，若 的坐标为 ，求 为钝角 时点 的纵坐标的取值范围. 21.【解析】（Ⅰ）由题意可设抛物线的方程为 , ∵过点 的切线方程为 , ∴抛物线的方程为 ………………4 分 1k PA A 2k PB B A B MABMkk λλλλ =−≠≠=+ 若),1,0(012 PM y 0,1 1 <= kλ P )1,1( − PAB∠ A )0(22 >−= ppyx )0)(,( 000 ≠xyxp )(2 000 xxaxyy −=− 0 0 0| 2 ,x x xy axp=′∴ = − = 1 .2p a ∴ = − ).0(2 <= aaxy 第 7 页 共 22 页 ……………………13 分 21、(安徽省淮南市 2011 届高三第一次模拟考试文科)（本题 13 分）已知椭圆 的方程是 ，点 分别是椭圆的长轴的左、右端点， 左焦点坐标为 ，且过点 。 （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）已知 是椭圆 的右焦点，以 为直径的圆记为圆 ,试问:过 点能否引圆 的切线，若能，求出这条切线与 轴及圆 的弦 所对的劣弧围成的图形的面积； 若不能，说明理由。 1( , 1) ( 1, ).4 −∞ − − − C 12 2 2 2 =+ b y a x )0( >> ba BA, )0,4(− )32 5,2 3(P C F C AF M P M x M PF 第 8 页 共 22 页 21.【解析】（Ⅰ）因为椭圆 的方程为 ，（ ）， ∴ ， 即 椭 圆 的 方 程 为 ， ∵ 点 在 椭 圆 上 ， ∴ ， 解得 或 （舍）， 由此得 ， 所以，所求椭圆 的标准方程为 . …… 6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 , ,又 ，则得 , 所以 ，即 , 是 ， 所以，以 为直径的圆 必过点 ， 因此，过 点能引出该圆 的切线， 设切线为 ,交 轴于 点， 又 的中点为 ，则显然 , 而 , 所以 的斜率为 ， C 12 2 2 2 =+ b y a x 0>> ba 1622 += ba 1 16 2 2 2 2 =+ + b y b x )32 5,2 3( 1 4 75 )16(4 9 22 =+ + bb 202 =b 152 −=b 362 =a C 12036 22 =+ yx )0,6(−A )0,4(F )32 5,2 3(P )32 5,2 15(=AP )32 5,2 5(−=FP 0=⋅ FPAP 090=∠APF APF∆ ∆Rt AF M P P M PQ x Q AF )0,1(−M PMPQ ⊥ 3 )1(2 3 032 5 = −− − =PMk PQ 3 3− A BF y x P O O A M O F Q x y P 第 9 页 共 22 页 因此，过 点引圆 的切线方程为： ， 即 令 ，则 ， ,又 ， 所以 ， 因此，所求的图形面积是 = …… 13 分 三、解答题： (21) (安徽省“江南十校”2012 年 3 月高三联考理科) (本小题满分 13 分） 如图,椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为 A，B,右焦点为 F,且 . (I) 求椭圆的标准方程； (II) 过椭圆的右焦点 F 作直线 ，直线 l1 与椭圆分别交于点 M,N，直线 l2 与椭圆分别 交于点 P,Q,且 ，求四边形 MPNQ 的面积 S 的最小值. (21) 解:（Ⅰ）设椭圆的方程为 ,则由题 意知 , 又∵ 即 ∴ , 故椭圆的方程为: ……………………………………….…………….2 分 (注: 证明 ,用几何法同样得分) P M )2 3(3 3 2 35 −−=− xy 093 =−+ yx 0=y 9=x )0,9(Q∴ )0,1(−M 2 32560sin1052 1sin2 1 0 =⋅⋅⋅=∠⋅⋅⋅=∆ PMQMQPMS PQM 6 25 3552 1 MPF ππ =×××=扇形S S -PQMS∆ MPF扇形S 6 25-375 6 25-2 325 ππ == )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 1=c ,1=• FBAF .2,1))(( 222 =∴−==−+ acacaca 1222 =−= cab 12 2 2 =+ yx 21 ll ⊥ 第 10 页 共 22 页 ①若直线 中有一条斜率不存在,不妨设 的斜率不存在,则可得 轴, ∴ , 故四边形 的面积 …….…….…….7 分 21,ll 2l xl ⊥2 2,22 == PQMN MPNQ 22222 1 2 1 =××== MNPQS 第 11 页 共 22 页 (20) (安徽省“江南十校”2012 年 3 月高三联考文科) (本小题满分 13 分） 已知焦点在 X 轴上的椭圆 C 为. ，F1、F2 分 别是椭圆 C 的左、右焦点，离心率 e= . (I )求椭圆 C 的方程； (II) 设点 Q 的坐标为（1，0)，椭圆上是否存在一点 P， 使得直线 都与以 Q 为圆心的一个圆相切，如 第 12 页 共 22 页 存在，求出 P 点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由. （20）解析：（Ⅰ）由题可知： ，解得 ，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分 ∴ ．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 3 分 ∴椭圆 的方程为 ；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 4 分 21．(安徽省合肥一中 2012 届高三下学期第二次质量检测文科)（13 分）已知椭圆 C 的中心 为坐标原点 O，焦点在 y 轴上，离心率 ，椭圆上 的点到焦点的最短距离为 , 直线 l 与 y 轴交于点 P（0，m），与椭圆 C 交于相异两点 A、B，且 . （1）求椭圆方程；（2）求 的取值范围． 解：（1）设 C： y2 a2＋ x2 b2＝1（a>b>0），设 c>0，c2＝a2－b2，由条件知 a-c＝ 2 2 ， c a＝ 2 2 ， ∴a＝1，b＝c＝ 2 2 故 C 的方程为：y2＋ x2 1 2 ＝1 ………5 分 2 2 2 2 c a a = = 2 2 2 c a = = 2 2 2 4 2b a c b= − = ⇒ = C 2 2 18 4 x y+ = 2 2e = 21 2 − PB3AP = m 第 13 页 共 22 页 （2）当直线斜率不存在时： ……………………………6 分 19．(安徽省合肥一中 2012 届高三下学期第二次质量检测理科)（12 分）已知椭圆 C 的中心 为坐标原点 O，焦点在 y 轴上，离心率 ，椭圆上 的点到焦点的最短距离为 , 直线 l 与 y 轴交于点 P（0，m），与椭圆 C 交于相异两点 A、B，且 .（1）求椭圆方程；（2）求 的取值范围． 解：（1）设 C： y2 a2＋ x2 b2＝1（a>b>0），设 c>0，c2＝a2－b2，由条件知 a-c＝ 2 2 ， c a＝ 2 2 ， ∴a＝1，b＝c＝ 2 2 故 C 的方程为：y2＋ x2 1 2 ＝1 ………4 分 1 2m = ± 2 2e = 21 2 − PB3AP = m 第 14 页 共 22 页 （2）当直线斜率不存在时： ……………………………5 分 当直线斜率存在时：设 l 与椭圆 C 交点为 A（x1，y1），B（x2，y2） 得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0 Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*） ……6 分 x1＋x2＝ －2km k2＋2，① x1x2＝ m2－1 k2＋2 ② ………7 分∵AP＝3PB→ ∴－x1＝3x2 ③ …8 分 由①②③消去 x1，x2，∴3（ －2km k2＋2）2＋4 m2－1 k2＋2＝0……9 分整理得 4k2m2＋2m2－k2－2＝0 m2＝ 1 4时，上式不成立；m2≠ 1 4时，k2＝ 2－2m2 4m2－1， ∴ k2＝ 2－2m2 4m2－1 0，∴ 或 把 k2＝ 2－2m2 4m2－1代入（*）得 或 ∴ 或 ……11 分,综上 m 范围为 或 ……12 分 20（安徽省安庆市 2012 年 3 月高三第二次模拟文科）（本小题满分 13 分） （Ⅱ）设 ， ， 由题意知： ， . ………9 分 1 2m = ± ∴ 2 22 1 y kx m x y = + + = ∴ ≥ 2 11 −<≤− m 12 1 ≤< m 2 11 −<<− m 12 1 << m 2 11 −<<− m 12 1 << m 11 2m− < ≤ − 1 12 m≤ < ),(),( 2211 yxNyxM 、 )1 0yMN ，的中点为（ 189 2 1 2 1 =+ yx 189 2 2 2 2 =+ yx 第 15 页 共 22 页 两式相减得： ， ∴ ， 所以 ， ………11 分 易证，此直线经过定点 . ………13 分 20、（安徽省安庆市 2012 年 3 月高三第二次模拟理科）（本题满分 13 分） 已知直线 ，圆 O： ＝36（O 为坐标原点），椭圆 C： ＝1（a＞ b＞0）的离心率为 e＝ ，直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的长轴长相等。 （I）求椭圆 C 的方程；（II）过点（3,0）作直线 l，与椭圆 C 交于 A，B 两点设 （O 是坐标原点），是否存在这样的直线 l，使四边形为 ASB 的对角线长相等？若存在 ，求 出直线 l 的方程，若不存在，说明理由。 08 ))(( 9 ))(( 21212121 =−++−+ yyyyxxxx 021 21 21 21 9 8 )(9 )(8 yyy xx xx yykMN −=+ +−=− −= 的中垂线方程为：线段MN )1(8 9 0 0 −=− xyyy )0,9 1( : 8 0l x y+ + = 2 2x y+ 2 2 2 2 x y a b + 3 2 OS OA OB= + 第 16 页 共 22 页 由 ，即 . ………9 分 , 由 得： ，满足Δ>0. ………12 分 故存在这样的直线 l,其方程为 . ………13 分 （19）(安徽省马鞍山市 2012 年 4 月高三第二次质量检测文科）（本小题满分 13 分）如图， 已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上， 长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M（2，1）， 平行于 OM 的直线 在 y 轴上的截距为 m （m≠0），直线 交椭圆于 A、B 两个不同点 （A、B 与 M 不重合）. （Ⅰ）求椭圆的方程； 2 2 2 2 2( 24 ) 4(1 4 )(36 4) 0, 5 1 0k k k k∆ = − − + − > − + >可得 5 12查看更多