高考新课标卷理科数学试题及答案解析版

高考新课标卷理科数学试题及答案解析版

‎20XX年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 ‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 ‎ ‎2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。‎ ‎3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎(1)复数的共轭复数是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）下列函数中，既是偶函数、又在（0，）单调递增的函数是 ‎（A） (B) （C） (D) ‎ ‎（3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是 ‎（A）120 ‎ ‎（B）720 ‎ ‎（C）1440 ‎ ‎（D）5040‎ ‎（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，‎ 则相应的俯视图可以为 ‎（7）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 ‎（A） （B） （C）2 （D）3‎ ‎（8）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ‎（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40‎ ‎（9）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 ‎（A） （B）4 （C） （D）6‎ ‎（10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题 ‎ ‎ ‎ ‎ 其中的真命题是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）设函数的最小正周期为，且，则 （A）在单调递减 （B）在单调递减 （C）在单调递增 （D）在单调递增 ‎(12)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于 （A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题---第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题—第24题为选考题，考生根据要求做答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）若变量满足约束条件则的最小值为 。‎ ‎（14）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在 轴上，离心率为。过的直线 交于两点，且的周长为16，那么的方程为 。‎ ‎（15）已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。‎ ‎（16）在中，，则的最大值为 。‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 等比数列的各项均为正数，且 求数列的通项公式.‎ 设 求数列的前项和.‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ ‎ 如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.‎ ‎(Ⅰ)证明：PA⊥BD；‎ ‎(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：‎ ‎（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；‎ ‎（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为 ‎ 从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA•AB = MB•BA，M点的轨迹为曲线C。‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数，曲线在点处的切线方程为。‎ ‎（Ⅰ）求、的值；‎ ‎（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。‎ 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合。已知的长为，，的长是关于的方程的两个根。‎ ‎（Ⅰ）证明：，，，四点共圆；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求，，，(23)(本小题满分10分)‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为 ‎（为参数）‎ M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2‎ ‎(Ⅰ)求C2的方程 ‎(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.‎ ‎(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数,其中。‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集 ‎（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a的值。‎ ‎20XX年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 ‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 ‎ ‎2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。‎ ‎3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎(1)复数的共轭复数是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解析：本题考查复数的基本运算 直接法 分子分母都乘以1+2i,再求共轭，易得-I,故选C.‎ ‎（2）下列函数中，既是偶函数、又在（0，）单调递增的函数是 ‎（A） (B) （C） (D) ‎ 解析：本题考查函数的奇偶性和单调性，属于简单题 ‎ 可以直接判断：A是奇函数，B是偶函数，又是的增函数，故选B。‎ ‎（3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是 ‎（A）120 ‎ ‎（B）720 ‎ ‎（C）1440 ‎ ‎（D）5040‎ 解析：本题考查程序框图，属于容易题。‎ 可设,‎ 则 输出720.故选B ‎（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解析：本题考查古典概型，属于容易题。设三个兴趣小组分别为A,B,C.‎ 他们参加情况共一下9种情况，其中参加同一小组情况共3中，故概率为故选A。‎ ‎（5）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解析：本题考查三角公式，属于容易题。‎ 易知tan=2，cos=.由cos2=2-1= 故选B ‎（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，‎ 则相应的俯视图可以为 解析：本题考查三视图的知识，同时考察空间想象能力。属于难题。‎ 由正视图和俯视图可以判断此几何体前部分是一个的三棱锥，后面是一个圆锥，由此可选D ‎（7）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 ‎（A） （B） （C）2 （D）3‎ 解析：本题考查双曲线的通径和离心率的概念，属于中等题 由题意知 ，则，由离心率公式得 所以e=。故选B.‎ ‎（8）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ‎（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40‎ 解析：本题考查二项式定理有关知识，属于中等题。‎ 有各项系数和为2得，a=1.易得40.故选D.‎ ‎（9）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 ‎（A） （B）4 （C） （D）6‎ 解析：本题考查微积分的基础知识，属于中等题。‎ B（2．，0）‎ A（4,2）‎ 如图：S==，故选C.‎ ‎（10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题 ‎ ‎ ‎ ‎ 其中的真命题是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解析：本题考查向量的基本知识，属于中等题。本题适合数形结合。‎ 易得选A。‎ ‎（11）设函数的最小正周期为，且，则 （A）在单调递减 （B）在单调递减 （C）在单调递增 （D）在单调递增 解析：本题考查三角函数的知识。属于难题。‎ 由函数的最小正周期为，可得，由可得，易得选A。‎ ‎(12)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于 （A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8‎ 解析：本题考查函数图象的对称问题，属于难题。‎ 实际上所有交点关于（1,0）成中心对称，任意两个对称的交点的横坐标的和都为2，共有8个交点，4对，故答案为8，选D.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题---第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题—第24题为选考题，考生根据要求做答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）若变量满足约束条件则的最小值为 。‎ 解析：本题考查线性规划的基本知识，属于容易题。只需画出线性区域即可。‎ 易得z=x+2y的最小值为-6。‎ ‎（14）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在 轴上，离心率为。过的直线 交于两点，且三角形AB的周长为16，那么的方程为 。‎ 解析：本题考查椭圆定义和离心率概念属于容易题 由三角形AB的周长为16得4a=16,故a=4,由离心率为 得c=,所以所以椭圆方程为 ‎（15）已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。‎ 解析：本题考查球内接棱锥问题，属于容易题。‎ 易得底面半径为，利用勾股定理求得棱锥的高为2，则体积为。‎ ‎（16）在中，，则的最大值为 。‎ 解析：本题考查正弦定理和三角函数的知识，属于较难的题。‎ 由正弦定理得AB=2sinC,BC=2sinA.‎ 所以=2sinC+4sinA=2sinC+4sin（1200-C）‎ ‎=4sinC+2cosC.故最大值为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 等比数列的各项均为正数，且 求数列的通项公式.‎ 设 求数列的前n项和.‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以。有条件可知a>0,故。‎ 由得，所以。故数列{an}的通项式为an=。‎ ‎（Ⅱ ）‎ 故 所以数列的前n项和为 ‎(18)(本小题满分12分)‎ ‎ 如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.‎ ‎(Ⅰ)证明：PA⊥BD；‎ ‎(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。‎ 解：‎ ‎（Ⅰ ）因为, 由余弦定理得 ‎ 从而BD2+AD2= AB2，故BDAD 又PD底面ABCD，可得BDPD 所以BD平面PAD. 故PABD ‎（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则 ‎,,,。‎ 设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则 ‎ 即 ‎ 因此可取n=‎ 设平面PBC的法向量为m，则 ‎ 可取m=（0，-1，） ‎ 故二面角A-PB-C的余弦值为 ‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：‎ ‎（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；‎ ‎（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为 从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）‎ 解 ‎（Ⅰ）由实验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。‎ 由实验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42‎ ‎（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间 的频率分别为0.04，,054,0.42，因此 ‎ P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,‎ 即X的分布列为 X的数学期望值EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA•AB = MB•BA，M点的轨迹为曲线C。‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。‎ 解：‎ ‎ (Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), ‎ ‎=(x,-2).再由愿意得知（+）• =0,即（-x,-4-2y）• (x,-2)=0.‎ 所以曲线C的方程式为y=x-2.‎ ‎(Ⅱ)设P(x,y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x 因此直线的方程为，即。‎ 则O点到的距离.又，所以 当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数，曲线在点处的切线方程为。‎ ‎（Ⅰ）求、的值；‎ ‎（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎ 由于直线的斜率为，且过点，故即 ‎ 解得，。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 ‎ 。‎ 考虑函数，则。‎ ‎(i)设，由知，当时，。而，故 当时，，可得；‎ 当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0‎ 从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.‎ ‎（ii）设00,故h’ （x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。‎ ‎（iii）设k1.此时h’ （x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾。‎ ‎ 综合得，k的取值范围为（-，0]‎ 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合。已知的长为，，的长是关于的方程的两个根。‎ ‎（Ⅰ）证明：，，，四点共圆；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求，，，所在圆的半径。‎ 解：‎ ‎（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中， ‎ ‎ AD×AB=mn=AE×AC, ‎ 即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB ‎ 因此∠ADE=∠ACB ‎ ‎ 所以C,B,D,E四点共圆。‎ ‎（Ⅱ）m=4, n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.‎ 故 AD=2，AB=12.‎ 取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.‎ 由于∠A=900，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5.‎ 故C,B,D,E四点所在圆的半径为5‎ ‎(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为 ‎（为参数）‎ M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2‎ ‎(Ⅰ)求C2的方程 ‎(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.‎ 解：‎ ‎（I）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以 ‎ 即 ‎ 从而的参数方程为（为参数）‎ ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。‎ 射线与的交点的极径为，‎ 射线与的交点的极径为。‎ 所以.‎ ‎(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数,其中。‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集 ‎（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a的值。‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）当时，可化为。‎ 由此可得 或。‎ 故不等式的解集为或。‎ ‎( Ⅱ) 由的 ‎ ‎ ‎ 此不等式化为不等式组 或 即 或 因为，所以不等式组的解集为 由题设可得= ，故