重庆高考数学试题理科及答案解析

重庆高考数学试题理科及答案解析

‎2015年重庆高考数学试题（理科）及答案解析 一、选择题 ‎（1）已知集合则 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】集合的元素，但是集合的元素，所以是的真子集。‎ ‎【点评】本题旨在考查集合与集合的关系，此题属简单题。‎ ‎（2）在等差数列中，若则 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意知：，易知，所以.‎ ‎【点评】此题旨在考查等差数列的性质的公式，但做此题需要考生细心，此题属简单题。‎ ‎（3）重庆市年各月的平均气温数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是 ( )‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据茎叶图的显示易知中位数为.‎ ‎【点评】此题考查了茎叶图和中位数定义，属于简单题.‎ （4） 是的 ( )‎ ‎ A.充要条件 B.充分而不必要条件 ‎ ‎ C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以 ‎【点评】此题考查了对数函数的应用以及结合命题关系，此题在过去高考及模拟中屡次出现，属于简单题.‎ ‎（5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三视图容易看出，原图是一个半圆柱体和椎体，半圆柱体的底面圆半径为，长为，得 知体积为，易知椎体的体积为.‎ ‎【点评】此题考查了三视图，另外考查了几何体的体积计算，属于简单题.‎ ‎ （6）若非零向量满足，且，则与的夹角为 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设与的夹角为，根据题知，得，所以，，在由得 ‎，，即.‎ ‎【点评】此题考查了向量的运算以及向量的性质，此题为简单题.‎ ‎（7）执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框内 可填入的条件是 ( )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】第一次： 第二次：‎ ‎ 第三次： 第四次：‎ ‎ 输出 ‎ ‎【点评】本题考查了程序框图的循环结构，只要考生冷静下来按照程序框图计算即可得出答案，属 ‎ 简单题.‎ ‎（8）已知直线是圆的对称轴，过点 ‎ 作圆的一条切线，切点为，则 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】易知圆的标准方程，圆心为 又因为直线 ‎ 是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心，得知，又因为 ‎ 直线与圆相切，则为直角三角形, ‎ ‎ ,,‎ ‎【点评】此题考查了圆的位置关系，是一道典型的解析几何题，此题难度不大，属于简单题.‎ ‎（9）若，则 ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据诱导公式，所以原式 ‎ ，分子分母同时除以得出原式 ‎ ‎ ‎【点评】该题考查了诱导公式的灵活运用以及和差化积公式，难度适中。‎ ‎（10）设双曲线的右焦点为，右定点为，过作的垂线与双 ‎ 曲线交于两点，过分别作的垂线，两垂线交于点，若到直线的 ‎ 距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 ( )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意知点D一定在x轴上，所以点到直线BC的距离为，由图知，‎ ‎ ，又，所以 ‎ ，解出，，根据实际情况 ‎ ，‎ ‎【点评】该题考查了圆锥曲线的性质，以及解析几何的三垂线定理，难度适中。‎ 二：填空题 ‎（11）设复数的模为，则 。‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由题易得，故；‎ ‎【点评】此题主要考查复数的模的运算，属于简单题型。‎ ‎（12）的展开式中的系数是 （用数字作答）。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由二项式的定理设 ‎ ‎ 当时，易得，故系数为。‎ ‎【点评】此题主要考查二项式系数的应用，属于简单题型。‎ ‎（13）在中，的角平分线,则 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图，由正弦定理易得,即，故,即，在，知，即。由于是的角平分线。故。在中，，易得。在中，由正弦定理得。即，故 ‎【点评】此题主要考查解三角形的正余弦定理应用，此类题过去会出现在高考题的解答题中，属于 ‎ 中档题题型。‎ 考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中选两题作答。若三题全做，则按前两题给分。‎ ‎（14）如题（14）图，圆的弦相交于点，则过点作圆的切线与的延长线交于点，若,，则 。‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由切割线定理的 ，易得，故,因为,故。由相交线定理可得又因为易得。‎ ‎【点评】此题主要考查切割线定理，属于简单题型。‎ ‎（15）已知直线的参数方程为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为则直线与曲线的交点的极坐标为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由直线的参数方程为参数），得直线方程为①；由得，故②，联立①②易得交点坐标。较易得交点的极坐标为。‎ ‎【点评】此题主要考查参数方程的化简，直角坐标系与极坐标的转化，属于中等题型。‎ ‎（16）若函数的最小值为5，则实数= 。‎ ‎【答案】-6 或 4‎ ‎【解析】第一种分类：当时，端点值为 ‎ ‎（1）当时，；‎ ‎（2）当时，；‎ ‎（3）当时，；‎ 如图所示：‎ 由图易知：，解得（舍）或 ，即 第二种分类：当 时，端点值为 ‎ ‎（1）当时，；‎ ‎（2）当时，；‎ ‎（3）当 时，；‎ 如图所示：‎ 由图易知： ，解得或（舍），即 综上所述：或4‎ ‎【点评】此题主要考察了绝对值不等式的分类讨论，属于中档题型。‎ 三、解答题 ‎（17）（本小题满分13分，（1）小问5分，（2）小问8分）‎ ‎ 端午节吃粽子是我国的传统习俗。设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，‎ 白粽5个，这3种粽子的外观完全相同。从中任意选取3个。‎ （1） 求三种粽子各取到1个的概率；‎ （2） 设表示取到豆沙粽个数，求的分布列与数学期望。‎ ‎【解析】（1）令A表示事件“三个粽子各取到1个”，则古典概型的概率计算公式有 ‎ 。‎ ‎ （2）的可能取值为0，1，2，且 ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ 综上知的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 故 （个）‎ ‎【点评】考察了古典概型的概率以及分布列，属于简单题型.‎ ‎（18）（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分）‎ ‎ 已知函数。‎ ‎ （1）求 的最小周期和最大值；‎ ‎ （2）讨论在上的单调性。‎ ‎【解析】（1）‎ ‎ .‎ ‎ 因此的最小正周期为，最小值为.‎ ‎（2）由条件可知：‎ ‎ 当时有，，从而的值域为，那么的值域为，故在区间上的值域是.‎ ‎【点评】考察了三角函数的恒等变换以及三角函数的图像性质，属于简单题型.‎ ‎（19）（本小题满分13分，（1）小问4分，（2）小问9分）‎ ‎ 如题（19）图，三棱锥,平面,分别为线段上的点，且。‎ ‎（1）证明：平面;‎ ‎（2）求二面角的余弦值。‎ ‎【解析】（1） 证明：由平面ABC，平面ABC，故，‎ ‎ 由得为等腰直角三角形，故 ‎ 由，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故平面PCD ‎ （2）解：由（1）知，为等腰直角三角形，，如图,过D作DF垂直CE于 ‎ F，易知DF=FC=FE=1，又已知EB=1，故FB=2.‎ ‎ 由得DF//AC，，故。 以C为坐标原点，分 ‎ 别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ ‎ 设平面PAD的法向量为，由，得 ‎， 故可取。由（1）可知平面PCD，故平面PCD的法 向量可取为，即从而法向量的夹角的余弦值为 ‎，故所求二面角A-PD-C的余弦值为 ‎【点评】第一问主要考察了线面垂直的应用，属于简单题。第二问考察二面角的求法以及空间向量 ‎ 建系的细节，属于常考题型.‎ ‎（20）（本小题满分12分，（1）小问7分，（2）小问5分）‎ 设函数。‎ ‎(1)若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方 程；‎ ‎(2)若在上为减函数，求的取值范围。‎ ‎【解析】（1）对求导得， ‎ ‎ 因为在处取得极值，所以，即。‎ ‎ 当时，， ，故，。从而 ‎ 在点处的切线方程，化简得。‎ ‎ （2）由（1）得知，令，由 ‎ 解得。‎ ‎ 当时，，即，故为减函数；‎ ‎ 当时，，即，故为增函数；‎ ‎ 当时，，即，故为减函数；‎ ‎ 由在上为减函数，即，得，故的取值范围为。‎ ‎【点评】第一问主要考察了导数的几何意义，导数的求导公式以及极值问题，属于简单题型。第二 ‎ 问属于主要考察了倒数的求导公式以及单调性的应用，是高考常考题型，属于简单题型.‎ ‎（21）（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）‎ ‎ 如题（21）图，椭圆的左、右焦点分别为 ,过的直线交椭圆于两点，且。‎ ‎ (1)若，，求椭圆的标准方程；‎ ‎ (2)若，求椭圆的离心率。‎ ‎【解析】（1）由椭圆的定义,‎ 故。‎ ‎ 设椭圆的半焦距为，由已知，因此 ‎ ‎ =,即，从而。‎ 故所求椭圆的标准方程为。‎ ‎（2）如答（21）图，由椭圆的定义，从而由,有 又由， ，知,因此， ,得 ‎ 从而由,知 ‎ ，因此 ‎ .‎ ‎【点评】第一问主要考察了椭圆的定义与性质，第二问考察解析几何数形结合的应用，属于中档题.‎ ‎（22）（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分）‎ ‎ 在数列中，。‎ ‎ (1)若，求数列的通项公式；‎ ‎ (2)若，，证明：。‎ ‎【解析】（1）由有 若存在某个，使得，则由上述递推公式易得。重复上述过程可得，此与矛盾，所以对任意的，。‎ 从而，即是一个公比的等比数列。‎ 故。‎ ‎ （2）由，数列的递推关系式变为，变形为。由上式及，归纳可得 ‎。‎ 因为，所以对求和得 ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ ‎ ‎ 另一方面，由上已证的不等式知，得 ‎ ‎ ‎ 综上所述：‎ ‎【点评】此题考查“数列递推”求通项。数列的归纳与放缩法主要考察了学生的灵便能力，此题属 ‎ 于难度较高的题型.‎