2015高考数学人教A版本（10-9随机变量的数字特征与正态分布）一轮复习学案

2015高考数学人教A版本（10-9随机变量的数字特征与正态分布）一轮复习学案

‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-9随机变量的数字特征与正态分布课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1．(2013·湖州模拟)一套重要资料锁在一个保险柜中，现有n把钥匙依次分给n名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为(　　)‎ A．1　　 　　 B．n　　 　　‎ C.　　 　 D. ‎[答案]　C ‎[解析]　这把可以打工柜门的钥匙排在任何一个位置都是等可能的，概率为，设试开次数为ξ，则E(ξ)＝(1＋2＋…＋n)·＝.‎ ‎2．(2013·广州一模)已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则E(η)，D(η)分别是(　　)‎ A．6和2.4 B．2和2.4‎ C．2和5.6 D．6和5.6‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵X～B(10,0.6)，∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，‎ ‎∴E(η)＝8－E(X)＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝2.4.‎ ‎3．(2013·白山联考)设随机变量X～N(1,52)，且P(X≤0)＝P(X≥a－2)，则实数a的值为(　　)‎ A．4 B．6 ‎ C．8 D．10‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵X～N(1,52)，P(X≤0)＝P(X≥a－2)，‎ ‎∴＝1，∴a＝4.‎ ‎4．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利(　　)‎ A．39元 B．37元 ‎ C．20元 D.元 ‎[答案]　B ‎[解析]　ξ的分布列为 ξ ‎50‎ ‎30‎ ‎－20‎ p ‎0.6‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎∴E(ξ)＝50×0.6＋30×0.3＋(－20)×0.1＝37(元)，故选B.‎ ‎5．已知随机变量ξ，η满足ξ＝2η－1，且ξ～B(10，p)，若E(ξ)＝8，则D(η)＝(　　)‎ A．0.5 B．0.8 ‎ C．0.2 D．0.4‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵E(ξ)＝10p＝8，∴p＝0.8，∴D(ξ)＝10p(1－p)＝10×0.8×0.2＝1.6，又D(ξ)＝D(2η－1)＝4D(η)，∴D(η)＝0.4.‎ ‎6．(2013·深圳调研)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　P＝×＋×＝ ‎ 二、填空题 ‎7．抛掷一枚均匀的正方体骰子，观察出现的点数，如果出现了5点或6点，则称“抛掷高效”，若“抛掷高效”则得1分，否则得0分，则抛掷一次得分的期望为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由题意P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，‎ ‎∴E(ξ)＝0×＋1×＝.‎ ‎8．如果随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝4，且D(ξ)＝2，则E(pξ－D(ξ))＝________.‎ ‎[答案]　0‎ ‎[解析]　∵ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝4，∴np＝4，‎ 又∵D(ξ)＝2，∴np(1－p)＝2，∴p＝，‎ ‎∴E(pξ－D(ξ))＝E(ξ－2)＝E(ξ)－2＝0.‎ ‎9．甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、4个白球和2个黑球，先从甲罐中任意取出一球放入乙罐，再从乙罐中取出一球，则从乙罐中取出的球是白球的概率为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　设从甲罐中取出红球、白球、黑球的事件分别为A1、A2、A3，设从乙罐中取出白球的事件为B，则 P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，‎ 所求概率P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝×＋×＋×＝.‎ 三、解答题 ‎10．(2013·海淀模拟)某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次．在A区每进一球得2分，不进球得0分；在B区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为或.‎ ‎(1)如果选手甲以在A、B区投篮得分的期望较高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择在哪个区投篮？‎ ‎(2)求选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率．‎ ‎[解析]　(1)法一：设选手甲在A区投两次篮的进球数为X，则X～B(2，)，故E(X)＝2×＝，‎ 则选手甲在A区投篮得分的期望为2×＝3.6.‎ 设选手甲在B区投三次篮的进球数为Y，则Y～B(3，)，故E(Y)＝3×＝1，‎ 则选手甲在B区投篮得分的期望为3×1＝3.‎ ‎∵3.6>3，‎ ‎∴选手甲应该选择在A区投篮．‎ 法二：设选手甲在A区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0,2,4，‎ P(ξ＝0)＝(1－)2＝，‎ P(ξ＝2)＝C××(1－)＝，‎ P(ξ＝4)＝()2＝.‎ 所以ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎∴E(ξ)＝0×＋2×＋4×＝3.6.‎ 同理，设选手甲在B区域投篮的得分为η，则η的可能取值为0,3,6,9，‎ P(η＝0)＝(1－)3＝，‎ P(η＝3)＝C××(1－)2＝，‎ P(η＝6)＝C×()2(1－)＝，‎ P(η＝9)＝()3＝.‎ 所以η的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ P ‎∴E(η)＝0×＋3×＋6×＋9×＝3.‎ ‎∵E(ξ)>E(η)，∴选手甲应该选择在A区投篮．‎ ‎(2)设选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分为事件C，甲在A区投篮得2分、在B区投篮得0分为事件C1，甲在A区投篮得4分、在B区投篮得0分为事件C2，甲在A区投篮得4分、在B区投篮得3分为事件C3，则C＝C1∪C2∪C3，其中C1，C2，C3为互斥事件．‎ 则：P(C)＝P(C1∪C2∪C3)＝P(C1)＋P(C2)＋P(C3)＝×＋×＋×＝，故选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为.‎ 能力拓展提升 ‎11.(2013·福州模拟)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ.‎ ‎(1)求ξ的分布列；‎ ‎(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；‎ ‎(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？‎ ‎[解析]　(1)由于1件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为6,2,1，－2，由题意知P(ξ ‎＝6)＝＝0.63，P(ξ＝2)＝＝0.25，P(ξ＝1)＝＝0.1，P(ξ＝－2)＝＝0.02.‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎6‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎－2‎ P ‎0.63‎ ‎0.25‎ ‎0.1‎ ‎0.02‎ ‎(2)1件产品的平均利润为E(ξ)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)．‎ ‎(3)设技术革新后三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(ξ)＝6×0.7＋2×(1－0.7－x－0.01)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x.‎ 由E(ξ)≥4.73，得4.76－x≥4.73，‎ 解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.‎ ‎12．(2012·湖北理，20)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：‎ 降水量X X<300‎ ‎300≤X<700‎ ‎700≤X<900‎ X≥900‎ 工期延误天数Y ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300、700、900的概率分别为0.3、0.7、0.9.求：‎ ‎(1)工期延误天数Y的均值与方差；‎ ‎(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．‎ ‎[分析]　(1)利用概率的加法公式及对立事件求分布列，再求均值与方差．(2)利用条件概率公式求解．‎ ‎[解析]　(1)由已知条件和概率的加法公式有：‎ P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，‎ P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2.‎ P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.‎ 所以Y的分布列为：‎ Y ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ P ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；‎ D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2‎ ‎×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.‎ 故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.‎ ‎(2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，‎ 又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6.‎ 由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝＝＝.‎ 故在降水量X至少是‎300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.‎ ‎13．(2013·四川理，18)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．‎ ‎(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3)；‎ ‎(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．‎ 甲的频数统计表(部分)‎ 乙的频数统计表(部分)‎ 当n＝2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；‎ ‎(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．‎ ‎[解析]　(1)变量x是在1,2,3，…，24这24个整中数随机产生的一个数，共有24种可能．‎ 当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝；‎ 当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝；‎ 当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝.‎ 所以，输出y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为.‎ ‎(2)当n＝2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率如下：‎ 比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大．‎ ‎(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.‎ P(ξ＝0)＝C×()0×()3＝，‎ P(ξ＝1)＝C×()1×()2＝，‎ P(ξ＝2)＝C×()2×()1＝，‎ P(ξ＝3)＝C×()3×()0＝，‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以，Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.‎ 即ξ的数学期望为1.‎ ‎14．某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女学生；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法，从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动．‎ ‎(1)求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数；‎ ‎(2)求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率；‎ ‎(3)记ξ表示抽取的3名学生中男学生数，求ξ的分布列及数学期望．‎ ‎[解析]　(1)因为数学兴趣小组人数：英语兴趣小组人数＝105＝21，从数学兴趣小组和英语兴趣小组中抽取3人，则抽取数学小组的人数为2人，英语小组的人数为1人．‎ ‎(2)从数学兴趣小组中抽取2人恰有一名女生的概率 P＝＝.‎ ‎(3)随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3.‎ P(ξ＝0)＝·＝；‎ P(ξ＝1)＝·＋·＝；‎ P(ξ＝2)＝·＋·＝；‎ P(ξ＝3)＝·＝，‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ 考纲要求 ‎1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．‎ ‎2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．‎ ‎3．利用实际问题的直方图，了解正态分布的特点及曲线所表示的意义．‎ 补充说明 ‎1．均值与方差的理解 ‎(1)均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均水平．‎ ‎(2)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越小，X的取值越集中，D(X)越大，X的取值越分散．‎ ‎2．正态曲线与正态分布 函数f(x)＝φμ，σ(x)＝e－，x∈R.其中实数μ和σ为参数，我们称f(x)的图象为正态曲线．服从正态分布的随机变量叫做正态变量．‎ 正态随机变量X落在区间[a，b]内的概率为：‎ P(a1.75，则p的取值范围是(　　)‎ A．(0，) B．(，1)‎ C．(0，) D．(，1)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由已知条件可得P(X＝1)＝p，‎ P(X＝2)＝(1－p)p，‎ P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，‎ 则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，‎ 解得p>或p<，‎ 又由p∈(0,1)，可得p∈(0，)，故应选C.‎ ‎4．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望E(ξ)为(　　)‎ A.　　　 B.　　　 ‎ C.　　　 D. ‎[答案]　A ‎[解析]　∵对称轴在y轴左侧，‎ ‎∴－<0，∴ab>0，即a与b同号，‎ ‎∴满足条件的抛物线有‎2CCC＝126条．‎ ξ的取值为0、1、2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.‎ ‎∴E(ξ)＝×0＋×1＋×2＝.‎ ‎5．(2013·山东聊城一模)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时部分每小时的收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．‎ ‎(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；‎ ‎(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．‎ ‎[解析]　(1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.‎ 记“甲，乙两人所付的租车费用相同”为事件A，‎ 则P(A)＝×＋×＋×＝，‎ 即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.‎ ‎(2)随机变量ξ的所有可能取值为0,2,4,6,8，且 P(ξ＝0)＝×＝；‎ P(ξ＝2)＝×＋×＝；‎ P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝；‎ P(ξ＝6)＝×＋×＝；‎ P(ξ＝8)＝×＝.‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ P 所以E(ξ)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝.‎ ‎6．有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：‎ 所用的时间(天数)‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ 通过公路1的频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎20‎ 通过公路2的频数 ‎10‎ ‎40‎ ‎40‎ ‎10‎ 假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发．‎ ‎(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径．‎ ‎(2)若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元(其他费用忽略不计)，此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，销售商将少支付给生产商2万元．如果汽车A、B长期按(1)中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．‎ ‎(注：毛利润＝销售商支付给生产商的费用－一次性费用)‎ ‎[解析]　(1)频率分布表，如下：‎ 所用的时间(天数)‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ 通过公路1的频率 ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ 通过公路2的频率 ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ 设A1、A2分别表示汽车A在前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；B1、B2分别表示汽车B在前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙．‎ P(A1)＝0.2＋0.4＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，‎ ‎∴汽车A应选择公路1.‎ P(B1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，‎ ‎∴汽车B应选择公路2.‎ ‎(2)设X表示汽车A选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则X＝42,40,38,36.‎ X的分布列如下：‎ X ‎42‎ ‎40‎ ‎38‎ ‎36‎ P ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ E(X)＝42×0.2＋40×0.4＋38×0.2＋36×0.2＝39.2.‎ ‎∴汽车A选择公路1时的毛利润为39.2－3.2＝36.0(万元)‎ 设Y表示汽车B选择公路2时的毛利润，Y＝42.4，40.4，38.4,36.4.‎ 则分布列如下：‎ Y ‎42.4‎ ‎40.4‎ ‎38.4‎ ‎36.4‎ P ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ E(Y)＝42.4×0.1＋40.4×0.4＋38.4×0.4＋36.4×0.1＝39.4，‎ ‎∴汽车B选择公路2时的毛利润为39.4万元，‎ ‎∵36.0<39.4，∴汽车B为生产商获得毛利润更大．‎