所名校高考模拟金典卷 理科数学

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i=1, S=0 开始 i<5? i 是奇数? S=S-i2 =0 S=S+i2 =0i=i+1 是 否 输出 S 结束 正视图 侧视图 俯视图 2 2 3 2 100 所名校高考模拟金典卷·数学（一） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1、若集合 ，集合 ，则集合 B 的元素个数为（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 2、在复平面内，复数 （ 为虚数单位）所对应的点位于（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 3、下列命题中正确的是（ ） A、若 p：存在 ， ，则 p：对任意 ， 。 B、若 为真命题，则 为真命题。 C、“函数 为奇函数”是“ ”的充分不必要条件。 D、命题“若 ，则 ”的否命题为真命题。 4、执行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值为（ ） A、3 B、 C、10 D、 5、已知变量 x,y 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ） A、9 B、8 C、7 D、6 6、如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形、 等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（ ） A、 B、4 C、 D、2 7、用 1,2,3,4,5,6 组成不重复的六位数，满足 1 不在左右两端， 2,4,6 三个偶数中有且仅有两个偶数相邻，则这样的六位数的 个数为（ ） A、432 B、288 C、216 D、144 8、设 ， ，且 ，则（ ） A、 B、 C、 D、 9、已知等边△ABC 中，D、E 分别是 CA、CB 的中点，以 A、B 为焦点且过 D、E 的椭圆和双曲线的离心率分 别为 、 ，则 的值为（ ） A、 B、3 C、2 D、 10、已知定义在 R 上的函数 、 满足 （ 且 ）， ， 其中 且 ，则在有穷数列 中，任取前 k 项相加，和大于 的概率为（ ） A、 B、 C、 D、 二、填空题：本大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 { }0,1,2,3A = { },1B x x A x A= − ∈ − ∉ 2 3 3 4 i i − + − i x R∈ 2 1 0x x+ + < ¬ x R∈ 2 1 0x x+ + < p q∨ p q∧ ( )f x ( )0 0f = 2 3 2 0x x− + = 1x = 6− 15− 5 0 2 1 0 1 0 x y x y x + − ≤  − + ≤  − ≥ 2 1z x y= + − 4 3 2 3 0, 2 πα  ∈   0, 2 πβ  ∈   1 sintan cos βα β += 3 2 πα β− = 2 2 πα β− = 3 2 πα β+ = 2 2 πα β+ = 1e 2e 1 2e e+ 2 3 3 2 ( )f x ( )g x ( ) ( )xf x a g x= 0a > 1a ≠ ( ) ( ) ( ) ( )' 'f x g x f x g x< ( ) 0g x ≠ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 5 1 1 2 f f g g −+ =− ( ) ( ) f n g n        63 64 1 5 3 5 4 5 2 5 A C B O E D （一）选做题（请考生在 11,12,13 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分。 11、已知曲线 C 的极坐标方程为 ，直线的极坐标方程为 ， 则它们相交所得的弦长等于 ； 12、如图，AB 是圆 O 的直径，过 A 作圆 O 的切线，在切线上取一点 C，使 AC=AB， 连结 OC，与圆 O 交于点 E，若圆 O 的半径为 1，则 AE= ； 13、对任意 ， 的最小值为 ； （二）必做题：（14~16 题） 14、在 2014 年 3 月 15 日那天，某市物价部门对市内的 5 家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5 家 商场的售价 x（元）和销售量 y（件）之间的一组数据如下表所示： 价格 x 9 9.5 10 10.5 11 销售量 y 11 10 8 6 5 根据上表可得回归方程 ，则 = ； 15、已知 为单位正方体，黑白两只蚂蚁从点 A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完 一段”，白蚂蚁爬行的路线是 ，黑蚂蚁爬行的路线是 ，它们都遵循如下 规则：爬行的第 段与第 段所在直线必须是异面直线（其中 ），设黑白蚂蚁都走完 2015 段后各 停在正方体的某个顶点处，这时黑白蚂蚁的距离是 ； 16、已知△ABC 内一点 O 满足关系 ，则 = ； 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出必要的文字说明、推理过程和演算步骤。 17、已知向量 与向量 所成角为 ，其中 A、B、C 分别是△ABC 的内角。 （1）求角 B 的大小； （2）求 的取值范围。 18、某商家推出一款简单电子游戏，弹射一次可以将三个相同的小球随机弹到一个正六边形的顶点和中心共 7 个点中的三个位置上，用 S 表示这三个球为顶点的三角形的面积。规定：当三球共线时，S=0；当 S 最大时， 中一等奖，当 S 最小时，中二等奖，其余情况不中奖。一次游戏只能弹射一次。 （1）求甲一次游戏中能中奖的概率； （2）设这个正六边形的面积是 6，求一次游戏中随机变量 S 的分布列及数学期望。 19、已知正数数列 满足 （ ），数列 的前 n 项和为 ，且满足 2 3 cosρ θ= 2 cos 3ρ θ = ,x y R∈ 1 1 1x x y y− + + − + +  3.2y x a= − + a 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 1AA A D→ → 1AB BB→ → 2i + i i N+∈ 2 3 0OA OB OC+ + =    : :BOC COA AOBS S S   ( )sin ,1 cosm B B= − ( )2,0n = 3 π sin sinA C+ { }na ( ) ( )2 2 21 0n na n n a n n− + − − + = n N+∈ { }nb nS ， （ ）。 （1）求数列 和 的通项公式； （2）设 ，数列 的前 n 项和为 ，求证： 。 20、 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥平面 AB⊥CD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1。 （1）求二面角 A-PC-D 的正弦值； （2）设 E 为棱 PA 上的点，满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30°，求 AE 的 长。 1 1b = 2 1n nS b= + n N+∈ { }na { }nb ( )2 1 n n n n bc a += { }nc nT 2 1nT < A C B D P M B A N x y P Q F1 F2O 21、设椭圆 ： （ ）的左右焦点分别为 ，下顶点为 A，线段 OA 的中点为 B（O 为 坐标原点），如图，若抛物线 ： 与 y 轴的交点为 B，且经过点 。 （1）求椭圆 的方程； （2）设 ，N 为抛物线 上一动点，过点 N 作抛物线 的切线交椭圆于 P、Q 两点，求△MPQ 面积的最大值。 22、已知函数 。 （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）若 有两个不同的极值点，其极小值为 M，试比较 与 的大小，并 说明理由； （3）设 ，求证：当 时， 。 1C 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 1 2,F F 2C 2 1y x= − 1 2,F F 1C 40, 5M  −   2C ( ) 1lnf x x x = + ( )y f x= ( )( )2, 2f ( ) ( ) 21 2g x f x ax xx = − + − 2M 3− 2q p> > ( ),x p q∈ ( ) ( ) ( ) ( )f x f p f x f q x p x q − −>− − O A B C B1 C1 100 所名校高考模拟金典卷·数学（一） 参 考 答 案 1—10：ABDCB CBBAD 11、3； 12、 ； 13、3； 14、40； 15、 ； 16、1:2:3。 15、【解析】由题意，白蚂蚁爬行路线为 ，即过 6 段后又回到起点， 可以看作以 6 为周期，由于 ，白蚂蚁爬完 2015 段后回到 B 点； 同理，黑蚂蚁爬完 2015 段后回到 D 点；所以它们此时的距离为 。 16、【解析】延长 OB 至 ，使 ；延长 OC 至 ，使 ； 连结 ，如图所示，则 ， ， 由条件得 ，所以 O 点是△ 的重心， 从而 （其中 S 表示 的面积）， 所以 ， ， ， 因此 。 17、已知向量 与向量 所成角为 ，其中 A、B、C 分别是△ABC 的内角。 （1）求角 B 的大小； （2）求 的取值范围。 【解析】（1）因为 与向量 所成角为 ，所以 ，即 ； 又 ，所以有 ，于是 ； ………………………………6 分 （2）由（1）得 ， 而 ，所以 ，从而 。 故 的取值范围为 。 ………………………………12 分 18、某商家推出一款简单电子游戏，弹射一次可以将三个相同的小球随机弹到一个正六边形的顶点和中心共 7 个 点中的三个位置上，用 S 表示这三个球为顶点的三角形的面积。规定：当三球共线时，S=0；当 S 最大时，中一 等奖，当 S 最小时，中二等奖，其余情况不中奖。一次游戏只能弹射一次。 （1）求甲一次游戏中能中奖的概率； （2）设这个正六边形的面积是 6，求一次游戏中随机变量 S 的分布列及数学期望。 【解析】（1）在一次游戏中，三个小球的落点所有可能的结果共有 种， 其中中一等奖的情况有 2 种，中二等奖的情况有 3 种， 于是若记“一次游戏中能中奖”为事件 A， 则事件 A 发生的概率为 。 …………………5 分 （2）依题意，S 的所有可能取值有 0,1,2,3，且 ， ， ， ，于是 S 的分布列为 S 0 1 2 3 5 1− 2 1 1 1 1 1 1AA A D D C C C CB BA→ → → → → 2015 335 6 5= × + 2 1B 1BB OB= 1C 1 2CC OC= 1 1 1 1, ,AB AC B C 1 2OB OB=  1 3OC OC=  1 1 0OA OB OC+ + =    1 1AB C 1 1 1 1 1 3B OC C OA AOBS S S S= = =    1 1AB C 1 9COAS S=  1 6AOBS S=  1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 18BOC B OC B OCS S S S= = × =    1 1 1: : : : 1: 2:318 9 6BOC COA AOBS S S = =    ( )sin ,1 cosm B B= − ( )2,0n = 3 π sin sinA C+ ( )sin ,1 cosm B B= − ( )2,0n = 3 π 1 cos 3sin B B − = tan 32 B = 0 B π< < 2 3 B π= 2 3B π= 1 3sin sin sin sin sin cos3 2 2A C A A A A π + = + − = +   sin 3A π = +   0 3A π< < 2 3 3 3A π π π< + < 3sin ,13 2A π   + ∈       sin sinA C+ 3 ,12      3 7 35C = ( ) 3 7 2 3 1 7P A C += = ( ) 30 35P S = = ( ) 181 35P S = = ( ) 122 35P S = = ( ) 23 35P S = = P …………………10 分 所以 。 …………………12 分 19、已知正数数列 满足 （ ），数列 的前 n 项和为 ，且满足 ， （ ）。 （1）求数列 和 的通项公式； （2）设 ，数列 的前 n 项和为 ，求证： 。 【解析】（1）对于数列 ，由 可得 ， 由于数列 为正数数列，所以 ； …………………3 分 对数列 来说，由 ，可得 ，两式相减，整理得 （非零常数）， 所以数列 是一个等比数列，且公比为 ； 又 ，所以 。 …………………6 分 （2）由（1）知 = ， …………………8 分 所以当 n 为奇数时， ； …………………10 分 故 = 。 …………………12 分 20、 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥平面 AB⊥CD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1。 （1）求二面角 A-PC-D 的正弦值； （2）设 E 为棱 PA 上的点，满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30°， 求 AE 的长。 【解析】（1）依题设，可以以 A 为坐标原点，AD、AC、AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz，如图所示。 则有 ， ， ， ；…………………4 分 于是 ， ，设平面 PCD 的法向量为 ， 则由 可得 ，取 ，即得 ； 又平面 PAC 的法向量为 （当然可用 x 轴的方向向量 ）， 所以 ； 若设二面角 A-PC-D 的大小为 ，则 。…………………8 分 （2）设 ，则 ， ， ， 3 35 18 35 12 35 2 35 3 18 12 2 480 1 2 335 35 35 35 35ES = × + × + × + × = { }na ( ) ( )2 2 21 0n na n n a n n− + − − + = n N+∈ { }nb nS 1 1b = 2 1n nS b= + n N+∈ { }na { }nb ( )2 1 n n n n bc a += { }nc nT 2 1nT < { }na ( ) ( )2 2 21 0n na n n a n n− + − − + = ( ) ( )21 0n na a n n + − + =  { }na 2 na n n= + { }nb 2 1n nS b= + 1 12 1n nS b+ += + 1 1n n b b + = − { }nb 1− 1 1b = ( ) 11 n nb −= − ( )2 1 n n n n bc a += ( ) ( ) 1 2 11 1 n n n n − += − + ( ) 1 1 11 1 n n n −  − + +  1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2n nc c n n n n n n+    + = + − + = −   + + + +    2 1 2 3 4 2 1 2n n nT c c c c c c−= + + + + + + 1 1 1 1 1 11 1 13 3 5 2 1 2 1 2 1n n n      − + − + + − = − <     − + +      ( )2,0,0D ( )0,1,0C 1 1, ,02 2B −   ( )0,0,2P ( )0,1, 2PC = − ( )2, 1,0CD = − ( ), ,n x y z= 0 0 n PC n CD  ⋅ = ⋅ =     2 0 2 0 y z x y − =  − = 2 2 y z y x =⇒  = 1z = ( )1,2,1n = ( )2,0,0AD = ( )1,0,0i = 6cos , 6 AD nAD n AD n ⋅< >= = ⋅      θ 2 30sin 1 cos , 6AD nθ = − < > =  AE h= [ ]0,2∈ ( )0,0,AE h= 1 1, ,2 2BE h = −    ( )2, 1,0CD = − A C B D P y z x M B A N x y P Q F1 F2O 则依题设知 ，解得 。 故 AE 的长为 。…………………12 分 21、设椭圆 ： （ ）的左右焦点分别为 ，下顶点为 A，线段 OA 的中点为 B（O 为 坐标原点），如图，若抛物线 ： 与 y 轴的交点为 B，且经过点。 （1）求椭圆 的方程； （2）设 ，N 为抛物线 上一动点，过点 N 作抛物线的 切线交椭圆于 P、Q 两点，求△MPQ 面积的最大值。 【解析】由题意可知 ，则 ，故 ； 在抛物线方程 中令 ，得 ， 则 ， ，故 ； 于是 ， 从而椭圆 的方程为 。 …………………4 分 （2）设 ，由 得 ， 于是直线 PQ 的方程为 ，即 ； …………………6 分 将其代入椭圆方程整理得 ； ……………………7 分 首先， ； 然后，若设交点 P、Q 的横坐标分别为 ，则 ， 。…………9 分 故 ； 设点 M 到直线 PQ 的距离为 ，则 ， 所以△MPQ 的面积 。 当 即 时取到等号，经检验此时 ，满足题意。 故△MPQ 面积的最大值为 。 ……………………………13 分 22、已知函数 。 （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）若 有两个不同的极值点，其极小值为 M，试比较 与 的大小，并说明理 由； 2 3 3cos , 210 20 BE CDBE CD BE CD h ⋅< >= = = ⋅ +      10 10h = 10 10 1C 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 1 2,F F 2C 2 1y x= − 1C 40, 5M  −   2C ( )0, 1B − ( )0, 2A − 2b = 2 1y x= − 0y = 1x = ± ( )1 1,0F − ( )2 1,0F 1c = 2 2 2 5a b c= + = 1C 2 2 15 4 x y+ = ( )2, 1N t t − 2 1y x= − ' 2y x= ( ) ( )2 1 2y t t x t− − = − 22 1y tx t= − − ( ) ( ) ( )22 2 2 24 1 5 20 1 5 1 20 0t x t t x t+ − + + + − = ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 4 2400 1 80 1 5 1 4 80 18 3t t t t t ∆ = + − + + − = − + +   0> 1 2,x x ( )2 1 2 2 5 1 1 5 t t x x t + + = + ( )22 1 2 2 5 1 20 1 5 t x x t + − = + ( ) ( ) ( )2 4 2 22 1 2 1 2 2 5 1 4 18 3 1 4 4 1 5 t t t PQ t x x x x t + ⋅ − + + = + + − =  + d 2 2 2 2 4 115 5 1 4 1 4 t t d t t − − + = = + + ( ) 22 4 2 2 2 1 5 1 4 18 31 1 5 2 2 1 5 1 4 tt t t S PQ d t t ++ ⋅ − + + = ⋅ = ⋅ ⋅+ + 4 25 18 310 t t= ⋅ − + + ( )225 9 8410 t= ⋅ − − + 5 1058410 5 ≤ ⋅ = 2 9t = 3t = ± 0∆ > 105 5 ( ) 1lnf x x x = + ( )y f x= ( )( )2, 2f ( ) ( ) 21 2g x f x ax xx = − + − 2M 3− （3）设 ，求证：当 时， 。 【解析】（1）易知 ，所以 ； 又 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ， 即 ； ……………………………4 分 （2）由题设知 ， （ ）； 因为 有两个不同的极值点，所以 有两个不相等的实根 （ ）， 即 有两个不相等的正根 （ ）， 于是有 ，解得 ； ……………………………6 分 相应的， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 于是 的极小值 ， 又因为 ，且 ， 所以 （ ）。 由于 ，所以 在 上单调递减， 从而 ，故 。 ……………………………9 分 （3）先证明：当 时， ； 即证 ，只需证 ；………（*） 事实上，设 （ ）， 则 ，所以 在 内递增， 所以有 ，即（*）成立，从而 成立。 ………………………12 分 同理可证：当 时， ； 综上即得当 时， 。 …………………………………………13 分 2q p> > ( ),x p q∈ ( ) ( ) ( ) ( )f x f p f x f q x p x q − −>− − ( ) 2 1 1'f x x x = − ( ) 1 1 1' 2 2 4 4f = − = ( ) 12 ln 2 2f = + ( )y f x= ( )( )2, 2f ( )1 1ln 2 22 4y x − + = −   4 4ln 2 0x y− + = ( ) 2 2 lng x ax x x= − + ( ) 21 2 2 1' 2 2 ax xg x ax x x − += − + = 0x > ( )g x ( )' 0g x = 1 2,x x 1 2x x< 22 2 1 0ax x− + = 1 2,x x 1 2x x< 1 2 1 2 4 8 0 1 0 1 02 a x x a x x a  ∆ = − >  + = >   = > 10 2a< < ( )g x ( )10, x ( )1 2,x x ( )2 ,x +∞ ( )g x ( ) 2 2 2 2 22 lnM g x ax x x= = − + ( )2' 0g x = ⇒ 2 2 22 2 1 0ax x− + = 2 1 1 2 2 ax a + −= ( )1,∈ +∞ 2 2 1ln 2M x x= − − 2 1x > ( ) 2 2 2 2 11' 1 0xM x x x −= − = < ( )2M x ( )1,+∞ ( ) ( )2 31 2M x M< = − 2 3M < − ( ),x p q∈ ( ) ( ) ( )'f x f p f xx p − >− 2 1 1ln ln 1x p xx p x p x + − − −>− 2 2 1ln ln 1 0p px px x p ++ − − − − > ( )xϕ = 2 2 1ln ln 1p px px x p ++ − − − − p x q< < ( )' xϕ = ( )( ) 3 2 0x x p x − − > ( )xϕ ( ),p q ( ) ( ) 0x pϕ ϕ> = ( ) ( ) ( )'f x f p f xx p − >− ( ),x p q∈ ( ) ( ) ( )'f x f q f xx q − <− ( ),x p q∈ ( ) ( ) ( ) ( )f x f p f x f q x p x q − −>− −