高考导数与积分命题热点研讨3

高考导数与积分命题热点研讨3

第六讲：2013年高考导数与积分命题热点研讨(3)‎ 本讲接第五讲，讲座时间为1到2个小时，希望同学们能集中精力的听讲，完成学习任务 孟老师大胆预测点7定积分 ‎1(2011·福建)‎ (ex＋2x)dx等于 A．1　　　　　B．e－‎1 ‎‎ C．e D．e＋1‎ 解析：本题主要考查积分的基本运算．‎ (ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|＝e＋1－1＝e，故选C.答案：C ‎2(2011·湖南)‎ 由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为 A. B．‎1 ‎‎ C. D. 解析：S＝cosxdx＝sinx＝sin－sin＝.答案：D ‎3（孟老师模拟举例）‎ 如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，直线OP、曲线y＝x2及直线x＝2所围成图形的面积分别记为S1、S2，若S1＝S2，求点P的坐标．‎ 解：设直线OP的方程为y＝kx，点P的坐标为(x，y)，则(kx－x2)dx＝(x2－kx)dx，‎ 即(kx2－＝(x3－，解得kx2－x3＝－2k－(x3－kx2)，‎ 解得k＝，即直线OP的方程为y＝x，所以点P的坐标为(，)．‎ ‎4(2012·山东省寿光市高三第一学期抽测)‎ 如图，由函数y＝x2－2x的图像和直线x＝1，x＝3及x轴围成封闭图形的面积为(　　)‎ A．2 B. C．2 D. 解析：所求面积为(2x－x2)dx＋(x2－2x)dx＝＋＝2.答案：C 孟老师大胆预测点8：最值问题 ‎（2009年广东）‎ 已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．‎ ‎（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；‎ ‎（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点． ‎ 解：（1）依题可设 ()，则；‎ 又的图像与直线平行 ‎ ， ， ‎ 设，则 当且仅当时，取得最小值，即取得最小值 当时， 解得 ‎ 当时， 解得 ‎ （2）由()，得 当时，方程有一解，函数有一零点；‎ 当时，方程有二解，‎ 若，，‎ 函数有两个零点，即；‎ 若，，‎ 函数有两个零点，即；‎ 当时，方程有一解, , ‎ 函数有一零点 ‎ 综上，当时, 函数有一零点；‎ 当()，或（）时，‎ 函数有两个零点；‎ 当时，函数有一零点.‎ 孟老师大胆预测点9函数的实际应用问题 ‎1（2010年湖北卷） （满分12分）‎ 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.‎ ‎（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式.‎ ‎（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.‎ 本题主要考察函数、导数等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.‎ 解：（Ⅰ）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为.‎ 再由，得， 因此.‎ 而建造费用为 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 ‎（Ⅱ），令，即.‎ 解得 ，（舍去）. ‎ 当 时，， 当时， ， 故是 的最小值点，对应的最小值为.‎ 当隔热层修建厚时， 总费用达到最小值为70万元.‎ ‎2（2009年湖南卷）‎ 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素.记余下工程的费用为万元.‎ ‎（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）当=‎640米时，需新建多少个桥墩才能使最小.‎ 解：（Ⅰ）设需新建个桥墩，则，‎ 所以 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 令，得，所以=64.‎ 当0<<64时，<0，在区间（0，64）内为减函数；‎ 当时，>0. 在区间（64，640）内为增函数.‎ 所以在=64处取得最小值，此时 故需新建9个桥墩才能使最小.‎