函数与导数2009年高考原题
2009年高考数学试题分类汇编——函数
一、选择题
1.(2009年广东卷文)若函数是函数的反函数，且，则
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】函数的反函数是,又,即,
所以,,故,选A.
2.(2009年广东卷文)函数的单调递增区间是
A. B.(0,3) C.(1,4) D. 21世纪教育网
【答案】D
【解析】,令,解得,故选D
3.（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为( B )
(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2
解:设切点，则,又
.故答案选B
4.（2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若与
都是奇函数，则( D )
(A) 是偶函数 (B) 是奇函数
(C) (D) 是奇函数
解: 与都是奇函数，，
函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D
5.（2009浙江理）对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有
．下列结论中正确的是 ( )
A．若，，则
B．若，，且，则
C．若，，则 21世纪教育网
D．若，，且，则
答案：C
【解析】对于，即有，令，有，不妨设，，即有，因此有，因此有．
6.（2009浙江文）若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．，在上是增函数21世纪教育网
B．，在上是减函数
C．，是偶函数
D．，是奇函数
C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇设问．
【解析】对于时有是一个偶函数
7.（2009北京文）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 （ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
【答案】C
.w【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.
A．，
B．，
C．，
D．.
故应选C.
8.（2009北京理）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 （ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
【答案】C
【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. 21世纪教育网
A．，
B．，
C．，
D．.
故应选C.
9. (2009山东卷理)函数的图像大致为( ).
1
x
y
1
O
A
x
y
O
1
1
B
x
y
O
1
1
C
x
y
1
1
D
O
【解析】:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A.
答案:A.
【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.
10.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为( )
A.-1 B. 0 C.1 D. 2
【解析】:由已知得,,,
,,
,,,
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.
答案:C.
【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.
11.(2009山东卷文)函数的图像大致为( ).
1
x
y
1
O
A
x
y
O
1
1
B
x
y
O
1
1
C
x
y
1
1
D
O
【解析】:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A.
答案:A.
【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.
12. (2009山东卷文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（3）的值为( )
A.-1 B. -2 C.1 D. 2
【解析】:由已知得,,,
,,故选B.
答案:B.
【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程.
13.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).
A. B.
C. D.
【解析】:因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 则,,,又因为在R上是奇函数， ,得,,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,故选D.
答案:D.
【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题.
14.（2009全国卷Ⅱ文）函数y=(x0)的反函数是
（A）（x0） （B）（x0）
（B）（x0） （D）（x0）
答案：B
解析：本题考查反函数概念及求法，由原函数x0可知AC错,原函数y0可知D错，选B.
15.（2009全国卷Ⅱ文）函数y=的图像
（A） 关于原点对称 （B）关于主线对称
（C） 关于轴对称 （D）关于直线对称
答案：A
解析：本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。
16.（2009全国卷Ⅱ文）设则
（A） （B） （C） （D）
答案：B
解析：本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=lge, 作商比较知c>b,选B。
17.（2009广东卷理）若函数是函数的反函数，其图像经过点，则
A. B. C. D.
【解析】，代入，解得，所以，选B.
18.（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是
A. 在时刻，甲车在乙车前面
B. 时刻后，甲车在乙车后面
C. 在时刻，两车的位置相同
D. 时刻后，乙车在甲车前面
【解析】由图像可知，曲线比在0～、0～与轴所围成图形面积大，则在、时刻，甲车均在乙车前面，选A.
19.（2009安徽卷理）设＜b,函数的图像可能是
[解析]：，由得，∴当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负。故选C。
或当时，当时，选C
20.（2009安徽卷理）已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是
（A） （B） （C） （D）
[解析]：由得，
即，∴∴，∴切线方程为
，即选A
21.（2009安徽卷文）设，函数的图像可能是
【解析】可得的两个零解.
当时,则
当时,则当时,则选C。
【答案】C
22.（2009江西卷文）函数的定义域为
A． B． C． D．
答案：D
【解析】由得或,故选D.
23.（2009江西卷文）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为
A． B． C． D．
答案：C
【解析】,故选C.
24.（2009江西卷文）如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，速度大小不 变，其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为
答案：B
【解析】由图可知，当质点在两个封闭曲线上运动时，投影点的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故错误；质点在终点的速度是由大到小接近0，故错误；质点在开始时沿直线运动，故投影点的速度为常数，因此是错误的，故选.
25.（2009江西卷文）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于
A．或 B．或 C．或 D．或
答案：A
【解析】设过的直线与相切于点，所以切线方程为
即，又在切线上，则或，
当时，由与相切可得，
当时，由与相切可得，所以选.
26.（2009江西卷理）函数的定义域为
A． B． C． D．
答案：C
【解析】由.故选C
27.（2009江西卷理）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为
A． B． C． D．
答案：A
【解析】由已知，而，所以故选A
28.（2009江西卷理）设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为
A． B． C． D．不能确定21世纪教育网
答案：B
【解析】，，，，选B
29.（2009天津卷文）设，则
A a
x,x下面的不等式在R内恒成立的是
A B C D
【答案】A
【解析】由已知，首先令 ，排除B，D。然后结合已知条件排除C,得到A
【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力。
32.(2009湖北卷理)设a为非零实数，函数
A、 B、
C、 D、
【答案】D
【解析】由原函数是，从中解得即原函数反函数是，故选择D
32.(2009湖北卷理)设球的半径为时间t的函数。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径
A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C
C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C
9.【答案】D
【解析】由题意可知球的体积为，则，由此可得，而球的表面积为，
所以，
即，故选D
33.（2009四川卷文）函数的反函数是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，又因原函数的值域是，
∴其反函数是
34.（2009四川卷文）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有
，则的值是
A. 0 B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】若≠0，则有，取，则有：
（∵是偶函数，则 ）
由此得
于是，
35.（2009全国卷Ⅱ理）曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
解：,
故切线方程为,即 故选B.
36.（2009全国卷Ⅱ理）设，则
A. B. C. D.
解：
.故选A.
37.（2009湖南卷文）的值为【 D 】
A． B． C． D．
解:由,易知D正确.
38.（2009湖南卷文）若函数的导函数在区间上是增函数，
则函数在区间上的图象可能是【 A 】
y
a
b
a
b
a
o
x
o
x
y
b
a
o
x
y
o
x
y
b
A ． B． C． D．
解: 因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上
各点处的斜率是递增的，由图易知选A. 注意C中为常数噢.
39.（2009湖南卷文）设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数
取函数。当=时，函数的单调递增区间为【 C 】
A ． B． C ． D ．
解: 函数，作图易知，
故在上是单调递增的，选C.
40.（2009福建卷理）下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，都有>
的是
A．= B. = C .= D
【答案】：A
[解析]依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确。
41.（2009福建卷理）函数的图象关于直线对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程的解集都不可能是
A. B C D
【答案】：D
[解析]本题用特例法解决简洁快速，对方程中分别赋值求出代入求出检验即得.
42. （2009辽宁卷文）已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时＝，则＝
（A） （B） （C） （D）
【解析】∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)
且3＋log23＞4
∴＝f(3＋log23)
＝
43.（2009辽宁卷文）已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是
（A）（，） (B) ［，） (C)（，） (D) ［，）
【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|)
∴得f(|2x－1|)＜f(),再根据f(x)的单调性
得|2x－1|＜ 解得＜x＜
【答案】A
44.（2009辽宁卷理）若满足2x+=5, 满足2x+2(x－1)=5, +＝
（A） (B)3 (C) (D)4
【解析】由题意 ①
②
所以,
即2
令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)
∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2
于是2x1＝7－2x2
【答案】C
45.（2009宁夏海南卷理）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值
设f（x）=min{, x+2,10-x} (x 0),则f（x）的最大值为
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
解析：选C
46.（2009陕西卷文）函数的反函数为
（A） (B)
（C） (D)学科
答案：D. 解析:令原式 则
故 故选D.
47.（2009陕西卷文）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则
(A) (B)
(C) (D)
答案:A.
解析:由等价，于则在上单调递增, 又是偶函数,故在单调递减.且满足时, , ,得,故选A.
48.（2009陕西卷文）设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为
(A) (B) (C) (D) 1
答案:B
解析: 对,令得在点（1，1）处的切线的斜率,在点
（1，1）处的切线方程为,不妨设,则, 故选 B.
49.(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数满足：对任意
的，有.
则当时,有
(A) (B)
(C) (C) (D)
答案：C
50.（2009四川卷文）函数的反函数是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，又因原函数的值域是，
∴其反函数是
51.（2009四川卷文）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有
，则的值是
A. 0 B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】若≠0，则有，取，则有：
（∵是偶函数，则 ）
由此得
于是，
52.（2009全国卷Ⅰ文）已知函数的反函数为，则
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
【解析】本小题考查反函数，基础题。
解：由题令得，即，又，所以，故选择C。
53.（2009湖北卷文）函数的反函数是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】可反解得且可得原函数中y∈R、y≠-1所以且x∈R、x≠-1选D
54.(2009湖南卷理)若a＜0，＞1，则 (D)
A．a＞1,b＞0 B．a＞1,b＜0 C. 0＜a＜1, b＞0 D. 0＜a＜1, b＜0
【答案】：D
【解析】由得由得，所以选D项。
55.(2009湖南卷理)如图1，当参数时，连续函数 的图像分别对应曲线和 , 则 [ B]
A B
C D
【答案】：B
【解析】解析由条件中的函数是分式无理型函数，先由函数在是连续的，可知参数，即排除C，D项，又取，知对应函数值，由图可知所以，即选B项。
56.(2009湖南卷理)设函数在（，+）内有定义。对于给定的正数K，定义函数
取函数=。若对任意的，恒有=，则
A．K的最大值为2 B. K的最小值为2
C．K的最大值为1 D. K的最小值为1 【D】
【答案】：D
【解析】由知，所以时，，当时，，所以即的值域是，而要使在上恒成立，结合条件分别取不同的值，可得D符合，此时。故选D项。
57.（2009天津卷理）设函数则
A在区间内均有零点。 B在区间内均无零点。
C在区间内有零点，在区间内无零点。
D在区间内无零点，在区间内有零点。
【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。
解析：由题得，令得；令得；
得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D。
58.（2009天津卷理）已知函数若则实数的取值范围是
A B C D
【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。
解析：由题知在上是增函数，由题得，解得，故选择C。
59.（2009四川卷理）已知函数连续，则常数的值是
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５
【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。
解析：由题得，故选择B。
解析2：本题考查分段函数的连续性．由，，由函数的连续性在一点处的连续性的定义知，可得．故选B．
60.（2009四川卷理）已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是
A.0 B. C.1 D.
【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。（同文12）
解析：令，则；令，则
由得，所以
，故选择A。
61.（2009福建卷文）下列函数中，与函数 有相同定义域的是
A . B. C. D.
解析 解析 由可得定义域是的定义域；的定义域是≠0；的定义域是定义域是。故选A.
62.（2009福建卷文）定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示，则在上，下列函数中与的单调性不同的是
A．
B.
C.
D．
解析 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在
上单调递减，注意到要与的单调性不同，故所求的函数在上应单调递增。而函数在上递减；函数在时单调递减；函数在（上单调递减，理由如下y’=3x2>0(x<0),故函数单调递增，显然符合题意；而函数，有y’=-<0(x<0),故其在（上单调递减，不符合题意，综上选C。
63.（2009福建卷文）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是
A. B.
C. D.
解析 的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。
64.19.（2009重庆卷文）把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图像．若对任意的，曲线与至多只有一个交点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解析根据题意曲线C的解析式为则方程，即，即对任意恒成立，于是的最大值，令则
由此知函数在（0，2）上为增函数，在上为减函数，所以当时，函数取最大值，即为4，于是。
二、填空题
1.（2009辽宁卷文）若函数在处取极值，则
【解析】f’(x)＝
f’(1)＝＝0 Þ a＝3
【答案】3
2.（2009重庆卷理）若是奇函数，则 ．
【答案】
【解析】解法1
3.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .
解析 解析：由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。
解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填
或是。
解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得
4.（2009上海卷文） 函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_____________.
【答案】
【解析】由y＝x3+1，得x＝，将y改成x，x改成y可得答案。
5.（2009北京文）已知函数若，则 .
.w.w.k.s.5【答案】
.w【解析】5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值. 属于基础知识、基本运算的考查.
由，无解，故应填.
6.（2009北京理）若函数 则不等式的解集为____________.
【答案】
【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.
（1）由.
（2）由.
∴不等式的解集为，∴应填.
7.（2009江苏卷）函数的单调减区间为 .
【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。
，
由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。
8.（2009江苏卷）在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 .
【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。
，又点P在第二象限内，点P的坐标为（-2，15）
9.（2009江苏卷）已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 .
【解析】考查指数函数的单调性。
，函数在R上递减。由得：m0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .
【解析】: 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是
答案:
【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.
12.(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则
【解析】:因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
y
x
f(x)=m (m>0)
答案:-8
【命题立意】:本题综合考查了函数的
奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由
函数图象解答方程问题,运用数形结合
的思想和函数与方程的思想解答问题.
13.(2009山东卷文)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .
【解析】: 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是.
答案:
【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答.
14.（2009四川卷文）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：
①设是平面上的线性变换，，则
②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换；
③对，则是平面上的线性变换；
④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有。
其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）
【答案】①③④
【解析】①：令，则故①是真命题
同理，④：令，则故④是真命题
③：∵，则有
是线性变换，故③是真命题
②：由，则有
∵是单位向量，≠0，故②是假命题
【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。
15.（2009福建卷理）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.
【答案】：
解析：由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，
所以。
16.(2009陕西卷理)设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 .
答案：-2
17.（2009四川卷文）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：
①设是平面上的线性变换，，则
②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换；
③对，则是平面上的线性变换；
④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有。
其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）
【答案】①③④
【解析】①：令，则故①是真命题
同理，④：令，则故④是真命题
③：∵，则有
是线性变换，故③是真命题
②：由，则有
∵是单位向量，≠0，故②是假命题
【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。
18.（2009宁夏海南卷文）曲线在点（0,1）处的切线方程为 。
【答案】
【解析】，斜率k＝＝3，所以，y－1＝3x，即
19.（2009重庆卷文）记的反函数为，则方程的解 ．
【答案】2
解法1由，得，即，于是由，解得
解法2因为，所以
三、解答题
1.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）
已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=－1处取得最小值m－1(m).设函数
(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值
(2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点.
【解析】（1）设，则；
又的图像与直线平行
又在取极小值， ，
， ；
， 设
则
；21世纪教育网
（2）由，
得
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，若，，
函数有两个零点；若，
，函数有两个零点；
当时，方程有一解, , 函数
有一零点 21世纪教育网
2.（2009全国卷Ⅰ理）本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效）
设函数在两个极值点，且
（I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；
(II)证明：
分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。
大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根
则有
故有
右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。
(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。
解： 由题意有．．．．．．．．．．．．①
又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②
消去可得．
又，且
www.ks5u.com
3.（2009浙江理）（本题满分14分）已知函数，，
其中．21世纪教育网
（I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；
（II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一
的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存
在，请说明理由．
解析：（I）因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得 21世纪教育网
，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以；21世纪教育网
（II）当时有；
当时有，因为当时不合题意，因此，
下面讨论的情形，记A，B=（ⅰ）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（ⅰ）（ⅱ）；
当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；
同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意．21世纪教育网
4.（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数 ．
（I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；
（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．
解析：（Ⅰ）由题意得
又 ，解得，或
（Ⅱ）函数在区间不单调，等价于
导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数
即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有
， 即：
整理得：，解得
5.（2009北京文）（本小题共14分）
设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.
【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．
（Ⅰ）,
∵曲线在点处与直线相切，
∴
（Ⅱ）∵,
当时，，函数在上单调递增，
此时函数没有极值点.
当时，由，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
∴此时是的极大值点，是的极小值点.
6.（2009北京理）（本小题共13分）
设函数
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.
21世纪教育网 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．
（Ⅰ）,
曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）由，得，
若，则当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
若，则当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，
即时，函数内单调递增，
若，则当且仅当，
即时，函数内单调递增，
综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.
7.（2009江苏卷）(本小题满分16分)
设为实数，函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)求的最小值；
(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.
【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分
（1）若，则
（2）当时，
当时，
综上
（3）时，得，
当时，；
当时，△>0,得：
讨论得：当时，解集为;
当时，解集为;
当时，解集为.
8.(2009山东卷理)（本小题满分12分）
两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.
（1）将y表示成x的函数；
（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。
A
B
C
x
解法一:（1）如图,由题意知AC⊥BC,,
其中当时，y=0.065,所以k=9
所以y表示成x的函数为
（2）,,令得,所以,即,当时,
,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.
解法二: （1）同上.
（2）设,
则,,所以
当且仅当即时取”=”.
下面证明函数在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.
设04×240×240
9 m1m2<9×160×160所以,
所以即函数在(0,160)上为减函数.
同理,函数在(160,400)上为增函数,设1609×160×160
所以,
所以即函数在(160,400)上为增函数.
所以当m=160即时取”=”,函数y有最小值,
所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.
【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.
9.(2009山东卷文)（本小题满分12分）
已知函数,其中
（1） 当满足什么条件时,取得极值?
（2） 已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.
解: (1)由已知得,令,得,
要取得极值,方程必须有解,
所以△,即, 此时方程的根为
,,
所以
当时,
x
(-∞,x1)
x 1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f’(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.
当时,
x
(-∞,x2)
x 2
(x2,x1)
x1
(x1,+∞)
f’(x)
－
0
＋
0
－
f (x)
减函数
极小值
增函数
极大值
减函数
所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.
综上,当满足时, 取得极值.
(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.
即恒成立, 所以
设,,
令得或(舍去),
当时,,当时,单调增函数;
当时,单调减函数,
所以当时,取得最大,最大值为.
所以
当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以
综上,当时, ; 当时,
【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.
10.设函数，其中常数a>1
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。21世纪教育网
解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。
解： （I） 21世纪教育网
由知，当时，，故在区间是增函数；
当时，，故在区间是减函数；
当时，，故在区间是增函数。
综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。
（II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。
由假设知21世纪教育网
即 解得 11时,
当x变化时，与的变化情况如下表：
x
+
－
+
单调递增
单调递减
单调递增
由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。
②当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R
③当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为 21世纪教育网
综上：
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为R；
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.
(Ⅱ)由得令得
由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。
观察的图象，有如下现象：
①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。
②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－的m正负有着密切的关联；
③Kmp－=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；
线段MP的斜率Kmp
当Kmp－=0时，解得
直线MP的方程为 21世纪教育网
令
当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。
当时，.
所以存在使得
即当MP与曲线有异于M,P的公共点21世纪教育网
综上，t的最小值为2.
（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为
解法二：
（1）同解法一.
（2）由得，令，得
由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N()
(Ⅰ) 直线MP的方程为
由
得
线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数
上有零点.
因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.
又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.
等价于 即
又因为,所以m 的取值范围为(2,3)
从而满足题设条件的r的最小值为2.
22.（2009辽宁卷文）（本小题满分12分）
设，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。
（I） 求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（II） 证明：当
解：（Ⅰ）.有条件知，
，故. ………2分
于是.
故当时，＜0；
当时，＞0.
从而在，单调减少，在单调增加. ………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在单调增加，故在的最大值为，
最小值为.
从而对任意，，有. ………10分
而当时，.
从而 ………12分
23.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）
已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。
解：(1)的定义域为。
2分
（i）若即,则
故在单调增加。
(ii)若,而,故,则当时，;
当及时，
故在单调减少，在单调增加。
(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.
(II)考虑函数
则
由于11,证明对任意的c,都有M>2:
(Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。
本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和份额类讨论的思想（满分14分）
（I）解：，由在处有极值
可得
解得或
若，则，此时没有极值；
若，则
当变化时，，的变化情况如下表：
1
0
+
0
极小值
极大值
当时，有极大值，故，即为所求。
（Ⅱ）证法1：
当时，函数的对称轴位于区间之外。
在上的最值在两端点处取得
故应是和中较大的一个
即
证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，
在上的最值在两端点处取得。
故应是和中较大的一个
假设，则
21世纪教育网
将上述两式相加得：
，导致矛盾，
（Ⅲ）解法1：
（1）当时，由（Ⅱ）可知；
（2）当时，函数）的对称轴位于区间内，
此时
由有
①若则，
于是
②若，则
于是
综上，对任意的、都有
而当时，在区间上的最大值
故对任意的、恒成立的的最大值为。
解法2：
（1）当时，由（Ⅱ）可知；
（2）当时，函数的对称轴位于区间内，
此时
，即
下同解法1
29.（2009宁夏海南卷文）（本小题满分12分）
已知函数.
(1) 设，求函数的极值；
(2) 若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
（21）解：
（Ⅰ）当a=1时，对函数求导数，得21世纪教育网
令
列表讨论的变化情况：
（-1，3）
3
+
0
—
0
+
极大值6
极小值-26
所以，的极大值是，极小值是
（Ⅱ）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.
若上是增函数，从而
上的最小值是最大值是
由于是有
由
所以
若a>1,则不恒成立.
所以使恒成立的a的取值范围是
30.(2009湖南卷理)（本小题满分13分）
某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。
（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；
（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？
解 （Ⅰ）设需要新建个桥墩，
所以
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，
令，得，所以=64 21世纪教育网
当0<<64时<0， 在区间（0，64）内为减函数；
当时，>0. 在区间（64，640）内为增函数，
所以在=64处取得最小值，此时，
故需新建9个桥墩才能使最小。
31.（2009天津卷理）（本小题满分12分）
已知函数其中
（1） 当时，求曲线处的切线的斜率；
（2） 当时，求函数的单调区间与极值。
本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。
（I）解：
（II）
以下分两种情况讨论。
（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：
+
0
—
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：
+
0
—
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
32.（2009四川卷理）（本小题满分12分）
已知函数。
（I）求函数的定义域，并判断的单调性；
（II）若
（III）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。
本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。
解：（Ⅰ）由题意知
当
当
当….（4分）
（Ⅱ）因为
由函数定义域知>0,因为n是正整数，故00……..3分
故单调递减
当，掌握程度的增长量总是下降……………..6分
（2）由题意可知0.1+15ln=0.85……………….9分
整理得
解得…….13分
由此可知，该学科是乙学科……………..14分
35.（2009年上海卷理）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
已知函数的反函数。定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”。
（1） 判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3） 设函数对任何，满足“积性质”。求的表达式。
解：（1）函数的反函数是
而其反函数为
故函数不满足“1和性质”
（2）设函数满足“2和性质”，
…….6分
而得反函数………….8分
由“2和性质”定义可知=对恒成立
即所求一次函数为………..10分
（3）设，，且点在图像上，则在函数图象上，
故，可得， ．．．．．．12分
，
令，则。，即。 ．．．．．．14分
综上所述，，此时，其反函数就是，
而，故与互为反函数 。 ．．．．．．16分
36.（2009上海卷文）
（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分 .有时可用函数
描述学习某学科知识的掌握程度.其中表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.
（1）证明：当x 7时，掌握程度的增长量f（x+1）- f(x)总是下降；
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121］,(121,127］,
(127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.
证明（1）当时，
而当时，函数单调递增，且
故函数单调递减
当时，掌握程度的增长量总是下降21世纪教育网
(2)有题意可知
整理得
解得…….13分
由此可知，该学科是乙学科……………..14分
37.（2009重庆卷理）（本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分）
设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数，讨论的单调性．
解（Ⅰ）因
又在x=0处取得极限值，故从而 21世纪教育网
由曲线y=在（1，f（1））处的切线与直线相互垂直可知
该切线斜率为2，即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
令
（1）当
（2）当
K=1时，g（x）在R上为增函数
（3）方程有两个不相等实根
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当函数
当时，故上为减函数
时，故上为增函数
38.（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问5分）
已知为偶函数，曲线过点，．
（Ⅰ）求曲线有斜率为0的切线，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若当时函数取得极值，确定的单调区间．
解: （Ⅰ）为偶函数,故即有
解得
又曲线过点,得有
从而,曲线有斜率为0的切线，故有有实数解.即有实数解.此时有解得
所以实数的取值范围:
（Ⅱ）因时函数取得极值,故有即,解得
又 令,得
当时, ,故在上为增函数
当时, ,故在上为减函数
当时, ,故在上为增函数21世纪教育网
