备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题32 均值不等式常见应用

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题32 均值不等式常见应用

专题32 均值不等式常见应用 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 高考命题中对基本不等式的考查比较灵活，可以说无处不在，重点考查应用基本不等式确定最大值和最小值问题、证明不等式成立、解答恒成立问题，命题形式以选择、填空为主，有时以应用题的形式出现．有时与三角函数、数列、解析几何等相结合，考查考生应用数学知识的灵活性.本专题重点说明应用基本不等式解题的常见类型.‎ ‎1、基本不等式的几个变形：‎ ‎（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 ‎（2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 ‎（3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围 ‎2、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”‎ ‎（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 ‎（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.‎ ‎（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：‎ ‎① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）‎ ‎② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.‎ ‎3、常见求最值的题目类型 ‎（1）构造乘积与和为定值的情况 ‎（2）已知（为常数），求的最值，‎ 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解.‎ ‎（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解：‎ 例如：已知，求的最小值 12‎ 解： ‎ 所以 即，可解得，即 注：此类问题还可以通过消元求解：，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意的范围由承担，所以 ‎ ‎4、高中阶段涉及的几个平均数：设 ‎ ‎（1）调和平均数： ‎ ‎（2）几何平均数： ‎ ‎（3）代数平均数： ‎ ‎（4）平方平均数：‎ ‎5、均值不等式：，等号成立的条件均为： ‎ 特别的，当时，即基本不等式 ‎【经典例题】‎ 例1.【2019届辽宁省辽南协作校高三一模】若且，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵且 ‎∴，即.‎ ‎∴，当且仅当时取等号.‎ 12‎ ‎∴的取值范围为 故选A.‎ ‎ 例2.【2019届云南省曲靖市第一中学4月监测卷（七）】若直线平分圆，则的最小值为（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C 则 ‎（当且仅当，即时取等号）.故选C．‎ 例3.【2019届北京师范大学附中二模】已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为（ ）‎ A. 16 B. 9 C. 5 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，，成等差数列，‎ ‎∴.‎ ‎∴，当且仅当且，即时等号成立.选A.‎ 例4.【2017天津，理12】若， ，则的最小值为___________.‎ ‎【答案】 ‎ 12‎ ‎【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1） ，当且仅当时取等号；（2） ， ，当且仅当时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.‎ 例5.已知非零向量，，满足，，则的最大值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：‎ 详解：因为 ‎ ‎ ，‎ 所以的最大值为.‎ 例6.【2019届广东省模拟（二）】已知，，展开式的常数项为，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于零，求得的值，可得展开式的常数项，再根据展开式的常数项为，确定出，再利用基本不等式求得的最小值.‎ 详解：展开式的通项公式为，‎ 令，得，从而求的，整理得，‎ 而，故答案是.‎ 例7．【2019届百校联盟高三TOP20四月联考】已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为__________．‎ 12‎ ‎【答案】‎ ‎，即所以，所以，‎ 所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为 故答案为：‎ 例8.【2019届北京市北京19中十月月考】已知正数满足则的最小值为_________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的应用.利用基本不等式求带有限制条件的不等式的最值问题时，要合理配凑，如本题中将等价变形为，再利用基本不等式的条件（一正、二定、三相等）进行求解.‎ 例9.【2019届四川省成都市石室中学二诊】已知四面体ABCD的所有棱长都为,O是该四面体内一点,‎ 12‎ 且点O到平面ABC、平面ACD、平面ABD、平面BCD的距离分别为,x,和y,则+的最小值是___.‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】该几何体为正四面体,体积为.各个面的面积为,所以四面体的体积又可以表示为,化简得,故. ‎ ‎【点睛】本小题主要考查正四面体体积的计算,考查利用分割法求几何体的体积,考查了方程的思想,考查了利用基本不等式求解和的最小值的方法.首先根据题目的已知条件判断出四面体为正四面体,由于正四面体的棱长给出,所以可以计算出正四面体的体积,根据等体积法求得的一个等式,再利用基本不等式求得最小值.‎ 例10.【2019届湖南省株洲市统一检测二】已知数列的前项和为，且满足，数列满足，则数列中第__________项最小．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】分析：由题可得到数列为等差数列，首项为1，公差为1．可得 数列满足利用累加求和方法即可得出 ．可得，利用不等式的性质即可得出．‎ ‎ ‎ 时也成立． ‎ 12‎ 则数列中第4项最小．‎ 即答案为4.‎ ‎【精选精练】‎ ‎1．已知二次函数的值域为，则的最小值为( )‎ A. 1 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B 故选：B．‎ ‎2．【2019届陕西省咸阳市三模】已知圆的半径为1，，，，为该圆上四个点，且，则面积的最大值为（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用向量关系，判断四边形的形状，然后求解三角形的面积的最大值即可．‎ 详解：如图所示 ‎，‎ 由知，ABDC为平行四边形，‎ 又A，B，C，D 四点共圆，‎ ‎∴ABDC 为矩形，即BC 为圆的直径，‎ 所以当AD是圆的直径时，面积的最大. ‎ 12‎ ‎∴当AB=AC 时，△ABC 的面积取得最大值为.‎ 故答案为：A 点睛：本题主要考查向量的平行四边形法则和基本不等式等基础知识.看到，联想到平行四边形法则，是解题的一个关键.平面向量里高考的高频考点有向量的加法法则、减法法则、平行四边形法则、基底法和坐标法等，要做到心中有数.‎ ‎3．设A、B分别为双曲线（a>0，b>0）的左、右顶点，P是双曲线上不同于A、B的一点，直线AP、BP的斜率分别为m、n，则当取最小值时，双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎4．【2019届河北省衡水金卷一模】已知点分别在正方形的边上运动，且，设，，若，则的最大值为（ ）‎ A. 2 B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】,又因为, ,当且仅当x=y时取等号, ,即的最大值为,故选C.‎ 12‎ ‎5．【2019届贵州省贵阳第一中学月考卷（七）】实数，，满足且，则下列关系式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵∴由∴∴综上，可得 .‎ 故选A．‎ ‎6．【2019届浙江省嘉兴市4月模拟】已知（），则的最小值为（ ）‎ A. B. 9 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎7．【2019届山东省天成大联考第二次】若，且，则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，当且仅当时等号成立，又，即，当且仅当时等号成立，的最小值为，故选B.‎ ‎8．在中分别是角的对边,且,则角的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 12‎ ‎ 点睛：本题考查了余弦定理和基本不等式的性质、三角函数的图象与性质等知识点的综合应用，解答中利用题设条件和余弦定理、基本不等式求得，再利用三角函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．‎ ‎9．【2019届山西省一模】若点为圆上的一个动点，点，为两个定点，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵∠APB=90°，∴‎ 由不等式可得 ‎∴‎ 故选：B ‎10．【2019届安徽省宣城市第二次调研】已知函数，若正实数满足，则的最小值是__________． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以函数为单调递增奇函数，因此由，得 ‎ 12‎ 因此 ，当且仅当时取等号. ‎ ‎11．已知直线恒过定点A，则A点的坐标为_______；若点A在直线（，）上，则的最小值为_______.‎ ‎【答案】 （2,1） ‎ ‎12.【2019年天津市十二校二模】已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：对于一切实数恒成立，可得；再由，使成立，可得，所以可得，可化为，平方后换元，利用基本不等式可得结果.‎ 12‎ 令，则 ‎（当时，等号成立），所以，的最小值为，‎ 故的最小值为，故答案为.‎ 12‎