高考数学试题分类汇编概率

高考数学试题分类汇编概率

‎2009年高考数学试题分类汇编——概率 ‎1、(湖北卷理) 3、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为 A、 B、‎ C、 D、‎ ‎3．【答案】C ‎2、（江苏卷）5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差‎0.3m的概率为 ▲ . ‎ ‎【解析】 考查等可能事件的概率知识。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 所求概率为0.2。‎ ‎3、（安徽卷理）（10）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于高.考.资.源.网 ‎（A） （B） （C） （D）‎ A B C D E F ‎[解析] 如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 ‎6个点中任意选两个点连成直线，共有 种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 共12对，所以所求概率为，选D ‎4、（福建卷）8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%。现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，‎ 指定1，2，3，4表示命中，5，6，，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了20组随机数：‎ ‎ 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683‎ ‎ 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989‎ 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 A．0.35 B ‎0.25 C 0.20 D 0.15‎ ‎8．【答案】：B ‎5、（广东卷）12．已知离散型随机变量的分布列如右表．若，，则 ， ．‎ ‎【解析】由题知，，，解得，.‎ ‎6、(湖南卷) 13、一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个数数位 。‎ ‎【答案】：40‎ ‎7、（上海）7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望____________（结果用最简分数表示）.‎ ‎8、（重庆卷）6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ C ）‎ A． B． C． D． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎9、（重庆卷）17．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）‎ 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：‎ ‎（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；‎ ‎（Ⅱ）成活的株数的分布列与期望．w.w.‎ ‎(17)（本小题13分）‎ 解：设表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2‎ ‎　　表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2‎ ‎　　则，独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有 ‎ , .‎ ‎ 据此算得 ‎　　 , , .‎ ‎ , , .‎ ‎ (Ⅰ) 所求概率为 ‎　　　　　.‎ ‎ (Ⅱ) 解法一：‎ ‎　　　　的所有可能值为0，1，2，3，4，且 ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎ = ,‎ ‎ .‎ ‎ .‎ 综上知有分布列 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎1/36‎ ‎1/6‎ ‎13/36‎ ‎1/3‎ ‎1/9‎ 从而，的期望为 ‎（株）‎ 解法二：‎ 分布列的求法同上 令分别表示甲乙两种树成活的株数，则 故有 从而知 ‎10、（四川卷）18. （本小题满分12分）‎ 为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。‎ ‎（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；‎ ‎（II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望。‎ ‎（18）本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力。‎ ‎ 解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。设事件为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，‎ ‎ 事件为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，‎ ‎ 事件为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。‎ ‎…………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3‎ ‎ , ‎ ‎ ，，‎ ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 所以， ……………………12分 ‎ ‎11、（天津卷）（18）（本小题满分12分）‎ 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：‎ ‎（I） 取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（II） 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。‎ ‎（Ⅰ）解：由于从10件产品中任取3件的结果为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)= ,k=0,1,2,3.‎ 所以随机变量X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X的数学期望EX=‎ ‎（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而 P(A2)=P(X=2)= ,P(A3)=P(X=3)= ,‎ 所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= ++=‎ ‎12、(浙江卷) ‎20090423‎ 19．（本题满分14分）在这个自然数中，任取个数．‎ ‎ （I）求这个数中恰有个是偶数的概率；‎ ‎ （II）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数 和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望．‎ 解析：（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（II）随机变量的取值为的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以的数学期望为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎13、（辽宁卷）（19）（本小题满分12分）‎ 某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。‎ ‎（Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；‎ ‎（Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（19）解：‎ ‎（Ⅰ）依题意X的分列为 ‎ ‎ ‎ ………………6分 ‎（Ⅱ）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.‎ ‎ B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.‎ 依题意知P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3，‎ ‎,‎ 所求的概率为 ‎ ‎ ‎ ………12分 ‎14、（全国1）19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎ 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。‎ ‎ （I）求甲获得这次比赛胜利的概率；‎ ‎ （II）设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求得分布列及数学期望。‎ 分析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。‎ 需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题。‎ 另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。‎ ‎15、(山东卷) (19)(本小题满分12分)‎ ‎ 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q为0.25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎2 ‎ ‎ 3 ‎ ‎ 4 ‎ ‎ 5 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m p ‎ ‎0.03 ‎ ‎ P1 ‎ ‎ P2 ‎ P3 ‎ P4 ‎ （1） 求q的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ （2） 求随机变量的数学期望E;‎ （3） 试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。‎ 解:（1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,, P(B)= q,.‎ 根据分布列知: =0时=0.03,所以，q=0.8.‎ ‎（2）当=2时, P1= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎=0.75 q( )×2=1.5 q( )=0.24‎ 当=3时, P2 ==0.01,‎ 当=4时, P3==0.48,‎ 当=5时, P4=‎ ‎=0.24‎ 所以随机变量的分布列为 ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎2 ‎ ‎ 3 ‎ ‎ 4 ‎ ‎ 5 ‎ ‎ p ‎ ‎0.03 ‎ ‎ 0.24 ‎ ‎ 0.01 ‎ ‎0.48 ‎ ‎0.24 ‎ 随机变量的数学期望 ‎（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为 ‎;‎ 该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.‎ 由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.‎ ‎【命题立意】:本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率知识解决问题的能力.‎ ‎16、（全国卷2）20（本小题满分12分）‎ 某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。‎ ‎（I）求从甲、乙两组各抽取的人数； ‎ ‎（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；‎ ‎（III）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 分析：（I）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽样与性别无关。‎ ‎（II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。‎ ‎ 从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率 ‎（III）的可能取值为0，1，2，3‎ ‎，，‎ ‎，‎ 分布列及期望略。‎ 评析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。在计算时，采用分类的方法，用直接法也可，但较繁琐，考生应增强灵活变通的能力。‎ ‎（江西卷）18．（本小题满分12分）‎ 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令表示该公司的资助总额．‎ ‎ (1) 写出的分布列； (2) 求数学期望．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解：（1）的所有取值为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）. ‎ ‎17、(湖南卷)17.（本小题满分12分）‎ 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.、、，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；‎ ‎（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求 的分布列及数学期望。‎ 解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ,,，i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，,,（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且P（）=，P（）=，P（）=‎ （1） 他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P=3！P（）=6P（）P（）P（）=6=‎ ‎(2) 解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由己已知，-B（3，），且=3。‎ 所以P（=0）=P（=3）==，‎ ‎ P（=1）=P（=2）= = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ P（=2）=P（=1）==‎ P（=3）=P（=0）= = ‎ 故的分布是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 的数学期望E=0+1+2+3=2‎ 解法2 第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件，‎ i=1,2,3 ，由此已知，·D，相互独立，且 P（）-（，）= P（）+P（）=+=‎ 所以--,既， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 故的分布列是 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎18、（福建卷）16.（13分）‎ 从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个。‎ （1） 记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；‎ （2） 记所取出的非空子集的元素个数为，求的分布列和数学期望E ‎ ‎16、解：（1）记”所取出的非空子集满足性质r”为事件A 基本事件总数n==31‎ 事件A包含的基本事件是{1,4,5}、{2，3，5}、{1，2，3，4}‎ 事件A包含的基本事件数m=3‎ 所以 ‎（II）依题意，的所有可能取值为1，2，3，4，5‎ 又， ， ‎ ‎， ‎ 故的分布列为：‎ ‎ 1‎ ‎2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 从而E+2+3+4+5‎