河南省六市联考高考数学一模试卷理科

河南省六市联考高考数学一模试卷理科

河南省六市联考2015届高考数学一模试卷（理科）‎ 一．选择题：‎ ‎1．已知集合A={x|x2＞1}，B={x|log2x＞0}，则A∩B=( )‎ ‎ A．{x|x＜﹣1} B．{x|＞0} C．{x|x＞1} D．{x|x＜﹣1或x＞1}‎ ‎2．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于( )‎ ‎ A．﹣6 B． C． D．2‎ ‎3．在等差数列{an}中，首项a1=0，公差d≠0，若ak=a1+a2+a3+…+a7，则k=( )‎ ‎ A．22 B．‎23 ‎C．24 D．25‎ ‎4．函数y=的图象可能是( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x值是( )‎ ‎ A．3 B．‎4 ‎C．6 D．8‎ ‎6．函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为( )‎ ‎ A． B． C．x=1 D．x=2‎ ‎7．已知正数x，y满足，则的最小值为( )‎ ‎ A．1 B． C． D．‎ ‎8．若α∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为( )‎ ‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )‎ ‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎10．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若（λ，μ∈R），λ•μ=，则双曲线的离心率为( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若直角坐标平面内A、B两点满足：①点A、B都在函数f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”．点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有 ( )‎ ‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二．填空题：‎ ‎13．已知a=（sint+cost）dt，则的展开式中的常数项为__________．‎ ‎14．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都等于1，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积__________．‎ ‎15．已知点A（0，2），抛物线C1：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于__________．‎ ‎16．已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为__________．‎ 三、解答题：‎ ‎17．已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45，a2+a6=14．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列{bn}满足：+1（n∈N*），求数列{bn}的前n项和．‎ ‎18．在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为；‎ ‎（1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；‎ ‎（2）设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎19．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．‎ ‎（1）求证：AD⊥BM；‎ ‎（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．‎ ‎20．已知椭圆C的焦点在x轴上，左右焦点分别为F1、F2，离心率e=，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的周长为6．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点S（4，0）且斜率不为0的直线l与椭圆C交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，过点Q1与R的直线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．设函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；‎ ‎（3）若方程f（x）=c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：．‎ 选修4-1：几何证明选讲 ‎22．选修4﹣1：几何证明选讲 如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．‎ ‎（1）求证：CE•EB=EF•EP；‎ ‎（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎23．平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0．‎ ‎（1）求直线l的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎24．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，‎ ‎（1）证明：|a+b|＜；‎ ‎（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．‎ 河南省六市联考2015届高考数学一模试卷（理科）‎ 一．选择题：‎ ‎1．已知集合A={x|x2＞1}，B={x|log2x＞0}，则A∩B=( )‎ ‎ A．{x|x＜﹣1} B．{x|＞0} C．{x|x＞1} D．{x|x＜﹣1或x＞1}‎ 考点：交集及其运算． ‎ 专题：不等式的解法及应用．‎ 分析：化简A、B两个集合，利用两个集合的交集的定义求出A∩B．‎ 解答： 解：集合A={x|x2＞1}={x|x＞1或x＜﹣1}，B={x|log2x＞0=log21}={x|x＞1}，‎ A∩B={x|x＞1}，‎ 故选：C．‎ 点评：本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，化简A、B两个集合是解题的关键．‎ ‎2．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于( )‎ ‎ A．﹣6 B． C． D．2‎ 考点：复数代数形式的乘除运算． ‎ 专题：数系的扩充和复数．‎ 分析：先将复数化简，确定其实部和虚部，利用实部和虚部互为相反数，可求b的值．‎ 解答： 解：由题意，==‎ ‎∵复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数 ‎∴‎ ‎∴b=，‎ 故选：C．‎ 点评：本题以复数为载体，考查复数的化简，考查复数的基本概念，属于基础题．‎ ‎3．在等差数列{an}中，首项a1=0，公差d≠0，若ak=a1+a2+a3+…+a7，则k=( )‎ ‎ A．22 B．23 C．24 D．25‎ 考点：等差数列的性质． ‎ 分析：根据等差数列的性质，我们可将ak=a1+a2+a3+…+a7，转化为ak=7a4，又由首项a1=0，公差d≠0，我们易得ak=7a4=21d，进而求出k值．‎ 解答： 解：∵数列{an}为等差数列 且首项a1=0，公差d≠0，‎ 又∵ak=（k﹣1）d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d 故k=22‎ 故选A 点评：本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据a4是数列前7项的平均项（中间项）将ak=a1+a2+a3+…+a7，化为ak=7a4，是解答本题的关键．‎ ‎4．函数y=的图象可能是( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ 考点：函数的图象． ‎ 专题：函数的性质及应用．‎ 分析：当x＞0时，，当x＜0时，，作出函数图象为B．‎ 解答： 解：函数y=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．‎ 当x＞0时，，‎ 当x＜0时，，此时函数图象与当x＞0时函数的图象关于原点对称．‎ 故选B 点评：本题考查了函数奇偶性的概念、判断及性质，考查了分段函数的图象及图象变换的能力．‎ ‎5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x值是( )‎ ‎ A．3 B．4 C．6 D．8‎ 考点：程序框图． ‎ 专题：算法和程序框图．‎ 分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k的值，当s=103时，不满足条件s＜100，退出循环，x=8，输出x的值为8．‎ 解答： 解：执行程序框图，可得 k=1，s=1‎ 满足条件s＜100，s=4，k=2；‎ 满足条件s＜100，s=22，k=3；‎ 满足条件s＜100，s=103，k=4；‎ 不满足条件s＜100，退出循环，x=8，输出x的值为8．‎ 故选：D．‎ 点评：本题主要考查了程序框图和算法，准确判断退出循环时k的值是解题的关键，属于基础题．‎ ‎6．函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为( )‎ ‎ A． B． C．x=1 D．x=2‎ 考点：余弦函数的对称性． ‎ 专题：计算题．‎ 分析：函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，求出φ，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，求出函数的周期，然后得到ω，求出对称轴方程即可．‎ 解答： 解：函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，所以φ=，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，所以，‎ 所以T=4，ω=，所以函数的表达式为：y=﹣sin，显然x=1是它的一条对称轴方程．‎ 故选C 点评：本题是基础题，考查函数解析式的求法，三角函数的对称性的应用，考查发现问题解决问题的解决问题的能力．‎ ‎7．已知正数x，y满足，则的最小值为( )‎ ‎ A．1 B． C． D．‎ 考点：简单线性规划的应用． ‎ 专题：不等式的解法及应用．‎ 分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．‎ 解答： 解：=2﹣2x•2﹣y=2﹣2x﹣y，‎ 设m=﹣2x﹣y，要使z最小，则只需求m的最小值即可．‎ 作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由m=﹣2x﹣y得y=﹣2x﹣m，‎ 平移直线y=﹣2x﹣m，由平移可知当直线y=﹣2x﹣m，经过点B时，‎ 直线y=﹣2x﹣m的截距最大，此时m最小．‎ 由，‎ 解得，即B（1，2），‎ 此时m=﹣2﹣2=﹣4，‎ ‎∴的最小值为，‎ 故选：C 点评：本题主要考查线性规划的应用，利用指数幂的运算性质，设出参数m=﹣2x﹣y是解决本题的关键，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．‎ ‎8．若α∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为( )‎ ‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ 考点：三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数． ‎ 专题：计算题；三角函数的图像与性质．‎ 分析：直接利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数化简函数的表达式，利用平方关系式求出结果即可．‎ 解答： 解：3cos2α=sin（﹣α），‎ 可得3cos2α=（sinα﹣cosα），‎ ‎3（cos2α﹣sin2α）═（sinα﹣cosα），‎ ‎∵α∈（，π），∴sinα﹣cosα≠0，‎ 上式化为：sinα+cosα=，‎ 两边平方可得1+sin2α=．‎ ‎∴sin2α=．‎ 故选：D．‎ 点评：本题主要考查二倍角的余弦函数，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．‎ ‎9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )‎ ‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 考点：由三视图求面积、体积． ‎ 专题：计算题；空间位置关系与距离．‎ 分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角梯形，高为2的四棱锥，求出它的体积即可．‎ 解答： 解：根据几何体的三视图，得；‎ 该几何体是如图所示的四棱锥P﹣ABCD，‎ 且底面为直角梯形ABCD，高为2；‎ ‎∴该四棱锥的体积为 V四棱锥=××（2+4）×2×2=4．‎ 故选：D．‎ 点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．‎ ‎10．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ 考点：正弦定理． ‎ 专题：计算题；解三角形．‎ 分析：在锐角△ABC中，利用sinA=，S△ABC=，可求得bc，在利用a=2，由余弦定理可求得b+c，解方程组可求得b的值．‎ 解答： 解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S△ABC=，‎ ‎∴bcsinA=bc=，‎ ‎∴bc=3，①‎ 又a=2，A是锐角，‎ ‎∴cosA==，‎ ‎∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，‎ 即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，‎ ‎∴b+c=2②‎ 由①②得：，‎ 解得b=c=．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查方程思想与运算能力，属于中档题．‎ ‎11．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若（λ，μ∈R），λ•μ=，则双曲线的离心率为( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ 考点：双曲线的简单性质． ‎ 专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由共线向量式可得λ+μ=1，λ﹣μ=，解之可得λμ的值，由λ•μ=可得a，c的关系，由离心率的定义可得．‎ 解答： 解：双曲线的渐近线为：y=±x，设焦点F（c，0），则 A（c，），B（c，﹣），P（c，），‎ 因为=λ+μ，‎ 所以（c，）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），‎ 所以λ+μ=1，λ﹣μ=，‎ 解得：λ=，μ=，‎ 又由λμ=，得：=，‎ 解得：=，‎ 所以，e==．‎ 故选：A．‎ 点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的离心率的求解，属于中档题．‎ ‎12．若直角坐标平面内A、B两点满足：①点A、B都在函数f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”．点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有 ( )‎ ‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考点：函数与方程的综合运用． ‎ 专题：计算题；新定义；函数的性质及应用；导数的综合应用．‎ 分析：由题意可设点A（x，y）（x＜0）在f（x）的图象上，从而可得，从而可得方程x2+2x+=0，再构造函数g（x）=x2+2x+（1﹣x）ex，求导确定函数的大致单调性，从而由函数零点的判定定理确定个数即可．‎ 解答： 解：设点A（x，y）（x＜0）在f（x）的图象上，‎ 则点B（﹣x，﹣y）也在f（x）的图象上；‎ 故；‎ 故x2+2x+=0，‎ 令g（x）=x2+2x+‎ ‎=x2+2x+（1﹣x）ex，‎ g′（x）=2x+2﹣xex，‎ 故可知g（x）在（﹣∞，0）上先减后增，‎ 且g（﹣2）=＞0，g（﹣1）=﹣1＜0，g（0）=1；‎ 且g（x）在（﹣∞，0）上连续，‎ 故x2+2x+=0在（﹣∞，0）上有两个解，‎ 故f（x）的“姊妹点对”有2个；‎ 故选：C．‎ 点评：本题考查了学生对新定义的接受能力及导数的综合应用，同时考查了零点个数的判断，属于中档题．‎ 二．填空题：‎ ‎13．已知a=（sint+cost）dt，则的展开式中的常数项为﹣．‎ 考点：二项式系数的性质；定积分． ‎ 分析：利用微积分基本定理求出a，利用二项式展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项．‎ 解答： 解：∵a=∫π0（sint+cost）dt=2‎ ‎∴=‎ ‎∵的二项展开式的通项为=‎ 令6﹣2r=0解得r=3‎ ‎∴展开式中的常数项为 故答案为 点评：本题考查微积分基本定理；考查二项展开式的通项公式．‎ ‎14．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都等于1，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积．‎ 考点：球的体积和表面积；球内接多面体． ‎ 专题：计算题；空间位置关系与距离．‎ 分析：求出三棱锥P﹣ABC的高为=，利用三棱锥P﹣ABC的外接球与内切球的半径的比为3：1，可得三棱锥P﹣ABC的内切球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积．‎ 解答： 解：∵三棱锥P﹣ABC的所有棱长都等于1，‎ ‎∴底面外接圆的半径为，‎ ‎∴三棱锥P﹣ABC的高为=，‎ ‎∵三棱锥P﹣ABC的外接球与内切球的半径的比为3：1，‎ ‎∴三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为，‎ ‎∴三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为4π×=．‎ 故答案为：．‎ 点评：本题考查三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥P﹣ABC的内切球的半径是关键．‎ ‎15．已知点A（0，2），抛物线C1：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于4．‎ 考点：抛物线的简单性质． ‎ 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得a．‎ 解答： 解：依题意F点的坐标为（，0），‎ 设M在准线上的射影为K，‎ 由抛物线的定义知|MF|=|MK|，‎ ‎∴|KM|：|MN|=1：，‎ 则|KN|：|KM|=2：1，‎ kFN==﹣，‎ kFN=﹣=﹣2‎ ‎∴=2，求得a=4，‎ 故答案为：4．‎ 点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定义转化为点到准线的距离来解决．‎ ‎16．已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为3．‎ 考点：函数的零点与方程根的关系． ‎ 专题：综合题；函数的性质及应用．‎ 分析：对∀c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，可化为x＞1时，g（x）的图象始终在f（x）的图象的下方，从而作图解得．‎ 解答： 解：当k=1时，作函数f（x）=，与g（x）=（k∈N+）的图象如下，‎ k=1，对∀c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，正确；‎ 当k=2时，作函数f（x）=，与g（x）=（k∈N+）的图象如下，‎ k=2，对∀c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，正确；‎ 当k=3时，作函数f（x）=，与g（x）=（k∈N+）的图象如下，‎ k=3时，对∀c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，正确，‎ k=4时，作函数f（x）=，与g（x）=（k∈N+）的图象如下，‎ k=4，不正确，‎ 故答案为：3．‎ 点评：本题考查了学生的作图能力，属于难题．‎ 三、解答题：‎ ‎17．已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45，a2+a6=14．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列{bn}满足：+1（n∈N*），求数列{bn}的前n项和．‎ 考点：数列的求和． ‎ 专题：综合题；等差数列与等比数列．‎ 分析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则依题设d＞0．运用已知条件列方程组可求a1，d，从而可得an；‎ ‎（Ⅱ）设cn=，则c1+c2+…+cn=an+1，易求cn，进而可得bn，由等比数列的求和公式可求得结果；‎ 解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则依题设d＞0．‎ 由a2+a6=14，可得a4=7．‎ 由a3a5=45，得（7﹣d）（7+d）=45，可得d=2．‎ ‎∴a1=7﹣3d=1．‎ 可得an=2n﹣1．‎ ‎（Ⅱ）设cn=，则c1+c2+…+cn=an+1，‎ 即c1+c2+…+cn=2n，‎ 可得c1=2，且c1+c2+…+cn+cn+1=2（n+1）．‎ ‎∴cn+1=2，可知cn=2（n∈N*）．‎ ‎∴bn=2n+1，‎ ‎∴数列{bn}是首项为4，公比为2的等比数列．‎ ‎∴前n项和Sn==2n+2﹣4．‎ 点评：本题考查等差数列的通项公式及数列求和，考查学生的运算求解能力．‎ ‎18．在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为；‎ ‎（1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；‎ ‎（2）设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．‎ 考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列． ‎ 专题：综合题；规律型；分类讨论；综合法．‎ 分析：（1）设甲队获第一且丙队获第二为事件A，则甲赢两场，丙胜一场，由乘法公式求解即可；‎ ‎（2）ξ可能的取值为0，3，6，分别计算出相应的概率，列出分布列，再由公式求出期望值即可；‎ 解答： 解：（1）设甲队获第一且丙队获第二为事件A，则P（A）==‎ ‎（2）ξ可能的取值为0，3，6；则 甲两场皆输：P（ξ=0）=（1﹣）（1﹣）=‎ 甲两场只胜一场：P（ξ=3）=×（1﹣）+×（1﹣）=‎ 甲两场皆胜：P（ξ=6）==‎ ‎∴ξ的分布列为 Eξ=0×+3×+6×=‎ 点评：本题考查离散型随机事件的分布列与期望及方差，解题关键是正确理解“甲队获第一名且丙队获第二名”这个事件，且能用概率的乘法公式求出其概率，本题涉及到的公式较多，综合性较强．‎ ‎19．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．‎ ‎（1）求证：AD⊥BM；‎ ‎（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．‎ 考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的性质；与二面角有关的立体几何综合题． ‎ 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．‎ 分析：（1）先证明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，证明BM⊥平面ADM，从而可得AD⊥BM；‎ ‎（2）建立直角坐标系，设，求出平面AMD、平面AME的一个法向量，利用向量的夹角公式，结合二面角E﹣AM﹣D的余弦值为，即可得出结论．‎ 解答： （1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，‎ ‎∴AM=BM=，‎ ‎∴BM⊥AM，‎ ‎∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM ‎∴BM⊥平面ADM ‎∵AD⊂平面ADM ‎∴AD⊥BM；‎ ‎（2）建立如图所示的直角坐标系，设，‎ 则平面AMD的一个法向量，‎ ‎，‎ 设平面AME的一个法向量为，‎ 取y=1，得，所以，‎ 因为 求得，所以E为BD的中点．‎ 点评：本题考查线面垂直，考查面面角，正确运用面面垂直的性质，掌握线面垂直的判定方法，正确运用向量法是关键．‎ ‎20．已知椭圆C的焦点在x轴上，左右焦点分别为F1、F2，离心率e=，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的周长为6．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点S（4，0）且斜率不为0的直线l与椭圆C交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，过点Q1与R的直线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． ‎ 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ 分析：（Ⅰ）设出椭圆的标准方程，根据椭圆的定义与几何性质，求出它的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设出直线l的方程，与椭圆的方程联立，消去一个未知数，化为一元二次方程的问题，判断S△TRQ是否有最大值即可．‎ 解答： 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为+=1，a＞b＞0；‎ ‎∵e==①，‎ ‎|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=6②，‎ a2﹣b2=c2③；‎ 解得a=2，b=，‎ ‎∴椭圆C的方程为；…4分 ‎（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+4，‎ 与椭圆的方程联立，得，‎ 消去x，得 ‎（3m2+4）y2+24my+36=0，‎ ‎∴△=（24m）2﹣4×36（3m2+4）=144（m2﹣4）＞0，‎ 即m2＞4； …6分 设Q（x1，y1），R（x2，y2），则Q1（x1，﹣y1），‎ 由根与系数的关系，得；‎ ‎∴直线RQ1的方程为y=（x﹣x1）﹣y1，‎ 令y=0，得x===，‎ 将①②代人上式得x=1；…9分 又S△TRQ==|ST|•|y1﹣y2|=‎ ‎=18×‎ ‎=18×‎ ‎=18×≤，‎ 当3=，即m2=时取得“=”；‎ ‎∴△TRQ的面积存在最大值，最大值是．…12分．‎ 点评：本题考查了圆锥曲线的定义域几何性质的应用问题，也考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，利用基本不等式求函数的最值问题，是综合性题目．‎ ‎21．设函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；‎ ‎（3）若方程f（x）=c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：．‎ 考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；不等式的证明． ‎ 专题：导数的综合应用．‎ 分析：（1）对a分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出；‎ ‎（2）由（1）可得，若函数f（x）有两个零点，则a＞0，且f（x）的最小值，即．可化为h（a）=．利用单调性判断其零点所处的最小区间即可得出；‎ ‎（3））由x1，x2是方程f（x）=c得两个不等实数根，由（1）可知：a＞0．不妨设0＜x1＜x2．则，．‎ 两式相减得+alnx2=0，化为a=．由，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．故只要证明即可，即证明，令换元，再利用导数即可证明．‎ 解答： 解：（1）x∈（0，+∞）．‎ ‎==．‎ 当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞0上单调递增，即f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．‎ 当a＞0时，由f′（x）＞0得；由f′（x）＜0，解得．‎ 所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．‎ ‎（2）由（1）可得，若函数f（x）有两个零点，则a＞0，且f（x）的最小值，即．‎ ‎∵a＞0，∴．‎ 令h（a）=a+﹣4，可知h（a）在（0，+∞）上为增函数，且h（2）=﹣2，h（3）==，‎ 所以存在零点h（a0）=0，a0∈（2，3），‎ 当a＞a0时，h（a）＞0；当0＜a＜a0时，h（a）＜0．‎ 所以满足条件的最小正整数a=3．‎ 又当a=3时，f（3）=3（2﹣ln3）＞0，f（1）=0，∴a=3时，f（x）由两个零点．‎ 综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3．‎ ‎（3）∵x1，x2是方程f（x）=c得两个不等实数根，由（1）可知：a＞0．‎ 不妨设0＜x1＜x2．则，．‎ 两式相减得+alnx2=0，‎ 化为a=．‎ ‎∵，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．‎ 故只要证明即可，‎ 即证明x1+x2＞，即证明，‎ 设，令g（t）=lnt﹣，则=．‎ ‎∵1＞t＞0，∴g′（t）＞0‎ ‎．∴g（t）在（0，1）上是增函数，又在t=1处连续且g（1）=0，‎ ‎∴当t∈（0，1）时，g（t）＜0总成立．故命题得证．‎ 点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值等基础知识，及其分类讨论思想方法、等价转化方法、换元法等基本技能与方法．‎ 选修4-1：几何证明选讲 ‎22．选修4﹣1：几何证明选讲 如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．‎ ‎（1）求证：CE•EB=EF•EP；‎ ‎（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．‎ 考点：与圆有关的比例线段． ‎ 专题：选作题．‎ 分析：（I）由已知可得△DEF∽△CED，得到∠EDF=∠C．由平行线的性质可得∠P=∠C，于是得到∠EDF=∠P，再利用对顶角的性质即可证明△EDF∽△EPA．于是得到EA•ED=EF•EP．利用相交弦定理可得EA•ED=CE•EB，进而证明结论；‎ ‎（II）利用（I）的结论可得BP=，再利用切割线定理可得PA2=PB•PC，即可得出PA．‎ 解答： （I）证明：∵DE2=EF•EC，∠DEF公用，‎ ‎∴△DEF∽△CED，‎ ‎∴∠EDF=∠C．‎ 又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C，‎ ‎∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA ‎∴△EDF∽△EPA．‎ ‎∴，∴EA•ED=EF•EP．‎ 又∵EA•ED=CE•EB，‎ ‎∴CE•EB=EF•EP；‎ ‎（II）∵DE2=EF•EC，DE=3，EF=2．‎ ‎∴32=2EC，∴．‎ ‎∵CE：BE=3：2，∴BE=3．‎ 由（I）可知：CE•EB=EF•EP，∴，解得EP=，‎ ‎∴BP=EP﹣EB=．‎ ‎∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PB•PC，‎ ‎∴，解得．‎ 点评：熟练掌握相似三角形的判定和性质定理、平行线的性质、对顶角的性质、相交弦定理、切割线定理是解题的关键．‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎23．平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0．‎ ‎（1）求直线l的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．‎ 考点：点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式． ‎ 专题：计算题．‎ 分析：（1）将直线化成普通方程，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，由此不难得到直线l的极坐标方程；‎ ‎（2）将直线l的极坐标方程代入曲线C极坐标方程，可得关于ρ的一元二次方程，然后可以用根与系数的关系结合配方法，可以得到AB的长度．‎ 解答： 解：（1）直线l的参数方程是（t为参数），化为普通方程得：y=x ‎∴在平面直角坐标系中，直线l经过坐标原点，倾斜角是，‎ 因此，直线l的极坐标方程是θ=，（ρ∈R）； …‎ ‎（2）把θ=代入曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0，得ρ2﹣ρ﹣3=0‎ ‎∴由一元二次方程根与系数的关系，得ρ1+ρ2=，ρ1ρ2=﹣3，‎ ‎∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|==． …‎ 点评：本题以参数方程和极坐标方程为例，考查了两种方程的互化和直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于基础题．‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎24．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，‎ ‎（1）证明：|a+b|＜；‎ ‎（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．‎ 考点：不等式的证明；绝对值不等式的解法． ‎ 专题：不等式的解法及应用．‎ 分析：（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：|a+b|＜；‎ ‎（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．‎ 解答： 解：（1）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=‎ 由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．…‎ ‎∵a、b∈M，∴，‎ 所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×=．…‎ ‎（2）由（1）得a2＜，b2＜．‎ 因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）‎ ‎=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…‎ 所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…‎ 点评：本题考查不等式的证明，绝对值不等式的解法，考查计算能力．‎