2020-2021学年高考数学(理)考点:曲线与方程

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2020-2021学年高考数学(理)考点:曲线与方程

‎2020-2021学年高考数学(理)考点:曲线与方程 ‎1.曲线与方程的定义 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x,y)=0的实数解建立了如下的对应关系:‎ 那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线.‎ ‎2.求动点的轨迹方程的基本步骤 概念方法微思考 ‎1.方程y=与x=y2表示同一曲线吗?‎ 提示 不是同一曲线.‎ ‎2.曲线的交点与方程组的关系是怎样的?‎ 提示 曲线的交点与方程组的关系 ‎(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解,即两个曲线方程组成的方程组的实数解;‎ ‎(2)方程组有几组解,两条曲线就有几个交点;方程组无解,两条曲线就没有交点.‎ ‎1.(2019•北京)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线就是其中之一(如图).给出下列三个结论:‎ ‎①曲线恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);‎ ‎②曲线上任意一点到原点的距离都不超过;‎ ‎③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3.‎ 其中,所有正确结论的序号是  ‎ A.① B.② C.①② D.①②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】将换成方程不变,所以图形关于轴对称,‎ 当时,代入得,,即曲线经过,;‎ 当时,方程变为,所以△,解得,,‎ 所以只能取整数1,当时,,解得或,即曲线经过,,‎ 根据对称性可得曲线还经过,,‎ 故曲线一共经过6个整点,故①正确.‎ 当时,由得,(当时取等),‎ ‎,,即曲线上轴右边的点到原点的距离不超过,根据对称性可得:曲线上任意一点到原点的距离都不超过;故②正确.‎ 在轴上图形面积大于矩形面积,轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积,因此曲线所围成的“心形”区域的面积大于,故③错误.‎ 故选.‎ ‎2.(2020•山东)已知曲线.  ‎ A.若,则是椭圆,其焦点在轴上 ‎ B.若,则是圆,其半径为 ‎ C.若,则是双曲线,其渐近线方程为 ‎ D.若,,则是两条直线 ‎【答案】ACD ‎【解析】.若,则,则根据椭圆定义,知表示焦点在轴上的椭圆,故正确;‎ ‎.若,则方程为,表示半径为的圆,故错误;‎ ‎.若,,则方程为,表示焦点在轴的双曲线,故此时渐近线方程为,‎ 若,,则方程为,表示焦点在轴的双曲线,故此时渐近线方程为,‎ 故正确;‎ ‎.当,时,则方程为表示两条直线,故正确;‎ 故选.‎ ‎3.(2018•上海)已知平面上动点到两个定点和的距离之和等于4,则动点的轨迹方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】平面上动点到两个定点和的距离之和等于4,‎ 满足椭圆的定义,可得,,则,‎ 动点的轨迹方程为:.‎ 故答案为:.‎ ‎1.(2020•静安区二模)方程的曲线所满足的性质为  ‎ ‎①不经过第二、四象限;②关于轴对称;③关于原点对称;④关于直线对称.‎ A.①③ B.②③ C.①④ D.①②‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意,化为:,说明,同号或同时为0,所以图形不经过第二、四象限;①正确.‎ 换,方程发生改变,所以图形不关于轴对称,所以②不正确;‎ 以代替,以代替,方程不变,所以③正确;‎ 方程,,互换,方程化为:,方程已经改变;所以④不正确;‎ 故选.‎ ‎2.(2020•宁德模拟)方程:的曲线有下列说法:‎ ‎①该曲线关于对称;‎ ‎②该曲线关于点对称;‎ ‎③该曲线不经过第三象限;‎ ‎④该曲线上有无数个点的横、纵坐标都是整数.‎ 其中正确的是  ‎ A.②③ B.①④ C.②④ D.①③‎ ‎【答案】D ‎【解析】将方程整理可得,令 将换成时,即,‎ 所以,所以曲线关于对称,所以①正确,②不正确;‎ 当时,,所以该曲线不经过第三象限,故③正确,‎ 曲线过的整数点,,,三个整数点,故④不正确,‎ 故选.‎ ‎3.(2020•吴兴区校级模拟)已知且,则的取值范围为  ‎ A.,, B.,, ‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】令,则,‎ 由,得,‎ 即,则,‎ 即,解得或.‎ 的取值范围为,,.‎ 故选.‎ ‎4.(2020•麒麟区校级二模)已知点,,若点在曲线上运动,则面积的最小值为  ‎ A.6 B. C.3 D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意,,直线的方程为,‎ 曲线表示单位圆的下半部分,‎ 要使面积的最小,则需点到直线的距离最小,不妨设,,‎ 点到直线的距离为,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故选.‎ ‎5.(2019•西城区一模)如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径,那么曲线围成的平面区域的直径为  ‎ A. B.3 C. D.4‎ ‎【答案】B ‎【解析】曲线围成的平面区域,关于,轴对称,设曲线上的点,可得.‎ 所以曲线围成的平面区域的直径为:3.‎ 故选.‎ ‎6.(2019•闵行区校级模拟)方程所表示的曲线的长度是  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】方程,‎ 可得,即有或,‎ 即有,‎ 作出方程所表示的曲线,‎ 可得曲线为两个半圆,半径均为,‎ 可得表示曲线的长度为.‎ 故选.‎ ‎7.(2019•西湖区校级模拟)方程表示的曲线是  ‎ A.一个圆和一条射线 B.一个圆和一条直线 ‎ C.一个圆 D.一条直线 ‎【答案】B ‎【解析】方程等价于或,‎ ‎①在直角坐标系中,方程图象为一条直线,‎ ‎②,‎ 配方得,‎ 方程表示以为圆心,以1为半径的圆,‎ 故表示一条直线和一个圆,‎ 故选.‎ ‎8.(2019•西湖区校级模拟)方程所表示的曲线是  ‎ A.一个点 B.一条直线 C.两条直线 D.抛物线 ‎【答案】C ‎【解析】,‎ 即或.‎ 方程所表示的曲线是两条直线.‎ 故选.‎ ‎9.(2019•黄浦区一模)如图,平面直角坐标系中,曲线(实线部分)的方程可以是  ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图曲线表示折线段的一部分和双曲线,‎ 选项等价于或,表示折线的全部和双曲线,故错误;‎ 选项等价于,或,表示折线的全部,故错误;‎ 选项等价于或,表示折线在双曲线的外部 ‎(包括有原点)的一部分,表示双曲线,符合题中图象,故正确;‎ 选项等价于或,‎ 表示表示折线在双曲线的外部(包括有原点)的一部分,‎ 表示双曲线在轴下方的一部分,故错误.‎ 故选.‎ ‎10.(2020•河南模拟)曲线与曲线交于、两点,为原点,.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)曲线上一点的纵坐标为2,过点作直线、,、的斜率分别为、,,、分别交曲线于异于的不同点,,证明:直线恒过定点.‎ ‎【解析】(1)由对称性可知:、关于轴对称,可设,,‎ 则,‎ 把代入曲线得:;‎ ‎(2)证明:由(1)得曲线的方程为,即有,‎ 设,,,,‎ 则,‎ 同理,,‎ 若直线斜率为0,直线的方程设为,代入曲线,仅有一解,不合题意,舍去;‎ 当存在时,设直线的方程设为,‎ 把代入整理得:,‎ 且,‎ 得,代入式,‎ 得:,‎ 故直线的方程为,‎ 可得直线恒过定点.‎ ‎11.(2020•长春三模)已知点,点在轴负半轴上,以为边做菱形,且菱形对角线的交点在轴上,设点的轨迹为曲线.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的方程;‎ ‎(Ⅱ)过点,其中,作曲线的切线,设切点为,求面积的取值范围.‎ ‎【解析】(Ⅰ)设,,菱形的中心在轴上,设为点.‎ 由题意可知,,则,又为的中点,因此点 即点的轨迹为为参数且,‎ 化为标准方程.‎ ‎(Ⅱ)设点,过点的切线方程为:,‎ 点在该切线方程上,,‎ 即,由,可得,‎ ‎,即,‎ ‎,‎ 可知当时,为关于的增函数,因此的取值范围是.‎ ‎12.(2020•邵阳一模)半圆的直径两端点为,,点在半圆及直径上运动,若将点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到点,记点的轨迹为曲线.‎ ‎(1)求曲线的方程;‎ ‎(2)若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”,求曲线的“直径”.‎ ‎【解析】(1)设,则,由题意可得当在直径上运动时,‎ 显然;当在半圆上时,,‎ 所以曲线的方程为或;‎ ‎(2)设曲线上两动点,,,显然,至少有一点在椭圆上时才能取得最大,‎ 不妨设,则,‎ ‎,,‎ 等号成立时,,,或,,,‎ 由两点的距离公式可得,‎ 故曲线的“直径”为.‎ ‎13.(2020•临汾模拟)已知圆,为上任意一点,,的垂直平分线交于点,记点的轨迹为曲线.‎ ‎(1)求曲线的方程;‎ ‎(2)已知点,过的直线交于,两点,证明:直线的斜率与直线的斜率之和为定值.‎ ‎【解析】因为在的中垂线上,所以,而,‎ 所以,由椭圆的定义可得的轨迹为焦点在轴上,长轴长为4‎ ‎,焦点坐标为:,的椭圆,即,,所以,‎ 所以曲线的方程:;‎ ‎(2)由题意可知直线的斜率存在,设的方程为:,设,,,,‎ 联立直线与椭圆的方程:,整理可得:,△,整理可得:,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 代入可得,‎ 因为直线过点,所以,‎ 所以,‎ 即证了直线的斜率与直线的斜率之和为定值.‎ ‎14.(2020•深圳模拟)在平面直角坐标系中,过点的动圆恒与轴相切,为该圆的直径,设点的轨迹为曲线.‎ ‎(1)求曲线的方程;‎ ‎(2)过点的任意直线与曲线交于点,为的中点,过点作轴的平行线交曲线于点,关于点的对称点为,除以外,直线与是否有其它公共点?说明理由.‎ ‎【解析】(1)如图,过作轴的垂线,垂足为,交直线于,‎ 设动圆的圆心为,半径为,则到轴的距离为,在梯形中,由中位线性质可得,‎ 所以,又,‎ 所以,‎ 由抛物线的定义知,点是以为焦点,以直线为准线的抛物线,‎ 所以曲线的方程为:;‎ ‎(2)由可得在求出上,‎ 当直线的斜率存在时,设,,,,则,‎ 的中点,,即,,‎ 在方程中,令,得,所以,,‎ 设,,由中点坐标公式可得,‎ 又,代入化简,‎ 所以,,‎ 直线的斜率为:,‎ 所以直线的方程为:①,‎ 将代入①化简可得:②,‎ 将代入②式整理可得,△,‎ 所以直线与抛物线相切,‎ 所以除点外,直线与没有其他的公共点.‎ 当直线的斜率不存在时.,,,,‎ 直线的方程为:代入抛物线的方程可得,△,‎ 所以除点外,直线与没有其他的公共点.‎ 综上所述,除点外直线与没有其他的公共点.‎ ‎15.(2020•番禺区模拟)已知长度为4的线段的两个端点,分别在轴和轴上运动,动点满足,记动点的轨迹为曲线.‎ ‎(1)求曲线的方程;‎ ‎(2)设不经过点 的直线与曲线相交于两点,.若直线与的斜率之和为1,求实数的值.‎ ‎【解析】(1)设,,,‎ ‎,‎ ‎,,,,‎ 即,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 曲线的方程为:;‎ ‎(Ⅱ)设,,,,‎ 由,消去得,‎ ‎,‎ 由△,‎ 可得,‎ 又直线不经过点,‎ 且直线与的斜率存在,‎ ‎,‎ 又,,‎ ‎,‎ 解得,‎ 故的值为3.‎
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