专题导数及其应用高考数学文考试大纲完美解读

专题导数及其应用高考数学文考试大纲完美解读

‎（十六）导数及其应用 ‎1．导数概念及其几何意义 ‎（1）了解导数概念的实际背景.‎ ‎（2）理解导数的几何意义.‎ ‎2．导数的运算 ‎（1）能根据导数定义求函数y=C（C为常数），的导数.‎ ‎（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.‎ ‎ •常见基本初等函数的导数公式：‎ ‎•常用的导数运算法则：‎ 法则1:‎ 法则2:‎ 法则3:‎ ‎3．导数在研究函数中的应用 ‎（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.学科%网 ‎（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.‎ ‎4．生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题.‎ 与2018年考纲相比没什么变化，而且这部分内容作为高考的必考内容，在2019年的高考中预计仍会以“一小一大”的格局呈现，内容涉及导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值（最值）、零点，证明不等式等.小题难度可大可小，大题难度偏大，且近几年导数大题的第一问起点较高，应引起高度重视.全国卷命题不回避热点和经典问题，预计压轴题仍会以极值（最值）、零点问题，证明不等式等方式切入.‎ 考向一 利用导数研究函数的单调性 样题1 （2018新课标全国Ⅱ文科）已知函数．‎ ‎ （1）若，求的单调区间；‎ ‎ （2）证明：只有一个零点．‎ ‎【答案】（1）f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减；（2）见解析.‎ ‎（2）由于，所以等价于．‎ 设=，则g ′（x）=≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，‎ 所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．‎ 故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．‎ 又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点．‎ 综上，f（x）只有一个零点．‎ 样题2 （2016新课标全国Ⅰ文科）已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎（2）(i)设，则由（1）知，在单调递减，在单调递增.‎ 又，取b满足b<0且，‎ 则，所以有两个零点.‎ ‎(ii)设a=0，则，所以只有一个零点.学科.网 ‎(iii)设a<0，若，则由（1）知，在单调递增.又当时，<0，故 不存在两个零点；若，则由（1）知，在单调递减，在单调递增.又当时<0，故不存在两个零点.‎ 综上，a的取值范围为.‎ ‎【名师点睛】本题第（1）问是用导数研究函数单调性，对含有参数的函数单调性的确定，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第（2）问是求参数取值范围，由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识，越来越受到高考命题者的青睐，解决此类问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性或极值破解.‎ 考向二 利用导数研究函数的极值问题 样题3 已知函数，若在区间内存在极值点，则实数的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【名师点睛】本题考查导数在求函数极值中的应用，比较的大小，进行讨论.‎ 样题4 已知函数.‎ ‎（1）当时，有极小值，求实数；‎ ‎（2）设，当时，在图象上任意一点处的切线的斜率为，若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 对一切恒成立，‎ 对一切恒成立.‎ 又在上为减函数，‎ ‎，‎ ‎.学科.网 故的取值范围为.‎ ‎【名师点睛】本题考查利用导数求解极值点、导数的几何意义；求解极值点的方法是利用导函数零点的个数结合原函数的单调性来确定，要注意导函数的零点并不一定是函数的极值点，要成为极值点其左右两边的单调性必须相异；研究函数的切线斜率实质上即为研究函数的导函数的取值.‎ ‎（1）由题意可得，求得，检验即可；‎ ‎（2）由对一切恒成立，可得对一切，恒成立，从而研究的单调性及最值即可.‎ 考向三 导数与不等式恒成立问题 样题5 已知定义在上的奇函数满足：当时，.若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【思路点睛】本题主要考查导数的最值应用,奇函数的性质,分离参数的方法，属于中档题.本题有两种方法求解：（1）利用函数是奇函数，可将时的函数解析式求出，再用函数的单调性求解；（2）直接先求出时的单调性，再根据奇函数在对称区间上的单调性相同可得出在上单调递增，可得到在上恒成立，再利用分离参数的方法，可得到，进而利用求导的方法求出的最小值即可.此题判断出在上的单调性是解题的关键．‎ 样题6 已知函数，（为自然对数的底数）．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（1）.‎ ‎①若，则，在上单调递增；‎ ‎②若，当时，，单调递减；当时，，单调递增.学科!网