高考数学复习专题训练——平面向量含详解

高考数学复习专题训练——平面向量含详解

高考数学复习专题训练--平面向量 一、选择题w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎1．把y=f（x）按平移后，得到函数为，则f（x）=（ ）‎ ‎（A）y=sinx （B）y=cosx ‎（C）y=sinx+2 （D）y=cosx+4‎ ‎2．已知A（3，7），B（5，2），向量按向量（1，2）平移后所得向量是（ ）‎ ‎（A）（2，－5） （B）（3，－3） （C）（1，－7） （D）都不是 ‎3．在△ABC中，已知则B=（ ）‎ ‎（A）105° （B）60° ‎ ‎（C）15° （D）105°或15°‎ ‎4．在△ABC中，已知a=6，b=4，Ｃ=120°，则sinB的值是 （ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎5．在△ABC中，有a=2b，且Ｃ=30°，则这个三角形一定是 （ ）‎ ‎（A）直角三角形 （B）钝角三角形 ‎（C）锐角三角形 （D）以上都有可能 ‎6．△ABC中，已知b=30，c=15，C=26°，则此三角形的解的情况是（ ）‎ ‎（A）一解 （B）二解 ‎ ‎（C）无解 （D）无法确定 ‎7．在△ABC中，中，若，则△ABC是 （ ）‎ ‎（A）等边三角形 （B）等腰三角形 ‎（C）直角三角形 （D）等腰直角三角形 ‎8．在△ABC中，已知，则等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C）或 （D）‎ ‎9．直角△ABC的斜边AB=2，内切圆的半径为r，则r的最大值是（ ）‎ ‎（A） （B）1 （C） （D）‎ 答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ B D D B B B B B D 二、填空题 ‎10．若是的单位向量，则= ．‎ ‎11．“与方向相反的向量”是“的相反相量”的 条件．‎ ‎12．设平面内有四边形ABCD和点O，若 ‎　　， 则四边形ABCD的形状是 ．‎ ‎13．若平行四边形ABCD的顶点A（4，2），B（5，7），C（－3，4），则D点的坐标为 ．‎ ‎14．已知A（3，4），B（12，7），点C在直线AB上，且则点C的坐标为 ．‎ ‎15．若且与的夹角是钝角，则λ的取值范围是 ．‎ ‎16．若则在方面上的投影为 ．‎ ‎17．已知非零向量，则垂直于的充要条件是 ．‎ 答案：10． 11．必要不充分条件 12．平行四边形13．（―4，―1） 14．（0，3）或（6，5） 15．（ 16． 17．‎ 三、解答题 ‎18．在直角坐标系xoy中，已知点P(2cosx＋1, 2cos2x＋2)和点Q(cosx, －1)，其中x∈‎ ‎[0, π]，若向量与垂直，求x的值．‎ ‎19．已知非零向量和不共线．‎ ‎(1)若＝＋，＝2＋8，＝3(－)，求证：A、B、D三点共线．‎ ‎(2)欲使k＋与＋k共线，确定实数k的取值范围．‎ ‎20．已知两点M(－1, 0)，N(1, 0)，且P点使·，·，·成公差小于零的等差数列．‎ ‎(1)求点P的轨迹方程．‎ ‎(2)若点P坐标为(x0, y0)，记θ为与的夹角，求tanθ．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎21．已知等腰直角△ABC中，∠C＝90°，D为CB的中点，E为AB上的点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE．‎ ‎22．若＝(cosα, sinα)，＝(cosβ, sinβ)，且|k＋|＝|－k|，k∈R＋．‎ ‎(1)用k表示·；‎ ‎(2)求·的最小值，并求出此时与所成的角θ．(0≤θ≤π)的大小．‎ ‎23. 若向量与的夹角为30°，且||＝，||＝1，＝＋，＝－，求与夹角的余弦．‎ ‎24. 已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）(0<α<β<π)，‎ ‎（1）求证： a+b与a-b互相垂直；‎ ‎（2）若ka+b与a-kb的大小相等(k∈R且k≠0)，求β－α ‎25. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，－2），点C满足、‎ ‎ （1）求点C的轨迹方程；‎ ‎（2）设点C的轨迹与双曲线交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：.‎ 答案：‎ ‎18．‎ ‎ ‎ ‎19．(1)证，‎ ‎ （2）存在，使 ‎ 不共线，‎ ‎∴ ‎ ‎20．（1）设，，‎ ‎ 由题得且 ‎ （2） 且 ‎ 又，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21．设，则 ‎，‎ ‎22．（1）‎ ‎，‎ 又，‎ ‎（2） 等号仅当时成立，‎ ‎ 故，此时 ‎23. ‎ ‎24. （1）证法一：∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）‎ ‎∴a+b＝（cosα+cosβ，sinα+ sinβ）, a-b＝（cosα-cosβ，sinα- sinβ）‎ ‎∴(a+b)·(a-b)=（cosα+cosβ，sinα+ sinβ）·（cosα-cosβ，sinα- sinβ）‎ ‎=cos2α-cos2β+sin2α- sin2β=0‎ ‎∴(a+b)⊥(a-b)‎ 证法二：∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）　∴|a|＝1，|b|＝1‎ ‎∴(a+b)·(a-b)= a2-b2=|a|2-|b|2=0　　　　　　　∴(a+b)⊥(a-b)‎ 证法三：∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）∴|a|＝1，|b|＝1,‎ 记＝a，＝b，则||＝||=1,‎ 又α≠β，∴O、A、B三点不共线。‎ 由向量加、减法的几何意义，可知以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，其中＝a+b，＝a-b，由菱形对角线互相垂直，知(a+b)⊥(a-b)‎ ‎（2）解：由已知得|ka+b|与|a-kb|,‎ 又∵|ka+b|2＝(kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2=k2+1+2kcos(β－α),‎ ‎|ka+b|2＝(cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2=k2+1-2kcos(β－α),‎ ‎∴2kcos(β－α)= -2kcos(β－α)‎ 又∵k≠0　　　∴cos(β－α)＝0‎ ‎∵0<α<β<π　　∴0<β－α<π, ∴β－α=‎ 注：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明。‎ ‎25. （1）解：设 即点C的轨迹方程为x+y=1 ‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m