圆锥曲线高考大题汇编

圆锥曲线高考大题汇编

‎1.（辽宁） （本小题满分12分）‎ 圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.‎ ‎2.（福建）（本小题满分13分）‎ 已知双曲线的两条渐近线分别为.‎ ‎ （1）求双曲线的离心率；‎ ‎ （2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一， 四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由。‎ ‎3.（天津）（本小题满分13分）‎ 设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为.已知.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率.‎ ‎4.（江苏）(本小题满分14分)‎ F1‎ F2‎ O x y B C A ‎(第17题)‎ 如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C，连结.‎ ‎(1)若点C的坐标为,且,求椭圆的方程；‎ ‎(2)若求椭圆离心率e的值.‎ ‎5（陕西）（本小题满分13分）‎ 如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.‎ （1） 求的值；‎ （2） 过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.‎ ‎6.（新课标二20.）（本小题满分12分）‎ 设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.‎ ‎（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.‎ ‎7.（北京19）（本小题14分）‎ 已知椭圆，‎ （1） 求椭圆的离心率.‎ （2） 设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.‎ ‎8.（重庆21）如题（21）图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.‎ （1） 求该椭圆的标准方程；‎ （2） 是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..‎ ‎9.（广东20）（14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.‎ ‎10.（湖北）（满分14分）在平面直角坐标系中，点M到点的距离比它到轴的距离多1，记点M的轨迹为C.‎ (1) 求轨迹为C的方程 (2) 设斜率为k的直线过定点，求直线与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围。‎ 参考答案 ‎1.解：（Ⅰ）设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值，即S有最小值，因此点P得坐标为 ，‎ 由题意知 解得，故方程为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中.‎ 由在上，得，‎ 解得b12=3，因此C2方程为 显然，l不是直线y=0.设l的方程为x=my+，点 由 得，又是方程的根，因此 ，由得 因由题意知，所以 ，将①，②，③，④代入⑤式整理得，解得或，因此直线l的方程为，或.‎ ‎2.解法一：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.‎ 所以,‎ 从而双曲线E的离心率.‎ ‎(2)由(1)知,双曲线E的方程为. ‎ 设直线与x轴相交于点C.‎ 当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,‎ 则,‎ 又因为的面积为8,‎ 所以.‎ 此时双曲线E的方程为.‎ 若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.‎ 以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件. ‎ 设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.‎ 则，记.‎ 由,得,同理得.由得, 即.‎ 由得, .因为,‎ 所以,‎ 又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.‎ 因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.‎ ‎3.解：（Ⅰ）解：设椭圆的右焦点的坐标为.由，可得，又，则.所以，椭圆的离心率.‎ ‎，所以，解得，.‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，.故椭圆方程为.‎ 设.由，，有，.‎ 由已知，有，即.又，故有 ‎. ①‎ 又因为点在椭圆上，故 ‎. ②‎ 由①和②可得.而点不是椭圆的顶点，故，代入①得，即点的坐标为.‎ 设圆的圆心为，则，，进而圆的半径.‎ 设直线的斜率为，依题意，直线的方程为.‎ 由与圆相切，可得，即，‎ 整理得，解得.‎ 所以，直线的斜率为或.‎ ‎4‎ ‎5.【解析】（1）‎ ‎（2）‎ ‎6.解：（1）‎ ‎（2）‎ ‎8.解：（Ⅰ）设，其中，‎ 由得 从而故.‎ 从而，由得，因此.‎ 所以，故 因此，所求椭圆的标准方程为：‎ ‎（Ⅱ）如答（21）图，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，，,是圆的切线，且由圆和椭圆的对称性，易知 ‎， ‎ 由（Ⅰ）知，所以，再由得，由椭圆方程得，即 ‎，解得或.‎ 当时，重合，此时题设要求的圆不存在.‎ 当时，过分别与,垂直的直线的交点即为圆心.‎ 由,是圆的切线，且，知，又故圆的半径 ‎10.解：（I）设点，依题意，，即，‎ 整理的，‎ 所以点的轨迹的方程为.‎ ‎（II）在点的轨迹中，记，，‎ 依题意，设直线的方程为，‎ 由方程组得 ①‎ 当时，此时，把代入轨迹的方程得，‎ 所以此时直线与轨迹恰有一个公共点.‎ 当时，方程①的判别式为 ②‎ 设直线与轴的交点为，则由，令，得③‎ ‎（i）若，由②③解得或.‎ 即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，‎ 故此时直线与轨迹恰有一个公共点.‎ ‎（ii）若或，由②③解得或，‎ 即当时，直线与有一个共点，与有一个公共点.‎ 当时 ，直线与有两个共点，与没有公共点.‎ 故当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点.‎ ‎（iii）若，由②③解得或，‎ 即当时，直线与有两个共点，与有一个公共点.‎ 故此时直线与轨迹恰有三个公共点.‎ 综上所述，当时直线与轨迹恰有一个公共点；‎ ‎ 当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点；‎ ‎ 当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.‎